1
NAMA KELAS
: :
2 PROGRAM LINEAR Ingat:
Langkah-langkah dalam menggambar ax + by = c 1. Buat daftar nilai x dan y pada tabel. x y 2. Tentukan titik potong dengan sumbu X, yaitu saat y = 0. 3. Tentukan titik potong dengan sumbu Y, yaitu saat x = 0. 4. Pilihlah beberapa nilai x kemudian carilah nilai y-nya dengan mensubstitusikan nilai x pada fungsi f (jika diperlukan). 5. Gambarkan titik-titik pada bidang koordinat cartesius. 6. Hubungkan titik-titik ini dengan garis.
Persamaan garis lurus jika diketahui melalui dua titik, yaitu (x1, y1) dan (x2, y2) adalah:
=
.
Khusus untuk persamaan garis yang memotong sumbu X di titik (b,0) dan sumbu Y di titik (0,a) dapat juga menggunakan rumus: ax + by = ab.
Latihan 1: 1. Gambarlah grafik fungsi: a. y = x – 2 b. y = 4x + 1 c. y = - 2x 2. Tentukan persamaan garis lurus jika melalui titik a. titik (2, 1) dan (4, 2) b. titik (0, -4) dan (-1, -2) 3. Tentukan persamaan garis lurus pada grafik berikut ini: a. b.
A. Sistem Pertidaksamaan Linear (SPtdL) Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan dengan pangkat tertinggi dari variabelnya satu. Sistem pertidaksamaan linear adalah gabungan dua atau lebih dari pertidaksamaan linear. Berikut ini merupakan beberapa contoh dari SPtdL dengan variabel x dan y: 1. 2x + 3y ≥ 12 3. 3x + 2y ≥ 6 4x + 5y ≥ 20 x - y≤4 2. x + y < 12 4. x ≥ 0 4x + 5y < 20 y≥0 x – y ≥ 12 4x + 5y ≥ 20
3 Ingat:
Untuk pertidaksamaan linear dengan tanda “<” atau “>” maka grafik pertidaksamaannya digambar putusputus.
Untuk pertidaksamaan linear dengan tanda “≤” atau “≥” maka grafik pertidaksamaannya digambar tanpa putus-putus. Latihan 1 : Tentukan himpunan penyelesaian dari a. x < 3 d. x + y ≥ 2 b.y 2 e. x - 2y 4 c. 3x + 2y > 6 Jawab : a. x < 3
b.
y 2
c. 3x + 2y > 6
d.
x+y≥2
e. x - 2y 4
4 Himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan linear dua variabel merupakan pasangan bilangan (x,y) yang memenuhi pertidaksamaan linear tersebut. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut dapat diselesaikan dengan metode grafik dan titik uji. Berikut ini adalah langkah-langkah untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian ax+by ≥ c pertidaksamaan linear dengan metode grafik, sebagai berikut: 1. Menggambar garis ax + by = c. 2. Melakukan titik uji, yaitu mengambil sembarang titik (x,y) yang tidak terletak pada garis ax + by =c, kemudian mensubstitusikannya ke dalam pertidaksamaan ax+by ≥ c. a. Jika pertidaksamaan itu bernilai benar, maka himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik tersebut dengan batas garis ax + by =c. b. Jika pertidaksamaan itu bernilai salah, maka himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang tidak memuat titik tersebut dengan batas garis ax + by =c. Catatan: Kesepakatan bahwa daerah yang diarsir adalah daerah himpunan penyelesaian (DP).
Contoh: 1. Tentukan daerah himpunan penyelesaian untuk sistem pertidaksamaan linear: 2x + 9y ≥ 18 x+y ≤6 x ≥ 0 y≥0 Jawab : i. Titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y a. 2x + 9y =18 x y (x,y)
b. x + y = 6 x y (x,y)
ii. Menggambar pada bidang cartesius iii.
Arsilah DP!
a.
Titik uji: 2x + 9y ≤ 18
b.
x+y
≤6
5
2. Tentukan sistem pertidaksamaan linear untuk daerah himpunan penyelesaian berikut, tentukan juga titik-titik pojok daerah himpunan penyelesaiannya! Catatan: Jika grafik di Kuadran I, maka x ≥ 0; y ≥ 0.
Latihan 2: A. Tentukan daerah himpunan penyelesaian untuk setiap sistem pertidaksamaan linear berikut: 1. 2x + y ≤ 40 x + 2y ≤ 40 x ≥ 0 y≥0 2.
x+y >7 x + 2y < 10 x ≥ 0 y≥0
3.
2x + y ≤ 14; 3x + 4y ≥12; x ≥ 0; y ≥ 0
4.
x 0, y 0, x+y 4, 2x – y 4, 2y - x 4
5.
2x + y ≤ 24; x + 2y ≥ -12; x – y ≥ -2; x ≥ 0; y ≥ 0
6
B.
6.
7.
8.
Tentukan sistem pertidaksamaan linear untuk setiap daerah himpunan penyelesaian berikut, tentukan juga titik-titik pojok daerah himpunan penyelesaiannya!
7
9.
10.
11.
8 B.
Program Linear, Model Matematika, dan Nilai Optimum Suatu Bentuk Objektif
1.
Fungsi Objektif/ Fungsi Tujuan/Fungsi Sasaran
adalah nilai f untuk x dan y tertentu dari suatu program linear, dan dinyatakan f(x, y) yang akan dioptimalkan (dimaksimumkan/diminimumkan). Bentuk umumnya: f (x,y) = c1 x + c2 y. 2.
Fungsi Kendala
adalah syarat atau batas yang harus dipenuhi oleh variabel-variabel dalam fungsi objektif. 3. Pada gambar himpunan penyelesaian program linear, titik-titik sudut/pojok merupakan titik-titik kritis, dimana nilai minimum atau maksimum berada. 4. Model matematika adalah suatu cara penyelesaian masalah dengan cara mengubah bentuk kalimat verbal menjadi suatu model yang selanjutnya diselesaikan dengan pendekatan matematika.
Latihan 3: 1.
Diketahui program linier dengan fungsi kendala sebagai berikut : x + 2y 6 2x + y 6 9x + 4y 40 x 0; y 0 Tentukan nilai optimum dari fungsi objektif f(x,y) = 7x+2y!
2.
Tentukan nilai maksimum dari fungsi obyektif: 3x + 2y pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan x + y ≤ 5, 2x + 3y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 !
3.
Tentukan nilai minimum dari fungsi obyektif f ( x, y ) 4 x 2 y pada daerah yang dibatasi x 0, y 0, 2x+3y 18, 4x+3y 24!
4.
Dari gambar di bawah ini daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaiannya, tentukan nilai maksimum fungsi sasaran Z = 6x + 8y!
5.
Dari gambar di bawah ini daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaiannya, tentukan nilai maksimum dari fungsi objektif f(x,y) = 4x +5y!
9 6.
Pedagang kopi mempunyai lemari yang hanya cukup ditempati 60 kotak kopi. Kopi A dibeli dengan harga Rp. 4.000,00 setiap kotak dan kopi B dibeli dengan harga Rp.6000,00 setiap kotak. Pedagang tersebut mempunyai modal Rp. 360.000,00, untuk membeli x kotak kopi A dan y kotak kopi B. Tentukan sistem pertidaksamaan dari permasalahan tersebut!
7.
Seorang penjual buah-buahan yang menggunakan gerobak menjual apel dan jeruk. Harga pembelian apel Rp 5.000,00 tiap kg dan jeruk Rp 2.000,00 tiap kg. Pedagang itu hanya mempunyai modal Rp 1.250.000,00 dan muatan gerobak tidak melebihi 400 kg. Jika x menyatakan banyaknya apel dan y menyatakan banyaknya jeruk, maka tentukan model matematika dari pernyataan di atas!
8.
Seorang pembuat paku membuat jenis paku dari bahan yang tersedia yaitu 5,5 kg A dan 2 kg bahan B. Paku jenis I tiap buah memerlukan 200 gram bahan A dan 75 gram bahan B sedangkan paku jenis II tiap buah memerlukan 150 gram bahan jenis A dan 50 gram bahan jenis B. Jika pengusaha menjual paku I dengan harga Rp 500,00 dan paku II dengan harga Rp 350,00 maka hitunglah berapa buah paku I dan paku II yang harus dibuat agar penghasilan pengusaha maksimum!
9.
Sebuah batik memiliki 4 m kain satin dan 5 m kain prada. Dari bahan tersebut akan dibuat dua baju pesta. Baju pesta I memerlukan 2 m kain satin dan 1 m kain prada. Baju pesta II memerlukan 1 m kain satin dan 2 m kain prada. Jika harga jual baju pesta I Rp 500.000,00 dan baju pesta II Rp 400.000,00. Tentukan hasil penjualan maksimum butik tersebut!
10. Rokok A yang harga belinya Rp. 200,00 perbungkus dijual dengan laba Rp. 40,00 perbungkus. Sedangkan rokok B yang harga belinya Rp. 100,00 perbungkus dijual dengan laba Rp. 30,00 perbungkus. Seorang pedagang rokok yang mempunyai modal Rp. 80.000,00 dan kiosnya maksimal dapat menampung 500 bungkus rokok. Tentukan banyaknya barang yang harus dibeli agar mendapat keuntungan sebesarbesarnya! 11. Seorang pengusaha membuat 2 jenis sprei dengan model A dan B. Model A membutuhkan 1,25 m kain polos dan 0,75 m kain corak, sedangkan model B membutuhkan kain polos dan kain corak masing-masing 1 m. Kain yang tersedia hanya 55 m untuk kain polos dan 45 m untuk kain corak. Dalam satu minggu dia hanya sanggup membuat 50 helai sprei saja. Jika sprei jenis A dia jual dengan harga Rp. 250.000,-/ helai dan sprei jenis B seharga Rp. 175.000/ helai, tentukan penjualan maksimum yang akan diperoleh dalam 1 minggu! 12. Luas daerah parkir 1.760 m2. Luas rata – rata untuk mobil kecil 4 m2 dan mobil besar 20 m2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan, biaya parkir mobil kecil Rp. 1.000,00/jam dan mobil besar Rp. 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak kendaraan yang pergi dan datang, tentukan hasil maksimum tempat parkir itu! 13. Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan gerobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp. 8.000,00/kg dan pisang Rp. 6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp. 1.200.000,00 dan gerobaknya hanya dapat memuat mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika harga jual mangga Rp. 9.200,00/kg dan pisang Rp. 7.000,00/kg, tentukam laba maksimum yang diperoleh! 14. Tanah seluas 10.000 m2 akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untuk tipe A diperlukan 100 m2 dan dan tipe B diperlukan 75 m2. Jumlah rumah yang akan dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan rumah tipe A adalah Rp. 6.000.000,00/unit dan tipe B adalah Rp. 4.000.000,00/unit. Tentukan keuntungan maksimum yang dapat diperoleh dari penjualan rumah tersebut!
