si
AS
U R IK U LU M
Se
PROGRAM LINEAR A.
BENTUK UMUM PERTIDAKSAMAAN LINEAR ax + by ≤ c
CONTOH SOAL 1.
Ubahlah 4x ≤ y - 4 kedalam bentuk umumnya Pembahasan: 4x - y ≤ -4
B.
MENGGAMBAR DAERAH PERTIDAKSAMAAN Pertidaksamaan linear bila digambar maka membentuk daerah di sebelah kanan garis atau kiri garis. Langkah untuk menggambar daerah pertidaksamaan garis adalah sebagai berikut: a.
Menentukan 2 titik potong yang akan dilewati persamaan garis ax + by = c, biasanya digunakan titik potong sumbu x dan sumbu y.
b.
Menentukan daerah penyelesaian atau himpunan penyelesaian. Bisa menggunakan 2 metode, metode pertama menggunakan titik uji, sedangkan metode kedua menggunakan cara berikut:
1
AN
07
GA NG
KEL
I-K
BU
MATEMATIKA
XI
Untuk a > 0 akan berlaku: ax + by ≥ c atau ax + by > c adalah daerah sebelah kanan garis ax + by ≤ c atau ax + by < c adalah daerah sebelah kiri garis
CONTOH SOAL 1.
Gambarlah daerah pertidaksamaan 2x + 3y ≤ 6! Pembahasan: Cari titik potong sumbu x
y
(x, y)
0
2
(0, 2)
3
0
(3, 0)
Kita gunakan titik (0, 0) sebagai titik uji. 2x + 3y = 2.0 + 3.0 = 0 ≤ 6 y
2 Hp x
3 Titik Uji
2.
Gambarlah daerah pertidaksamaan 3x − 4y ≥ 12 ! Pembahasan: Cari titik potong sumbu x 0 4
y -3 0
(x, y) (0, -3) (4, 0)
Kita gunakan metode yang kedua. Karena 3 > 0 dan tanda pertidaksamaannya ≥ 12 artinya daerah yang diarsir adalah daerah kanan garis.
2
y 3x - 4y ≥ 1c 2 4
x
Hp -3
3.
Gambarlah daerah pertidaksamaan 2x ≤ y! Pembahasan: Cari 2 titik potong garis 2x = y x
y
(x, y)
0 1
0 2
(0, 0) (1, 2)
Karena pertidaksamaan 2x ≤ y bisa diubah menjadi 2x - y ≤ 0, maka daerah yang diambil adalah daerah kiri. y
Hp 2 x
1
4.
Gambar pertidaksamaan x ≥ 5 Pembahasan: Untuk menggambar garis x = 5, tidak terlalu sulit. Semua titik pada garis x = 5 memiliki absis 5 dengan nilai y bisa berapa saja. Misal kita ambil (5, 0) dan (5, 4) Karena pertidaksamaannya adalah x ≥ 5 maka daerah yang diarsir adalah daerah kanan. y x ≥ c5 Hp
4
5
x
3
5.
Gambarlah pertidaksamaan y ≤ 4 Pembahasan: Dengan cara yang sama, garis y = 4 dapat diartikan kumpulan titik dengan ordinat 4 dengan x sembarang. Misalkan kita ambil (0, 4) dan (2, 4) Untuk y ≤ 4 kita tidak bisa menggunakan konsep kanan atau kiri garis, akan tetapi dengan sangat mudah dilihat bahwa makin ke atas nilai y makin besar, sedangkan makin ke bawah nilai y makin kecil. Maka daerah untuk y ≤ 4 bisa dinyatakan y
4 Hp x
2
C.
MENENTUKAN PERTIDAKSAMAAN DARI DAERAH YANG DIKETAHUI Untuk menentukan pertidaksamaan yang bersesuaian dengan suatu daerah yang diketahui, langkah-langkahnya sebagai berikut: a.
Tentukan persamaan garisnya.
b.
Penentuan persamaan garis pada koordinat kartesius membutuhkan minimal 2 titik yang diketahui. Kemudian 2 titik tersebut, misalkan (x1, y1) dan (x2, y2) disubtitusi ke y − y1 x − x1 = y 2 − y 1 x 2 − x1 Atau langsung menggunakan cara mudah berikut. y
( 0,0 )
y a
ax + by = ab
(b,a) ax - by = 0
( b ,0 )
x
b
4
x
y
y
a
by x1 , y1 x2 , y2 ax
y1 y1
x=b
y=a
b
x1
x
x1
x
ax + by = ax1 + by1
Penentuan tanda pertidaksamaan, baik menggunakan titik uji ataupun dengan menggunakan metode kedua, yaitu untuk a > 0, maka berlaku kanan daerah besar dan kiri daerah kecil.
CONTOH SOAL 1.
Tentukan pertidaksamaan yang bersesuaian dengan gambar berikut! y
4
x
3
Pembahasan: Persamaannya adalah 4x + 3y = 12 Maka pertidaksamaannya 4x + 3y ≥ 12.
2.
Tentukan pertidaksamaan untuk daerah berikut! y
2 7
x
5
Pembahasan: Persamaan garisnya adalah 2x - 7y = 0 Pertidaksamaannya 2x - 7y ≤ 0
D.
SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR Sistem pertidaksamaan linear adalah gabungan dari dua atau lebih dari pertidaksamaan. Daerah yang dipilih adalah daerah yang terarsir oleh setiap pertidaksamaan.
CONTOH SOAL 1.
Tentukanlah pertidaksamaan untuk daerah berikut! y
6
(1,6)
6
x
Pembahasan: Garis pada soal melewati 2 titik, salah satunya bukan titik potong sumbu, yaitu (1, 6) misal (x1, y1) = (1, 6) dan (x2, y2) = (6, 0), maka persamaannya menggunakan rumus: y − y1 x − x1 = y 2 − y 1 x 2 − x1 y − 6 x −1 = 0 − 6 6 −1 y − 6 x −1 = 5 −6 5y − 30 = −6x + 6 6x + 5y = 36 Maka pertidaksamaan garisnya adalah 6x + 5y ≤ 36.
6
2.
Gambarlah daerah pertidaksamaan dari sistem pertidaksamaan berikut! 2x + 3y ≥ 6; x ≥ 3; y ≤ 5; x+y≤8 Pembahasan: Tentukan titik potong untuk masing-masing pertidaksamaan. Untuk 2x + 3y ≥ 6 x 0 3
y 2 0
(x, y) (0, 2) (3, 0)
Untuk x ≥ 3 (3, 0) (3, 1) Untuk y ≤ 5 (0, 5) (1, 5) Untuk x + y ≤ 8 x
y
(x, y)
0
8
(0, 8)
8
0
(8, 0)
Gambarnya akan menjadi: y 8 (x ≥ 3) (x ≤ 5)
5 2 1
Hp 3
x 8 x+y≤8 2x+3y≥ 6
7
3.
Tentukan batas pertidaksamaan dari daerah berikut! y
6
2 -4
x
6
Pembahasan: Supaya lebih mudah, setiap batas daerah kita berikan nomor, seperti berikut. y 2 6 3
1
2
-4
6
x
4
Garis 1 melewati 2 titik, yaitu (0, 2) dan (-4, 0) daerah arsiran sebelah kanan ( ≥ ), maka pertidaksamaannya 2x - 4y ≥ -8 atau x - 2y ≥ -4 Garis 2 melewati 2 titik, yaitu (0, 6) dan (6, 0) daerah arsiran sebelah kiri ( ≤ ), maka pertidaksamaannya 6x + 6y ≤ 36 atau x + y ≤ 6 Garis 3 adalah sumbu y. Sumbu y dapat dikatakan sebagai garis x = 0 karena setiap titik pada sumbu y pasti absisnya 0. Arsirannya ke sebelah kanan maka pertidaksamaannya x ≥ 0. Garis 4 adalah sumbu x. Sumbu x dapat dinyatakan sebagai garis y = 0 karena setiap titik pada sumbu x memiliki ordinat 0. Arsirannya ke atas maka pertidaksamaannya y ≥ 0 Sehingga sistem pertidaksamaan yang membangun daerah tersebut adalah: x - 2y ≥ -4; x + y ≤ 6; x ≥ 0; y ≥ 0
8
E.
MEMBUAT MODEL PERTIDAKSAMAAN DARI SOAL CERITA Masalah-masalah dihadapan kita banyak yang melibatkan 2 jenis benda yang dapat diselesaikan dengan konsep pertidaksamaan linear, seperti mencari keuntungan maksimum bisnis yang dijalankan, mencari biaya minimum dari produksi, mencari omset tertinggi penjualan, dan lain-lain. Hanya saja bila masalah tersebut tidak dinyatakan dalam bahasa matematika, akan sulit untuk menyelesaikannya. Oleh karena itu, yang perlu kita pelajari terlebih dahulu adalah mengubah soal cerita dalam bahasa matematika. Masalah pertidaksamaan dalam kehidupan sering kali kita temui, misalnya banyaknya sepatu yang dibeli tidak boleh kurang dari 20 pasang, banyaknya buah-buahan yang muat ke dalam gerobak tidak boleh melebihi 100 kg, atau kapasitas gudang maksimum menampung 40 dus lemari es, dan lain-lain. Langkah awal adalah memahami padanan kata-kata yang menunjukkan pertidaksamaan dengan simbol matematikanya. Perhatikan tabel berikut ini: Simbol
Makna
≤a
Tidak lebih dari a, maksimum a
≥a
Tidak kurang dari a, minimum a
Kurang dari a
>a
Lebih dari a
Dalam permodelan linear, dua buah benda dalam soal banyaknya akan dinyatakan dengan x dan y. Banyak benda ini terkadang dalam bentuk satuan tertentu seperti kg, meter, dan lain-lain, atau tanpa satuan tertentu. Langkah-langkah untuk membuat model matematika dari permasalahan yang melibatkan dua perubah adalah sebagai berikut: 1.
Baca soal dengan baik-baik, kalimat demi kalimat. Tandai setiap angka yang muncul dalam soal. Temukan dua macam benda yang diceritakan oleh soal tersebut. Dua macam benda tersebut biasanya adalah benda-benda yang merupakan gabungan dari unsur-unsur yang lain.
2.
Misalkan 2 macam benda tersebut dinyatakan dengan x dan y, dimana: x = banyak satuan benda jenis 1 y = banyak satuan benda jenis 2
3.
Temukan hubungan unsur-unsur lain yang terkait dengan kedua jenis benda tersebut. Misalnya: harga beli pasti terkait dengan modal, banyak unsur yang diperlukan terkait dengan kapasitas unsur yang tersedia, dan lain-lain
4.
Tempatkan setiap unsur yang telah didapatkan keterkaitannya ke dalam tabel agar lebih mudah menyusun modelnya, sebagai contoh:
9
Benda
Banyaknya
Unsur-unsur Lain
Benda A
x
…
Benda B
y
….
Kapasitas tempat
Kapasitas unsur
Alur pembuatan model matematika 5.
Buat model dengan melihat tabel tersebut secara vertikal.
6.
Tentukan dengan hati-hati tanda pertidaksamaan yang bersesuaian.
CONTOH SOAL 1.
Harga per bungkus lilin A Rp2.000,00 dan lilin B Rp1.000,00. Jika pedagang hanya mempunyai modal Rp800.000,00 dan kiosnya hanya mampu menampung 500 bungkus lilin, maka model matematika dari permasalahan di atas adalah .... A. x + y > 500;2x + y > 800;x > 0;y > 0 B. x + y < 500;2x + y < 800;x > 0;y > 0 C. x + y < 500;2x + y < 800;x < 0;y > 0 D. x + y > 500;2x + y > 800;x < 0;y > 0 E. x + y < 500;2x + y > 800;x > 0;y > 0 Pembahasan Setelah membaca soal diatas dengan baik-baik, kita mendapatkan dua jenis benda yang dibicarakan oleh soal, yaitu lilin jenis A dan lilin jenis B, sehingga x mewakili banyak lilin A dan y mewakili banyak lilin B. Harga beli lilin terkait dengan modal karena kapasitas pembelian sangat tergantung pada modal yang dimiliki. Daya tampung kios terkait dengan jumlah lilin yang dibeli. Bila dinyatakan dalam tabel, kita akan mendapatkan bentuk sebagai berikut: Benda
Banyaknya
Harga Beli
Lilin A
x
2.000x
Lilin B
y
1.000y
≤500
≤800.000
10
+
Maka model yang bersesuaian adalah x + y < 500 dan (jumlah sepatu tidak boleh lebih dari 500) 2.000x + 1.000y < 800.00 atau 2x + y < 800 (jumlah pembelian tidak boleh melebihi Rp800.000) Karena x dan y mewakili banyak benda maka x,y > 0 Jawaban: B 2.
Seorang pengusaha mebel akan memproduksi meja dan kursi yang menggunakan bahan dari papan-papan kayu dengan ukuran tertentu. Satu meja memerlukan 10 potong dan satu kursi memerlukan 5 potong papan. Papan yang tersedia ada 500 potong. Biaya pembuatan satu meja Rp100.000,00 dan biaya pembuatan satu kursi Rp40.000,00. Anggaran yang tersedia Rp1.000.000,00. Model matematika dari persoalan tersebut adalah .... A. x + 2y < 100;5x + 2y < 50;x > 0;y > 0 B. x + 2y < 100;2x + 5y < 50;x > 0;y > 0 C. 2x + y < 100;2x + 5y < 50;x > 0;y > 0 D. 2x + y < 100;5x + 2y < 50;x > 0;y > 0 E. 2x + y > 100;5x + 2y > 50;x > 0;y > 0 Pembahasan Setelah membaca soal diatas dengan baik-baik, kita mendapatkan dua jenis benda yang dibicarakan oleh soal, yaitu meja dan kursi, sehingga x mewakili banyak meja dan y mewakili banyak kursi. Meja dan kayu terkait dengan bahan pembentuknya yaitu papan. Biaya pembuatan meja dan kursi terkait dengan modal karena kapasitas meja dan kursi yang mampu dibuat sangat tergantung pada modal yang dimiliki. Bila dinyatakan dalam tabel, kita akan mendapatkan bentuk sebagai berikut: Benda
Banyaknya
Harga Beli
Biaya
Meja
x
10x
100.000x
Kursi
y
5y
40.000y
≤500
≤1000.000
+
Maka model yang bersesuaian adalah 10x + 5y < 500 atau 2x + y < 100 (papan yang tersedia tidak lebih dari 500 potong) 100.000x + 400.000y < 1.000.000 atau 5x + 2y < 50 (anggaran yang tersedia tidak lebih dari Rp1.000.000) Karena x dan y mewakili banyak benda maka x,y > 0 Jawaban: D
11
3.
Sebuah angkutan umum paling banyak dapat memuat 50 penumpang. Tarif untuk seorang pelajar dan mahasiswa berturut-turut adalah Rp1.500,00 dan Rp2.500,00. Penghasilan yang diperoleh tidak kurang dari Rp75.000,00. Misal banyak penumpang pelajar dan mahasiswa masing-masing x dan y. Model matematika yang sesuai untuk permasalahan tersebut adalah .... (SOAL UN SMA IPS) A. x + y < 50;3x + 5y > 150;x > 0;y > 0 B. x + y < 50;3x + 5y < 150;x > 0;y > 0 C. x + y < 50;5x + 3y > 150;x > 0;y > 0 D. x + y > 50;5x + 3y < 150;x > 0;y > 0 E. x + y > 50;3x + 5y < 150;x > 0;y > 0 Pembahasan Setelah membaca soal diatas dengan baik-baik, sangat jelas dua jenis benda yang dibicarakan oleh soal, yaitu penumpang pelajar dan mahasiswa, sehingga x mewakili banyak pelajar dan y mewakili banyak mahasiswa. Tarif Pelajar dan mahasiswa terkait dengan penghasilan angkutan umum. Daya tampung angkutan umum terkait dengan jumlah pelajar dan mahasiswa yang diangkut. Bila dinyatakan dalam tabel, kita akan mendapatkan bentuk sebagai berikut: Benda
Banyaknya
Tarif
Pelajar
x
1.500x
Mahasiswa
y
2.500y
≤50
≥75.000
+
Maka model yang bersesuaian adalah x + y < 50 (jumlah penumpang tidak boleh lebih dari 50) 1.500x + 2.500y > 75.000 atau 3x + 5y > 150 (penghasilan tidak lebih dari Rp75.000) Karena x dan y mewakili banyak benda maka x,y > 0 Jawaban: A
12
