Muhammad Dakim
PROGRAM LINEAR Jenis-jenis soal program linear yang sering diujikan adalah soal-soal tentang : 1. Menggambar daerah yang memenuhi 2. Menentukan system pertidaksamaan suatu daerah 3. Menentukan nilai optimum (maksimum dan minimum) SOAL DAN PEMBAHASAN 13.1 Soal dan pembahasan Menggambar daerah yang memenuhi Soal menggambar daerah yang memenuhi dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep 13.1 Konsep 13.1 Langkah-langkah menggambar daerah yang memenuhi ax + by ≥ c atau ax + by ≤ c adalah: 1. Gambar garis ax + by = c 2. (i) Jika b positif dan arah pertidaksamaan ≥ : yang memenuhi sebelah atas ≤ : yang memenuhi sebelah bawah (ii) Jika b negatif dan arah pertidaksamaan ≥ : yang memenuhi sebelah bawah ≤ : yang memenuhi sebelah atas.
Contoh Soal : Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + y ≤ 40, x + 2y ≤ 40, x ≥ 0, y ≥ 0 terletak pada daerah yang berbentuk .... Penyelesaian : 2x + y ≤ 40 x + 2y ≤ 40 - Titik potong sumbu-X → y = 0 Titik potong sumbu-X → y = 0 2x + 0 = 40 x + 2.0 = 40 x = 20 ...............................(20,0) x = 40 ...............................(40,0) - Titik potong sumbu-Y → x = 0 Titik potong sumbu-Y → x = 0 2.0 + y = 40 0 + 2y = 40 y = 40................................(0,40) y = 20................................(0,20) →daerah yang memenuhi sebelah bawah →daerah yang memenuhi sebelah bawah - x≥0 →x=0 daerah yang memenuhi sebelah kanan - y≥0 →y=0 daerah yang memenuhi sebelah atas y (0.40) (0,20)
(20,0)
(40,0)
x
Himpunan penyelesaiannya berbentuk segi empat Matematikasmart.wordpress.com
Page 54
Muhammad Dakim 13.2 Soal dan pembahasan Menentukan system pertidaksamaan suatu daerah Soal Menentukan system pertidaksamaan suatu daerah dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep 13.3 Konsep 13.3 Langkah-langkah menentukan system pertidaksamaan suatu daerah adalah: 1. Tentukan persamaan pembatas-pembatas dengan rumus: Y
Y
Y
y2 (x1, y1)
y1
y1 X
x1
0
(x2, y2)
0
a. Persamaan garis yang bergradien m dan melalui titik (x1, y1) adalah: y – y1 = m(x – x1)
a (0, a)
(x1, y1) x1
x2
X
b. Persamaan garis yang melalui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) adalah :
y y1
y 2 y1 ( x x1 ) x 2 x1
0
(b, 0) X b
c. Persamaan garis yang memotong sumbu X di (b, 0) dan memotong sumbu Y di (0, a) adalah: ax + by = ab
2.
(i) Jika b positif dan yang memenuhi sebelah: Atas maka arah pertidaksamaan ≥ Bawah maka arah pertidaksamaan ≤ (ii) Jika b negative dan yang memenuhi sebelah: Atas maka arah pertidaksamaan ≤ Bawah maka arah pertidaksamaan ≥
Contoh Soal : Koordinat titik-titik di dalam dan sepanjang sisi segitiga ABC dalam gambar dibawah ini memenuhi pertidaksamaan.... y (0.8) (0,6)
A
(0.2)
C B (2,0)
x (8,0)
(12,0)
Daerah yang diarsir berada di: Atas garis yang melalui (0,8) dan (2,0) Maka 8x + 2y ≥ 16 atau 4x + y ≥ 8 Bawah garis yang melalui (0,6) dan (8,0) Maka 6x + 8y ≤ 48 atau 3x + 4y ≤ 24 Atas garis yang melalui (0,2) dan (12,0) Maka 2x + 12y ≥ 24 atau x + 6y ≥ 12 Matematikasmart.wordpress.com
Page 55
Muhammad Dakim 13.3 Soal dan pembahasan Menentukan nilai optimum (maksimum dan minimum) Soal Menentukan nilai optimum (maksimum dan minimum) dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep 13.3 Konsep 13.3 Langkah-langkah menentukan nilai minimum/maksimum fungsi sasaran : 1. Gambar daerah yang memenuhi 2. Tentukan nilai fungsi sasaran di titik-titik menyudut 3. Maksimum = pilih nilai yang besar Minimum = pilih nilai yang kecil Cara Smart : Gunakan Garis Selidik 1. Gambar daerah yang memenuhi dan garis selidik px + qy = pq 2. Jika : q positif maka nilai maksimum/minimum didapat di titik memenuhi yang dilalui garis paling atas/bawah yang sejajar qy = pq q negatif maka nilai maksimum/minimum didapat di titik memenuhi yang dilalui garis paling bawah/atas yang sejajar qy = pq
pada daerah yang dengan garis px + pada daerah yang dengan garis px +
Contoh Soal : 1. UN 2011 Seorang peternak ikan hias memiliki 20 kolam untuk memelihara ikan koki dan ikan koi. Setiap kolam dapat menampung ikan koki saja sebanyak 24 ekor, atau ikan koi saja sebangak 36 ekor. Jumlah ikan yang direncanakan akan dipelihara tidak lebih dari 600 ekor. Jika banyak kolam berisi ikan koki adalah x , dan banyak kolam berisi ikan koi adalah y , maka model matematika untuk masalah ini adalah … . Penyelesaian : Untuk mempermudah gunakan table Ikan Koki Ikan Koi Jenis ikan x y banyaknya 24x 36y
Persediaan 20 600
Dari table dapat disusun model matematika sbb x + y ≤ 20 24x + 36y ≤ 600 (kedua ruas dibagi 12) 2x + 3y ≤ 50 Karena peternak tersebut akan memelihara ikan koki dan ikan koi, tentu saja ikannya tidak kurang dari nol. x ≥ 0 dan y ≥ 0 jadi, model matematikanya adalah : x + y ≤ 20, 2x + 3y ≤ 50, x ≥ 0 dan y ≥ 0
Matematikasmart.wordpress.com
Page 56
Muhammad Dakim 2. UN 2011 Nilai minimum fungsi obyektif f (x, y) = 3x + 2y dari daerah yang diarsir pada gambar adalah … .
HP
Penyelesaian : titik potong kedua persamaan : x+y=3 2x + y = 4 – -x = -1 ↔ x = 1 Untuk x = 1 maka x+y=3 1+y=3 y=3–1=2 Daerah penyelesaian dibatasi oleh titik-titik (0,4), (3,0) dan (1,2) Substitusikan titik-titik yang membatasi daerah penyelesaian kedalam fungsi objektif f (x, y) = 3x + 2y Titik sudut f (x, y) = 3x + 2y (0,4) 3.0 + 2.4 = 8 (3,0) 3.3 + 2.0 = 9 (1,2) 3.1 + 2.2 = 7 Jadi, Nilai nilai minimum fungsi objektif f (x, y) = 3x + 2y adalah 7 Cara Smart : Gunakan garis selidik
HP
Titik terdekat (nilai minimum) dari fungsi objektif f(x,y) = 3x + 2y adalah titik potong kedua garis (1,2), sehingga nilai minimumnya adalah f(1,2) = 3.1 + 2.2 = 7 3. UN 2011 Seorang ibu memproduksi dua jenis keripik pisang, yaitu rasa coklat dan rasa keju. Setiap kilogram keripik rasa coklat mebutuhkan modal Rp10.000,00, sedangkan keripik rasa keju membutuhkan modal Rp15.000,00 per kilogram. Modal yang dimiliki ibu tersebut Rp500.000,00. Tiap hari hanya bisa memproduksi paling banyak 40 kilogram. Keuntungan tiap kilogram keripik pisang rasa coklat adalah Rp2.500,00 dan keripik rasa keju Rp 3.000,00 per kilogram. Keuntungan terbesar yang dapat diperoleh ibu tersebut adalah …
Matematikasmart.wordpress.com
Page 57
Muhammad Dakim Penyelesaian : Untuk mempermudah gunakan table Keripik pisang Rasa coklat Rasa keju Produksi x y Modal 10.000x 15.000y Keuntungan 2.500x 3.000y
Kapasitas 40 500.000
Dari table dapat disusun model matematika sbb: x + y ≤ 40 10.000x + 15.000y ≤ 500.000 (kedua ruas dibagi 5.000) 2x + 3y ≤ 100 x ≥ 0, y ≥ 0 Fungsi objektif : f(x,y) = 2.500x + 3.000y Gambar daerah yang memenuhi :
HP
Titik terjauh (nilai maksimum) dari fungsi objektif f(x,y) = 2.500x + 3.000y adalah potong kedua garis x + y = 40 x3 3x + 3y = 120 2x + 3y = 100 x1 2x + 3y = 100 – x = 20 untuk x = 20, maka y = 20, sehingga: f(20,20) = 2.500(20) + 3.000(20) = 110.000 Jadi nilai optimum f (x, y) = 2500x + 3000y adalah 110.000 terjadi di titik B (20,20). Artinya keuntungan terbesar yang dapat diperoleh ibu adalah Rp110.000,00 dengan memproduksi kripik rasa keju dan rasa coklat masing-masing 20 kg per hari.
4. UN 2012 Daerah yang diarsir pada gambar dibawah ini merupakan penyelesaian system pertidaksamaan. Nilai maksimum dari bentuk objektif ( , ) = 5 + 4 adalah ....
HP
Matematikasmart.wordpress.com
Page 58
Muhammad Dakim Penyelesaian :
HP
Jadi, Nilai maksimum
Titik terjauh (nilai maksimum) dari fungsi objektif ( , ) = 5 + 4 adalah titik potong kedua garis (i) 8x + 4y = 32 atau 2x + y = 8 (ii) 4x + 6y = 24 atau 2x + 3y = 12 – -2y = -4 ↔ y = 2 Substitusi nilai y = 2 ke pers. (i), sehingga diperoleh : 2x + y = 8 2x + 2 = 8 x= =3 (3, 2) = 5 + 4 = 5.3 + 4.2 = 23
5. UN 2012 Tempat parkir seluas 600 m2 hanya mampu menampung 58 bus dan mobil. Tiap mobil membutuhkan tempat seluas 6 m2 dan bus 24 m2. Biaya parker tiap mobil Rp 2.000,00 dan bus Rp 3.500,00. Berapa hasil dari biaya parker maksimum, jika tempat parkir penuh? Penyelesaian : Untuk mempermudah gunakan table Misalkan bus = x dan mobil = y Mobil Bus Daya tampung Jenis kendaraan x y 58 Luas lahan 6 24 600 Biaya parkir 2.000 3.500 Dari table dapat disusun model matematika sbb: x + y ≤ 58 ............(i) 6x + 24y ≤ 600 (kedua ruas dibagi 6) x + 4y ≤ 100............(ii) x ≥ 0, y ≥ 0 Fungsi objektif : f(x,y) = 2.000x + 3.500y Gambar daerah yang memenuhi :
terlihat titik yang paling jauh dari garis selidik adalah titik pertemuan antara dua persamaan garis lurus eliminasi persamaan (i) dan (ii), sehingga diperoleh : x + y = 58 ............(i) x + 4y = 100 ...........(ii) -3y = -42 y = 14 substitusi nilai y = 14 ke pers (i), sehingga diperoleh : x + y = 58 x + 14 = 58 x = 58 – 14 = 44 jadi, titik potong kedua persamaannya adalah (44, 14)
Matematikasmart.wordpress.com
Page 59
Muhammad Dakim substitusikan semua nilai x dan y yang membatasi daerah penyelesaian : Nilai f(x,y) = 2.000x + 3.500y (0, 25) 2.000(0) + 3.500(25) = 87.500 (58, 0) 2.000(58) + 3.500(0) = 116.000 Keuntungan maksimum (44, 14) 2.000(44) + 3.500(14) = 137.000 Jadi keuntungan maksimum jika parkir penuh adalah Rp 137.000,00
Matematikasmart.wordpress.com
Page 60
