Kehidupan Nyata
Bisa Disajikan Bahasa Matematika
Diperlukan Alat Bantu Model Matematika
Menggunakan Persamaan atau pertidaksamaan Matematika
Tujuan
Penyelesaian masalah
Kemampuan yang akan dibahas Menentukan nilai optimum dari fungsi tujuan sebagai penyelesaian program linear
Program Linear adalah suatu metode untuk mencari nilai optimum suatu bentuk linear f(x,y) = ax + by pada daerah himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan
4
Nilai optimum dapat ditentukan dengan tahapan: 1. Menentukan model matematika 2. Menggambar daerah himpunan penye lesaian sistem pertidaksamaan linear 3. Menentukan koordinat titik sudut pada daerah tersebut 4. Menentukan nilai optimum bentuk linear pada titik-titik tersebut
5
Untuk menggambar daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan anda harus ingat hal-hal sbb:
6
1. Persamaan garis Y (0,b)
Persaaman garis nya: bx + ay = ab (a,0)
O 3
Persaaman garis nya: 3x + 2y = 6
2 O
X
X
7
2. Menentukan daerah pertidaksamaan Y y
ax + by c; a > 0 x X
ax + by c; a > 0
8
Contoh menentukan daerah pertidaksamaan Y
bx + ay ab
b a
X bx + ay ab
gbr garis: x + 3y = 6,
Titik uji (0,0)
Y
2
x + 3y 6, 0 + 0 6 ™ 6
X
x + 3y 6, 0 + 0 6 (m)
9
Contoh 1: Nilai maksimum fungsi sasaran Z= 6x + 8y dari sistem pertidaksamaan linear: 4 x 2 y 60 2 x 4 y 48 x 0, y 0
adalah…. 10
Pembahasan: Y
Titik-titik potong garis batas
30 12 O
(12,6) 15
24
4x + 2y = 60
x1
2x + 4y = 48
x2
X
11
4x + 2y = 60 4x + 8y = 96 -6y = -36 y=6 4x + 2y = 60 4x + 12 = 60 4x = 48 x = 12 Jadi titik potongnya (12,6) 12
Substitusi titik-titik sudut ke: Z = 6x + 8y (0,0)
Z = 6.0 + 8.0 = 0
(15,0)
Z = 6.15 + 8.0 = 90
(12,6)
Z = 6.12 + 8.6 = 72 + 48 = 120
(0,12)
Z = 6.0 + 8.12 = 96
Jadi, maksimum Z adalah 120 13
Contoh 2: Pesawat penumpang mempunyai tempat duduk 48 kursi. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi 60 kg sedang kelas ekonomi 20 kg.
14
Pesawat hanya dapat membawa bagasi 1440 kg. Harga tiket kelas utama Rp. 150.000,00 dan kelas ekonomi Rp 100.000, 00. Supaya pendapatan dari penjualan tiket pada saat penuh mencapai maksimum jumlah tempat duduk kelas utama haruslah…
15
Pembahasan: kelas kapasitas Tempat duduk bagasi Harga tiket
Kelas utama (x)
x 60 kg Rp150.000
Kelas Jumlah Ekonomi (y)
y 20 kg
48 1440 kg
Rp100.000
16
Syarat adalah Tempat duduk tidak boleh lebih dari 48 x + y 48 Bagasi tidak boleh lebih dari 1440 kg 60x + 20y 1440 atau 3x + y 72 Banyak penumpang kelas utama dan ekonomi harus 0, yaitu x 0 dan y 0
17
Jadi model matematisnya: x + y 48 3x + y 72 x0 y0 Himpunan penyelesaian dari syarat (model matematis) merupakan daerah yang diarsir pada gambar berikut: 18
Fungsi sasaran adalah memaksimumkan laba yaitu: f(x,y)= 150000x + 100000y
19
Y
garis: x + y = 48
72
(0,48)
0
(12, 36)
(24,0)
garis: 60x + 20y = 1440 3x + y = 72 X 48
20
Titik potong kedua garis: x + y = 48 3x + y = 72 -2x = -24 x = 12, y = 36 Jadi titik potongnya: (12, 36)
21
Substitusi titik-titik sudut (24,0), (12,36) dan titik (0,48) ke f(x,y) = (150x + 100y)1000 (24,0) f(x,y) = 150.24 + 100.0 = 3.600.000
22
(12,36)f(x,y)=150.12 +100.36 =1800 + 3600 = 5.400.000 (maks) (0,48)f(x,y)=150.0 + 100.48 = 4.800.000 Supaya laba maksimum, maka tempat duduk kelas utama, x = 12
23
Contoh 3: Dengan persediaan kain polos 20 m dan kain bergaris 10 m, seorang penjahit akan membuat model pakaian jadi.
24
Model I : memerlukan 1 m kain polos dan 1,5 m kain bergaris.
Model II: memerlukan 2 m kain polos dan 0,5 kain bergaris.
25
Bila pakaian tersebut dijual, setiap model I memperoleh untung Rp 15.000, 00 dan model II memperoleh untung Rp. 10.000. Laba maksimum yang diperoleh adalah…
26
Pembahasan: Model Model I (x)
Model II (y)
Tersedia
Kain Polos
1m
2m
20 m
bergaris
1,5 m
0,5 m
10 m
Laba
Rp15.000
Rp10.000
Laba max?
27
Fungsi sasaran adalah memaksimumkan laba yaitu: f(x,y)= 15000x + 10000y
28
Syarat adalah Kain polos tidak boleh lebih dari 20 m x + 2y 20 Kain bergaris tidak boleh lebih dari 10 m 1,5x + 0,5y 10 atau 3x + y 20 Banyak model I dan II harus 0 yaitu x 0 dan y 0
29
Jadi model matematisnya: x + 2y 20 3x + y 20 x0
y0 Himpunan penyelesaian dari syarat (model matematis) merupakan daerah
yang diarsir pada gambar berikut: 30
Y
garis: x + 2y = 20
20
garis: 3x + y = 20 (0,10)
0
(4, 8)
X (20/3,0)
20
31
Titik potong garis batas: x + 2y = 20 x1 3x + y = 20 x2 x + 2y = 20 6x + 2y = 40 -5x = -20 x = 4, y = 8
Titik potong(4, 8)
Jadi titik potongnya: (4, 8) 32
Substitusi titik-titik sudut (20/3,0), (4,8) dan titik (0,10) ke f(x,y) = (15x + 10y)1000 (20/3,0) f(x,y) = 15.20/3 + 100.0 = 100 (4,8)f(x,y)= 15.4 +10.8 = 60 + 80 = 140 (maks) (0,10)f(x,y)=15.0 + 10.10 = 100 Jadi laba maksimum Rp140.000,00 33
Contoh 4: Nilai maksimum fungsi f(x,y) =2x + 3y yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear: x + 2y 6, x – y -1, x – 4 0, adalah…. Pembahasan:
34
Y
grs: x + 2y = 6 grs: x - y = -1
3 1 -1
X x=4
6
35
Titik-titik potong garis batas
x=4
x + 2y = 6 4 + 2y = 6 2y = 2 y=1
x=4
x – y = -1 4 – y = -1 y=5
A(4,1)
B(4,5) 36
x + 2y = 6 x - y = -1
Y
3y = 7 y = 7/3
B(4,5) 3
1 -1
C
A(4,1) 6
x
x=4
37
y = 7/3
x - y = -1 x – 7/3 = -1 x = 4/3
Titik C(4/3,7/3)
38
Substitusi titik-titik sudut A(4,1), B(4,5) dan titik C(4/3,7/3) ke f(x,y) = 2x + 3y
39
A(4,1) f(x,y) = 2.4 + 3.1 = 11 B(4,5) f(x,y) = 2.4 + 3.5 = 23 (maks) C(4/3,7/3)f(x,y) =2.4/3 + 3.7/3 = (8 + 21)/3 = 29/3 Fungsi sasaran ber nilai maksimum, di titik (4,5). Jadi nilai maksimum 23
40
Nilai optimum dari fungsi tujuan f = ax + by dapat juga ditentukan dengan menggunakan
garis selidik ax + by = k yang melalui titik terjauh atau titik terdekat dari
titik pusat koordinat pada daerah himpunan penyelesaiannya
Langkah-langkah mencari nilai optimum dengan garis selidik : 1. Menentukan nilai k, misalnya sama dengan k1, sehingga ax + by = k1 mudah digambar 2. Menggambar garis-garis yang sejajar dengan garis ax + by = k1 : a. Jika garis ax + by = k2 merupakan garis yang paling kanan pada daerah penyelesaian, k2 merupakan nilai maksimum. b. Jika garis ax + by = k3 merupakan garis yang paling kiri, pada daerah penyelesaian, k3 merupakan nilai minimum.
Seorang penjahit profesional mempunyai bahan 30 meter wol dan 20 meter katun. Ia akan membuat stelan jas dan rok untuk dijual. Satu stel jas memerlukan 3 meter wol dan 1 meter katun, Sedangkan untuk satu stel rok memerlukan 1 meter Wol dan 2 meter katun. Berapa stel jas dan rok yang harus ia buat agar ia mendapatkan keuntungan Sebesar-besarnya, apabila harga satu stel jas Rp. 150.000,00 dan harga satu stel rok Rp. 75.000,00 ?
Perhatikan model matematika dan fungsi tujuannya :: Model Matematika : 3x + y ≤ 30 x + 2y ≤ 20 x0; y0
xєC;yєC
Fungsi tujuan : “ Memaksimumkan” f((x,y) = 150.000x + 75.000y
Kita akan selesaikan masalah ini dengan metode garis selidik
Fungsi tujuan : f = 150.000x + 75.000y Buatlah garis-garis yang memenuhi 150.000x + 75.000y = k
Melalui titik (0,0)
150.000x + 75.000y = 0 75.000y = -150.000x y = -2x
Buat garis – garis lain yang sejajar dengan garis y = -2x
Perhatikan Grafik berikut :
y
(0,30)
x+2y ≤ 20 (0,10)
(8,6)
(10,0) (0,0)
(20,0) x
y =-2x
3x+y ≤ 30
Dari grafik, terlihat bahwa garis putus-putus (garis selidik) yang paling kanan melalui titik (8,6).
Jadi nilai maksimumnya = 150.000 (8) + 75.000 (6) = 1.650.000
Sehingga Penjahit profesional itu agar mendapatkan Keuntungan maksimum harus membuat 8 jas dan 6 rok
Soal-1 Perhatikan gambar Y 4
Nilai maksimum f(x,y) = x – 2y + 4
2
adalah…..
X -2
O -1
3
4
Pembahasan-1 Perhatikan gambar, persamaan-persamaan garisnya adalah Y 4
x=3 x - y = -2
2
x+y=4 X
-2
O
-1
3
4
x + 2y = -2
Pembahasan-1 Perhatikan gambar, koordinat titik-titik sudutnya Y 4
C(…,…)
2
B(3,…)
D(-2,0) -2
O
X 3
4
-1
A(3,…)
Pembahasan-1 Perhatikan gambar, koordinat titik-titik sudutnya Y 4
2
D(-2,0) -2
O
A(3,…) C(…,…) titik potong x = 3 dan x + 2y = -2 B(3,…) diperoleh A(3, -5/2) X 3
4
-1
A(3,…)
Pembahasan-1 Perhatikan gambar, koordinat titik-titik sudutnya Y 4
2
D(-2,0) -2
O
B(3,…) C(…,…) titik potong x = 3 dan x + y = 4 B(3,…) diperoleh B(3, 1) X 3
4
-1
A(3,-5/2)
Pembahasan-1 Perhatikan gambar, koordinat titik-titik sudutnya Y 4
C(…,…)
2
B(3,1)
D(-2,0) -2
O
X 3
4
-1
A(3,-5/2)
C(…,…) titik potong x – y = -2 dan x+y=4 diperoleh C(1,3)
Pembahasan-1 Perhatikan gambar, koordinat titik-titik sudutnya Y 4
C(1,3) 2
B(3,1)
D(-2,0) -2
O
X 3
4
-1
A(3,-5/2)
Titik-titik A(3,-5/2), B(3,1), C(1,3) dan D(-2,0) disubstitusi ke f(x,y) = x – 2y + 4
Pembahasan-1 Titik-titik A(3,-5/2), B(3,1), C(1,3) dan D(-2,0)
disubstitusi ke f(x,y) = x – 2y + 4 Diperoleh: f(3,-5/2) = 3 + 5 + 4 = 12 f(3,1)
=3–2+4=5
f(1,3)
= 1 – 6 + 4 = -2
f(-2,0)
= -2 – 0 + 4 = 2
Jadi nilai maksimumnnya adalah 12
Contoh 5 Pedagang makanan membeli tempe seharga Rp250,00 per buah dijual dengan laba Rp50,00 per buah, sedang kan tahu seharga Rp400,00 per buah dijual dengan laba Rp100,00 per buah.
58
Pedagang tersebut mempunyai modal Rp145.000,00 dan kiosnya dapat menampung 400 buah maka keuntungan maksimum pedagang tersebut adalah….
59
Pembahasan: jenis kapasitas Daya tampung
Tempe (x)
x
Tahu (y)
y
Modal
400
Harga beli Rp250,00 Rp400,00 Rp145.000,00 Laba
Rp50,00
Rp100,00
Laba max?
60
Fungsi sasaran adalah memaksimumkan laba yaitu: f(x,y)= 50x + 100y
61
Syarat adalah Jumlah tahu tidak boleh lebih dari 400 x + y 400 Modal tidak boleh lebih dari Rp145.000 250x + 400y 145000 atau 5x + 8y 2900 Banyak tempe dan tahu harus 0 yaitu x 0 dan y 0
62
Jadi model matematisnya: x + y 400 5x + 8y 2900 x0 y0 Himpunan penyelesaian dari syarat (model matematis) merupakan daerah yang diarsir pada gambar berikut: 63
Y
garis: x + y = 400
garis: 5x + 8y = 2900
400 (0,362½)
(100,300) X
0
(400,0)
580
64
Titik potong garis batas: x + y = 400 x5 5x + 8y = 2900 x1 5x + 5y = 2000 5x + 8y = 2900 -3y = -900 y = 300, x = 100
Titik potong(100,300)
Jadi titik potongnya: (100, 300) 65
Substitusi titik-titik sudut (400,0), (100,300) dan titik (0,362½) ke f(x,y) = 50x + 100y (400,0) f(x,y) = 50.400 + 100.0 = 20000 (100,300)f(x,y)= 50.100 +100.300 = 35000 (0,362½)f(x,y)=50.0 + 100.362½ = 36250 (max) Jadi laba maksimum Rp36.250,00 66
