RANGKUMAN MATEMATIKA I. A.
OPERASI BILANGAN REAL Pangkat (Eksponen) 1. a m .a n = a m +n 2.
m n
a n .b n = ( ab )
4.
am = a m −n n a
6. 7. 8.
7.
an a = bn b
n
2.
n
3.
a° = 1
a n
−m
B.
1 = m a
am = a
C.
m n
(
a = b
4. 5.
c± d
)
a b
2
1.
= ( c + d ) ± 2 cd
,b ≠ 0
( )
a
1. 2. C.
b
=
a
2.
n
b
×
b b
=
a b b
a− b
c
Logaritma 1. a log b = c ⇔ b = a c 2. 3.
3. 4.
(
ca− b = × = a2 − b a+ b a+ b a− b c
log b. log c = log c log b a log b = = ...(1) log a a
b
a
) 5.
k
= log b ......( 4 ) log b.c =a log b +a log c a log b n = n.a log b am
4. 5.
a
m
ax 2 + bx + c = 0, ( x − x1 )( x − x2 ) = 0
Menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat (ditentukan oleh nilai deskriminan D = b 2 − 4ac ) − − −
D > 0, mempunyai dua akar berlainan D = 0, mempunyai dua akar sama D < 0, mempunyai dua akar imaginer/tidak nyata
a.
x1 + x 2 =
−b a c x1 .x 2 = a
C.
( f g )( x ) = f ( g ( x ) ) ( g f )( x ) = g ( f ( x ) )
D.
Fungsi Invers
f ( x ) = ax + b → f
D a
d.
x1 + x 2 = ( x1 + x 2 ) − 2 x1 x 2 2
2
f ( x ) = ax + b ⇔ f
b.
f ( x ) = n ax + b ⇔ f Contoh:
c.
d.
n ( x ) = x − b a
−1
−1
3 ( x ) = x + 5 2
( x) = x
f ( x ) = 3 3x − 1 → f
n
−1
−b a
( x) = x
+1 3
ax + b d − dx + b −1 dengan x ≠ − ⇔ f ( x ) = cx + d c cx − a 3x + 2 7 x + 2 Contoh: f ( x ) = ⇔ f −1 ( x ) = x−7 x −3 p log x − b f ( x ) = p ax +b = a
f ( x) = p
ax +b cx + d
=
− d p log x + b cx − a
Persamaan garis dengan gradien m dan melalui
2.
Persamaan garis melalui dua titik
⇒ y − y1 = m( x − x1 ) B( x 2 , y 2 ) ⇒ 3.
3
f ( x) =
1.
2
x 2 − ( x1 + x2 ) x + x1 .x 2 = 0
−1
1
Menyusun persamaan kuadrat •
a
Contoh: f ( x ) = 2 x 3 − 5 → f
x1 − x2 = ( x1 + x2 )( x1 − x 2 ) 2
( x) = x − b
n
IV. PROGRAM LINEAR A. Persamaan Linear
x1 − x 2 =
−1
1
a.
e.
c.
2
x=
a > 0 grafik terbuka ke atas b < 0 grafik terbuka ke bawah Fungsi Komposisi Jika diketahui fungsi f(x) dan g(x) maka
diuraikan menjadi
− b ± b 2 − 4ac 2a 2 Melengkapi Kuadrat Sempurna ( x + p ) = q, q > 0
−b 2a −b D , Puncak 2a − 4a Sumbu simetri
3.
Rumus ABC: x1, 2 =
e. 6.
2.
)
Memfaktorkan
( x − x1 )( x − x2 ) = 0
Fungsi Kuadrat 1.
Persamaan Linear Tiga Variabel ( ax + by + cz = d ) Pertidaksamaan Linier Pindahkan semua yang mengandung variabel ke ruas kiri, sedangkan yang tidak mengandung variabel ke ruas kanan kemudian sederhanakan. Fungsi Linier
b.
log b , k ≠ 1....( 2 ) k log a 1 =b ......( 3) log a
=
B.
Persamaan Linear Dua Variabel ( ax + by = c ) , a, b ≠ 0 Dengan metode grafik, eliminasi, subtitusi, eliminasi-subtitusi,
(
a = a Merasionalkan Penyebut Bentuk Pecahan n
•
III. PERSAMAAN KUADRAT, PERTIDAKSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT A. Persamaan Kuadrat ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0; a, b, c ∈ R
Bentuk Akar 1. a × a =a 2. a c ×b d = ab cd 3.
b log =a log b −a log c c n am log b n = .a log b m ( a ) a log b = b a
8. II. PERSAMAAN LINEAR , PERTIDAKSAMAAN LINIER, FUNGSI LINIER A. Persamaan Linier 1. Persamaan Linear Satu Variabel ( ax + b = c ) , a ≠ 0
= a mn
3.
5.
B.
(a )
6.
A( x1 , y1 )
y − y1 x − x1 = y 2 − y1 x 2 − x1
Garis membagi bidang menjadi 2 bagian
P( x1 , y1 ) dan
Y Y
b>0
ax + by ≥ c
ax + by ≥ c
ax + by ≤ c
x
e. f.
x r ⇒ sec α = r x
r=
y x c. tg α = ⇒ cot g α = x y d. e.
1 + cot g 2α = cos ecα
x +y 2
tgθ =
sin 2 α + cos 2 α = 1
Aturan Trigonometri Aturan Sinus :
III tg
IV cos
8
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc. cos A
C.
2
Sin (180 - α) = sin α Cos (180 - α) = - cos α Tg (180 - α) = - tg α
Sin (90 - α) = cos α Cos (90 - α) = sin α Tg (90 - α) = cotg α
Sin (270 - α) = - cos α Cos (270 - α) = - sin α Tg (270 - α) = cotg α
Sin (360 - α) = - sin α Cos (360 - α) = cos α Tg (360 - α) = - tg α
α
β
L=
C
a
b
c
A
Rumus Penjumlahan dan Pengurangan (Sudut rangkap) a. sin ( a ± b ) = sin a cos b ± cos a sin b
cos( a ± b ) = cos a cos b ± sin a sin b
A.
L=
a
c
A
Permutasi
n
Pr =
Cr =
n! r!( n − r )!
B
s( s − a )( s − b )( s − c )
s=
1 ( a + b + c) 2 B
VII.
Peluang Suatu Kejadian
P ( A) =
n( A ) k atau P ( A) = n( S ) n
banyaknya hasil yang diharapkan ( kejadian A) banyaknya hasil yang mungkin terjadi ( ruang sampel )
• Peluang kejadian yang saling berkomplemen P( A') =1 − P ( A)
Contoh: Peluang Andi masuk di PTN adalah 0,3. Berapa peluang Andi gagal masuk PTN. Jawab: A= kejadian Andi masuk di PTN = P(A)=0,3 A’= kejadian Andi gagal masuk PTN = P(B) Jadi P(A) = 1-P(A) = 1-0,3=0,7 • Peluang Dua Kejadian yang saling Lepas (Saling Asing) Secara Umum Untuk Setiap Kejadian A dan B
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B )
Untuk kejadian A dan B yang saling lepas maka
A ∩ B = φ sehingga P ( A ∩ B ) = 0 Jadi jika A dan B saling lepas maka P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) PELUANG
n!
( n − r )!
Permutasi dengan beberapa unsur yang sama
8! 8! 8 ×7 ×6 = = = 56 5!( 8 − 5)! 5!3! 3 × 2 ×1
P ( A) =
1 ab. sin α 2 1 L = ac. sin β 2 1 L = bc. sin γ 2
C
Hubungan Fungsi Trigonometri dan Sudut
b.
2
Segitiga Sembarang
γ
n
Peluang A =
c = a + b − 2ac cos C
b
C5 =
a b c = = sin A sin B sin C
2
Luas
Kombinasi
Contoh: Dari 8 pelajar akan dipilih 5 pelajar untuk mengikuti pelajar teladan. Berapa banyak cara memilih pelajar tersebut? Jawab: banyaknya kombinasi 5 dari 8 siswa =
y ⇒ θ = ...° x
Aturan Cosinus : b 2 = a 2 + c 2 − 2ac. cos B I all
= 5 × 4 × 3 × 2 ×1 = 120
B.
2
Tanda Sinus, Cosinus dan Tangen Sudut di berbagai kuadran
II sin
Permutasi Siklis P = ( n −1)! n = banyaknya unsur Contoh: Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda? Jawab: ( 6 −1)! = 5!
tg 2a =
Koordinat cartesius menjadi koordinat kutub
8! 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 ×1 = = 5040 2!2!2! 2 ×2 ×2
2tga 1 − tg 2 a Koordinat kutub ( r , α) menjadi koordinat cartesius ( x, y ) x = r cos α y = r sin α
a.
cos α =
P=
sin 2a = 2 sin a. cos a cos 2a = cos 2 a − sin 2 a = 2 cos 2 a − 1 = 1 − 2 sin 2 a
i.
y r sin α = ⇒ cos ec α = r y b.
n = banyak unsur a dan b = banyaknya unsur-unsur yang sama. Contoh: Berapa banyak susunan huruf yang berbeda pada satu baris yang dibentuk dari huruf-huruf pada kata “KALKULUS” Jawab: Terdiri atas 8 huruf,maka n = 8. Huruf yang sama yaitu: K = 2, L = 2, dan U = 2 Maka banyaknya permutasi=
h.
ax + by = c
j.
α
cos 2a − cos 2b = −2 sin ( a + b ) sin ( a − b )
g.
X
ax + by = c
r y
d.
b<0
X
VI. TRIGONOMETRI
tga + tgb tga − tgb , tg ( a − b ) = 1 − tgatgb 1 + tgatgb sin 2a + sin 2b = 2 sin ( a + b ) cos( a − b ) sin 2a − sin 2b = 2 cos( a + b ) sin ( a − b ) cos 2a + cos 2b = 2 cos( a + b ) cos( a − b ) tg ( a + b ) =
c.
P=
n! a!b!
• Peluang Dua Kejadian yang Saling Bebas (jika kejadian A dan B tuidak saling mempengaruhi)
P ( A ∩ B ) = P ( A).P ( B )
VIII. STATISTIKA A. Ukuran Pemusatan Data 1. Rata-Rata (Mean)
x=
x1 + x2 + x3 + ... + xn 1 n atau x = ∑ x1 n n i =1
x = n = x1 =
2.
4.
1 n SR = ∑ f i xi x n i −1 x i = datum ke-I; x
rata-rata, dibaca “x bar” banyaknya data nilai data ke-I (I = 1,2,3,…,n)
n x + n 2 x 2 + ... + n n x n Rata-Rata Gabungan = x 1 1 n1 + n 2 + ... + n n
kelas ke-i
Median (Me) = nilai tengah
5.
• Median
x +1 ( n + 1) = n adalah datum uru tan nomor 2 2
1 • Median = x n + x n +1 untuk n genap 2 2 2 1 n − fk 2 p • Median L + 2 f 2 3.
Modus (Mo) = datum yang sering muncul L
=
d1 d2
4.
d1 p = L + d1 + d 2
1.
(
n
(
1 ∑ xi − x n i =1
1 ∑ f i xi − x n i =1
)
(
1 n ∑ f i xi − x n i =1
)
3.
f i = frekuensi
= rata-rata; n = banyak datum;
2.
Jangkauan Antar Kuartil = H = Q3 − Q1
J = x maks − x min
1 2
( Q3 − Q1 )
lim ({Pembilang, Penyebut x →∞
ax m + bx + c = L, m dan n merupakan pangkat tertinggi dari x →∞ px n + qx + r
atau
pembilang dan penyebut. Kemungkinan:
(
1 n ∑ xi − x n i =1
S = S2 =
)
2
1. m < n, maka L = 0 a 2. m = n, maka L = p 3. m > n, maka L = ∞ untuk a > 0 atau − ∞ untuk a < 0
atau
B.
2
Limit Fungsi f ( x ) untuk x → a, a ≠ 0 ditulis
sin x x = lim =1 x →0 x →0 sin x x
1.
lim
2.
lim x →0
tg x x = lim =1 x → 0 x tg x
Dari rumus-rumus di atas diperoleh rumus lain, yaitu:
lim x→a
=
Limit Fungsi Trigonometri Rumus-Rumus Limit Fungsi Trigonometri:
sin ax ax sin ax a = lim = lim = x →0 x →0 sin bx x →0 sin bx bx b
lim
1.
0 ), pemfaktoran 0
tg ax tg ax ax a = lim = lim = x →0 tg bx x →0 tg bx bx b tg ax sin ax a lim = lim = x →0 tg bx x →0 sin bx b lim
2.
x →0
( 4) + 2( 4) − 8 = 0 ( bentuk tak tentu ) x 2 + 2x − 8 = lim 3. x →4 x →4 ( 4) − 4 x −4 0 yang sering digunakan untuk merubah fungsi pada limit x 2 + 2x − 8 ( x + 2)( x − 4) = lim( x + 2) = 4 + 2 = 6 ( pemfaktoranRumus-rumus fungsi trigonometri adalah: ) lim = lim x →4 x →4 x →4 x−4 ( x − 4) 1 1 ( 3) 2 − 9 = 0 ( bentuk tak tentu ) x2 −9 cos x = sin ( 90° − x ) , sin ax = 2 sin ax cos ax lim = 2 2 x →3 2 2 x + 16 − 5 ( 3) + 16 − 5 0 1 1 2 2 2 cos ax = 2 cos 2 ax − 1 ( x2 −9 x2 −9 x 2 + 16 + 5 x 2 − 9 ) x 2 + 16 + 5ax + sin ax = 1, cos ax = 1 − 2 sin ( merasionalkan bentuk akar ) lim = . = lim 2 2 x →3 x 2 + 16 − 5 x 2 + 16 − 5 x 2 + 16 + 5 x ←3 ( x 2 + 16) 2 − ( 5) 2 1 1 = cos 2 ax − sin 2 ax 2 2 dy x 2 − 9 x 2 + 16 + 5 x 2 − 9 x 2 + 16 + 5 X. TURUNAN FUNGSI f ( x ) → f ' ( x ) = = lim = lim dx 2 2 x →3 x →3 2
B. 1.
6x − 4x x( 6 x − 4) −4 = lim = lim = −4 2 x → 4 x → 0 x( 2 x + 1) 1 2x + x
Limit Fungsi f ( x ) untuk x → ∞ ditulis
lim
L = tepi bawah kelas fk = frekuensi kumulatif sebelum kuartil ke-i f = frekuensi kelas kuartil ke-i p = interval (lebar/panjang kelas) Ukuran Penyebaran Data Jangkauan (range) = selisih antara datum terbesar dengan datum terkecil
x →0
x →0
4
lim
2
2
)
lim
lim
dibagi Pangkat Tertinggi)
, dan rasionalisasi bentuk akar Contoh:
3 n − fk 3 4 p , Q3 = L + p f3
= Qd =
Limit Fungsi f ( x ) untuk x → 0 ditulis 2
Cara: Subtitusi langsung (dihasilkan bentuk tak tentu
= kuartil ke-i; n = banyaknya data; i = 1,2,3
Jangkauan Semi Kuartil (Simpangan Kuartil)
2.
atau
Contoh:
= S2 = n
1 n ∑ xi − x n i =1
IX. LIMIT FUNGSI A. Limit Fungsi Aljabar
i ( n + 1) 4 Qi = data ke 4
1 1 n − fk1 n − fk 2 4 p , Q2 = L + 2 Q1 = L + f1 f2
SR =
Simpangan Baku (Standar Deviasi)
S=
= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya p = interval (lebar/panjang kelas) Kuartil (Q)
Qi
Ragam (Variasi)
S2 = 6.
tepi bawah kelas = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
• Data Tunggal letak
3.
Simpangan Rata-Rata
(
(
(
)(
x + 16 − 25
)
= lim x 2 + 16 + 5 = x →3
)
(
( 3) 2 + 16 + 5 = 10
)( (x
− 9)
)
)
A.Turunan Aljabar 1. y = x n → y ' = nx n −1 2.
y = ( f ( x ) ) → y ' = n( f ( x ) ) n
n −1
. f ' ( x)
3. 4. 5. 6.
y = a U , a = kons tan ta → a U . ln a . U ' y = eU → y ' = eU . U ' 1 y =a log U → y ' = U' U ln a
U y = ln U → y ' = U
y =U ±V → y ' =U ' ± V ' y =U . V →y ' =U ' . V +V ' . U
9.
y=
U U 'V − V 'U → y' = V V2
Contoh: Turunan pertama dari f ( x ) = 3 x − 5 x + 2 adalah 2
f ' ( x) = 6x −5
Turunan pertama dari y = (1 − x )
( 2 x + 3) adalah misal: u ( x ) = (1 − x ) maka u ' ( x ) = 2(1 − x ).( −1) = −2(1 − x ) v( x ) = ( 2 x + 3) maka v' ( x ) = 2 y = u ( x ).v ( x ) y ' = u ' ( x ).v( x ) + u ( x ).v ' ( x ) 2 = −2(1 − x )( 2 x + 3) + (1 − x ) .2 = −2(1 − x )[( 2 x + 3) − (1 − x )] = ( − 2 )( −1)( x −1)( 2 x + 3 −1 + x ) = 2( x −1)( 3 x + 2 ) 2
2
B. 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Turunan Fungsi Aljabar
A.
Integral tak Tentu
Dua Garis sejajar
∫ f ( x )dx = F ( x ) +c
) ( − 2 x ) sin ( 2 x
3
−x
Persamaan Garis Singgung Pada Kurva
2
)
)
1
11.
∫ tg ( ax + b ) . sec( ax + b ) dx = a sec( ax + b ) + c
12.
∫ cot g ( ax + b ) cos ec( ax + b ) dx = b
B.
∫ f ( x ) dx = [ F ( x ) ]
Integral Tertentu
−1 cos ec( ax + b ) + c a
= F ( b) − F ( a )
b a
a
C. 1.
Pengintegralan dengan Metode Subtitusi Integral Tak Tentu
∫ f ( g ( x ) ) g ' ( x )dx = ∫ f (u ) . du = F (u ) + c = F ( g ( x ) ) + c Contoh: ∫sin x . cos xdx =... 2
Jawab:
misal: u = sin x ⇔ du = cos x dx
Sifat-Sifat Integral Tak Tentu: 1. 2. 3.
∫k. f ( x )dx =k ∫ f ( x )dx ∫[ f ( x ) + g ( x )]dx = ∫ f ( x )dx + ∫ g ( x )dx ∫[ f ( x ) − g ( x )]dx = ∫ f ( x )dx −∫ g ( x )dx
Aturan Integral Tak Tentu dari Fungsi Aljabar 1. 2. 3. 4.
3. 4. 5.
7.
2
= − sin 2 x 3 − x 2 . 6 x 2 − 2 x
(
Fungsi Naik dan Fungsi Turun Suatu fungsi f(x) akan naik jika f(x) > 0 Suatu fungsi f(x) akan naik jika f(x) < 0 INTEGRAL
2
y ' = ( − sin u ( x ) ) . u ' ( x ) = − 6x
D. 1. 2. XI.
6.
y = cos u ( x )
C.
2.
y = cos( 2 x 3 − x 2 ) adalah
misal: u ( x ) = 2 x − x → u ' ( x ) = 6 x − 2 x
2
dy = y' = dx x =x1
( m1 = m2 ) Dua Garis Tegak Lurus ( m1 − m2 = −1)
2.
y = cot g U → y ' = −cos ec U . U ' y = sec U → y ' = sec U . tg U . U ' y = cos ec U → y ' = −cos ec U . ctg U . U '
(
m = f ' ( x1 )
Dengan gradien
1.
2
3
y − y1 = m( x − x1 )
terletak pada kurva y − f ( x )
∫ dx = x + c ∫ a dx = ax + c
∫ sin
x . cos xdx = ∫ u 2 du =
2
b
2.
Integral Tertentu
∫
1 1 1 .u 2 +1 + c = u 3 + c = sin 3 x + c 2 +1 3 3
f ( g ( x ) ) g ' ( x ) dx =
a
1 n n +1 ∫ x dx = n +1 x + c, n ≠ −1 a n n +1 ∫ ax dx = n +1 x + c, n ≠ 1
Aturan Integral tak Tentu dari Fungsi Trigonometri
y = sin U → y ' = cos U . U ' y = cos U → y ' = −sin U . U ' y = tg U → y ' = sec 2 U . U '
Contoh: Turunan pertama fungsi
adalah
1.
7. 8.
P( x1 , y1 )
Persamaan garis melalui titik
∫cos xdx = sin x + c ∫sin xdx = −cos x + c ∫sec xdx = tgx + c ∫cos ec xdx = −cot gx + c ∫tgx . sec xdx = sec x + c ∫cot gx . cos ecxdx = −cos ecx + c 1 ∫ cos( ax + b ) dx = sin( ax + b ) + c 2
2
a
1
8.
∫ sin ( ax + b ) dx = − a cos( ax + b ) + c
9.
1 ∫ sec ( ax + b ) dx = a tg ( ax + b ) + c
10.
2 ∫ cos ec ( ax + b ) dx =
2
−1 cot g ( ax + b ) + c a
D.
Pengintegralan dengan Metode Parsial
1.
Integral Tak Tentu
2.
Integral Tertentu
g(b)
∫ f ( u ) du
g(a)
∫u . dv =u . v −∫v . du
b
b
∫ u . dv = [uv ] a − ∫ v . du b
a
a
E.
Penggunaan Integral Tertentu untuk Menghitung Luas Daerah
1.
Luas daerah yang dibatasi Kurva dan Sumbu X Y
Y
0
x=b
x=a
A1 0
x=a
x=b (a)
X (b)
b
L( A1 ) = ∫ f ( x ) dx a
b
L( A2 ) = −∫ f ( x ) dx a
X
b
Luas Daerah yang dibatasi Dua Kurva =
L = ∫ ( f ( x ) ) − g ( x ) dx a
Volum Benda Putar dari Daerah yang Mengelilingi Sumbu X b
V = π ∫ y 2 dx
b
atau
a
V = π ∫ ( f ( x ) ) dx 2
a
Volum Benda Putar dari Daerah yang Mengelilingi Sumbu Y d
V = π ∫ x 2 dy c
d
atau
V = π ∫ ( g ( y ) ) dy c
2
