BAB III SIMULASI PENGGUNAAN PERTIDAKSAMAAN PADA DISTRIBUSI

BAB III SIMULASI PENGGUNAAN PERTIDAKSAMAAN PADA DISTRIBUSI

BAB III SIMULASI PENGGUNAAN PERTIDAKSAMAAN PADA DISTRIBUSI 3.1 Pendahuluan

Pada bab sebelumnya telah dibahas mengenai pertidaksamaan Chernoff dengan terlebih dahulu diberi pemaparan mengenai dua pertidaksamaan yang sudah cukup sering dipergunakan yaitu pertidaksamaan Markov dan pertidaksamaan Chebyshev. Telah disebutkan bahwa pertidaksamaan Chernoff memberikan batas yang paling dekat dengan nilai sebenarnya.

Untuk membandingkan batas yang dihasilkan oleh ketiga pertidaksamaan tersebut pada suatu populasi dapat dilakukan sebuah simulasi. Simulasi dilakukan dengan mengenerate data untuk sebuah distribusi kemudian menghitung nilai peluang suatu selang tertentu dengan menggunakan frekuensi relatif yang dihitung dari data tersebut (tanpa melihat distribusinya). Hasil perhitungan secara eksak akan dibandingkan dengan hasil perhitungan dengan menggunakan ketiga bentuk pertidaksamaan. Berikut ini hasil simulasi untuk distribusi binomial dan distribusi normal:

3.2 Simulasi untuk Distribusi Binomial

Pada simulasi pertama untuk suatu data berdistribusi binomial (10, 0.30) di-generate sebanyak 300 data, sebagai berikut

X 0 1 2 3 4

Frekuensi

frekuensi relatif

9 29 64 73 70

0.03 0.097 0.213 0.243 0.233

Frekuensi relatif komulatif 0.03 0.127 0.34 0.583 0.817

hampiran peluang binomial (10, 0.3) (sumber: Walpole) 0.0282 0.1493 0.3828 0.6496 0.8497

24


X 5 6 7 8

frekuensi relatif 0.11 0.06 0.01 0.003

Frekuensi 33 18 3 1

Frekuensi relatif komulatif 0.927 0.987 0.997 1 Tabel 8

hampiran peluang binomial (10, 0.3) (sumber: Walpole) 0.9527 0.9894 0.9984 0.9999

Data Simulasi 1

Distribusi penyebaran data simulasi 1 tersebut dapat digambarkan dalam histogram berikut:

Histogram Data Simulasi 1 80 70

frekuensi

60 50 40 30 20 10 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

Gambar 1 Histogram Data Simulasi 1

selain itu statistik dari data tersebut dapat disajikan sebagai berikut : Univariate Statistics Variable 1 Count Sum Average Median Mode Minimum Maximum Range Standard Deviation

300 958 3.19 3 3 0 8 8 1.516

25


2.297 0.191

Variance Skewness

-0.185

Kurtosis Tabel 9

Tabel Informasi Statistik untuk Data Simulasi 1

Dari informasi di atas dapat dilihat bahwa range data cukup besar. Hal ini juga menyebabkan data tersebar cukup luas. Titik puncak dari data berada di sekitar rataan, sehingga kemiringan dari grafik data pun cukup kecil.

Dalam melakukan simulasi penggunaan pertidaksamaan pada distribusi data ini diambil nilai peluang salah satu selang yaitu P( X ≥ 4) . Nilai peluang secara eksak dapat dihitung dengan menggunakan frekuensi relatifnya

P ( X ≥ 4) = 1 − P( X < 4) = 1 − [ P ( X = 3) + P( X = 2) + P( X = 1) + P( X = 0)] = 0.417

(3.2)

Kemudian dengan menggunakan pertidaksamaan dapat diperoleh hasil sebagai berikut Pertidaksamaan Markov: P ( X ≥ 4) ≤

E[ X ] 3.19 = = 0.7975 4 4

(3.3)

Pertidaksamaan Chebyshev: P ( X − 3.19 ≥ 0.81) ≤ P ( X − 3.19 ≥ 0.81) ≤

σ2 σ 2 + (0.81) 2 2.297 2,297 + 0.6561

(3.4)

P ( X ≥ 4) ≤ 0.77 Dalam menghitung batas atas pertidaksamaan Chernoff P ( X ≥ 4) terdapat sedikit kesulitan dalam mencari bentuk fungsi pembangkit momen hampirannya. Perlu bantuan komputer dalam mencari fungsi tersebut. Fungsi pembangkit momen hampirannya tersebut

dihitung

dengan

menggunakan

komputasi

sehingga

didapatkan

hasil

pertidaksamaan Chernoff sebagai berikut:

P ( X ≥ 4) ≤ 0.724

(3.5)

26


Dari simulasi data yang terdistribusi binomial (10, 0.30) ini dapat ditunjukkan bahwa pertidaksamaan Chernoff menghasilkan batas yang paling baik, mendekati nilai sebenarnya. Hal ini bisa diakibatkan karena jumlah datanya yang cukup banyak atau karena penyebaran datanya yang cukup besar. Simulasi lain dilakukan untuk beberapa nilai p, misalnya untuk p=0.5 dengan data sebagai berikut :

Frekuensi

X

frekuensi relative

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3 22 64 109 135 96 47 17 6

0.006 0.044 0.128 0.218 0.27 0.192 0.094 0.034 0.012

10

1

0.002

Tabel 10 Tabel Data Simulasi Binomial (10, 0.5)

Pertidaksamaan Chernoff juga memberikan batas yang paling akurat pada simulasi ini. Simulasi lain juga dilakukan untuk distribusi dari peubah acak kontinu, yaitu distribusi normal. Hasil simulasi tersebut dapat dilihat sebagai berikut

3.3 Hasil Simulasi untuk Distribusi Normal

Pada simulasi pertama untuk distribusi normal di-generate data sebanyak 200 dengan mean ( µ ) = 7 dan standar deviasi (σ ) =2

nilai tengah

Frekuensi

2.00-3.00 3.00-4.00 4.00-5.00 5.00-6.00 6.00-7.00

2.5 3.5 4.5 5.5 6.5

6 7 21 33 43

0.03 0.035 0.105 0.165 0.215

0.03 0.065 0.17 0.335 0.55

7.00-8.00

7.5

37

0.185

0.735

Selang

Frekuensi relative

frekuensi relative komulatif

27


nilai tengah

Frekuensi

8.00-9.00

8.5

20

0.1

0.835

9.00-10.00

9.5

19

0.095

0.93

10.00-11.00

10.5

10

0.05

0.98

11.00-12.00

11.5

4

0.02

1

Selang

Frekuensi relative

frekuensi relative komulatif

Tabel 11 Data Simulasi 2

Data mentah untuk simulasi ini dapat dilihat pada lampiran C. Distribusi penyebaran data simulasi 2 tersebut dapat digambarkan dalam histogram berikut:

12.482112

11.714424

10.946736

10.179047

9.411359

8.643671

7.875982

7.108294

6.340606

5.572917

4.805229

4.037541

3.269852

2.502164

50.0 40.0 30.0 20.0 10.0 0.0 1.734476

frekuensi

Histogram Data Simulasi 2

x

Gambar 2 Histogram Data Simulasi 2

Dengan statistik yang diperoleh dari data tersebut sebagai berikut :

Univariate Statistics Variable 1 Count Sum Average

200 1,382.3916 6.911958

Median

6.8740

Minimum

2.1020

Maximum

11.7450

28


9.6430

Range Standard Deviation

1.9513442

Variance

3.8077442 0.103

Skewness

-0.150

Kurtosis Tabel 12

Tabel Informasi Statistik Data Simulasi 2

Dari informasi di atas dapat diketahui bahwa range data cukup besar. Hal ini juga menyebabkan data tersebar cukup luas. Titik puncak dari data berada di sekitar rataan, sehingga kemiringan dari grafik data pun cukup kecil.

Dalam melakukan simulasi penggunaan pertidaksamaan pada distribusi data kontinu ini diambil nilai peluang salah satu selang yaitu P( X ≥ 7) . Nilai peluang secara eksak dapat

dihitung dengan menggunakan frekuensi relatifnya P ( X ≥ 7) = 1 − P ( X < 7) = 0.45

(3.6)

atau jika kita menggunakan tabel distribusi normal [1] bisa didapatkan P ( X ≥ 7) = 1 − P ( X < 7) = 0.5

Kemudian dengan menggunakan pertidaksamaan dapat diperoleh hasil sebagai berikut Pertidaksamaan Markov : E[ X ] 7 6.911958 P ( X ≥ 7) ≤ = 0.9874 7 P ( X ≥ 7) ≤

(3.7)

Pertidaksamaan Chebyshev: P ( X − 6.911958 ≥ 0.088042) ≤ P ( X ≥ 7) ≤

σ2 σ + (0.088042)

3.8077442 = 0.975 3.8077442 + 0.0077513934

(3.8)

Dalam menghitung batas atas pertidaksamaan Chernoff P ( X ≥ 7) terdapat sedikit kesulitan dalam mencari bentuk fungsi pembangkit momen hampirannya. Perlu bantuan

29


komputer dalam mencari fungsi tersebut. Fungsi pembangkit momen hampirannya tersebut dihitung dengan menggunakan komputasi dan akan didapatkan hasil pertidaksamaan Chernoff sebagai berikut: P ( X ≥ 7) ≤ 0.864

(3.9)

Simulasi lain dilakukan untuk beberapa distribusi normal lainnya dan menghasilkan hal yang serupa. Pertidaksamaan Chernoff menghasilkan batas yang paling akurat mendekati nilai sebenarnya.

Dari simulasi ini dapat ditunjukkan bahwa untuk beberapa kasus pada distribusi binomial dan normal, pertidaksamaan Chernoff selalu menghasilkan batas atas dari nilai peluang

P(X ≥ a) yang lebih akurat dibandingkan pertidaksamaan Markov dan Chebyshev. Meskipun dalam perhitungannya lebih sulit dikerjakan dibandingkan dengan kedua pertidaksamaan lainnya.

30

BAB III SIMULASI PENGGUNAAN PERTIDAKSAMAAN PADA DISTRIBUSI

Recommend Documents