X
matematika PEMINATAN PERTIDAKSAMAAN RASIONAL Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi pertidaksamaan rasional. 2. Memahami sifat-sifat pertidaksamaan rasional. 3. Dapat menyelesaikan pertidaksamaan rasional.
A. Definisi Pertidaksamaan Rasional Perhatikan bentuk-bentuk pertidaksamaan berikut. x +3 4 ( a) ≤2 (b) ≤2 4 x +3 Kedua pertidaksamaan tersebut memuat bentuk pecahan atau rasional. Namun, apakah keduanya termasuk pertidaksamaan rasional? Tidak, hanya (b) yang merupakan pertidaksamaan rasional, karena memuat variabel pada penyebutnya. Sementara (a) bukan pertidaksamaan rasional, karena penyebutnya tidak memuat variabel. Jadi, pertidaksamaan rasional adalah pertidaksamaan bentuk pecahan (rasional) yang penyebutnya memuat variabel. Pertidaksamaan rasional dapat dibedakan menjadi dua, yaitu pertidaksamaan rasional linear dan pertidaksamaan rasional kuadrat. Bentuk umum dari kedua pertidaksamaan tersebut adalah sebagai berikut.
Kela s
Kurikulum 2013
1.
Pertidaksamaan rasional linear: ax + b < 0 , cx + d ≠ 0 dan c ≠ 0 → Menggunakan salah satu tanda ketidaksamaan cx + d
2.
Pertidaksamaan rasional kuadrat:
ax 2 + bx + c < 0 , px + q ≠ 0 dan a ≠ 0 → Menggunakan salah satu tanda ketidaksamaan px + q
ax 2 + bx + c < 0 , px 2 + qx + r ≠ 0 , a ≠ 0 ,dan p ≠ 0 → Menggunakan salah satu tanda px 2 + qx + r ketidaksamaan
B. Sifat-Sifat Pertidaksamaan Rasional Masih ingatkah kamu tentang sifat-sifat pembagian pada bilangan bulat? Agar kamu ingat kembali, perhatikan sifat-sifat berikut ini.
(+) (−) (+) ( −) 0 f (x) = (+); = (+); = ( −); = ( −); = 0; = tidak terdefinisi + − ( ) ( ) f ( x ) 0 − + ( ) ( ) Dari sifat-sifat pembagian tersebut, dapat diperoleh sifat-sifat pertidaksamaan rasional berikut. 1.
(+) (−) f (x) f (x) = ( + ) dan = ( + ) . Ini berarti, agar > 0 dan ≥ 0 berkaitan dengan sifat g( x ) g( x ) (+) (−) f (x) bernilai positif (> 0), f (x) dan g(x) harus sama-sama positif atau sama-sama g( x ) f (x) f (x) negatif. Selain itu, ingat bahwa = tidak terdefinisi, sehingga syarat 0 g( x ) terdefinisi adalah g( x ) ≠ 0 . Dengan demikian, diperoleh sifat berikut.
Jika
f (x) > 0 , f (x) > 0 dan g (x) > 0 atau f (x) < 0 dan g (x) < 0. g( x )
Jika
f (x) ≥ 0 , f (x) ≥ 0 dan g (x) > 0 atau f (x) ≤ 0 dan g (x) < 0. g( x )
2
2.
f (x) f (x) (+) ( −) < 0 dan ≤ 0 berkaitan dengan sifat = ( −) dan = ( −) . Ini berarti, agar g( x ) g( x ) ( −) (+) f (x) bernilai negatif (< 0), f (x) dan g (x) harus memiliki tanda yang berbeda, g( x ) maksudnya adalah salah satu harus positif dan yang lainnya harus negatif. Selain itu, f (x) f (x) = tidak terdefinisi, sehingga syarat terdefinisi adalah g( x ) ≠ 0 . ingat bahwa g( x ) 0 Dengan demikian, diperoleh sifat berikut.
f (x) < 0 , f (x) > 0 dan g (x) < 0 atau f (x) < 0 dan g (x) > 0. g( x ) f (x) Jika ≤ 0 , f (x) ≥ 0 dan g (x) < 0 atau f (x) ≤ 0 dan g (x) > 0. g( x )
Jika
Agar kamu memahami cara menyelesaikan pertidaksamaa rasional, mari perhatikan contoh soal berikut.
Contoh Soal 1 Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan
2x + 9 ≤ 1. x −4
Pembahasan: Cara konsep: Mula-mula, nyatakan pertidaksamaan dalam bentuk umumnya. 2x + 9 ≤1 x −4 2x + 9 ⇔ − 1≤ 0 x −4 2 x + 9 − ( x − 4) ⇔ ≤0 x −4 2x + 9 − x + 4 ⇔ ≤0 x −4 x + 13 ≤0 ⇔ x−4
3
Oleh karena pertidaksamaan tersebut bernilai negatif atau sama dengan nol, maka berlaku: { x + 13 ≤ 0 dan x − 4 > 0} atau{ x + 13 ≥ 0 dan x − 4 < 0} ⇔ { x ≤ −13 dan x > 4 } atau{ x ≥ −13 dan x < 4}
Dengan menentukan irisan pada daerah tersebut, diperoleh: ⇔ ∅ atau -13 ≤ x < 4 ⇔ −13 ≤ x < 4
SUPER "Solusi Quipper" r aka x + 13 ≤0 x −4
x = −13 bagian sol
usi
−13
X
4
i akar x = 4 bukan bagian solus berganti-ganti −
+
+ x + 13 + ≤0 + x −4
−13
+ 4
X
tempat kan selalu dikanan +
+ 4
−13 −13 ≤ x < 4 Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan
2x + 9 ≤ 1 adalah −13 ≤ x < 4. x −4
Contoh Soal 2 Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan
Pembahasan:
2 >2 . x +5
Cara konsep: Mula-mula, nyatakan pertidaksamaan dalam bentuk umumnya.
4
X
2 >2 x +5 2 ⇔ −2 > 0 x +5 2 − 2 ( x + 5) >0 ⇔ x +5 2 − 2 x − 10 ⇔ >0 x +5 −2 x − 8 ⇔ >0 x +5 Oleh karena pertidaksamaan tersebut bernilai positif, maka berlaku:
{−2 x − 8 > 0 dan x + 5 > 0} atau{−2 x − 8 < 0 dan x + 5 < 0} ⇔ {−2 x > 8 dan x > −5} atau{−2 x < 8 dan x < −5} ⇔ { x < −4 dan x > −5 } atau{ x > −4 dan x < −5} ⇔ −5 < x < −4 atau ∅ ⇔ −5 < x < −4
SUPER "Solusi Quipper" ak ar x
= −4 bukan bagian solus i
−2 x − 8 >0 −5 x +5 i akar s lu x = −5 bukan bagian so
X
−4
berganti ganti −
−
− −2 x − 8 >0 + x +5
+ −5
− −4
X
tempat kan selalu di kanan
−5 −4 −5 < x < −4 Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan
2 > 2 adalah −5 < x < −4. x +5
5
X
Contoh Soal 3 Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan
Pembahasan:
x 2 + 3 x − 10 >0. x −4
Cara konsep: x 2 + 3 x − 10 >0 x −4 Oleh karena pertidaksamaan tersebut bernilai positif, maka:
{x
2
+ 3 x − 10 > 0 dan x − 4 > 0} atau{ x 2 + 3 x − 10 < 0 dan x − 4 < 0}
⇔ {( x + 5 ) ( x − 2 ) > 0 dan x > 4} atau{( x + 5 ) ( x − 2 ) < 0 dan x < 4} ⇔ {{ x < −5 atau x > 2} dan x > 4} atau{−5 < x < 2 dan x < 4} ⇔ x > 4 atau − 5 < x < 2
SUPER "Solusi Quipper" x 2 + 3 x − 10 >0 x −4 ( x + 5)( x − 2 ) >0 x −4 x = −5 akar bukan solusi x = 2 akar bukan solusi
( x + 5)( x − 2 ) x −4
>0
−5
X
4
2
x = 4 akar bukan solusi
berganti ganti
+( x + 5 )( x − 2 ) += >0 +x − 4
( x + 5)( x − 2 ) x −4
>0 daerah +
−
+
+
−
−5
2
−5
4
4 2 −5< x < 2 atau x > 4
Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan
X
X
x 2 + 3 x − 10 > 0 adalah −5< x < 2 atau x > 4. x −4
6
Contoh Soal 4
4 − x2 Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan 2 ≥0 x − 2x − 3 Pembahasan: Cara konsep: 4 − x2 ≥0 x2 − 2x − 3 Oleh karena pertidaksamaan tersebut bernilai positif atau sama dengan nol, maka berlaku:
{4 − x
2
≥ 0 dan x 2 − 2 x − 3 > 0} atau{4 − x 2 ≤ 0 dan x 2 − 2 x − 3 < 0}
⇔ {( 2 − x ) ( 2 + x ) ≥ 0 dan ( x − 3 ) ( x + 1) > 0} atau{( 2 − x ) ( 2 + x ) ≤ 0 dan ( x − 3 ) ( x + 1) < 0}
⇔ {{−2 ≤ x ≤ 2} dan{ x < −1 atau x > 3}} atau{{ x ≤ −2 atau x ≥ 2} dan − 1 < x < 3} ⇔ −2 ≤ x < −1 atau 2 ≤ x < 3
SUPER "Solusi Quipper" 4 − x2 ≥0 x2 − 2x − 3 (2 − x )(2 + x ) ≥0 ( x − 3) ( x + 1)
akar x = 2 salah satu solusi x = −2 solusi
(2 − x )(2 + x ) ≥0 ( x − 3) ( x + 1)
−2
−1
X
3
2
x = −1 akar bukan solusi x = 3 akar bukan solusi
−
−=
berganti ganti
+
(2 − x )(2 + x ) ≥0 ( x − 3) ( x + 1) +
+
−
−2
(2 − x )(2 + x ) ≥0 ( x − 3) ( x + 1) daerah 0 dan +
−
+
+
−1
−
−2
−
−1
X
3
2
+
−
+
2
−
3
X
−2 ≤ x < −1 atau 2 ≤ x < 3
Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan
4 − x2 ≥ 0 adalah −2 ≤ x < −1 atau 2 ≤ x < 3. x − 2x − 3 2
7
Contoh Soal 5 Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan
Pembahasan:
x 2 + 6 x − 10 <1 x2 + 4 x + 4
Mula-mula, nyatakan pertidaksamaan dalam bentuk umumnya. x 2 + 6 x − 10 <1 x2 + 4 x + 4 x 2 + 6 x − 10 ⇔ 2 − 1< 0 x + 4x + 4 x 2 + 6 x − 10 − ( x 2 + 4 x + 4 ) <0 ⇔ x2 + 4 x + 4 x 2 + 6 x − 10 − x 2 − 4 x − 4 ⇔ <0 x2 + 4 x + 4 2 x − 14 ⇔ 2 <0 x + 4x + 4 2( x − 7) <0 ⇔ 2 ( x + 2)
SUPER "Solusi Quipper"
+=
+ 2( x − 7)
x = 7 akar bukan solusi berganti ganti
( x + 2)( x + 2) +
<0
−
+ −2 −2
−
+ 7
+ x = −2 akar bukan solusi
X
abaikan
Solusi: x < −2 atau −2 < x < 7
Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan
x 2 + 6 x − 10 < 1 adalah x < −2 atau −2 < x < 7. x2 + 4 x + 4
Penyelesaian tersebut juga dapat dinyatakan dengan x < 7, x ≠ −2.
8
Contoh Soal 6 Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan
Pembahasan:
x2 − x +1 ≥0 x2 + 6x − 2
Diketahui: x2 − x +1 ≥0 x2 + 6x − 2 Pertidaksamaan tersebut memiliki penyebut dan pembilang yang tidak bisa difaktorkan. Oleh karena itu, mari kita analisis melalui nilai diskriminannya. 1.
x2 − x + 1 memiliki nilai disriminan D = (−1)2 − 4 ∙ 1 ∙ 1 = −3. Oleh karena nilai diskriminannya negatif, maka x2 − x + 1 tidak memiliki akar. Oleh karena nilai a = 1 > 0, maka nilai x2 − x + 1 selalu positif untuk setiap x є R .
2.
x2 + 6x − 2 memiliki nilai diskriminan D = (6)2 − 4 ∙ 1 ∙ (−2) = 44. Oleh karena diskriminannya positif, maka x2 + 6x − 2 memiliki akar yang dapat ditentukan dengan rumus kuadratis berikut.
3.
x1,2 =
−b ± b2 − 4 ac −6 ± 44 = = −3 ± 11 2a 2 ⋅1
Agar
x2 − x +1 ≥ 0 , nilai x2 + 6x − 2 haruslah positif, karena nilai x2 − x + 1 selalu 2 x + 6x − 2
positif. Dengan demikian, diperoleh:
x2 + 6x − 2 > 0 ⇔ x < −3 − 11 atau x > −3 + 11
Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan x > −3 + 11 .
9
x2 − x +1 ≥ 0 adalah x < −3 − 11 atau x2 + 6x − 2
