X
matematika PEMINATAN SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi pertidaksamaan linear dan daerah pertidaksamaannya. 2. Memahami definisi sistem pertidaksamaan linear dan daerah penyelesaiannya. 3. Memahami definisi sistem pertidaksamaan linear-kuadrat dan daerah penyelesaiannya. 4. Memahami definisi sistem pertidaksamaan kuadrat-kuadrat dan daerah penyelesaiannya.
A. Pertidaksamaan Linear Pertidaksamaan linear memiliki bentuk umum ax + by ≤ c, dengan tanda pertidaksamaan dapat berupa ≤, ≥, <, atau >. Contoh-contoh pertidaksamaan linear adalah sebagai berikut. •
3x – 4y ≤ 12
•
y > 4x – 10
B. Daerah Pertidaksamaan Linear Pertidaksamaan linear ax + by ≤ c atau ax + by < c dapat dinyatakan oleh daerah yang terdiri atas sekumpulan titik-titik tak berhingga dan dibatasi oleh persamaan linear ax + by = c. Persamaan linear ax + by = c selalu dapat dinyatakan dalam bentuk garis lurus pada bidang Cartesius. Garis tersebut akan membagi bidang Cartesius menjadi dua daerah, dengan titik-titik pada daerah pertama selalu memiliki sifat yang berlawanan dengan daerah kedua. Sebagai contoh, kita gambar garis x + y = 6.
Kela s
K13
Untuk mempermudah, tentukan dahulu titik-titik yang memenuhi persamaan. Kemudian, plot titik-titik tersebut pada bidang. Selanjutnya, hubungkan titik-titik sehingga membentuk sebuah kurva mulus. Plot titik: x
0
6
y
6
0
Y
X
Garis x + y = 6 terdiri dari tak hingga titik-titik (x1, y1) sehingga x1 + y1 = 6. Sebagai contoh, titik (5, 1) pada gambar tersebut terletak pada x + y = 6 karena 5 + 1 = 6. Sekarang, kita substitusikan titik-titik di sebelah kiri dan kanan garis pada x + y = 6 untuk mengetahui perbandingannya. Perhatikan tabel berikut. Titik-titik di sebelah kiri Titik
x+y
6
Keterangan
(0, 1)
1
6
1<6
(1, 3)
4
6
4<6
(2, 1)
3
6
3<6
Jika dipilih lebih banyak lagi titik-titik di sebelah kiri garis x + y = 6, maka sifatnya selalu sama yaitu x + y < 6.
2
Titik-titik di sebelah kanan Titik
x+y
6
Keterangan
(2, 5)
7
6
7>6
(6, 4)
10
6
10 > 6
(7, 1)
8
6
8>6
Jika dipilih lebih banyak lagi titik-titik di sebelah kanan garis x + y = 6, maka sifatnya selalu sama yaitu x + y > 6. Langkah-langkah untuk menentukan daerah pertidaksamaan linear ax + by ≤ c atau ax + by < c adalah sebagai berikut. 1.
Menggambar garis ax + by = c.
2.
Menguji salah satu titik selain yang terletak pada garis untuk mengetahui sifat daerah. Setelah sifat daerah yang mengandung titik tersebut diketahui, maka sifat daerah lainnya bisa diketahui.
3.
Mengarsir daerah yang dimaksud dengan ketentuan: a.
untuk ax + by ≤ c, daerah diarsir dengan garisnya; dan
b.
untuk ax + by < c, daerah tidak diarsir dengan garisnya atau garisnya dibuat putus-putus.
Contoh Soal 1 Tentukan daerah yang memenuhi pertidaksamaan y ≥ 2x – 8.
Pembahasan: 1.
Langkah 1: menggambar garis y = 2x – 8.
Untuk mempermudah, tentukan dahulu titik-titik yang memenuhi persamaan. Kemudian, plot titik-titik tersebut pada bidang. Selanjutnya, hubungkan titiktitik sehingga membentuk sebuah kurva mulus. Plot titik: x
y
(x, y)
0
–8
(0, –8)
4
0
(4, 0)
3
Y X
2.
Langkah 2: menguji salah satu titik selain yang terletak pada garis untuk mengetahui sifat daerah.
Kita ambil yang termudah yaitu (0, 0) yang terletak di kiri garis. Y
X
Titik Uji
y
2x – 8
Keterangan
(0, 0)
0
-8
0 > –8
Berdasarkan hasil tersebut, dapat diketahui bahwa daerah yang memuat titik (0, 0) memenuhi pertidaksamaan y > 2x – 8, sedangkan daerah yang tidak memuat titik (0, 0) memenuhi pertidaksamaan y < 2x – 8.
4
3.
Langkah 3: mengarsir daerah yang dimaksud.
Oleh karena tanda pertidaksamaannya ≥, maka daerah diarsir dengan garisnya atau garis dibuat tidak putus-putus.
Y X y
2x − 8
y < 2x − 8
Contoh Soal 2 Gambarlah daerah yang memenuhi pertidaksamaan y ≤ 2x.
Pembahasan: 1.
Langkah 1: menggambar garis y = 2x.
Untuk mempermudah, tentukan dahulu titik-titik yang memenuhi persamaan. Kemudian, plot titik-titik tersebut pada bidang. Selanjutnya, hubungkan titik-titik sehingga membentuk sebuah kurva mulus. Plot titik: x
y
(x, y)
0
0
(0, 0)
2
4
(2, 4)
5
Y
y = 2x
X
2.
Langkah 2: menguji salah satu titik selain yang terletak pada garis untuk mengetahui sifat daerah. Kita gunakan titik uji (2, 0) yang terletak di kanan garis. Titik uji
y
2x
Keterangan
(2, 0)
0
4
0<4
Berdasarkan hasil tersebut, dapat diketahui bahwa daerah yang memuat titik (2, 0) memenuhi pertidaksamaan y < 2x, sedangkan daerah yang tidak memuat titik (2, 0) memenuhi pertidaksamaan y > 2x.
3.
Langkah 3: mengarsir daerah yang dimaksud.
Oleh karena tanda pertidaksamaannya ≤, maka daerah diarsir dengan garisnya atau garis yang dibuat tidak putus-putus. Y
y = 2x y > 2x
y < 2x
X
6
Super "Solusi Quipper" Solusi Quipper untuk menentukan daerah penyelesaian yang dibatasi garis y = ax + b tanpa menggunakan titik uji adalah sebagai berikut. 1.
Untuk a > 0, berikan tanda x pada bagian atas garis.
2.
Untuk a < 0, berikan tanda belah ketupat (◊) pada bagian atas garis.
Untuk contoh soal 1 dan contoh soal 2, penentuan sifat daerahnya adalah sebagai berikut. Penentuan sifat daerah untuk contoh soal 1 Y a=2>0 y > 2x − 8
Penentuan sifat daerah untuk contoh soal 2 Y
y = 2x a=2>0
X
y > 2x
y < 2x − 8
y < 2x
X
C. Sistem Pertidaksamaan Linear Sistem pertidaksamaan linear adalah sistem pertidaksamaan yang terdiri atas dua atau lebih pertidaksamaan linear. Bila sistem tersebut digambarkan pada bidang Cartesius, akan diperoleh daerah yang dibatasi oleh garis-garis. Titik-titik yang berada pada daerah tersebut akan memenuhi semua pertidaksamaannya.
7
Contoh Soal 3 Gambarlah daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan berikut. x – 2y ≤ 2 x+y≤2 x≥0
Pembahasan: Gambarlah garis x – 2y = 2, x + y = 2, dan x = 0 Untuk mempermudah, tentukan dahulu titik-titik yang memenuhi persamaan. Kemudian, plot titik-titik tersebut pada bidang. Selanjutnya, hubungkan titik-titik sehingga membentuk sebuah kurva mulus. Y
Untuk x – 2y = 2: x
y
(x, y)
0
–1
(0, –1)
2
0
(2, 0)
0 − 2.0 < 0 x − 2y < 2 x − 2y > 2
X
Y
Untuk x + y = 2: x
y
(x, y)
0
2
(0, 2)
2
0
x+y>2 x+y<2
(2, 0)
X
0+0<2
Untuk x = 0: x
y
(x, y)
0
1
(0, 1)
0
3
(0, 3)
Y x<0
x=0 x>0 1>0
X
8
Jika semua gambar digabung dan diarsir sesuai tanda pertidaksamaannya, maka akan didapat hasil seperti gambar berikut. Y
X
Super "Solusi Quipper" 1 1 x – 1, dengan a = > 0, tandanya (x) 2 2 y ≤ 2 – x, dengan a = –1< 0, tandanya (◊) x – 2y ≤ 2 ⇔ y ≥
x ≥ 0, x positif selalu ada di sebelah kanan dan x negatif selalu ada di sebelah kiri y=2−x
Y X
y= x−1
X
Contoh Soal 4 Tentukan titik-titik (x, y) dengan x dan y bilangan bulat yang memenuhi sistem pertidaksamaan berikut. y ≥ 2x y ≤ 8x x + 2y ≤ 10 2x + y ≥ 4
9
Pembahasan: Gambarlah garis y = 2x, y = 8x, x + 2y = 10, dan 2x + y = 4 Untuk mempermudah, tentukan dahulu titik-titik yang memenuhi persamaan. Kemudian, plot titik-titik tersebut pada bidang. Selanjutnya, hubungkan titik-titik sehingga membentuk sebuah kurva mulus. Y Untuk y = 2x: x
y
(x, y)
0
0
(0, 0)
1
2
(1, 2)
y < 2x
X y > 2x Y
Untuk y = 8x: x
y
(x, y)
0
0
(0, 0)
1
8
(1, 8)
0 < 2.
y < 8x 0 < 8.2
y > 8x
X
Y
Untuk x + 2y = 10: x
y
(x, y)
0
5
(0, 5)
10
0
(10, 0)
x + 2y > 10
x + 2y < 10
X
0 + 2.0 < 10
Y
Untuk 2x + y = 4: x
y
(x, y)
0
4
(0, 4)
2
0
(2, 0)
2x + y > 4 X 2.0 + 0 < 4
10
2x + y < 4
Jika semua gambar digabung dan diarsir sesuai tanda pertidaksamaannya, maka akan didapat hasil seperti gambar berikut. Y
X
Jadi, bilangan bulat yang memenuhi sistem pertidaksamaan tersebut adalah (1, 2), (1, 3), (1, 4), dan (2, 4).
Super "Solusi Quipper" y ≥ 2x, dengan a = 2 > 0, tandanya (x) y ≤ 8x, a = 8 > 0, tandanya (x) 1 1 x + 2y ≤ 10 ⇔ y ≤ – x + 5, a = – < 0, tandanya (◊) 2 2 2x + y ≥ 4 ⇔ y ≥ –2x + 4, a = –2 < 0, tandanya (◊) Y
y = 8x
y = 2x
y = −2x + 4
y=−
1 x+5 2
X
Jadi, bilangan bulat yang memenuhi sistem pertidaksamaan tersebut adalah (1, 2), (1, 3), (1, 4), dan (2, 4).
11
D. Sistem Pertidaksamaan Linear-Kuadrat Sistem pertidaksamaan linear-kuadrat adalah sistem pertidaksamaan yang terdiri dari pertidaksamaan linear dan kuadrat. Sebelum kita belajar tentang sistem pertidaksamaan linear-kuadrat, mari kita pelajari dahulu cara menentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat. Bentuk umum fungsi kuadrat adalah y = ax2 + bx + c dengan a ≠ 0. Grafik dari fungsi kuadrat berbentuk parabola. Titik-titik pada parabola memiliki sifat yang sama seperti persamaan linear, yaitu titik-titik di sepanjang parabola memenuhi y = ax2 + bx + c dan titik-titik di luar parabola memiliki sifat y > ax2 + bx + c atau y < ax2 + bx + c. Tanda > atau < dari pertidaksamaan tersebut didapat dari pengujian titik seperti pada pertidaksamaan linear.
Contoh Soal 5 Tentukan daerah penyelesaian dari y ≥ x2.
Pembahasan: 1.
Langkah 1: menggambar kurva y = x2.
Kurva y = x2 berbentuk parabola yang terbuka ke atas. Titik puncak kurva tersebut dapat ditentukan sebagai berikut. −b =0 2a y p = ax p 2 + bx p + c = 0 xp =
Selanjutnya, tentukan titik-titik yang memenuhi persamaan. Kemudian, plot titiktitik tersebut pada bidang. Lalu, hubungkan titik-titik sehingga membentuk sebuah kurva mulus. Plot titik: x
y
(x, y)
–2
4
(–2, 4)
–1
1
(–1, 1)
0
0
(0, 0)
1
1
(1, 1)
2
4
(2, 4)
Y
X
12
2.
Langkah 2: menguji salah satu titik selain yang terletak pada garis untuk mengetahui sifat daerah. Y Gunakan titik uji (0, 2). (x, y)
y
x2
Keterangan
(0, 2)
2
0
2>0
y > x2 y < x2
y < x2 X
3.
Langkah 3: mengarsir daerah yang dimaksud. Y
X
Super "Solusi Quipper"
y > selalu di atas kurva, sedangan y < selalu di bawah kurva.
13
Untuk contoh soal 5, penentuan daerah penyelesaiannya dengan Solusi Quipper adalah sebagai berikut.
Super "Solusi Quipper" Y
y > x2
X y < x2
Contoh Soal 6 Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut. y ≥ x2 + 4x + 1 y ≤ –x – 2
Pembahasan: Mula-mula, gambarlah y = x2 + 4x + 1 dan y = –x – 2. Untuk y = x2 + 4x + 1: Titik puncak: −b −4 = = −2 2a 2 y p = ax p 2 + bx p + c = 4 − 8 +1= −3 xp =
Plot titik: x
y
(x, y)
–4
1
(–4, 1)
–3
–2
(–3, –2)
–2
–3
(–2, –3)
–1
–2
(–1, –2)
0
1
(0, 1)
14
Untuk y = –x – 2: Plot titik: x
y
Titik
0
–2
(0, –2)
–2
0
(–2, 0)
Jika kita gabungkan kedua grafik dalam satu bidang Cartesius, maka akan diperoleh daerah penyelesaian seperti berikut.
Contoh Soal 7 Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut. 2≤x+y≤6 y ≤ 9 – x2
Pembahasan: 2 ≤ x + y ≤ 6 dapat dinyatakan dengan x + y ≥ 2 dan x + y ≤ 6. Oleh karena itu, sistem pertidaksamaan pada soal dapat dinyatakan dengan: x + y ≥ 2 ... (1) x + y ≤ 6 ... (2) y ≤ 9 – x2 ... (3)
15
Gambarlah x + y = 2, x + y = 6, dan y = 9 – x2. Untuk x + y = 2: Plot titik: x
y
(x, y)
0
2
(0, 2)
2
0
(2, 0)
x+y<2
Untuk x + y = 6: x
y
(x, y)
0
6
(0, 6)
6
0
(6, 0)
Untuk y = 9 – x2: Titik puncak: −b =0 2a y p = ax p 2 + bx p + c = 9 xp =
16
Plot titik: x
y
(x, y)
–2
5
(–2, 5)
–1
8
(–1, 8)
0
9
(0, 9)
1
8
(1, 8)
2
5
(2, 5)
Jika kita gabungkan ketiga grafik dalam satu bidang Cartesius, maka akan diperoleh daerah penyelesaian seperti berikut.
17
E. Sistem Pertidaksamaan Kuadrat-Kuadrat Sistem pertidaksamaan kuadrat-kuadrat adalah sistem pertidaksamaan yang terdiri atas dua pertidaksamaan kuadrat. Cara menentukan daerah penyelesaian dari sistem ini tidak berbeda dengan sistem sebelumnya. Perhatikan contoh berikut.
Contoh Soal 8 Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut. y ≥ x2 – 3x + 14 y ≤ 6 – x2
Pembahasan: Mula-mula, gambarlah y = x2 – 4x + 4 dan y = 6 – x2. Untuk y = x2 – 4x + 4: Titik puncak: −b 4 = =2 2a 2 y p = ax p 2 + bx p + c = 0 xp =
Plot titik: x
y
(x, y)
0
4
(0, 4)
1
1
(1, 1)
2
0
(2, 0)
3
1
(3, 1)
4
4
(4, 4)
18
Untuk y = 6 – x2: Titik puncak: −b 0 = =0 2a −2 y p = ax p 2 + bx p + c = 6 xp =
Plot titik: x
y
(x, y)
–2
2
(–2, 2)
–1
5
(–1, 5)
0
6
(0, 6)
1
5
(1, 5)
2
2
(2, 2)
Jika kita gabungkan kedua grafik dalam satu bidang Cartesius, maka akan diperoleh daerah penyelesaian seperti berikut.
19
