Pertidaksamaan Kuadrat:
BAB V. PERTIDAKSAMAAN
Langkah-langkah penyelesaiannya:
Pengertian: Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka dimana ruas kiri dan kanannya dihubungkan dengan tanda pertidaksamaan “>” (lebih dari), “<” (kurang dari) , “ ≥ ” (lebih besar dari dan sama dengan” atau “ ≤ ” (lebih kecil dari dan sama dengan).
1. Pindahkan semua suku ke ruas kiri 2. Tentukan pembuat nol ruas kiri 3. Tuliskan nilai-nilai tersebut pada garis bilangan 4. Berikan tanda setiap interval 5. Arsir sesuai dengan tanda pertidaksamaan 6. Interval-interval yang diarsir adalah jawabannya
Sifat-sifat Pertidaksamaan: 1. a < b ⇔ b > a 2. Jika a >b maka : a. a ± b > b ± c b. ac > bc apabila c >0 c. ac < bc apabila c < 0 d. a 3 > b 3 3. Jika a > b dan b > c ⇔ a > c 4. Jika a > b dan c > d ⇔ a + c > b + d 5. Jika a > b > 0 dan c > d > 0 ⇔ ac > bd 6. Jika a>b>0 maka :
Pertidaksamaan Pecahan:
Penyelesaiannya dengan langkah persamaan kuadrat dengan syarat penyebut ≠ 0 Pertidaksamaan Bentuk Akar:
Langkahnya adalah dengan mengkuadratkan kedua ruas agar bentuk akarnya hilang Pertidaksamaan Harga/Nilai Mutlak: Pengertian nilai mutlak
x, jika x ≥ 0 |x| = -x jika x < 0
a. a 2 > b 2 1 1 < b. a b
Misal: |10 | = 10 dan | -10 | = - (-10) = 10
7.
a < 0 ⇔ ab<0: b ≠ 0 b
Penyelesaian pertidaksamaan harga mutlak adalah dengan menggunakan sifat-sifat berikut:
8.
a > 0 ⇔ ab>0: b ≠ 0 b
Sehingga | x | tidak pernah negatif
1. | x | < a ⇒ -a< x < a 2. | x | > a ; a > 0 ⇒ x < -a atau x > a 3. | x | =
x2
Pertidaksamaan Linear :
4. | x | 2 = x 2 Dikerjakan dengan menggunakan sifat-sifat pertidaksamaan
5. | x | < | y | ⇒ x 2 < y 2 dengan syarat x, y, a ∈ R dan a > 0
www.belajar-matematika.com - 1
5. SOAL-SOAL PERTIDAKSAMAAN Sipenmaru87 1. Pertidaksamaan (x – 2 )(x + 1 ) ≤ 0, x ∈ R, mempunyai himpunan penyelesaian : A. {x | -1 ≤ x ≤ 1 } B. {x | -2 ≤ x ≤ 1 } C. {x | -1 ≤ x ≤ 2 }
D. {x | x ≤ -2 atau x ≥ 1 } E. {x | x ≤ -1 atau x ≥ 2 }
karena soal ≤ 0 maka nilai (----) yang diambil dengan x=2 dan x=-1 ikut dalam penyelesaian. Didapat penyelesaian -1 ≤ x ≤ 2 EBTANAS2002 2. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
Jawab: (x – 2 )(x + 1 ) ≤ 0
2 − 5x ≥3 x−2
adalah…
1. x = 2 atau x = -1 …….(1) 2. Gunakan garis bilangan untuk mengecek nilainilai yang masuk. ++++++ ---------- ++++++ • • -1 2
Cek 3 nilai: x < -1, x>2 dan -1<x<2 beri tanda ++++ untuk > 0 dan(---) untuk <0
A. {x | 1 ≤ x < 2 } B. {x | 1 ≤ x ≤ 2 } C. {x | x < 1 }
D. {x | x >2 atau x ≤ 1 } E. {x | x >2 atau x ≤ 1 }
jawab:
…..(2)
2 − 5x ≥3 x−2
dari (1) dan (2) didapat -1 ≤ x ≤ 2
;x ≠ 2
2 − 5x −3≥ 0 x−2
Jawabannya adalah C Catatan :
⇔
Garis bilangan sangat membantu sekali dalam pemecahan pertidaksamaan seperti ini dan dalam bab-bab yang lainnya
⇔
Cara menggunakan garis bilangan: cara-cara ini juga digunakan untuk soal-soal selanjutnya :
2 − 5 x − 3( x − 2) 2 − 5 x − 3x + 6 ≥0 ⇔ ≥0 x−2 x−2 8 − 8x 8(1 − x) ≥0⇔ ≥ 0 x−2 x−2
---------
++++++ ------• • 1 2
contoh soal 1 di atas:
didapat
1 ≤ x <2
(x – 2 )(x + 1 ) ≤ 0
jawabannya adalah A x=2 atau x=-1 masuk dalam penyelesaian karena tanda pertidaksamaan ≤ Gambar garis bilangan dengan batas 2 dan -1 ++++++ ---------- ++++++ • • -1 2
…..(2)
EBTANAS1993 3. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x 2 - 5x – 6 > 0, untuk x ∈ R, adalah…. A. {x | -6< x < 1 } D. {x | x ≤ -2 atau x ≥ 1 } B. {x | -3< x < 2 } E. {x | x ≤ -1 atau x ≥ 2 } C. {x | x<-1 atau x >6}
www.belajar-matematika.com - 1
x 2 - 5x – 6 > 0
Jawab : Teori: 1. | x | < a ⇒ -a< x < a
( x + 1 ) ( x- 6 ) > 0
2. | x | > a ; a >0 ⇒ x < -a atau x > a
gambar garis bilangan
Yang sesuai adalah teori 1 : Sehingga :
Jawab:
++++++ ---------- ++++++ • • -1 6
| 2x – 5 | < 1 ⇒
-1<( 2x-5) <1
5 -1< 2x – 5 + 5 < 1 + 5 Didapat x < -1 atau x >6 (karena >0 diambil tanda ++)
4 < 2x < 6
Jawabannya adalah C
2 <x < 3
EBTANAS2000 4. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 6x 2 +x – 2 > 0 dinyatakan dengan bagian tebal pada garis bilangan…. A.
(bagi dengan 2)
jawabannya adalah C UMPTN1993 6. Himpunan semua x yang memenuhi pertidaksamaan | 2x+1 | < |2x – 3| adalah …
D. -2/3
1/2
-1/2
2/3
-3/2
1/2
B.
-2/3
1/2
A. {x | x < -1/2}
D. {x | x > 1/2}
-3/2
1/2
B. {x | x < 1/2}
E. C. {x | x > 3/2}
E.
C. C. {x | x < 3/2}
Jawab:
jawab :
6x 2 +x – 2 > 0 (3x + 2 ) (2x - 1 ) > 0 batas-batasnya x = - 2/3 atau x = ½
teori : . | x | < | y | ⇒ x 2 < y 2 | 2x+1 | < |2x – 3| (2x+1) 2 < (2x-3) 2
Gambar garis bilangan masukkan nilai-nilai x < - 2/3, x > ½ dan -2/3<x<1/2 didapat: ++++++ ---------- ++++++ • • -2/3 1/2 jawabannya adalah A Sipenmaru88 5. Nilai x∈R yang memenuhi | 2x – 5 | < 1 adalah… A. x < 3 B. x < 2
C. 2<x<3 D. -3<x<-2
4x 2 + 4x + 1 < 4x 2 -12 x + 9 4x 2 - 4x 2 +4x +12x < 9 – 1 16x < 8 8 x< 16 1 x< 2 jawabannya adalah B
E. x >2
www.belajar-matematika.com - 2
UMPTN1993 8. Jika |2x-3| < 1 dan 2x<3 , maka….
Sipenmaru85 7. Nilai x yang memenuhi |x-2| 2 < 4 |x-2| + 12 adalah… A. -2 < x < 8 B. -2 < x < 6 C. -4 < x < 8
A. x < 3/2 B. 1 < x < 2 C. 3/2 < x <2
D. -2 < x < 4 E. θ
D. 1 < x < 3/2 E. 3/2 < x < 5/2
Jawab: jawab :
|2x-3| < 1 ⇒ -1 < 2x -3 < 1
2
|x-2| < 4 |x-2| + 12
3 -1 < 2x-3+3 < 1 + 3 2 < 2x < 4 1 < x < 2 … (1)
dimisalkan y = x-2 , y 2 < 4y + 12 y 2 -4y -12 < 0 (y – 6) (y +2) < 0
2x < 3 x < 3/2
(2)
garis bilangan: • 1
++++++ ---------- ++++++ • • -2 6
jawabannya adalah D
ada dua kondisi : 1. |x-2| > -2 tidak berlaku teori . | x | > a ; a >0 ⇒ x < -a atau x > a (karena a nya minus) untuk berapapun inilai x hasilnya > -2 karena nilai |x-2| tidak pernah negatif (teori) atau berlaku untuk setiap x ∈ R
EBTANAS2000 9. Batas-batas nilai x yang memenuhi log (x-1) 2 < log(x-1) adalah…. A. x < 2 B. x > 1
C. x <1 atau x > 2 D. 0<x<2
Jawab:
2. . |x-2| < 6 Berlaku teori | x | < a ⇒ -a< x < a
log (x-1) 2 < (x-1) ; x ≠ 1
-6 < x-2 < 6 2-6 <x-2+2 < 6 +2 -4 < x < 8
(x-1) 2 < x -1 x 2 - 2x + 1 < x – 1
1 ∩ 2 = semua bilangan (x ∈ R) ∩ -4 < x < 8
jawabannya adalah C
• 2
1 ∩ 2 = 1 < x < 3/2
didapat -2
= -4 < x < 8
• 3/2
x 2 - 2x + 1 – x + 1 < 0 x 2 - 3x + 2 < 0 (x - 1) (x – 2 ) < 0
www.belajar-matematika.com - 3
E. 1 < x <2
gambar garis bilangan:
++++++ ---------- ++++++ • • 1 2 didapat
<1 x < 2
jawabannya adalah E UMPTN2000
didapat x > 1 atau x ≤ -8 (nilai +++) (kenapa tidak x ≤ 1, ingat x ≠ 1) (2)
2x + 7 ≤ −1 ; x ≠ 1 x −1 2x + 7 +1 ≤ 0 x −1 (2 x + 7) + ( x − 1) ≤0 x −1
2x + 7 ≥ 1 dipenuhi oleh.. x −1 A. -2 ≤ x ≤ 8
6 3x + 6 ≤ 0 Æ batas nilai x = - = -2 dan x = 1 x −1 3
B. x ≤ -8 atau x ≥ -2
++++++ ---------- ++++++ • • -2 1
10. Nilai dari
C. -8 ≤ x < 1 atau x >1 D. -2 ≤ x < 1 atau 1 < x ≤ 8 E. x ≤ -8 atau -2 ≤ x < 1 atau x >1 Jawab:
didapat
-2 ≤ x <1
(1) ∩ (2) = x > 1 atau x ≤ -8 atau -2 ≤ x <1 jawabannya dalah E
2x + 7 ≥1 ; x x −1
≠1
penyelesaiannya adalah 2x + 7 2x + 7 (1). ≥ 1 dan (2) ≤ −1 x −1 x −1 (1)
(nilai --- yang diambil)
2x + 7 ≥1 ; x≠ 1 x −1 2x + 7 −1 ≥ 0 x −1 (2 x + 7) − ( x − 1) ≥0 x −1 x+8 ≥ 0 Æ batas nilai x = -8 dan x =1 x −1 ++++++ ---------- ++++++ • • -8 1
www.belajar-matematika.com - 4
