21. SOAL-SOAL TRANSFORMASI GOMETRI UAN2002 1. Bayangan garis y = 2x + 2 yang dicerminkan terhadap garis y= x adalah: x x 1 -1 E. y = A. y = x + 1 C. y = 2 2 2 x B. y = x – 1 D. y = +1 2 Jawab:
rumus dasarnya : P(x,y) → P ' (x ' , y ' ) …(1)
⎛ cos180 0 Maka rotasi terhadap R[0, 180 ] = ⎜⎜ 0 ⎝ sin 180 0
− sin 180 0 ⎞ ⎟ cos180 0 ⎟⎠
⎛−1 0 ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ 0 − 1 ⎝ ⎠
Rotasi sudut-sudut yang lain dapat dihitung sendiri menggunakan kaidah trigonometri atau bisa dilihat di tabel (Rangkuman teori). 2. pencerminan terhadap garis y = -x ⎛ 0 − 1⎞ ⎟⎟ P(x,y) → P ' (-y, -x), matriksnya ⎜⎜ ⎝−1 0 ⎠
Bayangan oleh oleh rotasi [0, 180 0 ], kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis y = -x adalah :
pencerminan terhadap garis y = x : P(x,y) → P ' (y, x) ….(2) Dari (1) dan (2) maka : '
⎛ x' ⎞ ⎛−1 0 ⎞ ⎜ ' ⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜y ⎟ ⎝ 0 − 1⎠ ⎝ ⎠
'
x = y dan y = x …(3) substitusikan (3) ke garis y = 2x + 2
⎛0 1⎞ ⎛ x ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝1 0⎠ ⎝ y ⎠
⇔ 2y = x -2 x' ' y = -1 2 Hasil pencerminannya adalah : x y= -1 2 jawabannya adalah C '
'
x =2y +2
'
'
= (y,x) x' = y
jawab:
D. x = y 2 - 2y – 3 E. x = y 2 + 2y + 3
⎛ cos θ 1. Rotasi terhadap R [0, θ ] = ⎜⎜ ⎝ sin θ
; y'= x
substitusikan pada kurva y = x 2 - 2x – 3
UAN2005 2. Persamaan bayangan kurva y = x 2 - 2x – 3 oleh rotasi [0, 180 0 ], kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis y = -x adalah …. A. y = x 2 - 2x – 3 B. y = x 2 - 2x + 3 C. y = x 2 + 2x + 3
⎛ 0 − 1⎞ ⎛ x ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝−1 0 ⎠ ⎝ y⎠
− sin θ ⎞ ⎟ cos θ ⎟⎠
x' = y'
2
- 2 y' - 3
⇒ x = y2 - 2 y – 3
jawabannya adalah D EBTANAS1993 3. Persamaan bayangan dari lingkaran x 2 +y 2 +4x-6y-3=0 oleh transformasi yang berkaitan dengan matriks ⎛ 0 1⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ adalah…. ⎝ −1 0⎠ A. x 2 + y 2 - 6x - 4y- 3 = 0 B. x 2 + y 2 - 6x + 4y- 3 = 0 C. x 2 + y 2 + 6x - 4y- 3 = 0 D. x 2 + y 2 - 4x + 6y- 3 = 0 E. x 2 + y 2 + 4x - 6y+ 3 = 0
www.matematika-sma.com - 1
EBTANAS1992
Jawab:
⎛1 − 1 ⎞ ⎟⎟ dan 5. Ditentukan matriks transformasi T 1 = ⎜⎜ ⎝1 − 2 ⎠ ⎛ 0 − 1⎞ ⎟⎟ . Hasil transformasi titik (2,-1) terhadap T 2 = ⎜⎜ ⎝1 0 ⎠
⎛ x' ⎞ ⎛ 0 1⎞ ⎛ x ⎞ ⎜ ' ⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜y ⎟ ⎝ −1 0⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ ⎠
⎛ y ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝− x⎠
T 1 dilanjutkan T 2 adalah…. A. (-4,3) B. (-3,4) C. (3,4) D. (4,3) E. (3,-4)
x ' = y dan y ' = - x ⇔ - y ' = x
jawab: 2
2
substitusikan pada persamaan lingkaran x +y +4x-6y-3=0 menjadi :
Transformasi T 1 dilanjutkan oleh T 2 = T 2 o T 1
(- y ' ) 2 + (x ' ) 2 - 4 y ' - 6 x ' - 3 = 0 ⇔ y' 2 + x' 2 - 4 y' - 6 x' - 3 = 0
⎛ 0 − 1⎞ ⎛1 − 1 ⎞ ⎛ − 1 2 ⎞ ⎟⎟ . ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ T 2 o T 1 = M 2 x M 1 = ⎜⎜ ⎝ 1 0 ⎠ ⎝1 − 2 ⎠ ⎝ 1 − 1⎠
⇒ x 2 + y 2 – 6x - 4y– 3 = 0
Hasil transformasi titik (2,-1) terhadap T 1 dilanjutkan T 2 ⎛ −1 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ − 4⎞ ⎟⎟ . ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇔ ( -4, 3 ) adalah ⎜⎜ ⎝ 1 − 1⎠ ⎝ − 1⎠ ⎝ 3 ⎠
Jawabannya adalah A
EBTANAS1995 4. T 1 dan T 2 adalah transformasi yang masing-masing ⎛ 1 2⎞ ⎛2 1 ⎞ ⎟⎟ dan ⎜⎜ ⎟⎟ . bersesuaian dengan ⎜⎜ ⎝ −1 3⎠ ⎝ 1 − 2⎠ Ditentukan T = T 1 o T 2 , maka transformasi T bersesuaian dengan matriks… ⎛1 7 ⎞ ⎟⎟ A. ⎜⎜ ⎝3 − 4⎠
⎛ 3 3⎞ ⎟⎟ C. ⎜⎜ ⎝ 0 1⎠
⎛4 5 ⎞ ⎟⎟ B. ⎜⎜ ⎝1 − 7⎠
⎛ − 1 1⎞ ⎟⎟ D. ⎜⎜ ⎝ 0 5⎠
⎛ 4 − 3⎞ ⎟⎟ E. ⎜⎜ ⎝1 − 7⎠
UN2005 6. Persamaan bayangan garis y = -6x + 3 karena 1 ⎞ ⎛2 ⎟⎟ kemudian dilanjutkan transformasi oleh matriks ⎜⎜ ⎝ −1 − 2⎠ ⎛0 2 ⎞ ⎟⎟ adalah… dengan matriks ⎜⎜ ⎝1 − 2⎠ A. x + 2y + 3 = 0 B. x + 2y – 3 = 0 C. 8x – 19y + 3 = 0
D. 13x + 11y + 9 = 0 E. 13x + 11y – 9 = 0
Jawab:
Jawab: ⎛1 M 1 = matriks transformasi T 1 = ⎜⎜ ⎝−1 ⎛2 M 2 = matriks transformasi T 2 = ⎜⎜ ⎝1 T = T1 o T 2 = M1 x M 2
2⎞ ⎟ 3 ⎟⎠ 1 ⎞ ⎟ − 2 ⎟⎠
1 ⎞ ⎛2 ⎟⎟ Matriks T 1 = M 1 = ⎜⎜ ⎝ −1 − 2⎠ ⎛0 2 ⎞ ⎟⎟ . MatriksT 2 = M 2 = ⎜⎜ ⎝1 − 2⎠
(1.1 + 2.(−2) ⎞ ⎛ 1 2⎞ ⎛ 2 1 ⎞ ⎛ (1.2 + 2.1) ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ −1 3⎠ ⎝1 − 2⎠ ⎝ (−1.2 + 3.1) (−1.1 + 3.(−2) ⎠ ⎛ 4 − 3⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝1 − 7⎠
Jawabannya adalah E
Jawabannya adalah A
Transformasi T 1 dilanjutkan T 2 adalah = T 2 o T 1 =M 2 x M 1 ⎛0 2 ⎞ ⎟⎟ . M 2 x M 1 = ⎜⎜ ⎝1 − 2⎠
1 ⎞ ⎛ − 2 − 4⎞ ⎛2 ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟ 5 ⎟⎠ ⎝ −1 − 2⎠ ⎝ 4
⎛ x' ⎞ ⎛ − 2 − 4⎞ ⎛ x ⎞ ⎜ ' ⎟ = ⎜⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜y ⎟ 5 ⎟⎠ ⎜⎝ y ⎟⎠ ⎝ 4 ⎝ ⎠
www.matematika-sma.com - 2
Ingat bab matriks :
UAN2004 7. Bayangan titik A (4,1) oleh pencerminan terhadap garis x =2 dilanjutkan pencerminan terhadap garis x = 5 adalah titik….
Jika A.B = C maka 1. A = C . B −1 2. B = A −1 . C
A. A '' (8,5) B. A '' (10,1)
A.B = C ⇔ C = A.B
C. A '' (8,1) D. A '' (4,5)
E. A '' (20,2)
Jawab: ⎛x ⎞ C = ⎜⎜ ' ⎟⎟ ; A = ⎝y ⎠ '
B= A A −1 =
−1
⎛ − 2 − 4⎞ ⎜⎜ ⎟ ;B= 5 ⎟⎠ ⎝ 4
⎛ x⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ y⎠
1. Cara 1 (dengan rumus) Pencerminan terhadap garis x = h P(x,y) → P ' (x ' , y ' ) = P ' (2h – x , y)
.C
1 | −10 − (−4.4) |
4 ⎞ ⎛ 5 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ − 4 − 2⎠
4 ⎞ ⎛ 5 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ − 4 − 2⎠ 4 ⎞ ⎛ 5 ⎜ ⎟ 5 4 ⎞ 1 ⎛ 6 6 ⎜ ⎟ ⎟= = ⎜⎜ 6 ⎝ − 4 − 2 ⎟⎠ ⎜ − 4 − 2 ⎟ ⎜ ⎟ 6⎠ ⎝ 6 4 ⎞ ⎛ 5 ' ⎟ ⎛ x⎞ ⎜ 6 6 ⎟ ⎛⎜ x ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ ⎜ '⎟ ⎝ y ⎠ ⎜⎜ − 4 − 2 ⎟⎟ ⎝ y ⎠ 6⎠ ⎝ 6 5 4 x = x'+ y' 6 6 4 2 ' y = - x'y 6 6 substitusikan pada persamaan garis y = -6x + 3 1 = | −10 − (−4.4) |
4 ' 2 ' x - y = - 5 x' - 4 y' + 3 6 6 4 ' 2 ' x + 5 x'y + 4 y' - 3 = 0 6 6 ' ' − 4 x + 30 x − 2 y ' + 24 y ' ⇔ + -3=0 6 6 26 x ' 22 y ' ⇔ + - 3 = 0 |x 6| 6 6 ⇔ 26 x ' + 22 y ' - 18 = 0 | : 2 | ⇔ -
⇔ 13 x ' + 11 y ' - 9 = 0 ⇒ 13 x + 11y – 9 = 0
Jawabannya adalah E
A ' (2(2)-4 ,1 )
A(4,1) x =2
A ' (0 ,1 ) x = 5
A '' (2.5 – 0 , 1 ) ⇔ A '' (10,1 )
2. Cara 2 ( dengan gambar)
titik A (4,1) dicerminkan terhadap garis x=2 didapat A ' (0,1) kemudian dicerminkan lagi terhadap garis x=5 didapat A '' (10,1 ) Jawabannya adalah B UAN2004 8. T 1 adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks ⎛ 5 3⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ dan T 2 adalah transformasi yang bersesuaian ⎝ −1 2⎠ ⎛ 1 − 3⎞ ⎟⎟ . dengan matriks ⎜⎜ ⎝− 2 4 ⎠ Bayangan A(m,n) oleh transformasi T 1 o T 2 adalah (-9,7). Nilai m+n sama dengan… A. 4
B.5
www.matematika-sma.com - 3
C.6
D.7
E.8
sb: y rotasi (0,90 0 ): P(x,y) → P ' (-x, y) → P '' (-y, -x)
Jawab: ⎛ − 9⎞ ⎛ m⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = M 1 x M 2 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 7 ⎠ ⎝n⎠ ⎛ − 9 ⎞ ⎛ 5 3 ⎞ ⎛ 1 − 3⎞ ⎛ m ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ − − 7 1 2 2 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝n⎠ ⎛ − 9 ⎞ ⎛ − 1 − 3⎞ ⎛ m ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ − 7 5 11 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝n⎠
catatan: dari P ' (-x, y) dirotasi (0,90 0 ) menjadi P '' (-y, -x) didapat dari rumus rotasi (0,90 0 ) P(x,y) → P ' (-y, x)
sehingga : (-x, y) A(2,1) → A ' (-2,1) B(6,1) → B ' (-6,1) C(5,3) → C ' (-5,3)
- m - 3n = -9 -5m + 11n = 7 - m - 3n = -9 | x5 | ⇒ -5m – 15n = -45 -5m + 11n = 7 | x1 | ⇒ -5m +11n = 7 -26n = -52 n=2 - m – 3n = - 9 -m = 3n – 9 m = 9 – 3n = 9 – 3.2 = 9 – 6 = 3
2. Cara 2 (langsung ) refleksi terhadap sumbu Y dilanjutkan rotasi (0,90 0 ): sb: y rotasi (0,90 0 ): (-x,y) (-y,x) P(x,y) → P ' (-x, y) → P '' (-y, -x)
Sehingga m+ n = 3 + 2 = 5 Jawabannya adalah B UAN2001 9. Bayangan ∆ ABC dengan A(2,1), B(6,1), C(5,3) karena refleksi terhadap sumbu y dilanjutkan rotasi (0,90 0 ) adalah… A. B. C. D. E.
A '' A '' A '' A '' A ''
(-1,-2), B '' (1,6) dan C '' (-3,-5) (-1,-2), B '' (1,-6) dan C '' (-3,-5) (1,-2), B '' (-1,6) dan C '' (-3,5) (-1,-2), B '' (-1,-6) dan C '' (-3,-5) (-1,2), B '' (-1,-6) dan C '' (-3,-5)
jawab: 1 Pencerminan/refleksi terhadap sumbu Y P(x,y) → P ' (-x, y) 0
2. Rotasi (0, 90 ) : ⎛ cos 90 0 ⎛ cos θ − sin θ ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ ⎜⎜ 0 ⎝ sin θ cos θ ⎠ ⎝ sin 90 ⎛ 0 − 1⎞ ⎟⎟ ⇒ ⎜⎜ ⎝1 0 ⎠
− sin 90 0 ⎞ ⎟ cos 90 0 ⎟⎠
⎛ x ' ⎞ ⎛ 0 − 1⎞ ⎛ x ⎞ ⎜ ' ⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ x ' = -y ; y ' = x ⎜y ⎟ 1 0 ⎠ ⎝ y⎠ ⎝ ⎠ ⎝
(-y, x) → A " (-1,-2) → B " (-1,-6) → C " (-3,-5)
catatan: dari P ' (-x, y) dirotasi (0,90 0 ) menjadi P '' (-y, -x) didapat dari rumus rotasi (0,90 0 ) P(x,y) → P ' (-y, x) P(x,y) → P '' (-y, -x) A(2,1) → A " (-1,-2) B(6,1) → B " (-1,-6) C(5,3) → C " (-3,-5) Jawabannya adalah D UAN2003 10. Persamaan peta kurva y = x 2 - 3x + 2 karena pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan dilatasai dengan pusat O dan factor skala 3 adalah… A. 3y + x 2 - 9x + 18 = 0 B. 3y - x 2 + 9x - 18 = 0 C. 3y - x 2 + 9x + 18 = 0 D. 3y + x 2 + 9x + 18 = 0 E. y + x 2 + 9x - 18 = 0
Rumus langsung: P(x,y) → P ' (-y, x) www.matematika-sma.com - 4
Jawab: pencerminan terhadap sumbu x: P(x,y) → P ' (x, -y)
Sehingga :
Dilatasi terhadap titik pusat O(0,0) dengan factor skala 3 : [O, k] : P(x,y) → P ' (kx, ky)
P(-1,2), Q(3,2), R (3,-1), S(-1,-1)
P(x,y) → P " (-3y, 3x)
pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan dilatasai dengan pusat O dan factor skala 3 :
P(-1,2) → P " (-6,-3) Q(3,2) → Q " (-6,9) R (3,-1) → R " (3,9) S(-1,-1) → S " (3,-3)
P(x,y) → P ' (x, -y) → P '' (3x, -3y)
Buat sketsa gambarnya:
[O,3k] : P(x,y) → P ' (3x, 3y)
1 " x 3 1 y " = - 3y ⇒ y = - y " 3
y
x " = 3x ⇒ x =
"
Q " (-6,9)
Q (-6,9) 9
(9+3) satuan luas
Substitusi pada persamaan y = x 2 - 3x + 2 menjadi: 1 " 1 1 y = ( x " ) 2 - 3. x " + 2 3 3 3 1 1 ⇔ - y" = x" 2 - x" + 2 | x 9 | 3 9 " ⇔ - 3 y = x " 2 - 9 x " + 18 ⇔ 3 y " + x " 2 - 9 x " + 18 = 0 ⇒ 3 y + x 2 - 9x + 18 = 0
-
-6
0
P " (-6,-3)
3 -3
x S " (3,-3)
(6+3) satuan jawabannya adalah A Sehingga luas transformasinya adalah : EBTANAS2001 11. Luas bayangan persegipanjang PQRS dengan P(-1,2), Q(3,2), R (3,-1), S(-1,-1) karena dilatasi [0,3] dilanjutkan rotasi pusat O bersudut A. 36
B. 48
C.72
D. 96
π
2
adalah…
E. 108
jawab: dilatasi [0,3] : [O,3k] : P(x,y) → P ' (3x, 3y) Rotasi pusat O bersudut
π 2
{ R [0,
π 2
P(x,y) → P (-y, x)
Panjang (p) x lebar (l) = 12 x 9 = 108 satuan luas jawabannya adalah E EBTANAS2001 12. Segitiga ABC dengan A(2,1), B(6,1), C(6,4) ⎛ 3 1⎞ ⎟⎟ . ditransformasikan dengan matriks transformasi ⎜⎜ ⎝ 0 1⎠ Luas bangun hasil transformasi segitiga ABC adalah…. A. 56 satuan luas C. 28 satuan luas E. 18 satuan luas B. 36 satuan luas D. 24 satuan luas
] }:
Jawab:
'
[0,3] (-y, x) ' P(x,y) → P (3x, 3y) → P " (-3y, 3x)
⎛ 3 1⎞ ⎟⎟ maka misalkan T = ⎜⎜ ⎝ 0 1⎠ Luas bayangan/transformasi ∆ ABC =|det T| x luas ∆ ABC |det T| = |ad –bc| = |3-0| = 3 luas ∆ ABC : www.matematika-sma.com - 5
buat sketsa gambar:
4
C(6,4)
1 A(2,1) 2
B(6,1) 6 7
1 alas x tinggi ; 2 1 = x AB x BC 2 1 = .x 4 x 3 = 6 2
Luas ∆ ABC =
Luas bayangan/transformasi ∆ ABC =|det T| x luas ∆ ABC = 3 x 6 = 18 satuan luas Jawabannya adalah E
www.matematika-sma.com - 6
