INTERVAL, PERTIDAKSAMAAN, DAN NILAI MUTLAK
Departemen Matematika FMIPA IPB
Bogor, 2012
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
1 / 19
Topik Bahasan
1
Sistem Bilangan Real
2
Interval
3
Pertidaksamaan
4
Nilai Mutlak
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
2 / 19
Sistem Bilangan Real
Sistem Bilangan Real
Himpunan bilangan asli N = f1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .g
#
+0
Himpunan bilangan cacah C = f0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .g
#
+ negatif dari bilangan asli
Himpunan bilangan bulat Z = f. . . , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . .g
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
3 / 19
Sistem Bilangan Real
Himpunan bilangan bulat Z = f. . . , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . .g
#
+ hasil-bagi bilangan bulat
Himpunan bilangan rasional o nm : m, n 2 Z dan n 6= 0 Q= n
#
+ bilangan irasional
Himpunan bilangan real R
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
4 / 19
Sistem Bilangan Real
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
5 / 19
Sistem Bilangan Real
Garis Real R diasosiasikan sebagai garis lurus. x 2 R diasosiasikan sebagai suatu titik di garis.
Titik acuan: bilangan 0 Bilangan real positif x terletak x unit di kanan 0. Bilangan real negatif x terletak x unit di kiri 0.
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
6 / 19
Sistem Bilangan Real
Urutan De…nisi (Relasi urutan) Relasi urutan < (dibaca lebih kecil daripada") dide…nisikan oleh x < y jika dan hanya jika y
x positif.
Relasi urutan (dibaca lebih kecil daripada atau sama dengan") dide…nisikan oleh x
y jika dan hanya jika y
x positif atau nol.
Catatan: x < y dan y > x memiliki arti yang sama. x y dan y x memiliki arti yang sama. (Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
7 / 19
Sistem Bilangan Real
x < y berarti bahwa x berada di sebelah kiri y pada garis real.
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
8 / 19
Sistem Bilangan Real
Sifat-sifat Urutan 1
Trikotomi Jika x dan y adalah bilangan-bilangan, maka tepat satu di antara yang berikut berlaku: x < y atau x = y atau x > y.
2
Ketransitifan Jika x < y dan y < z, maka x < z.
3
Penambahan x < y jika dan hanya jika x + z < y + z.
4
Perkalian Ketika z positif, x < y jika dan hanya jika xz < yz. Ketika z negatif, x < y jika dan hanya jika xz > yz.
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
9 / 19
Sistem Bilangan Real
Catatan: Sifat No. 2, 3, dan 4 juga berlaku ketika lambang-lambang < dan > diganti oleh dan .
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
10 / 19
Interval
Interval De…nisi (Interval) Interval adalah himpunan bilangan real yang dide…nisikan dan dilambangkan sebagai berikut. Penulisan Penulisan Gra…k Himpunan Interval
fx : a < x < bg
(a, b)
fx : a
x
bg
[a, b]
fx : a
x < bg
[a, b)
fx : a < x
bg
(a, b]
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
11 / 19
Interval
De…nisi (Interval) Penulisan Himpunan
Penulisan Interval
bg
( ∞, b]
fx : x < bg
( ∞, b)
fx : x
fx : x
ag
Gra…k
[a, ∞)
(a, ∞) fx : x > ag R ( ∞, ∞) Catatan: ∞ dan ∞ bukan bilangan real.
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
12 / 19
Interval
Gabungan dan Irisan De…nisi Misalkan A dan B merupakan interval. 1 2
A [ B = fx : x 2 A atau x 2 Bg. A \ B = fx : x 2 A dan x 2 Bg.
Contoh Diketahui A = [2, ∞), B = ( ∞, 3), C = ( 5, 1), dan D = [0, 4]. Tentukan 1 2 3 4
A [ B dan A \ B.
A \ C dan B \ C.
(C \ D) [ A dan (A \ D) [ B. B \ (A [ D).
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
13 / 19
Pertidaksamaan
Pertidaksamaan De…nisi (Pertidaksamaan) Pertidaksamaan adalah pernyataan matematik yang memuat salah satu relasi urutan <, >, , atau . De…nisi (Penyelesaian pertidaksamaan) Penyelesaian pertidaksamaan adalah semua bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. dengan sifat urutan Menyelesaikan pertidaksamaan:
% &
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
dengan garis bilangan bertanda
Bogor, 2012
14 / 19
Pertidaksamaan
Contoh 1 Dengan sifat urutan tentukan penyelesaian pertidaksamaan berikut. a. 2 2x 8x 6 b. 1 2 + 6x < 4 c. x + 1 3x 2 2x + 3 d. x2 + 4x 5 2
Dengan garis bilangan bertanda tentukan penyelesaian pertidaksamaan berikut. x2 + 1 d. >0 a. x2 7x < 12 x 3 5 x+5 b. 4 e. + 1 x x 2x + 4 x2 + x 6 x 1 x c. >0 f. < x+1 x x+1
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
15 / 19
Nilai Mutlak
Nilai Mutlak
De…nisi (Nilai mutlak) Nilai mutlak suatu bilangan real x, dinyatakan oleh jxj, dide…nisikan sebagai x, jika x 0, jxj = x, jika x < 0.
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
16 / 19
Nilai Mutlak
Catatan: jxj adalah jarak antara x dengan titik-asal.
jx
aj adalah jarak antara x dengan a.
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
17 / 19
Nilai Mutlak
Sifat-sifat Nilai Mutlak Misalkan a, b 2 R dan n 2 Z, maka 1 jabj = jaj jbj a jaj 2 , jika b 6= 0 = b jbj 3 ja + bj (Pertidaksamaan segitiga) jaj + jbj 4 ja bj jjaj jbjj Misalkan x, y 2 R dan a > 0, maka 1 jxj = a jika dan hanya jika x = a 2 jxj < a jika dan hanya jika a < x < a 3 jxj a jika dan hanya jika a x a 4 jxj > a jika dan hanya jika x < a atau x > a 5 jxj a jika dan hanya jika x a atau x a
Misalkan x, y 2 R dan n 2 Z, maka p 2 1 jxj = x2 dan jxj = x2 n 2 j x j = j xn j 3 jxj < jyj jika dan hanya jika x2 < y2 (Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
18 / 19
Nilai Mutlak
Contoh Tentukan penyelesaian persamaan dan pertaksamaan berikut. 1 2 3 4 5 6 7 8
j3x 7j = 4 jxj = x j6x 5j < 7 x2 6 3 5 j4x + 3j < 10 jxj < j3 2xj (jxj 1) x >0 2 jxj 1 j2x 4j jxj 3
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
19 / 19
