PERTIDAKSAMAAN A. Pengertian 1. Notasi Pertidaksamaan Misalnya ada dua bilangan riil a dan b. Ada beberapa notasi yang bisa dibuat yaitu: a. a dikatakan kurang dari b, ditulis a 〈 b jika dan hanya jika a – b berharga negatif. b. a dikatakan lebih dari b, ditulis a 〉 b jika dan hanya jika a – b berharga positif c. a dikatakan kurang dari atau sama dengan b, ditulis a ≤ b jika dan hanya jika a 〈 b atau a = b. d. a dikatakan lebih dari atau sama dengan b, ditulis a ≥ b jika dan hanya jika a 〉 b atau a = b. Contoh: a. 5 lebih kecil dari 8, ditulis 5 〈 8 b. 9 lebih besar atau sama dengan 4, ditulis 9 ≥ 4 2. Defenisi pertidaksamaan Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang dihubungkan oleh notasi (lambang) pertidaksamaan yang berupa tanda lebih kecil “ 〈 ” , lebih besar “ 〉 ” , lebih kecil atau sama dengan “ ≤ ” , atau lebih besar atau sama dengan “ ≥ ” Bentuk umum dari pertidaksamaan adalah sebagai berikut:
〈 V(x) , U(x) 〉 V(x) , U(x)
≤ V(x) U(x) ≥ V(x)
U(x)
3. Selang atau Interval Selang atau interval adalah suatu himpunan yang merupakan kumpulan bilangan riil yang memenuhi sifat-sifat tertentu. Himpunan-himpunan ini dapat dinyatakan sebagai berikut:
{x | x < 5, x ∈ R} -2
-1
0
1
2
3
4
5
6
|
|
|
|
|
|
|
|
-1
0
1
2
3
4
5
6
{x | x ≤ 4, x ∈ R} {x | x > 1, x ∈ R}
|
|
|
|
|
|
|
|
-1
0
1
2
3
4
5
6
|
|
|
|
|
|
|
|
-1
0
1
2
3
4
5
6
{x | x ≥ −1, x ∈ R}
4. Sifat-Sifat Pertidaksamaan Teorema a. Tanda (notasi) pertidaksamaan tidak berubah bila kedua ruas - Ditambah atau dikurangi dengan suatu konstanta (bilangan riil). - Dikalikan atau dibagi dengan suatu konstanta (bilangan riil) positif. b. Tanda (notasi) pertidaksamaan akan berubah bila kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan konstanta (bilangan riil) negatif. Contoh 1. 4x > 6 Maka akan berlaku: a. b. c. d. e. f.
4x +5 > 6 + 5 4x – 7 > 6 - 7 4x . 2 > 6 . 2 4x / 3 > 6 / 3 4x . (- 4) < 6 . (-4) 4x / (-2) < 6 / (-2)
1
2. x ≤ 6 Maka akan berlaku: a. b. c. d. e. f.
x +5 ≤ 6 + 5 x–7 ≤ 6-7 x.2 ≤ 6.2 x/3 ≤ 6/3 x . (-4) ≥ 6 (-4) x / (-5) ≥ 6 / (-5)
SOAL LATIHAN 1. Tentukan notasi himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut a. x lebih besar dari 4 dan x bilangan rasional b. 2x – 4 < - 6 , x bilangan rasional 2. Dengan garis bilangan tentukan daerah yang merupakan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan beikut ini. a. 2x ≥ 4 b. 2 < x < 9 , x angota bilangan rasional
B. Pertidaksamaan Linear 1. Pengertian pertidaksamaan linear Pertidaksamaan linear adalah suatu pertidaksamaan yang mempunyai variabel dengan pangkat tertinggi satu. Contoh: 3x + 5 < 10 2. Menyelesaikan Pertidaksamaan linear Tentukan himpunan penyelesaian dari x yang memenuhi pertidaksamaan dibawah ini: 3x + 5 ≥ 5x – 4 Langkah-langkah a. Kedua ruas dikurangi 5 3x ≥ 5x – 9 b. Kedua ruas dikurangi 5x - 2x ≥ - 9 c. Kedua ruas dibagi – 2 X ≤ 9/2 Daerah himpunan penyelesaiannya adalah: | -1
| 0
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
SOAL LATIHAN 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ini a. 4x – 5 ≥ 8x + 15 b. – 3x + 4 < –5x + 2 2. Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut: a. –2 (x + 1) > 3 b. 3 (x – 4) < 4 ( 2x + 2)
C. Pertidaksamaan Kuadrat 1. Pengertian pertidaksamaan Kuadrat Pertidaksamaan Kuadrat adalah suatu pertidaksamaan yang mempunyai variabel dengan pangkat tertinggi dua. Secara umum pertidaksamaan kuadrat berbentuk Contoh: ax + bx + c < 0 ax + bx + c ≤ 0 ax + bx + c > 0 ax + bx + c ≥ 0 Dengan a ≠ 0; a, b, dan c ∈ R
2
2. Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat ada dua cara yang bisa dilakukan, yaitu: a. Dengan garis bilangan. b. Dengan sketsa grafiks Contoh Tentukan himpunan penyelesaian dari x yang memenuhi pertidaksamaan dibawah ini: X2 + 6 ≥ 5x a. Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan garis bilangan Langkah-langkahnya 1) Mengubah pertidaksamaan kuadrat menjadi dalam bentuk ax2 + bx + c ≥ 0 X2 – 5x + 6 ≥ 0 2) Mengubah pertidaksamaan kuadrat menjadi dalam bentuk ax2 + bx + c = 0 X2 – 5x + 6 = 0 3) Mengubah bentuk persamaan kuadrat menjadi perkalian dua faktor. (x – 3) (x – 2) = 0 4) Menentukan pembuat nol (akar-akar) dari persamaan kuadrat x1= 2 atau x2=3 5) Melukis garis bilangan dan menempatkan nilai x pembuat nol persamaan kuadrat. | | 2 3 6) Menentukan tanda (+) atau (–) dari pertidaksamaan pada tiap interval pembuat nol dengan cara mencoba salah satu titik yang terletak pada interval. x<2 – – +
x–3 x–2 (x – 3) (x – 2)
2<x<3 – + –
x >3 + + +
7) Himpunan penyelesaiannya adalah interval-interval yang memiliki tanda sesuai tanda pertidaksamaan Jadi dapat disimpulkan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan X2 – 5x + 6 ≥ 0 adalah: Hp = {x | x ≤ 2 atau x ≥ 3, x ∈ R} Dengan garis bilangan adalah: +++
– – – | 2
+ ++ | 3
b. Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan sketsa grafiks Langkah-langkah 1) Mengubah pertidaksamaan kuadrat menjadi dalam bentuk ax2 + bx + c ≥ 0 X2 – 5x + 6 ≥ 0 2) Mengubah pertidaksamaan kuadrat menjadi dalam bentuk y = ax2 + bx + c y =x2 – 5x + 6 3) Mengambar skets grafiks y = ax2 + bx + c Menentukan titik potong grafiks dengan sumbu x, y=0 - D = 0, grafiks memotong sumbu x di satu titik. - D > 0, grafiks memotong sumbu x di dua titik. - D < 0, grafiks tidak memotong sumbu x. Menentukan grafiks menghadap ke atas atau ke bawah dari nilai a - a < 0 grafiks menghadap ke bawah - a > 0 grafiks menghadap ke atas
3
Titik potong grafiks y =x2 – 5x + 6 pada sumbu x y =x2 – 5x + 6, y=0 0 =x2 – 5x + 6 0 = (x – 3) (x – 2) nilai x1= 2 atau x2=3 sehingga titik potong dengan sumbu x adalah (2,0) dan (3,0) nilai a=1 atau a > 0 sehingga grafiks menghadap ke atas. Sketsa grafiks y
2
3
x
4) Himpunan penyelesaiannya adalah interval-interval yang memiliki tanda sesuai tanda pertidaksamaan Jadi dapat disimpulkan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan X2 – 5x + 6 ≥ 0 adalah daerah grafiks yang berada diatas sumbu x yaitu Hp = {x | x ≤ 2 atau x ≥ 3, x ∈ R}
SOAL LATIHAN 1. Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut dengan garis bilangan a. x2 – 2x > 3 b. x2 – 3x – 10 < 0 c. 12 – 4x – x2 ≥ 0 d. (x – 1)2 > 4x2 e. (x – 1) ( x + 2) < x(4 – x) 2. Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut dengan sketsa grafiks a. (x – 2) (x + 3) > 0 b. 9x – 6x2 ≥ 3 – 2x c. x2 + 2x + 1 > 2x2 + 4x – 34 3. Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut dengan notasi himpunan a. 4x2 + 2x – 6 < 0 b. 3 + 3x – 4x2 < 4x2 – 2x
D. Pertidaksamaan Berbentuk Pecahan 1. Pengertian Suatu pertidaksamaan berbentuk pecahan secara umum bisa ditulis
U ( x) V ( x) U ( x) V ( x) U ( x) V ( x) U ( x) V ( x)
<0 >0 ≤0 ≥0
2. Menyelesaikan pertidaksamaan berbentuk pecahan Contoh
2x −1 ≥1 x−3 Langkah-langkah yang harus dilakukan adalah: Mengubah ruas kanan pertidaksamaan menjadi nol
2x −1 −1 ≥ 0 x−3
4
Menyederhanakan ruas kiri dari pertidaksamaan
2x −1 x − 3 ≥0 − x−3 x−3 x+2 ≥0 x−3
Menentukan nilai faktor pembuat nol pembilang dan penyebut dari pertidaksamaan x + 2 = 0, x = – 2 x – 3 = 0, x= 3 Menentukan tanda (+) atau (–)dari pertidaksamaan pada tiap interval pembuat nol pembilang dqan penyebut dengan cara mencoba salah satu titik yang terletak pada interval. nilai x yang sudah diperoleh
x+2 x–3 (x +2)/ (x – 3)
x < –2 – – +
–2 < x < 3 + – –
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah pada interval yang memenuhi nilai sesuai tanda pertidaksamaan pecahan. Hp={x| x ≤ –2 atau x ≥ 3, x ∈ R} Bila dinyatakan dengan garis bilangan adalah: Dengan garis bilangan adalah: +++
– – –
+ ++
|
|
–2
3
SOAL LATIHAN 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut
1 − 2x ≥3 2−x 3 b. >0 x x−3 >0 c. x−5 2 3 d. > x−3 x+2 a.
2. Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan a. b. c. d. e. f.
x >3 + + +
x2 >0 4 − x2 x−3 >0 2 x − 8x + 7 x 2 + 3x − 10 >0 x2 − x + 2 x −1 x − 3 > x−2 x−4 x2 − x − 6 <1 2x 2 + 2x − 4 x2 + x − 2 <1 x2 − 4
5
E. Pertidaksamaan Berbentuk Akar 1. Pengertian Secara umum pertidaksamaan berbentuk akar dapat ditulis sebagai berikut:
U (x) < V (x) U (x) > V (x) U (x) ≤
V (x)
U (x) ≥
V (x)
Dengan syarat U(x) > 0 dan V(x) >0 2. Menyelesaikan pertidaksamaan berbentuk akar Contoh Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2 x − 6 < 3 x − 12 Langkah – langkah yang harus dilakukan adalah: Tanda akar harus dihilangkan dengan cara mengkuadratkan kedua ruas 2x – 6 < 3x – 12 Ditentukan himpunan penyelesaian dari langkah pertama –x<–6 x>6 Bentuk bilangan yang didalam akar harus lebih besar atau sama dengan nol. Syarat 2x – 6 ≥ 0 atau 3x – 12 ≥ 0 2x ≥ 6 3 x ≥ 12 x ≥ 3 x ≥ 4 Ditentukan himpunan penyelesaiannya yaitu x>6 x ≥3 Dari ketiganya Hp= {x| x > 6, x ∈ R} x ≥ 4
SOAL LATIHAN 1. Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan-pertidaksaman berikut ini a. b. c.
x−3 < 4 2x − 4 < 4 x+5 > 5− x
d. x2 − 4 > x + 2 2. Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan-pertidaksaman berikut ini a.
x 2 − 5x ≥ x − 3
b.
2 x 2 − 3x + 5 > 1 − 3x − 2 x 2
c.
x 2 − 5x ≥ − x − 3
d.
x 2 − x − 12 > x − 2
F. Pertidaksamaan Berbentuk Harga Mutlak 1. Pengertian Harga mutlak suatu bilangan x ditulis | x | , bernilai x jika x ≥ 0 dan bernilai – x jika x<0.
x, x ≥ 0 − x, x < 0
Secara matematis nilai dari | x | =
Secara umum pertidaksamaan harga mutlak memiliki bentuk sebagai berikut: a. |U(x)| < a b. |U(x)| > a dengan a >0 c. |U(x)| ≤ a d. |U(x)| ≥ a 2. Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat berbentuk harga mutlak Bentuk |U(x)| < a mempunyai penyelesaian U(x) < a atau –(U(x)) < a
6
Contoh 1) |x| < 7 Cara 1 |x| < 7 x<7 atau - x < 7 x<7 x > -7 Hp = { x| –7 < x < 7, x ∈ R } cara 2 |x| < 7 x2 < 72 x2 – 72 < 0 (x + 7) (x – 7) < 0 + + + –7 – – – 7 Hp = { x| –7 < x < 7, x ∈ R }
+++
2) |3x – 4| ≥ 5 Cara 1 |3x – 4| ≥ 5 (3x – 4) ≥ 5 3x ≥ 9 x ≥ 3
atau
–(3x – 4) ≥ 5 –3x + 4 ≥ 5 –3x ≥ 1 x ≤ − 13
Cara 2 |3x – 4| ≥ 5 (3x – 4)2 ≥ 52 (3x – 4)2 –52 ≥ 0 ((3x – 4) + 5 ) ((3x – 4) – 5 ) ≥ 0 (3x + 1) (3x – 9) ≥ 0 1 + + + − 13 – – – 3 +++
SOAL LATIHAN 1. Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan dibawah ini: a. |x| < 4 b. |x – 5| > 2 c. |2x + 4| > 6 d. |–6x + 4| < 4 2. Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan dibawah ini: a. |x2 – 2| < 1 b. |x2 – x – 1| < 1 c. |2x2 – 8x – 1| ≥ 1 d.
3 >1 (2 x − 1)
G. Pertidaksamaan Pangkat Tinggi 1. Pengertian Pertidaksamaan pangkat tinggi adalah sebuah pertidaksamaan dengan variabelnya mempunyai pangkat tertinggi lebih dari dua. Misanya: X4 – 13x + 36 ≥ 0 2. Menyelesaikan pertidaksamaan pangkat tinggi Contoh: Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut ini: (x – 5) (x + 1)2 (x – 3) < 0
7
Langkah-langkah yang harus dilakukan 1) Mengubah pertidaksamaan pangkat tinggi menjadi dalam bentuk baku sehingga ruas kanan dari pertidaksamaan tersebut bernilai nol. (x – 5) (x + 1)2 (x + 3) < 0 2) Mengubah bentuk pertidaksamaan pangkat tinggi menjadi perkalian faktor faktornya. (x – 5) (x + 1)2 (x + 3) < 0 3) Menentukan pembuat nol (akar-akar) dari persamaan kuadrat x1= 5 atau x2= –1 atau x3= –3 4) Melukis garis bilangan dan menempatkan nilai x pembuat nol persamaan kuadrat. | | | –3 –1 5 5) Menentukan tanda (+) atau (–) dari pertidaksamaan pada tiap interval pembuat nol dengan cara mencoba salah satu titik yang terletak pada interval.
x–5 x+1 (x + 1)2 (x +3) (x – 5) (x + 1)2(x +3)
x < –3 – – + – +
–3 <x< –1 – – + + –
–1 <x< 5 – + + + –
x >5 + + + + +
6) Himpunan penyelesaiannya adalah interval-interval yang memiliki tanda sesuai tanda pertidaksamaan Jadi dapat disimpulkan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan (x – 5) (x + 1)2 (x + 3) < 0 adalah: Hp = {x | x > –3 atau x < 5, x ∈ R} Dengan garis bilangan adalah: +++
– – – | –3
– – – | –1
SOAL LATIHAN 1. Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut ini: a. (x – 3) (2x + 3) (2x + 5) > 0 b. (x2 + x – 2)(x + 3)(2 – x) > 0 c. (x + 6)5 (x – 4)2 (x + 3) ≥ 0
8
+ ++ | 5
