Beberapa Pertidaksamaan Tipe Ostrowski

Beberapa Pertidaksamaan Tipe Ostrowski Rani Fransiska Departemen Marematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok 16424 [email protected]

Abstrak Pertidaksamaan Ostrowski adalah suatu pertidaksamaan integral untuk fungsi yang kontinu dan turunannya terbatas. Pertidaksamaan tipe Ostrowski adalah hasil pengembangan dari pertidaksamaan Ostrowski. Penelitian ini bertujuan untuk mempelajari beberapa pertidaksamaan tipe Ostrowski. Fungsi yang digunakan adalah fungsi yang turunan pertamanya kontinu variasi terbatas dan kontinu mutlak.

Abstract Ostrowski’s inequality is an integral inequality for continuous functions and its derivative is bounded. Ostrowski type inequalities is developed from Ostrowski’s inequality. This research is studying about the Ostrowski type inequalities, especially for continuous function of bounded variation and absolutely continuous function. Keywords : absolutely continous, continuous bounded variation, ostrowski type inequality, Riemann-Stieltjes integral.

1. PENDAHULUAN

2. LANDASAN TEORI

Kelas fungsi kontinu adalah kelas fungsi yang terpenting di analisis riil. Istilah “kontinu” digunakan oleh Newton untuk mendeskripsikan sebuah kurva mulus. Setelah itu, Bolzano di tahun 1817 dan Cauchy di tahun 1821 mengidentifikasi kekontinuan sebagai sifat penting dari fungsi dan mengajukan beberapa definisi. Kemudian, di sekitar tahun 1870, Weiertrass mendefinisikan fungsi kontinu dengan menggunakan pendekatan limit (Bartle, 2000). Terdapat beberapa jenis fungsi kontinu, di antaranya fungsi kontinu seragam, kontinu variasi terbatas, dan kontinu mutlak. Masing-masing fungsi tersebut memiliki sifat-sifat tersendiri dan ada beberapa yang terdapat hubungan implikasi. Pada tahun 1938, Ostrowski memperkenalkan sebuah pertidaksamaan integral untuk fungsi yang kontinu dan turunan pertamanya terbatas. Pertidaksamaan ini dikenal dengan pertidaksamaan Ostrowski (Mitrinovic & Pecaric, 1994). Pertidaksamaan integral yang dihasilkan dari pengembangan pertidaksamaan Ostrowski disebut pertidaksamaan tipe Ostrowski Rumusan masalah dalam skripsi ini adalah bagaimana bentuk pertidaksamaan tipe Ostrowski? Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur. Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah mempelajari beberapa bentuk pertidaksamaan tipe Ostrowski

Pada bagian ini diberikan definisi dan teorema mengenai ruang [ , ], fungsi variasi terbatas, fungsi kontinu mutlak, dan integral Riemann-Stieltjes yang akan digunakan pada bagian pembahasan. Definisi 2.1 Untuk sebarang ∈ ℝ, dengan ≥ 1, ruang Banach [ , ] adalah ruang yang berisi semua fungsi kontinu bernilai riil di [ , ] dengan norm yang didefinisikan sebagai ‖ ‖ =

| ( )|

.

(Kreyszig, 1989) Selanjutnya adalah definisi dari fungsi variasi terbatas. Definisi 2.2 Misalkan : [ , ] → ℝ dan = { , ,…, , } partisi dari [ , ]. Variasi dari fungsi atas partisi didefinisikan sebagai ( , )= Variasi dari fungsi

| ( )− (

)|.

di [ , ] didefinisikan sebagai

( )=

( , ).

⋁ ( , ) adalah supremum terhadap semua partisi dari [ , ]. Jika ⋁ ( ) berhingga, maka disebut fungsi variasi terbatas di [ , ]. adalah [ himpunan semua fungsi yang terdefinisi di , ] dan variasi terbatas di [ , ]. (Randolph, 1968)

1 Beberapa pertidaksamaan tipe..., Rani Fransiska, FMIPA UI, 2013

Berikut adalah keunikan dari fungsi variasi terbatas. Akibat 2.3 Fungsi : [ , ] → ℝ adalah fungsi variasi terbatas jika dan hanya jika dapat dinyatakan sebagai hasil pengurangan dua fungsi tak turun. Lebih jauh, fungsi kontinu variasi terbatas jika dan hanya jika dapat dinyatakan sebagai hasil pengurangan dua fungsi kontinu yang tak turun. (Randolph, 1968)

Selanjutnya, diberikan definisi fungsi terintegralkan secara Riemann-Stieltjes.

Definisi 2.8 Misalkan fungsi dan terdefinisi dan terbatas di [ , ]. Dengan menggunakan notasi ( , , ) → ketika ‖ ‖ → 0 atau ( , , )= ‖ ‖→ dimana ∈ ℝ, yang artinya jika diberikan sebarang > 0 terdapat > 0 sedemikian sehingga jika ‖ ‖ < maka ( , , ) ⊂ ( − , + ). Jika limitnya ada, maka dikatakan terintegralkan secara Riemann-Stieltjes terhadap di [ , ] atau " ∈ ℛ ( ) [ , ]" dan notasi

Berikut ini adalah definisi dari fungsi kontinu mutlak. Definisi 2.4 Sebuah fungsi dikatakan kontinu mutlak di [ , ] jika untuk sebarang > 0 yang diberikan, terdapat > 0 sedemikian sehingga ∑ | ( ) − ( )| < , [ , ], dengan [ , ], … , [ , ] adalah kumpulan berhingga subinterval dari [ , ] yang tidak saling berpotongan dan ∑ ( − ) < . (Randolph, 1968)

( )

digunakan dan dibaca sebagai “integral RiemannStieltjes dari ke dari terhadap ”. Fungsi disebut sebagai integran sedangkan disebut sebagai integrator. (Randolph, 1968) Selanjutnya diberikan beberapa sifat dari integral Riemann-Stieltjes. Sifat yang pertama mengenai sifat linear dari integral Riemann-Stieltjes terhadap integratornya.

Teorema 2.5 Jika fungsi kontinu mutlak di [ , ], maka adalah fungsi variasi terbatas di [ , ]. (Randolph, 1968)

Teorema 2.9 Jika ∈ ℛ ( ) dan ∈ ℛ ( ) di [ , ], maka untuk sembarang , ∈ ℝ diperoleh ) di [ , ] dan berlaku ∈ℛ ( +

Variasi suatu fungsi yang kontinu mutlak dapat dihubungkan dengan nilai integral dari mutlak turunan pertama fungsi tersebut.

(

)=

+

+

.

(Apostol, 2004)

Teorema 2.6 Jika kontinu mutlak di [ , ] dan ∈ [ , ], maka ( ) = ⋁ ( ) kontinu mutlak dan berlaku

Sifat selanjutnya membahas mengenai syarat cukup fungsi yang terintegrasi secara RiemannStieltjes. Syarat cukupnya adalah integran merupakan fungsi yang terbatas dan diskontinu di berhingga titik sedangkan integratornya adalah fungsi yang kontinu dan tak turun.

| ( )| .

(Folland, 1999)

Teorema 2.10 Jika adalah fungsi terbatas di [ , ] dengan jumlah titik diskontinu yang berhingga dan adalah fungsi kontinu dan tak turun di [ , ], maka ∈ ℛ ( ) di [ , ]. (Rudin, 1976)

Sebelum masuk kepada definisi fungsi yang terintegrasi secara Riemann-Stieltjes, dibahas terlebih dahulu mengenai jumlah Riemann-Stieltjes. Definisi 2.7 Misalkan dan adalah fungsi bernilai riil yang domainnya adalah interval tutup [ , ] dengan fungsi dan terbatas di [ , ]. Ambil partisi = { , ,…, , } dari [ , ]. Pilih sedemikian sehingga ≤ ≤ untuk = 1,2, … , , maka ( )[ ( ) − (

( )

=

Sifat berikutnya menjamin bahwa jika suatu fungsi kontinu mutlak maka fungsi tersebut adalah fungsi variasi terbatas.

( )=

yang

Sifat berikutnya membahas nilai integral Riemann-Stieltjes jika integrannya adalah fungsi terbatas dan integratornya adalah fungsi variasi terbatas. Ternyata nilainya dapat dikaitkan dengan hasil perkalian dari supremum integrannya dan variasi dari integratornya.

)]

Teorema 2.11 Misalkan ∈ ℛ ( ) di [ , ] dengan fungsi kontinu variasi terbatas di [ , ] maka

disebut jumlah Riemann-Stieltjes dari terhadap dan relatif terhadap . Himpunan dari semua nilai yang mungkin dari jumlah tersebut (dengan , , dan tetap) dinyatakan sebagai ( , , ). (Randolph, 1968)

≤

| ( )| ∈[ , ]

(Lang, 1991)


( ).

Sifat selanjutnya yaitu hubungan antara integral Riemann dengan integral Riemann-Stieltjes ketika integratornya adalah fungsi yang turunannya kontinu.

Bukti: Misalkan kontinu dan terturunkan di [ , ]. Ambil sebarang ∈ [ , ] sehingga 1 ( )− ( ) −

Teorema 2.12 Misalkan ∈ ℛ ( ) di [ , ] dan turunan , yaitu ′ kontinu di [ , ]. Maka Integral Riemann ∫ ( ) ′ ( ) ada dan berlaku

1 − 1 = − =

( )

( ) ′ ( )

( )=

.

(Apostol, 2004)

−

( )

( ).

(Randolph, 1968) Selanjutnya dibuktikan pertidaksamaan CauchySchwarz untuk integral Riemann berlaku. Teorema 2.14 Misal fungsi dan adalah fungsi yang terintegralkan Riemann di [ , ], maka ( ) ( )

≤

| ( ) ( )|

| ( , )| ≤

( )

( )

| − |

= =

| − |

+

− ( + )+

Dengan mensubstitusi hasil ∫ | ( , )| pertidaksamaan (3), maka 1 ( ) ( )− − ‖ ′‖∞ | ( , )| ≤ − ‖ ′‖∞ + = − ( + )+ − 2

3. PEMBAHASAN Pertidaksamaan Ostrowski adalah pertidaksamaan yang ditemukan dan dibuktikan pertama kali oleh seorang matematikawan bernama A. M. Ostrowski pada tahun 1938 (Cerone, 1998). Pertidaksamaan ini adalah pertidaksamaan integral untuk fungsi yang kontinu dan turunannya terbatas. Berikut isi dari pertidaksamaan Ostrowski.

= ‖ ′‖∞ ( − )

Teorema 3.1 Misalkan : [ , ] → ℝ dengan kontinu dan terturunkan di [ , ] dimana turunan pertamanya, ′ ∶ ( , ) → ℝ terbatas, dengan ‖ ′‖∞ ≔ ∈( , ) | ′( )| < ∞. Maka untuk setiap ∈ [ , ], berlaku 1 ( )− ( ) − − 1 + ( − ) 4

( )

, (2)

.

(Bartle & Sherbert, 2000)

≤

( , ) ′( )

( − )

− , ∈ [ , ], − , ∈ ( , ]. Agar sesuai dengan ruas kiri dari (1), ambil nilai mutlak dari (2). Dengan menggunakan sifat nilai mutlak suatu integral dan karena untuk setiap ∈ [ , ] berlaku | ( )| ≤ ‖ ′‖∞ , maka diperoleh 1 ( )− ( ) − 1 ( , ) ′( ) = − 1 | ( , )|| ′( )| ≤ − ‖ ′‖∞ ≤ | ( , )| . (3) − Selanjutnya, hitung ∫ | ( , )| terlebih dahulu.

Teorema 2.13 Jika ∈ ℛ ( ) di [ , ], maka ∈ ℛ ( ) di [ , ] dan memenuhi ( )= ( ) ( )

( )+

dengan ( , ) =

Seperti pada integral Riemann, integral RiemannStieltjes juga mengenal integrasi parsial. Berikut formulanya.

( )

( − )

− 1 + 4 ( − )

+ 2

. ke

.∎

Pertidaksamaan tipe Ostrowski selanjutnya adalah hasil penemuan dari Zheng Liu (2008). Terdapat tiga pertidaksamaan tipe Ostrowski yang dibuktikan, yaitu untuk fungsi yang turunan pertamanya adalah fungsi kontinu mutlak dan kontinu variasi terbatas. Mulamula dibuktikan Lema 3.2 karena ketiga pertidaksamaan tipe Ostrowski selanjutnya menggunakan lema ini. Lebih spesifik lagi, ketiga pertidaksamaan selanjutnya menggunakan nilai mutlak dari ruas kanan persamaan (4).

( − )‖ ′‖∞ . (1)

(Dragomir & Wang, 1998)


Lema 3.2 Misalkan : [ , ] → ℝ sedemikian sehingga ′ fungsi kontinu variasi terbatas di [ , ]. Maka untuk setiap ∈ [ , ] dan ∈ [0,1] berlaku ( , )

′(

)=

′(

( )

−( − ) (1 − ) ( ) + +(1 − )( − )

Karena ( , ) terturunkan dan turunannya kontinu di [ , ], maka dengan Teorema 2.12 dapat dihubungkan dengan integral Riemannnya, menjadi

−

+ 2

( )+ ( ) 2

( , )

′( ) ′( , )

=

′( ), (4)

)

=

′( ) ( − ) − ( − ) 2

=

′( )( − )

− ( − ) 2

dengan 1 ( − )[( − ) − ( − )], ( , )= 2 1 ( − )[( − ) + ( − )], 2

= ( )( − )| −

∈ [ , ],

= ( )( − ) −

∈ ( , ].

(Liu, 2008)

( ) ( )

′( )

− ( − )[ ( ) − ( )] 2 − ( − )[ ( ) − ( )]. 2

Dengan mensubstitusikan hasil tersebut, (6) menjadi

Bukti: Berdasarkan definisi ( , ), maka ( , ) terbatas dan diskontinu di satu titik yaitu di titik ≠ .

′(

( , ) =

1 ′( )[( − ) − ( − )( − )] − ( )( − ) 2 ( )

+

Berdasarkan premis, ′ adalah fungsi kontinu variasi terbatas di [ , ]. Dengan menggunakan Akibat 2.3, maka ′ dapat dinyatakan sebagai hasil pengurangan dua fungsi kontinu yang tak turun. Misal, untuk setiap ∈ [ , ], ′( ) = ( ) − ( ) dimana , fungsi kontinu tak turun di [ , ].

)

+ ( − )[ ( ) − ( )]. 2

Sedangkan suku kedua ruas kanan (5) adalah ′(

( , )

)

= ′( ) ( , ) − ′( ) ( , ) − Dengan Teorema 2.10 mengenai syarat cukup fungsi yang terintegralkan secara Riemann-Stieltjes, karena fungsi yang diskontinu di berhingga titik dan dan adalah fungsi kontinu yang tak turun maka ∈ ℛ ( ) dan ∈ ℛ ( ) di [ , ].

=−

( , )

′(

′(

( , )

=

)+

( , )

′(

′( )

) . (5)

Masing-masing suku di sebelah kanan dihitung dengan menggunakan rumus integrasi parsial untuk integral Riemann-Stieltjes, sehingga untuk suku pertama ( , )

′(

′( )

′( ) ′( , )

=

′( )( − )

dengan

integral

+ ( − ) 2

′( )

= ( )( − )| −

( )

+ ( − )[ ( ) − ( )] 2

= − ( )( − ) −

( )

+ ( − )[ ( ) − ( )]. 2

( , )

( , )

+

1 = ′( )[( − ) − ( − )( − )] 2 −

lagi

( , )

=

=−

′( )

( , ). (7)

Dengan mensubstitusikan hasil tersebut ke (7), diperoleh

)

= ′( ) ( , ) − ′( ) ( , ) −

′( )

Kemudian dikaitkan Riemannnya,

)

( , )

1 ′( )[( − ) + ( − )( − )] 2

−

Dengan menggunakan sifat linear integral RiemannStieltjes terhadap integratornya, Teorema 2.9 menjamin ∈ ℛ ( − ) di [ , ] yang artinya, ∈ ℛ ( ′) di [ , ] sehingga integrasi parsial Riemann-Stieltjes pada Teorema 2.13 dapat digunakan. Selanjutnya, untuk setiap ∈ [ , ] dan ∈ [0,1] berlaku

′( )

′( )

1 ′( )[( − ) + ( − )( − )] + ( )( − ) 2 ( )

− ( − )[ ( ) − ( )]. 2

( , ) . (6)


Jika hasil dari (6) dan (7) dijumlahkan, maka (5) menjadi ( , )

′( )

−

( )

( ′) . (10)

∈[ , ]

Dengan menggunakan definisi ( , ) yang terdapat pada Lema 3.2, maka ( − )[( − ) − ( − )], ∈ [ , ], ( , )= ( − )[( − ) + ( − )], ∈ ( , ].

+ ( − )[ ( ) − ( )] 2

1 ′( )[( − ) + ( − )( − )] 2

+ ( )( − ) +

′( )

| ( , )|

≤

1 = ′( )[( − ) − ( − )( − )] − ( )( − ) 2 +

( , )

=

( )

− ( − )[ ( ) − ( )] 2 ( )+ ( ) ( ) − ( − ) ( )(1 − ) + = 2 + + ′( )( − )(1 − ) − .∎ 2

Misalkan ( , ) didefinisikan sebagai berikut: ( , ) = ( − )[( − ) − ( − )], ∈ [ , ] dan ( , ) = ( − )[( − ) + ( − )], ∈ ( , ].

Pertidaksamaan yang dibahas pertama adalah tipe Ostrowski untuk fungsi yang turunan pertamanya fungsi kontinu variasi terbatas. Berikut isi dari pertidaksamaannya.

Untuk mencari ∈[ , ] | ( , )| terdapat beberapa kandidat titik, yaitu titik stasioner, titik batas, dan titik yang mendekati titik batas.

Teorema 3.3 Misalkan : [ , ] → ℝ sedemikian sehingga ′ fungsi kontinu variasi terbatas di [ , ]. Untuk ≤ ≤ dengan ∈ [0,1], berlaku ( )

− ( − ) (1 − ) ( ) +

Titik stasioner dari dan dari

( )+ ( ) 2

−

( ′) , (8)

<

dan untuk ( )

≤

dengan

( )+ ( ) 2

+ ′( ) 2 1 4( − ) − 4 ( − )( − ) + ( − ) + ≤ 16 |4( − ) − 4 ( − )( − ) − ( − ) | − (1 − )

−

( ′) , (9)

(Liu, 2008)

,

∈[ ,

Berdasarkan Teorema 2.11, karena integrannya, yaitu fungsi ( , ) terbatas dan integratornya yaitu ′( ) kontinu variasi terbatas, maka dengan mengambil nilai mutlak dari persamaan (3.11) diperoleh

−(1 − )

sehingga digunakan formula berikut: | − | + | ( , )| = { , } = + . 2 2 ]

Perhatikan bahwa ( , )− ( , ) 1 1 = ( − ) − ( − )( − ) − ( − ) 2 2 2

( )+ ( ) 2 + − ′( ) 2

− ( − )( − ) 2 + (1 − ). =( − ) − 2

(1 − ) ( ) + −( − )

− ( − ).

Selanjutnya, muncul dua kandidat nilai supremum yang mungkin pada setiap interval , dan

Bukti: Perhatikan bahwa premis dari Teorema 3.3 sama dengan Lema 3.2, yaitu sama-sama untuk ′ fungsi kontinu variasi terbatas di [ , ]. Jadi, persamaan (4) pada Lema 3.2 dapat digunakan.

( )

+ ( − )

( , ) memiliki dua titik kritis, yaitu titik dan dengan nilai fungsi ( − ) | ( , )| = , 8 | ( , )| = 0, dan titik yang mendekati titik batas dengan nilai | ( , )| = lim ( , ) → 1 = ( − ) + ( − )( − ) . 2 2

∈ [0,1], berlaku

− ( − ) (1 − ) ( ) +

=

=

( , ) memiliki tiga titik kritis, yaitu titik , , dan dengan nilai fungsi | ( , )| = 0, ( − ) | ( , )| = , 8 1 | ( , )| = ( − ) − ( − )( − ) . 2 2

+ ′( ) 2 1 4( − ) − 4 ( − )( − ) + ( − ) ≤ 16 +|4( − ) − 4 ( − )( − ) − ( − ) | − (1 − )

( , ) yaitu

( , ) yaitu


Selanjutnya, |

Kasus 1, misalkan ≤ ≤ . Akan dibuktikan untuk ∈ [0,1], berlaku =

( ,

) dan ∈ 0, 1

=

(

)

(

≤

maka − 1 2 ( − ) ≤ 0.

( − )+ ( − ) ≤

∈ 0, 1 2 diperoleh 1 ) = ( − )[( − ) + ( − )] ≥ 0. 2

Jadi, untuk ( ,

(

(

| ( , )| − | ( , )| = ⟹ ( , ) ≥ ( , ).

( , )−

( ,

( ,

)

( ,

(

) dan

.

( ,

) dan

=

(

≤

| ( , )| =

.

∈[ , ]

=

(

)

)

+ 2

+

. ke

| − | 2

1 4( − ) − 4 ( − )( − ) + ( − ) . (12) 16 +|4( − ) − 4 ( − )( − ) − ( − ) |

Substitusi (12) ke (10) maka ( )

( )+ ( ) 2

− ( − ) (1 − ) ( ) +

+ ′( ) 2 1 4( − ) − 4 ( − )( − ) + ( − ) ≤ 16 +|4( − ) − 4 ( − )( − ) − ( − ) | − (1 − )

maka

) dan

(

−

( ′).

Kasus 2, misalkan < ≤ . Untuk ∈ [0,1], dengan pembuktian yang analog dengan kasus 1, diperoleh supremum yang mungkin

 Misalkan ( , ) > 0, maka | ( , )| − | ( , )| = − ( , ) − ( , ) = − ( , ) + ( , ) ≤ 0. ⟹ | ( , )| = ( , ) ≥ | ( , )|. Diperoleh yang menjadi kandidat supremum ( ,

=

(

( − ) − ( − ) ≤ 1 2 − ( − ) < 0. Jadi untuk ∈ 1 2 , 1 diperoleh 1 ( , ) = ( − )[( − ) − ( − )] ≤ 0. 2

adalah

) dan

∈ 1 2,1 , ) .

supremum adalah = ( , ) dan = Dengan mensubstitusi hasil tersebut | ( )|, , diperoleh ∈[ , ]

b. Untuk ∈ 1 2 , 1  Perhatikan untuk ( , ) = ( − )[( − ) − ( − )] dengan

.

Berdasarkan uraian di a dan b, untuk ≤ ≤ dan ∈ [0,1] diperoleh yang menjadi kandidat

∈ 0, 1 2 , ) .

Jadi, terbukti bahwa untuk =

)

( ,

=

 Misalkan ( , ) < 0, maka | ( , )| − | ( , )| =− ( , )− ( , ) = − ( , ) + ( , ) ≤ 0. ⟹ | ( , )| = ( , ) ≥ | ( , )|. Diperoleh yang menjadi kandidat supremum adalah

)

Jadi, terbukti bahwa untuk (

) dan

)

)≤0

Diperoleh yang menjadi kandidat supremum adalah

.

Jadi, ≥ | ( , )| ≥ | ( , )|. Diperoleh yang menjadi supremum adalah

( , ) ≥ 0, maka

 Misalkan

( , )| dibandingkan dengan

( − ) − | ( , )| 8 ( − ) + ( , ) = 8 ( − ) 1 = ( − ) − ( − )( − ) + 2 2 8 1 = ( − ) − ( − ) ≥ 0. 2 2 ( ) ≥ | ( , )| = − ( , ). (11) ⟹

.

a. Untuk 2  Perhatikan untuk ( , ) = ( − )[( − ) + ( − )] dengan

)

adalah = ( , ) dan = Kemudian disubstitusi ke diperoleh | ( , )|

(

)

. ∈[ , ] |

( , )|,

∈[ , ]

1 4( − ) − 4 ( − )( − ) + ( − ) + . (13) = 16 |4( − ) − 4 ( − )( − ) − ( − ) |

.

 Misalkan ( , ) ≤ 0, maka | ( , )| − | ( , )| =− ( , )+ ( , ) = ( , ) − ( , ) ≥ 0. ⟹ | ( , )| ≥ | ( , )|.


Substitusi (13) ke (10) maka ( )

− ( − ) (1 − ) ( ) +

Tidak semua fungsi yang turunan pertamanya kontinu mutlak, turunan keduanya adalah anggota [ , ]. Pertidaksamaan tipe Ostrowski terakhir serupa dengan pertidaksamaan di Teorema 3.4, yaitu untuk fungsi yang turunan pertamanya kontinu mutlak, tetapi ada syarat tambahan, yaitu turunan keduanya adalah anggota [ , ].

( )+ ( ) 2

+ ′( ) 2 1 4( − ) − 4 ( − )( − ) + ( − ) + ≤ 16 |4( − ) − 4 ( − )( − ) − ( − ) | − (1 − )

−

( ′) . ∎

Teorema 3.5 Misalkan : [ , ] → ℝ sedemikian sehingga ′ adalah fungsi yang kontinu mutlak di [ , ] dan ′′ ∈ [ , ]. Maka ∀ ∈ [ , ] dan ∈ [0,1] berlaku ( )+ ( ) ( ) − ( − ) (1 − ) ( ) + 2 + ′( ) − (1 − ) − 2

Pertidaksamaan tipe Ostrowski selanjutnya berlaku untuk fungsi yang turunan pertamanya adalah fungsi kontinu mutlak. Terdapat hubungan antara Teorema 3.4 dan Teorema 3.3 karena fungsi yang kontinu mutlak pasti juga fungsi variasi terbatas. Teorema 3.4 Misalkan : [ , ] → ℝ sedemikian sehingga ′ kontinu mutlak di [ , ]. Untuk ≤ ≤ dengan ∈ [0,1], berlaku ( )

− ( − ) (1 − ) ( ) +

1 + ≤ [(1 − )( − ) − + 2 2 1 + 3 − + ( − ) − + 2 2 2 1 ( − ) ] ‖ "‖ . (16) − + 12 16 80

( )+ ( ) 2

+ ′( ) 2 1 4( − ) − 4 ( − )( − ) + ( − ) + ≤ 16 |4( − ) − 4 ( − )( − ) − ( − ) | − (1 − )

−

dengan ‖ ′′‖ ≔ ∫ | ′′( )| (Liu, 2008)

‖ "‖ , (14) < ≤ dengan ∈ [0,1], berlaku dan untuk ( )

− ( − ) (1 − ) ( ) +

Bukti: Karena ′ adalah fungsi yang kontinu mutlak di [ , ], maka ′ fungsi variasi terbatas di [ , ], jadi Lema 3.2 dapat digunakan. ( )+ ( ) ( ) − ( − ) (1 − ) ( ) + 2 + +(1 − )( − ) − ′( ) 2

( )+ ( ) 2

+ ′( ) 2 1 4( − ) − 4 ( − )( − ) + ( − ) + ≤ 16 |4( − ) − 4 ( − )( − ) − ( − ) | − (1 − )

.

−

‖ "‖ , (15)

=

dengan ‖ "‖ = ∫ | ′′( )| . (Liu, 2008)

( , ) ′′( )

=

( , ) ′′( )

≤

( , )

Dengan membandingkan pertidaksamaan (14) dengan (8) dan pertidaksamaan (15) dengan (9), diperoleh bahwa yang akan dibuktikan adalah ⋁ ( ′) = ‖ ′′‖ .

=

( , )

=

( , )

Berdasarkan Teorema 2.6, karena ′ adalah fungsi yang kontinu mutlak di [ , ], maka variasi ′ di [ , ] dapat dinyatakan dengan ⋁ ( ′) = ∫ | ′′( )| . Karena ′ fungsi kontinu variasi terbatas di [ , ], maka ⋁ ( ′) = ∫ | ′′( )| memiliki nilai yan berhingga, sehingga diperoleh

Selanjutnya, untuk menyelesaikan (17) akan dihitung terlebih dahulu

Bukti: Karena ′ adalah fungsi yang kontinu mutlak di [ , ], maka berdasarkan Teorema 2.5, ′ fungsi kontinu variasi terbatas di [ , ]. Oleh karena itu, Teorema 3.5 dapat digunakan.

( ′) =

| ′′( )|

4 =

[ ′′( )] | ′′( )| ‖ ′′‖ . (17)

( , ) [( − ) − ( − )( − )] [( − ) + ( − )( − )]

= ‖ ′′‖ . ∎


+

= (1 − )( − )

−

3 1 + ( − ) − 2 2 1 ( − ) . + − + 12 16 80 +

−

[3] Kreyszig, E. (1989). Intoductory Functional Analysis with Applications. New York: John Wiley & Sons, Inc. [4] Randolph, J. E. (1968). Basic Real and Abstract Analysis. New York and London: Academic Press. [5] Folland, G. B. (1999). Real Analysis Modern Techniques and Their Applications (2nd ed). New York: John Wiley & Sons, Inc. [6] Apostol, T. M. (2004). Mathematical Analysis (2nd ed.). Hong Kong: Pearson Education Asia Limited and China Machine Press. [7] Rudin, W. (1976). Principal of Mathematical Analysis (3rd ed). New York: McGraw-Hil, Inc. [8] Lang, S. (1991). Real and Functional Analysis. (3rd ed). New York: Springer. [9] Dragomir, S.S., & Wang, S. (1998). Applications of Ostrowski's Inequality to the Estimation of Error Bounds for Some Special Means and for Some Numerical Quadrature Rules. Appl. Math. Lett, Vol. 11, 1, 105-109. [10] Liu, Z. (2008). Some Ostrowski Type Inequalities. Mathematical and Computer Modelling, 48, 949-960.

+ 2 + 2

Dengan mensubstitusi mensubstitusi hasil di atas ke (17), maka diperoleh | ( , )|

‖ ′′‖

1 + = [(1 − )( − ) − + 2 2 1 + 3 − + ( − ) − + 2 2 2 1 ( − ) ] ‖ "‖ . ∎ − + 12 16 80

4. KESIMPULAN Pertidaksamaan Ostrowski adalah hasil pengembangan dari pertidaksamaan tipe Ostrowski. Setelah mempelajari beberapa pertidaksamaan tipe Ostrowski pada bagian pembahasan, diperoleh tiga pertidaksamaan. Ketiga pertidaksamaan tersebut berkaitan karena karakteristik fungsinya juga berhubungan. Yang membedakan ketiga pertidaksamaan tersebut adalah norm yang diperoleh dari karakteristik fungsinya. Suatu fungsi dapat memenuhi beberapa pertidaksamaan asalkan karakteristik fungsinya terpenuhi.

UCAPAN TERIMAKASIH Terimakasih kepada bapak Arie Wibowo, S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing yang telah meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran hingga akhirnya penelitian ini selesai. Selain itu, terimakasih juga kepada Rizky Reza Fauzi yang sudah memberikan banyak masukan dan menjadi teman diskusi.

DAFTAR ACUAN [1] Bartle, R.G., & Sherbert, D.R. (2000). Introduction to Real Analysis (3rd ed). New York: John Wiley & Sons, Inc. [2] Mitrinovic, D. S., Pecaric, J.E., & Fink, A. M. (1994). Inequalities for Functions and their Integrals and Derivatives. Dordrecht: Kluwer Academics.




Beberapa Pertidaksamaan Tipe Ostrowski

Recommend Documents