X
matematika PEMINATAN PERTIDAKSAMAAN IRASIONAL Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi dan bentuk umum pertidaksamaan irasional. 2. Dapat menyelesaikan pertidaksamaan irasional. 3. Dapat menerapkan konsep pertidaksamaan irasional dalam kehidupan sehari-hari.
A. Definisi Pertidaksamaan Irasional Pertidaksamaan irasional adalah pertidaksamaan yang memuat variabel di dalam tanda akar. Bentuk umum pertidaksamaan irasional adalah sebagai berikut. 1.
f ( x ) < a → menggunakan salah satu tanda ketidaksamaan
2.
f ( x ) < g ( x ) → menggunakan salah satu tanda ketidaksamaan
3.
f ( x ) < g ( x ) → menggunakan salah satu tanda ketidaksamaan
4.
f ( x ) + g ( x ) < a → menggunakan salah satu tanda ketidaksamaan
Contoh: x2 − 4 ≤ 2 Misalkan A = x 2 − 4 dan B = 2. Jika A > 0 dan B > 0 maka: 1.
A < B ⇔ A2 < B 2
2. A > B ⇔ A2 > B 2
Kela s
Kurikulum 2013
B. Teknik Penyelesaian Pertidaksamaan Irasional Langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan irasional adalah sebagai berikut. 1. Menguadratkan kedua ruas pertidaksamaan agar bentuk akarnya hilang, kemudian menentukan penyelesaiannya. 2. Menetapkan syarat bagi fungsi yang berada di bawah tanda akar. Setiap fungsi yang berada di bawah tanda akar harus bernilai positif atau sama dengan nol (≥ 0). 3. Menentukan irisan antara penyelesaian utama dan syarat-syaratnya sehingga diperoleh penyelesaian dari pertidaksamaan irasional. Berdasarkan bentuk umum pertidaksamaan irasional dan langkah-langkah tersebut, diperoleh kesimpulan berikut.
1. Bentuk f ( x ) < a dengan a > 0 Bentuk ini akan terpenuhi jika: (a) f (x) ≥ 0 (b) f (x) < a2 (sesuai tanda ketidaksamaan yang diberikan) Penyelesaian: irisan dari (a) dan (b).
Contoh Soal 1 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
3x − 9 ≤ 6
Pembahasan: Diketahui: 3x − 9 ≤ 6 Bentuk tersebut akan terpenuhi jika: (a) 3 x − 9 ≥ 0 ⇔ 3x ≥ 9 ⇔ x ≥3 (b) 3 x − 9 ≤ 62 ⇔ 3 x − 9 ≤ 36 ⇔ 3 x ≤ 36 + 9 ⇔ 3 x ≤ 45 ⇔ x ≤ 15 Penyelesaian pertidaksamaan irasional merupakan irisan dari (a) dan (b). Dengan demikian, diperoleh: 3
15
X
Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah { x | 3 ≤ x ≤ 15}
2
Contoh Soal 2 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
x 2 − 16 < 3
Pembahasan: Diketahui: x 2 − 16 < 3 Bentuk tersebut akan terpenuhi jika: (a)
x 2 − 16 ≥ 0 ⇔ ( x − 4 )( x + 4 ) ≥ 0
Titik pembuat nol: x = 4 dan x = −4.
+
− −4
+
X
4
Penyelesaian: x ≤ −4 atau x ≥ 4
(b)
x 2 − 16 < 32 ⇔ x 2 − 16 < 9 ⇔ x 2 − 25 < 0 ⇔ ( x − 5)( x + 5) < 0
Titik pembuat nol: x = 5 dan x = −5.
+
− −5
+
X
5
Penyelesaian: −5 < x < 5
Penyelesaian pertidaksamaan irasional merupakan irisan dari (a) dan (b). Dengan demikian, diperoleh:
X −5
−4
4
5
Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah
{ x | −5 < x ≤ −4 atau 4 ≤ x < 5}.
3
Contoh Soal 3 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
x2 − 4 x + 4 < 3
Pembahasan: Diketahui: x2 − 4 x + 4 < 3 Bentuk tersebut akan terpenuhi jika: (a)
x2 − 4 x + 4 ≥ 0 ⇔ ( x − 2)( x − 2) ≥ 0 ⇔ x ∈R
(b)
x 2 − 4 x + 4 < 32 ⇔ x2 − 4 x + 4 < 9 ⇔ x2 − 4 x − 5 < 0 ⇔ ( x − 5 ) ( x + 1) < 0
Titik pembuat nol: x = 5 dan x = −1.
+
−
+
−1
5
X
Penyelesaian: −1 < x < 5
Penyelesaian pertidaksamaan irasional merupakan irisan dari (a) dan (b). Dengan demikian, diperoleh: +
− −1
+ 5
X
Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah { x | −1 < x < 5} .
2. Bentuk
f ( x ) < g( x )
Bentuk ini akan terpenuhi jika: (a) f (x) ≥ 0 (b) g (x) ≥ 0 (c) f (x) < g (x) (sesuai tanda ketidaksamaan yang diberikan) Penyelesaian: irisan dari (a), (b), dan (c).
4
Contoh Soal 4 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
3x + 2 > 4 − x
Pembahasan: Diketahui: 3x + 2 > 4 − x Bentuk tersebut akan terpenuhi jika: (a)
3x + 2 ≥ 0 ⇔ 3 x ≥ −2 2 ⇔ x≥− 3
(b)
4−x ≥0 ⇔ − x ≥ −4 ⇔ x ≤ 4 ( tanda ketidaksamaan berubah)
(c)
3x + 2 > 4 − x ⇔ 3x + x > 4 − 2 ⇔ 4x > 2 2 ⇔x> 4 1 ⇔x> 2
Penyelesaian pertidaksamaan irasional merupakan irisan dari (a), (b), dan (c). Dengan demikian, diperoleh:
X 2 − 3
1 2
4
1 Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah x | < x ≤ 4 2
Contoh Soal 5 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
−x + 3 − 2x +1 > 0 .
Pembahasan: Pertidaksamaan pada soal dapat dinyatakan dalam bentuk umum berikut. −x + 3 > 2x +1
5
Bentuk tersebut akan terpenuhi jika: (a)
−x + 3 ≥ 0 ⇔ − x ≥ −3 ⇔ x ≤ 3 ( tanda ketidaksamaan berubah)
(b) 2 x + 1 ≥ 0 ⇔ 2 x ≥ −1 1 ⇔ x≥− 2 (c)
−x + 3 > 2x +1 ⇔ − x − 2 x > 1− 3 ⇔ −3 x > −2 2 ⇔ x < ( tanda ketidaksamaan berubah) 3
Penyelesaian pertidaksamaan irasional merupakan irisan dari (a), (b), dan (c). Dengan demikian, diperoleh:
X −
1 2
2 3
3
1 2 Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah x | − 2 ≤ x < 3 .
Contoh Soal 6 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
Pembahasan: Diketahui: x2 − 9 > x2 + 4 x − 5 Bentuk tersebut akan terpenuhi jika: (a)
x2 − 9 ≥ 0 ⇔ ( x + 3)( x − 3) ≥ 0
Titik pembuat nol: x = −3 dan x = 3.
x −3
3
Penyelesaian: x ≤ −3 atau x ≥ 3
6
x2 − 9 > x2 + 4 x − 5 .
(b)
x2 + 4 x − 5 ≥ 0 ⇔ ( x + 5 ) ( x − 1) ≥ 0
Titik pembuat nol: x = −5 dan x = 1.
−5
1
X
Penyelesaian: x ≤ −5 atau x ≥ 1
(c)
x2 − 9 > x2 + 4 x − 5 ⇔ x 2 − 9 − ( x 2 + 4 x − 5) > 0 ⇔ −4 x − 4 > 0 ⇔ −4 x > 4 ⇔ x < −1
Penyelesaian pertidaksamaan irasional merupakan irisan dari (a), (b), dan (c). Dengan demikian, diperoleh:
−5
−3
−1
1
3
X
Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah {x|x ≤ −5}.
3. Bentuk
f ( x ) < g( x )
Bentuk ini akan terpenuhi jika: (a) f (x) ≥ 0 (b) g (x) > 0 (c) f (x) < g2 (x) (sesuai tanda ketidaksamaan yang diberikan) Penyelesaian: irisan dari (a), (b), dan (c).
Contoh Soal 7 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2 − x < x .
Pembahasan: Diketahui: 2− x < x
7
Bentuk tersebut akan terpenuhi jika: (a)
2− x ≥0 ⇔ − x ≥ −2 ⇔ x ≤ 2 ( tanda ketidaksamaan berubah)
(b) x > 0 (c)
2 − x < x2 ⇔ 2 − x − x2 < 0 ⇔ −( x 2 + x − 2) < 0 ⇔ − ( x + 2 ) ( x − 1) < 0 ⇔ ( − x − 2 ) ( x − 1) < 0 Titik pembuat nol: x = −2 dan x = 1.
X −2
1
Penyelesaian: x < −2 dan x > 1
Penyelesaian pertidaksamaan irasional merupakan irisan dari (a), (b), dan (c). Dengan demikian, diperoleh: −2
0
1
X
2
Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah { x |1 < x ≤ 2} .
Contoh Soal 8 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
Pembahasan: Diketahui: x2 + 2x − 3 < x + 2 Bentuk tersebut akan terpenuhi jika: (a)
x2 + 2x − 3 ≥ 0 ⇔ ( x + 3 ) ( x − 1) ≥ 0
Titik pembuat nol: x = −3 dan x = 1.
8
x2 + 2x − 3 < x + 2 .
X −3
1
Penyelesaian: x ≤ −3 atau x ≥ 1
(b)
x +2>0 ⇔ x > −2
(c)
x 2 + 2 x − 3 < ( x + 2) ⇔ x2 + 2x − 3 < x2 + 4 x + 4 ⇔ x2 + 2x − 3 − ( x2 + 4 x + 4) < 0 ⇔ −2 x − 7 < 0 ⇔ −2 x < 7 7 ⇔ x > − ( tanda ketidaksamaan berubah) 2
Penyelesaian pertidaksamaan irasional merupakan irisan dari (a), (b), dan (c). Dengan demikian, diperoleh:
2
X
7 − −3 −2 2
1
Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah {x|x ≥ 1} .
4. Bentuk
f ( x ) + g( x ) < a
Bentuk ini akan terpenuhi jika: (a) f (x) ≥ 0 (b) g (x) ≥ 0 (c)
(
g( x ) < a − f ( x )
)
2
(sesuai tanda ketidaksamaan yang diberikan)
Penyelesaian: irisan dari (a), (b), dan (c).
Contoh Soal 9 Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x − 3 + 8 − x > 3 adalah .... A. x > 7 B.
4<x<7
9
C. x < 4 D. −4 < x < 7 E.
x≥4
Pembahasan: Diketahui: x −3 + 8− x >3
Bentuk tersebut akan terpenuhi jika: (a) x – 3 ≥ 0 ⇔x≥3
(b) 8 – x ≥ 0
⇔ − x ≥ −8
⇔ x ≤ 8 (tanda ketidaksamaan berubah)
(c)
8− x > 3− x −3
(
)
2
⇔ 8− x > 9−6 x −3 + x −3 ⇔ 6 x − 3 > 2x − 2 ⇔ 3 x − 3 > x − 1 (kuadratkan n kedua ruas) ⇔ 9 ( x − 3) > x 2 − 2 x + 1 ⇔ 9 x − 27 > x 2 − 2 x + 1 ⇔ x 2 − 2 x + 1 < 9 x − 27 ⇔ x 2 − 11x + 28 < 0 ⇔ ( x − 4 )( x − 7) < 0 Titik pembuat nol: x = 4 dan x = 7 +
−
+
4
X
7
Penyelesaian: 4 < x < 7 Penyelesaian pertidaksamaan irasional merupakan irisan dari (a), (b), dan (c). Dengan demikian, diperoleh:
3
4
7
X
8
Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah 4 < x < 7.
10
C. Penerapan Pertidaksamaan Irasional dalam Kehidupan Sehari-hari Konsep pertidaksamaan irasional juga dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari. Untuk memahaminya, perhatikan contoh soal berikut.
Contoh Soal 10 Pada kejuaraan panahan, sebuah anak panah melesat di udara selama t detik dengan panjang lintasan (dalam meter) ditentukan oleh persamaan s ( t ) = t 2 − 7t + 20 . Jika panjang lintasan yang dilalui anak panah sampai ke sasaran sekurang-kurangnya 8 m, tentukan nilai t yang memenuhi.
Pembahasan: Panjang lintasan sekurang-kurangnya 8 m berarti s (t) harus lebih besar atau sama dengan 8. Dengan demikian, diperoleh: s (t ) ≥ 8 t 2 − 7t + 20 ≥ 8 Bentuk tersebut akan terpenuhi jika: (a) t2 − 7t + 20 ≥ 8 Dari bentuk tersebut, diketahui a = 1, b = −7, dan c = 20. Dengan demikian, diperoleh:
D = b2 − 4 ac 2 = ( −7 ) − 4 (1)( 20 ) = 49 − 80 = −31 < 0. Oleh karena a > 0 dan D < 0, maka bentuk tersebut selalu terpenuhi karena definit positif.
(b) t 2 − 7t + 20 ≥ 82 ⇔ t 2 − 7t + 20 ≥ 64 ⇔ t 2 − 7t + 20 − 64 ≥ 0 ⇔ t 2 − 7t − 44 ≥ 0 ⇔ ( t − 11) ( t + 4 ) ≥ 0
Titik pembuat nol: t = 11 dan t = −4.
X −4
11
Penyelesaian: t ≤ −4 atau t ≥ 11
11
Penyelesaian pertidaksamaan irasional merupakan irisan dari (a) dan (b). Dengan demikian, diperoleh:
−4
X
11
t ≤ −4 tidak memenuhi karena nilai t selalu positif.
Jadi, nilai t yang memenuhi adalah t ≥ 11 .
12
