RANGKUMAN MATERI KELAS XI SMK Tahun Ajaran 2011 / 2012
MATERI 9 PROGRAM LINEAR Program Linear adalah suatu cara untuk memecahkan kasalah tertentu dengan menggunakan model matematika yang terdiri atas pertidakasamaan linear dengan banyak penyelesaian. Membuat Grafik Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidakasamaan Linear Bentuk umum pertidaksamaan linear dengan 2 peubah, dituliskan sbb : ax+by ≤ c atau ax+by ≥ c, dengan a, b, c ∈ R Jika diketahui pertidaksamaan, langkah-langkahnya : 1. Gambar grafik ax+by=c 2. Menentukan daerah HP (Himpunan Penyelesaian) Contoh soal : Tunjukan pada diagram cartesius himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x≥0; y≥0; x+y≤4; dan 3x+8y≤24 dengan x, y ∈ R ! Jawab : x+y≤4 3x+8y≤24 x+y=4 3x+8y=24 Dimisalkan x=0 dan y=0
Dimisalkan x=0 dan y=0
x=0 y=4 y=0 x=4
x=0 y=3 y=0 x=8
(0,4) (4,0)
ambil titik uji yg mudah & terdekat dengan garis singgung
(0,0)
ambil titik uji
(0,0)
x+y ≤4 x+y-4 ≤0 -4 ≤0 (benar)
Jadi HP terletak di arah titik (0,0)
3x+8y 3x+8y-24 -24 (benar)
≤24 ≤0 ≤0
Jadi HP terletak di arah titik (0,0)
Gambar diagram cartesius
y 4 3 HP
x 4
8
Jika diketahui daerah HP, tentukan persamaan garisnya terlebih dahulu. Cara menentukan persamaan garis : 1. Persamaan garis melalui titik P(x1,y1) dan titik Q(x2,y2)
= 2. Persamaan garis melalui titik P(x1,y1) dan gradien m y-y1 = m(x-x1) 3. Persamaan garis melalui titik P(a,0) dan titik Q(0,b) bx+ay = a∙b Contoh soal : Rangkuman Kelas XII
85
Tentukan pertidaksamaan linear dari daerah yang diarsir pada digram cartesius berikut :
y (0,5) (0,4)
5 4 HP
(-2,0)
(3,0)
-2
3
(7,0)
x
7
-4 (0,-4) -6 (0,-6) Ambil titik (0,y) dan (x,0) pada masing-masing garis.
(0,5),(7,0) 5x+7y = 35
bx+ay = a∙b
-1 -4x+3y
≥ -12 ≥ -12
Ambil titik uji yg terdapat didalam arsiran
(1,1) 5(1)+7(1) ...35 12 ≤ 35 5x+7y ≤ 35 (0,-4),(3,0) -4x+3y = -12 (1,1) -4(1)+3(1) ...-12
(0,-6),(-2,0) -6x-2y = 12 (1,1) -6(1)-2(1) -8 -6x-2y (0,4) Y=4 konstan
... 12 ≥ 12 ≥ 12
Jadi, pertidaksamaan linearnya adalah 5x+7y ≤ 35 ; -4x+3y ≥ -12 ; -6x-2y ≥ 12 ; dan Y=4
Menentukan Nilai Optimum Dari Sistem Pertidaksamaan Linear (Masalah Program Linear)
Langkah-langkahnya : 1. Ubah soal ke model matematika (rumusan matematika dari penafsiran masalah proglin, biasanya dalam bentuk pertidaksamaan linear) 2. Menentukan fungsi objektif maksimum/minimum 3. Menentukan titik pojok f(x,y), lalu gambar diagram carteciusnya 4. Menguji titik pojok untuk menentukan nilai max/min pada fungsi objektif Contoh soal : Suatu pesawat udara memiliki tempat duduk tidak lebih dari 72 penumpang. Penumpang kelas 1 boleh membawa bagasi 40 kg, sedang kelas ekonomi 20 kg. Karena pesawat hanya mampu memuat bagasi tidak lebih dari 1800 kg. Jika banyaknya penumpang kelas utama x dan ekonomi y orang, tentukanlah : a. Model matemtika dari permasalahan tsb : Jawab : x≥0 ...(1) x+y ≤ 72 ...(3) y≥0 ...(2) x+y = 72 Rangkuman Kelas XII
86
x=0 y=72 (0,72) y=0 x=72 (72,0)
x+y 2x + y -x x x+y 18 + y y
40x+20y ≤ 1800 ...(4) 40x+20y = 1800 2x+y = 90 x=0 y=90 (0,90) y=0 x=45 (45,0)
= = = = = = =
72 90 – -18 18 72 72 54 (18,54)
y 90
72
HP
9 0
x 9
45
72
90
b. Banyak penumpang kelas utama dan ekonomi agar diperoleh keuntungan maksimum, bila harga tiket kelas utama Rp 750.000,00 dan kelas ekonomi Rp 500.000,00 : Jawab : Uji titik pojok f(x,y) = 750.000x+500.000y f(0,72) 750.000(0) + 500.000(72) = 36.000.000 f(18,54) 750.000(18) + 500.000(54) = 40.500.000 f(45,0) 750.000(45) + 500.000(0) = 33.750.000 jadi, keuntungannya akan maksimum pada titik (18,54), maka penumpang kelas utam 18 orang dan ekonomi 45 orang
Menerapkan Garis Selidik
Langkah-langkah : 1. 2. 3. 4.
Tetapkan persamaan garis selidik ax+by = k , dengan k ∈ R Buatlah garis // ax+by=k yang disebut garis selidik Jika ax+by=k1 paling jauh dari titik pangkal, maka bentuk obyektif maksimum Jika ax+by=k2 paling dekat dari titik pangkal, maka bentuk obyektif minimum
Contoh soal : Gambarkan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut : x+y≤6 ; 2x+y≥3 ; x≥1 ; x≤4 ; y≥0 ; x,y ∈ R gambar garis-garis yang sejajar dengan garis 4x+y=0 , kemudian tentukan nilai minimum dan maksimum dari 4x+y ! Rangkuman Kelas XII
87
x+y x+y x=0 y=0
≤6 = 6 ...(1) y=6 (0,6) x=6 (6,0)
2x+y 2x+y x=0 y=1
≥3 = 3 ...(2) y=3 (0,3) x=1 (1,1)
x≤4 x=4 ...(3) x+y =6 4+y =6 Y = 2 (4,2) 1≤x≤4 y≥0
f(x,y) = 4x+y (1,1) 4x+y = 4(1)+(1) = 5 4x+y = 8 x=0 y=8 (0,8) y=0 x=2 (2,0) (4,2) Jadi,
4x+y = 4(4)+(2) = 18 nilai maksimalnya adalah 18 pada titik (4,2) nilai minimalnya adalah 5 pada titik (1,1)
y 8
6
3 HP x 1
2
4
6 4x+y=18
4x+y=8 4x+y=5
MATERI 10 FUNGSI
Produk Kartesius Pasangan bilangan (x,y) dengan x=urutan dan pertama y=urutan kedua disebut pasangan terurut. Jika A dan B merupakan 2 himpunan yg tidak kosong, maka produk kartesius himpunan A dan B adalah himpunan semua pasangan terurut (x,y) dengan x∈A dan y∈B, dengan notasi : AxB = {(x,y)|x∈A dan y∈B} Contoh soal : Misal A={1,2,3} dan B={a,b}, tentukan AxB, BxB dan banyaknya himpunan masing-masing ! Jawab : AxB = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)} n(AxB) = 3x2 = 6 BxB = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)} n(BxB) = 2x2 = 4 n(AxB) = n(A) ∙ n(B) n(AxB) = banyak anggota himpunan (AxB) n(A) = banyaknya anggota himpuan A n(B) = banyaknya anggota himpuan B
Relasi Misalkan AxB adalah produk kartesius himpunan A dan B, maka relasi atau hubungan R dari A ke B adalah sembarang himpunan bagian dari produk kartesius AxB, dengan notasi : R = {(x,y)|x∈A dan y∈B} Contoh soal : Relasi dari himpunan A={1,2,3,4} ke himpunan B {0,1,2,3,4} yang ditentukan oleh F={(1,0),(2,1),(3,2),(4,3)} dapat ditulis sebagai berikut : F={(x,y)|y=x-1, x∈A dan y∈B} Relasi juga dapat ditulis ke bentuk : 1. Diagram Panah Contoh soal : Tulis ke dalam bentuk digram panah relasi F={(1,0),(2,1),(3,2),(4,3)}
1 2 3 4
Rangkuman Kelas XII
0 1 2 3 4
2. Grafik Kartesius Contoh soal : Tuliskan ke dalam bentuk grafik kartesius relasi P={(4,2),(4,2),(1,-1),(1,1),(0,0)} ! 2 1 0 -1 -2
1
2
3
4
89
Fungsi (Pemetaan) Relasi dari himpunan x ke himpunan y disebut fungsi / pemetaan jika dan hanya jika tiap anggota himpunan x berpasangan tepat di anggota himpunan y, dengan notasi f: x y atau f(x) = y ket : f(x) = rumus / aturan untuk fungsi x = variabel bebas y = varibel tak bebas
B A
F(x=y)
x
perhatikan diagram panah :
-
Daerah asal (domain) fungsi = himpunan A dilambangkan Df Daerah kawan (kodomain) fungsi = himpunan B dilambangkan Kf Daerah hasil (range) fungsi = himpunan semua peta A di B dilambangkan Rf Contoh soal : 1. Tentukan domain alami untuk fungsi ; f(x) = log(2-10x) f(x) = jawab : jawab : 2 – 10x> 0 syarat domain alami x≠0 2 10x <2 x – 4x+3 ≠0 x≠3 V x≠1 (x-3)(x-1) ≠0 Jadi, Df = {x|x∈R dan x≠1 V x≠3} f(x) = √ 4x – 2 ≥ 0 4x ≥2
X
X
<
Jadi, Df = { x|x∈R dan x< }
jadi, Df = { x|x∈R dan x≥ }
≥
2. Tentukan domain, kodomain, dan range dari grafik berikut : Df = {x|-2≤x≤4, x∈R} 4 Rf = {y|-2≤y≤3, y∈R} 3 Kf = { y|-2≤y≤4, y∈R } 2 1 0 -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 Beberapa Fungsi Khusus 1. Fungsi Konstan Setiap anggota dalam himpunan A hanya berkaitan dengan 1 buah anggota himpunan B.
2. Fungsi Identitas Fungsi yang memetakan setiap anggota ke dirinya sendiri. f : x x , x∈R
f : x c, c = konstan dan x∈R 3 2 1 0
4
-3
-2
-1
0
1
Rangkuman Kelas XII
1 2 3
90
3. Fungsi Genap f(-x) = +f(x) Contoh soal : f(x) = x2 – 4 f(-x) = +(-x)2 – 4= x – 4 -f(x) = - (x2 – 4) = - x2 + 4 4. Fungsi Ganjil f(-x) = -f(x) Contoh soal : f(x) = 2x f(-x) = +(-2x) = -2x -f(x) = -2x
f(p) = -|3 – 2p|+5 = 10 -3+2p+5 = 10 2p =8 P =4 Jadi, p=4 hasil selalu yg positif 7. Fungsi Surjektif f : A B, disebut fungsi surjektif (onto/kepada) jika dan hanya jika daerah hasil f sama dengan himpunan B.
5. Fungsi Tangga Fungsi nilai bulat terbesar. f : x [x] Contoh soal : Gambarlah pertidaksamaan -2 ≤ x < -1 -1 ≤ x < 0 0 ≤x < 1 1 ≤x < 2 2 ≤x < 3 2 1 0 -2 -1 -1 -2
grafik dari berikut : [x] = -2 [x] = -1 [x] = 0 [x] = 1 [x] = 2, dst.
1 2 3
6. Fungsi Modulus (Harga Mutlak) Fungsi yang memasangkan setiap bilangan real dari daaerah asal ke unsur harga mutlaknya. ≥ { f : x |x| Contoh soal : Jika diketahui f(x)=|3-2x|+5=10, x∈R. Tentukanlah nilai p agar f(p)=10! Jawab : f(p) = |3 – 2p|+5 = 10 -2p =2 p = -1
A
B
1 2 3 4
p q r
himpunan B terpakai selurunya
f : A B, disebut fungsi into (ke dalam) jika dan hanya jika hasil f merupakan himpunan bagian dari B.
A
B
1 2 3 4
p q r
himpunan B tidak terpakai seluruhnya
Contoh soal : Ditentukan A={1,2,3,4,5} dan B={a,b,c,d}. Tentukan relasi berikut termasuk fungsi onto atau into ! Jawab : {(1,a),(2,a),(3,b),(4,c),(5,d)} fungsi onto, karena kodomain terpakai seluruhnya -
{(1,a),(2,a),(3,a),(4,b),(5,c)} fungsi into, karena tidak seluruh kodomain terpakai
8. Fungsi Injektif (Fungsi Satusatu) Setiap domain B A yg berbeda 1 memiliki hasil p 2 q yg berbeda 3 r pula. 4 s t
f : A B , jika dan hanya jika x1, x2 ∈A dan x1≠x2 berlaku f(x1)≠f(x2)
9. Fungsi Bijektif Gabungan fungsi surjektif dan injektif atau korespondensi satusatu. Jadi, seluruh kodomain terpakai dan masing-masing domain dipasangkan tepat satu anggota pada kodomain.
A
B
1 2 3 4
p q r s
Fungsi Linear persamaan garis lurus
y
Bentuk umum : f:x ax+b f(x) ax+b y ax+b
l
α
0
x
f:x f(x) y
mx+c mx+c mx+c
1. Persamaan garis lurus melalui 2 titik PGL melalui titik A(x1,y1) dan B(x2,y2)
Contoh soal : Buatlah persamaan garis lurus melalui titik P(2,2) dan Q(6,8)! Jawab : = = = 4y – 6x – 3x – PGL
8 = 6x – 12 4y – 4 =0 2y – 2 = 0 melalui titik potong sumbu x(a,0) dan sumbu y(0,b) bx+ay=a∙b
Contoh soal : Buatlah persamaan garis lurus melalui titik x(-5,0) dan y(0,2) ! Jawab : a b bx+ay = a∙b 2x+(-5)y = -5 ∙ 2 2x-5y = -10 2x – 5y+10 = 0
Rangkuman Kelas XII
92
2. Persamaan garis lurus melalui sebuah titik dan gradien m gradien jika diketahui 2 titik m=
gradien pada garis // (sejajar) m1 = m 2 gradien pada garis ┴ (tegak lurus)
gradien pada bentuk persamaan ax+by+c=0 m=-
m2 = -
PGL melalui titik (a,b) dan gradien m y – b = m(x – a) Contoh soal : - Tentukan persamaan garis lurus melalui P(4,-3) // 2x – 3y=6 ! 2x – 3y=6 a=2 dan b=-3 m=-
=-
=
persamaan garis lurus
y–b
= m(x – a)
y – (-3) = y+3
-
(4,-3)
(x – 4)
= x-
3y+9 = 2x – 8 2x – 3y – 17 = 0 Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik potong antara garis 2x+y=4 dan garis x – 3y=9 yang tegak lurus x – 2y=4 ! Jawab : misal k = 2x+y=4 l = x – 3y=9 m= x – 2y=4 menentukan titik potong k dan l
2x+y =4 x – 3y =9
x1 x2
2x+y 2x-6y 7y y
=4 =18 – = -14 = -2
substitusi nilai y
2x+y =4 2x – 2 =4 2x =6 x =3 = (3,-2) dari m= x – 2y=4
titik potongnya (a,b) gradien
m1 = -
=-
m2 = -
=-
= = -2
persamaan garis lurus
y–b = m(x – a) (3,-2) y – (-2) =-2 (x – 3) y+2 = -2x+6 2x+y-4 =0 PGL melalui (0,0) dan gradien m y = mx
Rangkuman Kelas XII
93
PGL melalui (0,c) dan gradien m y = mx+c cat : Jika m=0 maka grafik sejajar sumbu x
Jika m<0 maka grafik condong ke kiri
y
y
x
Jika m>0 maka grafik condong ke kanan
x
Jika m=∞ maka grafik sejajar sumbu y
y
y
x
x 3. Invers Fungsi Linear
A
B
x=f(y)
y=f(x)
f
Invers fungsi merupakan relasi dari himpunan B ke A yg diperoleh dengan menukarkan tiap pasangan terurut (a,b)∈f menjadi (b,a) dengan notasi f-1 : f-1 : B A diperoleh f-1(y) = x
f-1 Contoh soal :
Carilah rumus fungsi invers f jika diketahui f(x) =
!
Jawab : misal f(x) =y f(x) =y =y
3x+5 4y +5
= 2xy – 4y = x(2y – 3)
x
=
jadi, f-1 adalah
Fungsi Kuadrat
y
f:x f(x) y
y=f(x)
O x2 x1 sumbu simetri
x
ax2+bx+c = ax2+bx+c = ax2+bx+c
Diskriminan (D) = b2 – 4ac
Langkah-langkah membuat fungsi kuadrat : 1. Titik potong dengan sumbu x y=0 2. Titik potong dengan sumbu y x=0 3. Sumbu simetri : x = 4. Nilai ekstrim : y = Rangkuman Kelas XII
atau y = f (
) 94
5. Titik puncak atau balik P(x,y) P(-
,-
) P(-
,f(
))
6. Titik lain jika diperlukan. Contoh soal : Tentukan titik pembuat nol dan titik puncak dari fungsi f(x) = 2x2 – 6x+4, x∈R dengan domain {x|-3≤x≤3, x∈R} ! Jawab : Dari bentuk ax2+bx+c a=2, b=-6, dan c=4 menentukan pembuat nol dengan f(x) = y = 0
2x2 – 6x+4 (2x-4)(x-1)
=0 =0
2x-4 2x x
sumbu simetri : x = -
= 0 V x-1 = 0 =4Vx =1 =2 jadi, titik pembuat nol (2,0) dan (1,0)
-
=
=1
nilai ekstrim y=f(x) dengan x= y f(x)
= 2x2 – 6x+4 = 2x2 – 6x+4
f( )
= 2( )2 – 6( )+4 = 2( ) - 9 + 4 = ==-
Titik puncak (x,y) = (1 , - ) Definit pada pada parabola :
D>0 a>0
D>0 a<0
D=0 a>0
D=0 a<0
D<0 a>0
D<0 a<0
Contoh soal : Jika diketahui persamaan kuadrat y = px2+(p – 2)x+p adalah definit positif, maka tentukan interval p ! Jawab : Dari bentuk ax2+bx+c a=p, b=(p-2), dan c=p
Rangkuman Kelas XII
95
D b2 – 4ac (p-2)2 – 4∙p∙p p2-4p+4-4p2 -3p2-4p+4 (-3p+2)(p+2) -3p+2 -3p
=0 =2
p
=-
< < < < < <
0 0 0 0 0 0
V p+2 =0 p = -2 jadi, intervalnya -2
Persamaan fungsi kuadrat jika diketahui titik puncak (xp,yp) y = a(x – xp)2+yp Contoh soal : Tentukan persamaan kuadrat yang memiliki titik puncak (2,-1) dan melalui titik A(0,3) ! Jawab : (xp,yp) (2,-1) xp=2 dan yp=-1 y = a(x – xp)2+yp y = a(x – 2)2 – 1 y = a(x2 – 4x+4) – 1 masukkan nilai titik substitusi nilai a 2 3 = a(0 – 4∙0 +4) – 1 (0,3) y = 1(x2 – 4x+4) – 1 3 = 4a - 1 = x2 – 4x+4 – 1 4a = 4 = x2 – 4x+3 a =1
Persamaan fungsi kuadrat jika diketahui titik puncak sumbu x(y=0) yaitu (x1,0) dan (x2,0) y = a(x – x1)(x – x2) Contoh soal : Tentukan persamaan kuadrat yang melalui titik A(-2,0), B(4,0), dan C(0,-8) ! (-2,0) x1=-2 dan (4,0) x2=-2 y = a(x – x1)(x – x2) y = a(x+2)(x – 4) substitusi nilai a masukkan nilai titik y = a(x+2)(x – 4) -8 = a(0+2)(0-4) (0,-8) = 1(x2 – 4x+2x – 8) -8 = -8a = x2 –2x – 8 a =1
Persamaan fungsi kuadrat jika diketahui bentuk y= ax2+bx+c Penyebab ekstrim x = Nilai ekstrim : y = -
–
Contoh soal : Tinggi (s) dari sebuah bola yang dilempar vertikal ke atas setelah t(s) diberikan persamaan gerak s = 19,6t – 4,9t2. Tentukan ketinggian maksimumnya ! Jawab : Parabola vertikal, berarti a<0 Rangkuman Kelas XII
96
Dari s = 19,6t – 4,9t2 a=-4,9 dan b=19,6 menentukan penyebab maksimum t=-
=-
=2
substitusi t ke fungsi s = 19,6t – 4,9t2 = 19,6(2) – 4,9(2)2 = 39,2 – 19,6 = 19,6 jadi, ketinggian maksimumnya adalah 19,6 meter
Fungsi Eksponen fungsi yang memetakan x terhadap a f(x) = ax dengan,
0
1 Contoh soal :
a≠0, a>1 , a∈R
monoton turun monoton naik
Gambarlah dalam satu grafik fungsi f(x) = 2x dan g(x) = tabel koordinat f(x) x f(x) = 2x
!
tabel koordinat g(x) x -1 0
-1 0 1 2
x
1 2 4
f(x) =
x
2 1
1
y
2 sumbu x sebagai asimtot (garis yang didekati kurva tetapi tidak pernah memotong)
4 3 2
x
1 -1
0
1
2
Penerapan fungsi eksponen : Peluruhan Pertumbuhan
y = f(x) = k ∙ a-x y = f(x) = k ∙ ax
Contoh soal : Di laboratorium terdapat 25 bakteri. Setelah 2 jam jumlahnya bertambah menjadi 100 bakteri. Jika bakteri tersebut terus bertambah secara eksponensial yang dirumuskan B(x) = kax, berapakah jumlah bakteri setelah 4 jam ? Jawab : menentukan nilai a pertambahan B(x) = kax B(x) = kax setelah 2 jam jumlah mula-mula = 25 B(2) = 25 ∙ a2 = 100 menentukan nilai k B(0) = 25 a2 =4 0 ka = 25 a =2 k∙1 = 25 k = 25 Rangkuman Kelas XII
97
rumus fungsi pada t jam B(x) = kax B(t) = 25∙2t
jumlah bakteri setelah 4 jam B(4) = 25∙24 = 25∙16 = 400 jadi, jumlah bakteri setelah 4 jam adalah 400 bakteri
Fungsi Logaritma merupakan invers dari fungsi eksponen f(x) = alog x ket : 1. 1/a log x 2. alog (x+b) 3. alog (x-b) 4. (alog x) + b 5. (alog x) – b 6. - alog x
= = = = = =
dicerminkan terhadap sumbu x bergeser ke kanan bergeser ke kiri bergeser ke atas bergeser kebawah dicerminkan terhadap sumbu y
Contoh soal : Gambarlah grafik fungsi logaritma dari f(x) = 4 log x pada intrval 1≤x≤16 ! Jawab : X 1 4 16 f(x) = 4 log x 0 1 2
f(x)
2
1
x 0
4
8
12
16
Penerapan Fungsi Logaritma Contoh soal : Dalam waktu penelitian intensitas I dari sumber sinar semakin berkurang menjadi I setelah melalui jarak d meter dalam kabut dapat dapat ditentukan oleh rumus I=Io e0,14d. Pada jarak berapakah intensitas tersebut berkurang menjadi 0,01 dari intensitas semula ? jawab : I = Io ∙ e-0,14d Io ∙ 0,01 = Io ∙ e-0,14d log 0,01 = log e-0,14d log 10-2 = log e-0,14d -2 = -0,14d ∙ log e e=2,71283... -2 = -0,14d ∙ log 2,71283 -2 = -0,14d ∙ 0,43 daftar 1 -2 = -0,0602d d = 33,2 meter jadi, agar berkurang menjadi 0,01 jarak intensitas adalah 33,2 meter
Rangkuman Kelas XII
98
Fungsi Trigonometri
1. Fungsi Sinus Bentuk umum f(x) = a sin bx f(x) = a sin bx + k nilai maksimum = y = a+k nilai minimum = y = -a+k amplitudo =a periode
=|
|=| |
fungsi baku adalah berbentuk f(x) = sinx dengan interval -1 ≤ sin x≤ 1 gambar grafik baku f(x) = sinx untuk 0o ≤ x ≤ 360o
Contoh soal : Tentukan nilai maksimum, minimum, periode, dan amplitudo fungsi trigonometri sin 2x + 5 ! jawab : a=1, b=2, k=5 nilai maksimum = a+k = 1+5 = 6 nilai minimum = -a+k = -1+5 = 4 periode =
=
= 180o
amplitudo = 1 Translasi Fungsi Sinus untuk f(x) = a sin bx+k bergeser k satuan ke atas
untuk f(x) = a sin bx – k bergeser k satuan ke bawah
bergeser
bergeser
satuan ke kiri
satuan ke kanan
Contoh soal : Tentukan persamaan grafik jika diketahui f(x)=sin2x – 1 ditranslasikan sejauh π ke kiri ! jawab : f(x)
= sin2x – 1 = sin 2(x+
)–1
positif karena ke kiri
= sin (2x + π) – 1 Rangkuman Kelas XII
99
2. Fungsi Cosinus Bentuk umum f(x) = a cos bx f(x) = a cos bx + k nilai maksimum = y = a+k nilai minimum = y = -a+k amplitudo =a periode
=|
|=| |
fungsi baku adalah berbentuk f(x) = cosx dengan interval -1 ≤ cos x≤ 1 gambar grafik baku f(x) = cosx untuk 0o ≤ x ≤ 360o
Contoh soal : Tentukan nilai maksimum, minimum, periode, dan amplitudo fungsi trigonometri f(x)=cos x – 4 ! jawab : a=1, b=1, k=-4 nilai maksimum = a+k = 1-4 = -3 nilai minimum = -a+k = -1-4 = -5 periode =
=
= 360o
amplitudo = 1 Translasi Fungsi Cosinus untuk f(x) = a cos bx+k bergeser k satuan ke atas
untuk f(x) = a cos bx – k bergeser k satuan ke bawah
bergeser
bergeser
satuan ke kiri
satuan ke kanan
Contoh soal : Tentukan persamaan grafik jika diketahui f(x)=3 cos x – 2 ditranslasikan sejauh 1 satuan ke bawah ! jawab : f(x)
= 3 cos x – 2 = 3 cos x – 2 – 1
minus karena ke bawah
= 3 cos x –3
Rangkuman Kelas XII
100
3. Fungsi Tangen Bentuk umum f(x) = a tan bx f(x) = a tan bx + k periode
=|
|=| |
fungsi baku adalah berbentuk f(x) = tanx dengan interval -~ < x < ~ tan tdk memiliki nilai maksimum dan minimum, karena intervalnya -~ < x < ~ gambar grafik baku f(x) = sinx untuk 0o ≤ x ≤ 360o
Contoh soal : Tentukan nilai maksimum, minimum, periode, dan amplitudo fungsi trigonometri f(x)=3 tan x – 4 ! jawab : a=3, b=1, k=-4 nilai maksimum dan minimum = ~ periode =
=
= 180o
amplitudo = ~ Translasi Fungsi Tangen untuk f(x) = a tan bx+k bergeser k satuan ke atas
untuk f(x) = a tann bx – k bergeser k satuan ke bawah
bergeser
bergeser
satuan ke kiri
satuan ke kanan
Contoh soal : Tentukan persamaan grafik jika diketahui f(x)= tan(x –
) ditranslasikan
sejauh π ke kiri ! jawab : f(x)
= tan(x –
)
=
tan(x –
+π)
=
tan(x +
)
Rangkuman Kelas XII
101
MATERI 11 PELUANG Kaidah Pencacahan 1. Kaidah Penjumlahan adalah menjumlahkan banyaknya kemungkinan (cara) yang dapat dilakukan. Banyak cara yang dapat dilakukan adalah n1+ n2+ n3+...+nk Contoh soal : Pejalan kaki menuju ke suatu tempat. Dihadapannya ada 2 jalan beraspal, 1 jalan berbatu, dan 2 jembatan gantung. Berapa banyak jalurkah yang dapat dipilih pejalan tersebut? Jawab: 2 (jalan beraspal) + 1 (jalan berbatu) + 2 (jembatan gantung) = 5 jalur 2. Kaidah Perkalian Aturan pengisian tempat yang tersedia. Secara umum, pengisian tempat yang tersedia adalah k1 xk2xk3x...xkn Dengan :
k1 : banyak cara mengisi tempat pertama k2 : banyak cara mengisi tempat kedua kn : banyak cara mengisi tempat ke-n
contoh soal : Berapa banyak susunan yang dapat dibentuk dari huruf P,E,L,A,N,G,I jika: a. Huruf pertama vokal Banyaknya huruf vokal : 3 Jumlah kolom ada 7 sesuai dengan jumlah total huruf soal 3 6 5 4 3 2 1 tempat pertama diisi 3 huruf vokal tempat kedua diisi 6 huruf yang tersisa selanjutnya diisi 5 huruf yang tersisa, dst.
3x6x5x4x3x2x1 = 2160 cara b. Huruf pertama konsonan Banyaknya huruf konsonan : 4 4 6 5 4 3 2 1 4x6x5x4x3x2x1 = 2880 cara Dari angka 0,1,2,3,4,5 akan disusun bilangan yang terdiri dari 4 angka. Berapa bilangan yang dapat disusun jika: a. Angka boleh berulang 5 6 6 3 Jumlah kolom ada 4 sesuai dengan soal tempat pertama diisi 5 angka, karena 0 tidak dapat menduduki nilai tempat puluhan, ratusan, ribuan, dst. Jumlah seluruh bilangan Jumlah bilangan yang tersisa
5x6x6x3 = 540 susunan bilangan b. Angka tidak berulang 5 4 3 3 5x4x3x3 = 180 susunan bilangan c. Angka nol sebagai satuan 5 4 3 1
Jumlah bilangan 0 cuma 1
Rangkuman Kelas XII
102
5x4x3x1 = 60 susunan bilangan d. Angka nol tidak sebagai satuan 4 4 3 2 4x4x3x2 = 96 susunan bilangan 3. Faktorial Untuk tiap n bilangan asli didefinisikan : n! = nx(n-1)x(n-2)x(n-3)x ... x3x2x1 atau n! = 1x2x3x ... x(n-3)x(n-2)x(n-1)xn n! dibaca n faktorial contoh soal : a.
=
b.
=
= 9∙7 = 63 = n(n-1) = n2-n
Nyatakan dalam notasi faktorial! c.
=
d. (n+2)(n+1)n(n-1) = e. Tentukan harga n yang memenuhi persamaan : 4!(n+2)! = 3!(n+3)! 4∙3!(n+2)! = 3!(n+3)(n+2)! 4 = n+3 n =1 Permutasi Adalah penyusunan unsur-unsur dengan memperhatikan urutannya. 1. Permutasi dari unsur-unsur yang berbeda Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia adalah
nPr
=
dimana r≤n
dan banyaknya permutasi n unsur adalah nPn
= n!
Contoh soal : Tersedia 3 huruf yang disusun 2 huruf, maka permutasi 2 unsur dari 3 unsur adalah... 3P2
=
=
=6
5P5 = 5! = 5x4x3x2x1 = 120 2. Permutasi yang memuat unsur-unsur yang sama Banyaknya permutasi n unsur yang memuat k, l, dan m unsur yang sama, dst. Ditentukan = Contoh soal : 1. Berapa huruf yang dapat dibentuk dari huruf T,E,R,C,E,C,E,R ? n (jumlah semua huruf) =8, T=1, E=3, R=2, C=2 =
=
= 8x7x6x5 = 1680
2. Ada 6 bendera berwarna, keenam bendera itu akan disusun secara berdampingan. Berapa banyaknya urutan warna yang dapat terbentuk, jika 6 bendera itu terdiri dari 3 berwarna hijau, 2 berwarna merah dan 1 berwarna biru. Rangkuman Kelas XII
103
=
=
= 60
3. Permutasi siklis Banyaknya permutasi siklis (berputar) dari n unsur adalah P(s) = (n-1)! Contoh soal : Dalam suatu pertemuan yang diahdiri 3 orang Cina, 2 orang Arab, dan 4 orang Belanda. n=1 , A(Arab)=2, B(Belanda)=4, C(Cina)=3
Tentukan : 1. Apabila duduk mengelilingi meja bundar, berapa cara untuk menempati tempat duduk tersebut? P(s) = (9-1)! = 8! = 40.320 cara 2. Apabila duduk mengelilingi meja bundar dan orang Belanda harus selalu berdampingan, berapa cara untuk menempati tempat duduk tersebut? P(s) = 4P4 ∙ (6-1)! B A = 4! ∙ 5! B A Permutasi Dianggap 1 unsur = 24 ∙ 120 Belanda B C = 2880 susunan
C
C
B
3. Apabila duduk mengelilingi meja bundar dan orang Cina harus selalu berdampingan, berapa cara untuk menempati tempat duduk tersebut? P(s) = 3P3 ∙ (7-1)! = 3! ∙ 5! Permutasi = 6 ∙ 720 Cina = 4320 susunan
Kombinasi Adalah pemilihan satu atau lebih elemen-elemen dari suatu himpunan yang diberikan tanpa memperhatikan urutannya. Banyaknya kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia ditentukan dengan nCr
=
dimana r≤n
Contoh soal : 1. Dalam pelatnas bulu tangkis terdapat 10 orang pemain putra dan 8 pemain putri. Berapa banyak pasangan ganda yang dapat dipilih untuk : - Ganda putra 10C2
-
=
=
=
= 28
Ganda campuran 10C1
∙ 8C1 = =
∙ ∙
= 2.
= 45
Ganda putri 8C2
-
=
n+1C4
∙
= 80 = nC3 =
Rangkuman Kelas XII
104
= =1 n+1 n -
=4 =3
Peluang Peluang Suatu Kejadian Titik sampel : hasil dari melakukan percobaan n(A) Ruang sampel : semua kejadian yang mungkin terjadi dalam percobaan n(S) Jika A adalah suatu kejadian dengan A ⊂ S, maka peluang kejadian A adalah P(A) =
Peluang terbatas pada kisaran 0≤P(A)≤1 dan Jika P(A) = 1 kepastian Jika P(A) = 0 mustahil Contoh soal : Dua dadu (hijau dan ungu) dilempar secara bersama sebanyak satu kali. Berapa prosen peluang keluarnya mata dadu yang sama dengan 7? Jawab : 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (1,2) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (1,3) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (1,4) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (1,5) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (1,6) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) n(S) = (1,1)(1,2)...(6,6) = 36 n(A) = (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) = 6 P(A) =
=
=
x 100% = 67%
jadi, peluang munculnya dadu sama dengan 67% Sebuah kotak berisi 4 kuning dan 5 biru. Tentukan peluang terambil 2 biru dan 1 kuning jika diambil 3! A = kejadian terambil 2 biru dan 1 kuning n(S) = 9C3 n(A) = 5C2 ∙ 4C1 =
=
∙
=
=
∙
=
= 84
= 10 ∙ 4 = 40 P(A)
-
=
=
=
Frekuensi Harapan Suatu Kejadian Misal suatu percobaan dilakukan sebanyak N kali dengan peluang kejadian A adalah P(A), maka frekuensi harapan kejadian A adalah Fh(A) = N∙P(A) Contoh soal :
Rangkuman Kelas XII
105
Tiga keping mata uang logam dilempar bersama sebanyak 32 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya : 1. 3 gambar A AAA A G AAG P(3 gambar) = A Fh(3 gambar)
= 32 ∙
=4
2. 2 angka 1 gambar
-
P(2 angka 1 gambar)
=
Fh(2 angka 1 gambar)
= 32 ∙
G
BAGAN 3 KEPING UANG LOGAM
A G G
= 12
A G A G A G
AGA AGG GAA GAG GGA GGG
Peluang Komplemen Suatu Kejadian Ac adalaha kejadian yang terjadi jika dan hanya jika A S tidak terjadi, maka A P(A)+P(Ac)=P(s) c A P(A)+P(Ac)= 1 P(Ac) = 1-P(A) Contoh soal : Dua buah dadu dilempar bersama, tentukan peluang munculnya jumlah mata dadu yang bukan 7! A = kejadian jumlah kedua dadu bukan 7 Ac = kejadian jumlah kedua dadu 7 P(Ac) = P(A)
= 1 - P(Ac) =1=
-
Peluang Gabungan Dua Kejadian Jika A dan B adalah dua kejadian sembarang, maka peluangnya : P(A∪B) = P(A)+P(b)-P(A∩B) Contoh soal : Dua buah dadu (putih dan merah) dilempar bersama. Berapa peluang munculnya mata dadu putih ≤ 3 dan mata dadu merah ≤ 2? Jawab : A = {(1,1),(1,2),...,(3,6)} dadu putih n(A) = 18 P(A)
=
B n(B)
= {(1,1),(1,2),...,(6,2)} dadu merah = 12
P(B)
=
A∩B n(A∩B)
= {(1,2),(1,2),(2,1),(3,1),(3,2)} =6
P(A∩B)
=
P(A∪B)
= P(A)+P(b)-P(A∩B) =
-
+
-
=
=
Peluang Gabungan Dua Kejadian Yang Saling Lepas Jika A dan B adalah 2 kejadian yang saling lepas, maka peluang kejadian : P(A∪B) = P(A)+P(B)
Rangkuman Kelas XII
106
Contoh soal : Sebuah dadu memiliki 6 mata dilempar sekali. Berapa peluang munculnya mata dadu ≤ 2 atau ≥ 5 ? n(S) =6 B = {5,6} ≥ 5 A = {1,2} ≤ 2 n(B) =2 n(A) =2 P(A)
=
P(B)
=
P(A∪B)
= P(A)+P(B) =
-
+
=
=
Peluang Dua Kejadian Yang Saling Bebas Kejadian A dan B disebut saling bebas jika dan hanya jika P(A∩B) = P(A)∙P(B) Contoh soal : Jika dua buah dadu (merah dan putih) dilempar, maka tentukanlah peluang munculnya mata dadu merah ≤ 2 dan dadu putih >3! n(S) = 6 dadu merah n(S) = 6 dadu putih B = {4,5,6} dadu putih > 3 A = {1,2} dadu merah ≤ 2 n(B) =3 n(A) =2 P(B) = P(A)
= P(A∩B)
= P(A)∙P(B) =
-
∙
=
Peluang Dua Kejadian Yang Bersyarat Kejadian A dan B disebut bersyarat jika kejadian B dapat terjadi setelah kejadian A terjadi. P( ) = P(A)∙P(B) Contoh soal : Dalam sebuah kantong berisi 6 butir kelereng merah dan 4 butir kelereng putih. Diambil 2 kelereng dengan cara mengambil 1 per 1 tanpa pengembalian. Tentukanlah peluang terambilnya kelereng pertama merah dan kedua putih! n(S) = 10 jumlah seluruh kelereng A = kelereng merah n(A) =6 P(A)
=
n(S) B n(B)
= 9 jumlah seluruh kelereng -1 setelah pengambilan pertama = kelerang putih =4
P(B)
=
P( )
= P(A)∙P(B) =
∙
Rangkuman Kelas XII
=
107
MATERI 12 DIMENSI 3 (BANGUN RUANG) Unsur-Unsur Bangun Ruang Sisi = bidang batas dari bangun ruang, ada 3 jenis sisi : alas, atas, dan tegak. Rusuk = perpotongan garis dari 2 sisi. Titik sudut = titik perpotongan beberapa rusuk / perpotongan 3 sisi. Diagonal Sisi/Bidang = ruas garis yang menghubungkan 2 titik sudut yang berhadapan pada sisi. 5. Diagonal Ruang = ruas garis yang menghubungkan 2 titik sudut yang berhadapan pada bangun ruang. 6. Bidang Diagonal = bidang yang dibentuk oleh 2 diagonal sisi / 2 diagonal ruang / 2 sisi yang berhadapan pada bangun ruang. 1. 2. 3. 4.
Rumus Umum Luas dan Volume Bangun Ruang 1. Kubus Rusuk yg sejajar AB//CD//GF//GH AE//BF//CG//DH s AD//BC//FG//EH
s
s
Bidang yg sejajar ABCD // EFGH ; ABFE // CDHG ; BCFG // ADHE
Garis Frontal (garis pada bangun yg dilukis dengan ukuran yg sebenarnya) Horisontal = AB, CD, EF, GH Vertikal = AE, DH, BF, CG Garis Ortogonal (garis yg dilkis tidak dengan ukuran sebenarnya, tapi menggunak perbandingan proyeksi) AD , BC , EH , FG Bidang Frontal ABFE , CDHG s = sisi kubus
Bidang ortogonal ABCD , EFGH , ADHE , BCGF Diagonal Sisi AC, BD, AF, BE, BG, CF, CH, DG, AH, DE, EG, FH Ds
= s√
Diagonal Ruang AG, BH, CE, DE Dr
= s√
Bidang Diagonal ABGH, BCHE, CDFH, ADFG, DBFH, ACGE L bd. diagonal = s2√
L tertutup = 6 ∙ s2 Volume = s3
Rangkuman Kelas XII
108
2. Balok
Diagonal Sisi ac = √ bg = √
t
be = √
l
bh = √
p
Diagonal Ruang
Luas Bidang Diagonal abgh
=p∙√
bche
=l∙√
acge = t ∙ √ p = panjang l = lebar t = tinggi
L tertutup Volume
= 2 (pl+pt+tl) =p∙l∙t
3. Prisma jika L alas ∆ : 1. L ∆
=
2. L ∆
=
∙ a ∙ b ∙ sin C
=
∙ a ∙ c ∙ sin B
=
∙ b∙ c ∙ sin A
3. L ∆ 4. L ∆
=√ = 2R2 ∙ sin A ∙ sinB ∙ sinC
ket. a = alas ∆ t = tinggi ∆ s=
∙ kell ∆
L selimut = kell alas ∙ t prisma L tertutup Volume
= 2 (L alas) + L selimut = L alas ∙ t prisma
4. Tabung L O = π ∙ r2 L selimut
= kell O ∙ t =2∙πr∙t r = jari-jari tabung dan
t
L tertutup Volume
Rangkuman Kelas XII
= = = =
t = tinggi tabung
2 L O + L selimut 2 (π ∙ r2) + (2 ∙ π r ∙ t) LO∙t π ∙ r2 ∙ t 109
5. Kerucut L selimut = π ∙ r ∙ a a = apotema = √
a
L tertutup
= L O + L selimut = (π ∙ r2 )+ (π ∙ r ∙ a)
Volume
=
∙LO∙t
=
∙ π ∙ r2 ∙ t
Kerucut terpancung L selimut
r1
= π ∙ a (r1+r2)
a
=√ L alas = D = π ∙ r22 L tutup = A = π ∙ r12 r1 = jari-jari O atas r2 = jari-jari O bawah
a t r2 L tertutup
= L alas + L tutup + L selimut
Volume
=
∙ π ∙ t ∙ (r1
2
+ r2
2
+ r1 r2)
6. Limas L alas = jika = jika
=p∙l = s2
= jika ∆
=
L selimut = jml L sisi tegak
L tertutup
= L alas + L jml sisi tegak
Volume
=
∙ L alas ∙ t prisma
Limas terpancung
A
D
L dasar = D L atas = A L selimut = jml L sisi tegak L tertutup
= D + A + L selimut
Volume
=
∙ t (D+A+√
)
7. Bola r = jari-jari bola L bola pejal/padat = 4 π r2 Volume
Rangkuman Kelas XII
=
π r2
110
8. Euler adalah sebuah rumus yg menyatakan relasi antara banyaknya : S = sisi T = titik sudut R = rusuk S+T = R+2 Contoh soal : 1. Perbandingan panjang rusuk ABCD.EFGH dengan kubus KLMN.PQRS adalah 1:3, jumlah luas permukaan kedua kubus adalah 240 cm2 . Hitunglah perbandingan panjang diagonal ruang dan perbandingan volumenya! jawab : = diagonal ruang1 = s1√ = 2√ cm
s2 = 3s1 L1 + L2 240 240 240 s12 s1 s2
= = = = = = = = = =
diagonal ruang2 = s2√ = 6√ cm
6 ∙ s12 + 6 ∙ s22 6 ∙ s12 + 6 ∙ (3s1)2 6s12 + 54s12 60s12 4 √ 2 cm 3s1 3∙2cm 6cm
d 1 : d2
= 2√ : 6√ =1:3
v1 = s13 v2 = s23 v1 : v2
= = = =
23 = 8 cm3 63 = 216 cm3 8 : 216 1 : 27
2. Luas bidang diagonal sebuah balok yg memuat 2 buah rusuk tegak = √ cm3, jika panjang balok 5cm dan tingginya 3 cm, tentukan lebar, luas, dan volume balok ! jawab : L bidang = t √
t
l p
Luas balok
volume balok
= = = = = = = =
(√ )2 369 25 + l2 l2 l
= (3 √ )2 = 9 (52 + l2) :9 =41 = 16 =√ = 4 cm
2 (pl+pt+tl) 2 (5∙4 + 5∙3 + 3∙4) 2 (20+15+12) 2 ∙ 47 94 cm2 p∙l∙t 5∙4∙3 60 cm3
3. Prisma segi-6 beraturan seperti gambar dengan rusuk alas 3 m dan rusuk tegak 4 m. Tentukan : a. Panjang diagonal sisi alas yg melalui pusat alas Rangkuman Kelas XII
111
b. Panjang diagonal sisi tegak c. Luas prisma tsb d. volume prisma tsb jawab : a. diagonal alas = 3m+ 3m=6m b. diagonal sisi tegak =√
E
D
A
4 L AOB =
O
F
=√ =√ = 5m
C
3 B
∙ AO ∙ BO sin 60°
=
∙3∙3∙
=
√
√
L alas = 6 ∙ L AOB =6∙ =
√
√
L selimut = kell alas ∙ t =6∙3∙4 = 72 c. L prisma = 2 L alas + L selimut =2∙
√ + 72
= (27√ +72)cm2 = L alas ∙ t
d. volume
=
√ ∙4
= 54√ cm3 4. Bidang 4 siku-siku dititik sudut B. Jika AB=BC=6 dan TA=8. Tentukan : a. Gambar bidang 4 b. Luas bidang 4 jawab :
T
L ∆ABC = =
8
∙ AB ∙ BC ∙6∙6
= 18 cm2
B
C
6
TB
E
A
=√ =√ =√ =√ = 2√
L ∆TAB
=
∙ AB ∙ TB
=
∙ 6 ∙ 2√
= 6√ cm2 AC
=√ =√ = 6√
AE = EC = 3√
Rangkuman Kelas XII
112
TE
=√ =√
√
=√ =√ L ∆TAC
=
∙ AC ∙ TE
=
∙ 6√ ∙ √
=3∙√ ∙√ ∙√ = 6√ cm2 = L ∆ABC + L ∆TAC + 2 ∙ L ∆TAB = 18 cm2 + 6√ cm2 + 2 ∙ 6√ cm2 = (12√ +6√ +18) cm2
L limas
Hubungan Titik, Garis, dan Bidang 1. Jarak titik ke titik panjang garis lurus terpendek H G contoh (perhatikan kubus) : O Jarak titik A ke B = a E F P Jarak titik C ke F = a√ K
D
C L
A HL2
B = OL2 + OH2
HL
=√
Jarak titik D ke F = a√
Jarak titik H ke O =
Jarak titik O ke L = a Jarak titik dari H ke L =
√
√
=√ =√ =√ = a√ =a = =
√
√ √
x
√ √
a√
2. Jarak titik ke garis dari titik tegak lurus ke garis
contoh (perhatikan kubus) : Jarak titik A ke BC = AB = a Jarak titik C ke BD = CL = a√
Rangkuman Kelas XII
Jarak titik B ke HF = BF = a
113
3. Jarak titik ke bidang dari titik tegak lurus ke bidang
contoh (perhatikan kubus) : Jarak AB ke FH = BF = a Jarak DH ke BF = BD = FH = a√ 5. Jarak garis ke bidang Garis l ┴ k dan memotong di P, garis l ┴ bidang U , dan memotong di Q lmaka jarak garis k ke bidang U adalah panjang PQ
contoh (perhatikan kubus) : Jarak titik D ke EFGH = DH = a Jarak pertengahan CG (p) ke
p k
BDHF = KP = a√
Jarak K ke ADHE = a
u 4. Jarak antara 2 garis Garis k ┴ g dan k ┴ l, garis k memotong g di A dan memotong l di B maka jarak antara garis g dan l adalah panjang AB
contoh (perhatikan kubus) : Jarak AB ke EFGH = AE = BF =a Jarak EG ke ABCD = AE = CG = OL = a
g
A l
B k
Contoh soal : Diketahui bidang 4 beraturan dengan rusuk 4 satuan, tentukan tinggi bidang 4 tsb ! jawab : CD2 = BC2 – BD2
T
CD2 = a2 – ( a)
a E
C A TE2 2
CD = √ =√
D B a
a
2
=√
= CD2 – DT2
TE
= CD2 – CD2
TE2
= (√
TE2
= a2 -
TE2
= a2 -
TE2
=
TE
=√ =
)2 – ( √
)2
a2
∙ a2
a2
a
Rangkuman Kelas XII
114
Sudut-Sudut Dalam Ruang 1. Sudut antara 2 garis ambil sudut terkecil ∠ (k,l) = ∠ (k’,l) k k’
l
contoh (perhatikan kubus) : H G a. ∠ (AB, CG) E
= = = = = =
F b. ∠ (AC,DH) D
C c. tan ∠ (AG,AC)
A
B
=
∠(AB,BF) ∠(AB,AE) 90o ∠(AC,AE) ∠(AC,CG) 90o E
= =
= √
= =
√ √ √
= √
√
D
C
A
OB
= BF2 + OF2
OB2
= a2 + (
OB2
= a2 + a2
OB
=√ =a
F
√
o
= 60 (∆BEG sama sisi) = cos ∠ BOF 2
G O
√
= √ d. ∠ (BG,EG) e. cos ∠ (BO,FH)
H
√ √
x
B
√ )2
√ √
= a√
2. Sudut antara garis dan bidang ∠ (k, bidang V) = sudut antara k dengan proyeksi ke bidang V contoh (perhatikan kubus): k a. ∠ (AH, ABCD) = ∠ (AH,AD) k’ = 45o E b. sin ∠ (DF,EFGH) = ∠ (DF,FH)
H
G F
= =
Q V
D
√
C
= √ A
B
3. Sudut antara 2 bidang bidang U dan V berpotongan dengan garis potongnya (U,V) garis k ┴ (U,V) pada bidang U dan garis l ┴ (U,V) pada bidang V, maka ∠ (U,V) = ∠ (k,l) contoh (perhatikan kubus) : k a. ∠ (ADHE,EFGH) = ∠ (AE,EF) U = 90o (U,V) b. ∠ (BAH,ABCD) = ∠ (AH,AD) = 45o V
l Rangkuman Kelas XII
115
Contoh soal : Tentukan besar sudut-sudut berikut dari kubus dibawah ini ! H G a. ∠ (BE,GE) = 60 ° b. ∠ (ED,DC) = 90 ° E F c. ∠ (AH,HC) = 60 ° P d. ∠ (HF,EA) = 90 ° D A
C B
h. tan ∠ ECA =
g.
=
i.
sin ∠ DHB =
=
j.
sin ∠ (HF,CD) =
Rangkuman Kelas XII
e.
cos P
=
=
f.
sin Q
=
=
tan ∠ DHB =
=
√
√
=1
√ √
= √
=√
= √
√ √ √
=
= √
√ √
x
√ √
= √
= √
116
MATERI 13 VEKTOR Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Seperti : kecepatan, gaya, geseran, dsb.
B
a
A titik pangkal B titik terminal (ujung)
A
Notasi “vektor dengan pangkal A dan ujung B diwakili a = ̅ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ”
Vektor yang sama, berlawanan, dan nol 1. Vektor yang sama jika kedua vektor memiliki besar dan arah sama.
a
a
2. Vektor yang berlawanan jika kedua vektor memiliki besar sama, tapi berbeda arah.
a
-a
3. Vektor nol vektor yang besarnya nol dan arahnya boleh kemana saja dan dilambangkan 0. Contoh soal : Tentukan vektor manakah yang keduanya sama ! a. p
b.
a
c.
r
q b
a. Vektor p ≠ q b. Vektor a = b c. Vektor r = -s
(tidak sama) (sama) (berlawanan)
s
Penjumlahan dan Pengurangan Vektor Ada 2 metode : 1. Metode Grafis 1. Metode Jajaran Genjang Cara = 2 buah vektor yang akan dijumlahkan disatukan pangkalnya. Kemudian dibuat jajaran genjang. Hasil penjumlahan vektornya adalah diagonal jajaran genjang tsb. a + b = b + a dan a - b ≠ b - a
a b
2. Metode Segitiga Cara = satukan kedua ujung vektor, buat vektor dengan pangkalnya di A dan ujungnya di ujung B. Hasil penjumlahan adalah vektor yang baru dibuat tsb. Rangkuman Kelas XII
117
𝐅=a+b
a+b
b a
3. Metode Poligon Untuk menjumlahkan 3 vektor / lebih Cara = satukan semua vektor dari ujung ke pangkal satu sama lain. Kemudian buat vektor baru dengan pangkal di pangkal vektor pertama dan ujung diujung vektor terakhir.
c
b
d 𝐅=a+b+c+d
a
Contoh soal :
f k
Sederhanakan bentuk berikut : a. a + c + b = f b. k + d + (-a) = 0 c. d + b + c = e d. k + e =f
c
e d
a
b
2. Metode Analitis |a+b|2 = |a|2+|b|2+2|a||b| cos α
a
a α
a
α
|a–b|2 = |a|2+|b|2 –2|a||b| cos α
b
-b
|a| baca besar a , |a+b| baca besar a+b Contoh soal : 1. Diketahui besar vektor a adalah 3 dan besar vektor b adalah 4 yang membentuk sudut 120°. Tentukan besar a – b ! Jawab : |a|=3 , |b|=4 , dan α = 120° |a–b|2 = |a|2+|b|2 –2|a||b| cos α = 32 + 42 – 2 ∙ 3 ∙ 4 cos 120° = 9 + 16 – 24 ∙ = 25 + 12 |a–b| = 37 |a–b| = √ Jadi besar a – b adalah √ 2. Diketahui vektor r dan s , |r|=5 dan |r+s|=10, kedua vektor membentuk sudut 60°, tentukan |s| ! |r+s|2 = |r|2+|s|2 +2|r||s| cos α 102 = 52 +|s|2 + 2∙5∙|s| cos 60o 2
100
= 25 +|s|2 + 10∙ |s|
75 0
= |s|2 + 5|s| = |s|2 + 5|s| - 75
|s|
=
√
Rangkuman Kelas XII
118
|s|
=
√
=
√
=
√
=
√
=
√
=
√
gunakan yang positif
Perkalian Vektor Dengan Skalar
a
-2a
Jika suatu vektor ditulis dalam bentuk koordinat kartesius :
2a
a = (x1,y1) = ( ) maka, k∙a = k (
)=(
),k∈R
contoh soal : 1. Diketahui r = ( ), s = (
), u = ( ), dan v = (
). Hitunglah 3(r-s)+2(u-v)!
Jawab : 3(r-s)+2(u-v) = 3[( )-(
)]+2[( )-(
)]
= 3( ) + 2( ) =(
)+( )
=(
)
2. Diketahui a ( ) dan b (
) yang berimpit. Tentukan nilai x !
Jawab : a=m∙b a
=m∙b
( )
=m∙(
( )
=(
x
)
= 72 ∙
)
=9
16 ∙ m = 2 m
= 72 m
=
Vektor Posisi, Besar Vektor, dan Vektor Satuan 1. Vektor Posisi Adalah vektor yang pangkalnya di titik O(0,0) y Vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗⃗⃗ vektor posisinya adalah A vektor a dan b ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ + (-⃗⃗⃗⃗⃗ ) = ⃗⃗⃗⃗⃗ - ⃗⃗⃗⃗⃗ =b–a Jika A(x1,y1) dan B(x2,y2)
a b 0 Rangkuman Kelas XII
B x
119
Maka ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
=b–a =(
)-(
=(
) )
2. Besar Vektor Besar vektor a dilambangkan |a| |a|
=√
|b| |⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
=√ =√
3. Vektor Satuan Vektor satuan dilambangkan e. Vektor satuan dari vektor a adalah ea ea
⃗⃗⃗⃗⃗
1. 2. 3. 4.
=
( )
=
=
√
⃗⃗⃗⃗⃗
( ) (
= ⃗⃗⃗⃗⃗
√
) (
)
Contoh soal : Dikethui titik A(2,-1) dan B(5,3), tentukanlah : Vektor posisi ⃗⃗⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗⃗⃗ yang diwakili a dan b! Vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗⃗⃗ ! |⃗⃗⃗⃗⃗ | dan |⃗⃗⃗⃗⃗ | ea > eb dan
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
!
jawab : 1. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 2. ⃗⃗⃗⃗⃗
=a=(
)
4. ea
=b=( )
=
=b–a =( )-(
=
=
)
=( ) ⃗⃗⃗⃗⃗
3. |⃗⃗⃗⃗⃗ |
=(
)
=(
)
=√ =√ =5 =√
(
) √
(√ ) √
( )=
eb
√
(
√
=√ =5 Rangkuman Kelas XII
)
= = =
=√ =√
)
√
=√ =√
|⃗⃗⃗⃗⃗ |
=
=a–b
(
=
( ) √ ( ) √
(√ ) √
120
=
=
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
√
(
√
=
)
=
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
( )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Vektor di Bangun Ruang (R3)
z
Vektor a di R3 dinyatakan dengan
-x
k
a = (x1, y1, z1)
j
i=( )
y
-y
=(
ix
( )
-z
) = ( ) (bentuk komponen)
j=( )
= x1i + y1j + z1k (bentuk linear)
k=( )
Penjumlahan dan Pengurangan Vektor di R3 a+b+c = ( berlaku sifat : komutatif assosiatif unsur identitas invers tambah
)
a+b=b+a (a+b)+c = a+(b+c) dari vektor 0 a+0=0+a=a a+b=0
contoh soal : tentukan vektor invers tambah dari b=(
)! a1+4 a1 a2-5 a2 a3+6 a3
Misalkan a=( ) a+b
=0
=( )+( =(
)
)=( )
0 -4 0 5 0 -6
=( )
jadi, invers tambahnya a=(
)
a-b = a+(-b) = (
= = = = = =
)
Perkalian Vektor di R3 k∙a = k (
Rangkuman Kelas XII
)=(
),k∈R
121
Vektor Posisi Jika A(x1, y1, z1) dan B(x2, y2, z2) Maka ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b–a =(
)
= (x2 - x1)i + (y2 - y1)j + (z2 - z1)k
Besar Vektor |a|
=√
|b| |⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
=√ =√
Vektor Satuan ( )
ea
⃗⃗⃗⃗⃗
=
=
=
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
√
( ) (
=
√
) (
)
Contoh soal : 1. Diketahui koordinat A(5, -2, 3), B(-2, 1, 5) dan C(0, 6, -3). Tentukan vektor posisi dan vektor linear dari ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ ! Jawab : Ubah koordinat ke vektor
a=(
)
b=(
)
c=(
)
Vektor posisi
⃗⃗⃗⃗⃗ = b-a = (
)-(
)
=(
) -7i+3j+2k
⃗⃗⃗⃗⃗ = c-b = (
)-(
)
=(
) 2i+5j-8k
⃗⃗⃗⃗⃗ = a-c = (
)-(
)
=(
) 5i-8j+6k
2. Jika a=3i+4j-2k, b=3i+4k, c=4j+8k, mak tentukan masing-masing panjang vektornya! |a|
=√
=√
=√
|b|
=√ =√ =5 |c| =√ =√ = √ = 4√ 3. Diketahui ∆ABC dengan A(3, 5, -2), B(1, -3, 4), dan C(-3, 4, 1). Hitunglah kelilingnya ! Menghitung panjang sisi ∆ dengan mengubah koordinat menjadi vektor posisi
⃗⃗⃗⃗⃗
= b-a = (
|⃗⃗⃗⃗⃗ |
=√
)-(
)
=(
)
=√ = 2√ Rangkuman Kelas XII
122
⃗⃗⃗⃗⃗
= c-b = (
|⃗⃗⃗⃗⃗ |
=√
)-(
)
=(
)
)-(
)
=(
)
=√ ⃗⃗⃗⃗⃗
= a-c = (
|⃗⃗⃗⃗⃗ |
=√
=√ Kell ∆ = |⃗⃗⃗⃗⃗ | + |⃗⃗⃗⃗⃗ | + |⃗⃗⃗⃗⃗ | = 2√ + √ + √ Pembagian Ruas Garis di R3 Dalam Vektor
1.
m
c=
n
A
C
𝐧𝐚 𝐦𝐛 𝐦 𝐧
𝒎 𝒏
B
2. c=
n
m C
𝐧𝐚 𝐦𝐛 𝐧 𝐦
-
𝒎 𝒏
B
A
3. c=
m
n
𝐦 𝐧
-
𝒎 𝒏
C
B
A
𝐦𝐛 𝐧𝐚
Contoh soal : 1. Diketahui titik A(3, 0, 6) dan B(0, 3, -3). Titik P membagi AB di dalam dengan perbandingan AP:AB=1:2. Tentukan koordinat titik P! Jawab : A( ) dan B( P
=
)
= ( )
(
)
= ( ) (
)
= ( )
= =( )
jadi, koordinat P(1, 2, 0)
2. Diketahui titik P (1, -2, -8) dan Q(3, -4, 0). Titik R membagi PQ di luar dengan perbandingan 3:1. Jika r adalah vektorposisi dari titik R, tentukanlah koordinat R! P(
) dan Q(
Rangkuman Kelas XII
)
= 123
R
= (
)
(
)
= (
) (
(
)
)
= = =(
jadi, koordinat R(4, -5, 4)
)
3. Titik A(2, 3, 4), B(9, -11, 18) dan C(x, y, -10) segaris. Tentukanlah nilai x dan y! Jawab : a=( )
b=(
⃗⃗⃗⃗⃗
= k ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗
(b-a)
= k ∙ (c-b)
(
)-( )
= k ∙ [(
(
)
=k∙(
c=(
)
) jika vektor segaris
)
(
)]
)
menentukan nilai k 14 = -28 ∙ k k
=-
menentukan nilai x 7 = k (x-9) 7
=-
(x-9)
7
=-
+
= X = -5 menentukan nilai y -14 = k (y+11) -14
=-
(y+11)
-14
=-
-
= Y
= 17
jadi nilai x adalah -5 dan y adalah 17
Perkalian Skalar 2 Vektor a=( ) = a1i + a2j + a3k
a α b a∙b
b=(
) = b1i + b2j + b3k
= |a| |b| cos α = a1∙b1 + a2∙b2 + a3∙b3
Rangkuman Kelas XII
124
Cos α =
| || |
=
| || |
Contoh soal : Tentukan nilai p agar vektor a=i+2j dan b=4i-pj+k saling tegak lurus ! Jawab : a∙b = a1∙b1 + a2∙b2 + a3∙b3 4-2p = 0 = 1∙4 + 2(-p) + 0∙1 -2p =4 = 4-2p p = -2 a ┴ b pada a∙b = 0 jadi yang memenuhi adalah p=-2 a∙b =0
Jika A(4, 3, 5), B(1, 1, 1), dan C(-1, 10, -2), tunjukan bahwa ∆ABC segitiga siku-siku!
C
a=( ), b=( ) , c=(
)
⃗⃗⃗⃗⃗ = b-a = ( ) - ( ) = ( ⃗⃗⃗⃗⃗ = c-b = ( p∙q
) - ( )= (
)p
B
A
)q
= (-3)(-2) + (-2)9 + (-4)(-3) = 6-18+12 =0
Cos α =
| || |
Cos α = Cos α = 0 α = arc cos 0 α = 90° jadi ∆ABC adalah siku-siku Diketahui jajaran genjang ABCD dengan |AB|=8, |AD|=6 dan ∠ABC=120°. Jika u adalah vektor AB dan v adalah vektor AD, berapakah nilai u∙(u-v)? |AB| = |u| = 8 C |AD| = |v| = 6 D
A
6
60°
8
B
u∙(u-v)= u∙u – u∙v = |u| |u| cos 120° - |u| |v| cos 60° = 8∙8∙-
– 8∙6∙
= -32 – 24 = -56 Perkalian Vektor 2 Vektor a= a1i + a2j + a3k b= b1i + b2j + b3k s= vektor satuan yg tegak lurus dengan vektor a & b s
a α
b
axb
= |a||b| sin α ∙ s =|
|
= (a2b3 – a3b2)i + (a3b1 – a1b3)j + (a1b2 – a2b1)k Contoh soal : Diketahui a=( ) dan b=(
). Tentukan axb dan bxa !
axb
|
i|
= i|
| - j|
| + k|
= = = =
bxa
=|
| , j|
| , k|
|
|
(2∙2 – 0∙4)i – (1∙2 – (-1)∙4)j + (1∙0 – (-1)∙2)k (4-0)i – (2+4)j + (0+2)k 4i – 6j + 2k -4i + 6j - 2k dibalik (+) dan (-)
Bilangan Kompleks Bilangan kompleks merupakan gabungan bilangan real (nyata) dan imajiner (khayal) yang dihubungkan dengan tanda penjumlahan atau pengurangan. Notasinya : z = a+bi dengan a, b ∈ R dan i= bilangan imajiner, dengan i=-1 i2 = -1 Bentuk bilangan kompleks ada 2 : 1. Bentuk Siku Z = a+bi , dengan a = r ∙ cos θ b = r ∙ sin θ
Sumbu imajiner
I
Z=a+bi
b r
2. Bentuk Polar Z = a+bi =r
b
θ 0
a
a
R
Sumbu nyata
contoh soal : Ubah z = 3 – 3i ke bentuk polar a = 3 dan b = -3 r
=√ =√ =√ = 3√
Z = r ∠ θ , dengan r
=√
θ
= arc tan
θ
= arc tan = arc tan = arc tan -1 = 45° = (360° - 45°) kuadran IV karna a
dan -b
= 315°
Jadi, z = 3√ ∠ 315° Ubah z = 4 ∠ 135° ke bentuk siku r = 4 dan θ = 135° a = r ∙ cos θ = 4 ∙ cos 135°
Rangkuman Kelas XII
= 4 ∙ -cos 45° =4∙- √ = -2√ 126
b
= r ∙ sin θ = 4 ∙ sin 135° = 4 ∙ sin 45°
=4∙
√
= 2√ Jadi, z = -2√ + 2√ i
Operasi Hitung Bilangan Kompleks
-
Penjumlahan Bilangan Kompleks Jika keduanya bentuk siku (a1+b1i)+(a2+b2i) = (a1+a2)+(b1+b2)i
-
Contoh soal : 2(4+2i)+(6-2i) = 8+4i+6-2i = 14+2i Jika 1 bentuk polar dan 1 bentuk siku, maupun keduanya bentuk polar Bentuk polar diubah dahulu ke bentuk siku, baru dihitung menggunakan operasi hitung bilangan kompleks.
Contoh soal : (4+6i) + 8 ∠ 30° r = 8 dan θ = 30° a = r ∙ cos θ = 8 ∙ cos 30°
b
√
= r ∙ sin θ = 8 ∙ sin 30° =4
= 4√ (4+6i)+( 4√ +4i) = 4+4√ +10i -
Pengurangan Bilangan Kompleks Jika keduanya bentuk siku (a1+b1i)-(a2+b2i) = (a1-a2)+(b1-b2)i
-
Contoh soal : (4+2i) – 5(6-2i) = 4+2i-30+10i = -26+12i Jika 1 bentuk polar dan 1 bentuk siku, maupun keduanya bentuk polar Bentuk polar diubah dahulu ke bentuk siku, baru dihitung menggunakan operasi hitung bilangan kompleks.
-
Perkalian Bilangan Kompleks Jika keduanya bentuk siku (a1+b1i)(a2+b2i) = a1a2 + (a1a2 + b1b2)i + (b1b2)2 Contoh soal : 6(6-2i)(4+2i)
-
= 6(24+12i-8i-4i2) = 6(24+12i-8i-4∙-1) = 6(24+4i+4) = 6(28+4i) = 168+24i Jika keduanya bentuk polar
i2 = -1
(r1 ∠ θ1) ∙ (r2 ∠ θ2) = r1 ∙ r2 ∠ (θ1+θ2) Contoh soal : 6 ∠ 60° ∙ 3 ∠ 30° = (6∙3) ∠ (60°+30°) = 18 ∠ 90° Rangkuman Kelas XII
127
-
Jika 1 bentuk polar dan 1 bentuk siku Bentuk polar diubah dahulu ke bentuk siku, baru dihitung menggunakan operasi hitung bilangan kompleks atau sebaliknya.
-
Pembagian Bilangan Kompleks Jika keduanya bentuk siku
=
x
perkalian sekawan
= Contoh soal : =
x
= = = = -
=1-i Jika keduanya bentuk polar ∠
=
∠
∠ (θ1- θ2)
Contoh soal : ∠
=
∠
-
∠ (90° - 60°)
= 3 ∠ 30° Jika 1 bentuk polar dan 1 bentuk siku Bentuk polar diubah dahulu ke bentuk siku, baru dihitung menggunakan operasi hitung bilangan kompleks atau sebaliknya.
Phasor Phasor adalah kedudukan sesaat vektor yang berputar pada pangkalnya. Notasi phasor P=r ∠ θ, dengan r = panjang phasor dan θ = sudut yang dibentuk phasor dengan sumbu R positif. Bentuk penulisan phasor ada 2, seperti bilangan kompleks : r ∠θ 1. Bentuk Polar r
I
P = r ∠ θ , dengan
θ
R
r
=√
θ = arc tan
2. Bentuk Siku P = a+bi , dengan a = r ∙ cos θ b = r ∙ sin θ
contoh soal : Nyatakan phasor P=4 ∠ 60° ke bentuk siku! r=4 dan θ=60° a = r ∙ cos θ = 4 ∙ cos 60° =4∙ =2
Rangkuman Kelas XII
b
= r ∙ sin θ = 4 ∙ sin 60° =4∙ √ = 2√
Jadi, P=2+2√ i 128
Nyatakan phasor P=4+3i dalam bentuk polar ! a=4 dan b=3 θ r =√ =√
Operasi Hitung Pada Phasor
-
Penjumlahan dan Pengurangan Phasor Jika keduanya bentuk siku
-
= arc tan
= arc tan 0,75 = 36,87° Jadi, P= 5 ∠ 36,87°
=√ =5
Penjumlahan Pengurangan
= arc tan daftar III
(a1+b1i)+(a2+b2i) = (a1+a2)+(b1+b2)i (a1+b1i)-(a2+b2i) = (a1-a2)+(b1-b2)i
Jika 1 bentuk polar dan 1 bentuk siku, maupun keduanya bentuk polar Bentuk polar diubah dahulu ke bentuk siku, baru dihitung menggunakan operasi hitung bilangan kompleks, dan diubah menjadi bentuk polar kembali.
Contoh soal : Tentukan hasil dari 12,73 ∠ 225° + 5,2 ∠ -30° ! Jawab : Diubah ke bentuk siku
12,73 a = = = = = b = = = = = P1 =
∠ 225° r ∙ cos θ 12,73 ∙ cos 225° 12,73 ∙ -cos 45° daftar III 12,73 ∙ -0,7071 -9 r ∙ sin θ 12,73 ∙ sin 225° 12,73 ∙ -sin 45° 12,73 ∙ -0,7071 -9 -9-9i
5,2 ∠ -30° a = r ∙ cos θ = 5,2 ∙ cos -30° = 5,2 ∙ cos 30° daftar III = 5,2 ∙ 0,8660 = 4,5
b
P2
= = = = = =
r ∙ sin θ 5,2 ∙ sin -30° 5,2 ∙ -sin 30° 5,2 ∙ -0,5 -2,6 4,5-2,6i
P1+P2 = -9-9i+4,5-2,6i
= -4,5-11,6i Diubah ke polar lagi r
=√ =√ =√ =√ = 12,44
θ
= arc tan = arc tan
= arc tan 2,5778 = 248,8° Jadi, hasilnya adalah 12,44 ∠ 248,8°
-
Perkalian dan Pembagian Phasor Jika keduanya bentuk siku Perkalian
(a1+b1i)(a2+b2i) = a1a2 + (a1a2 + b1b2)i + (b1b2)2
Pembagian
=
x
perkalian sekawan
= -
-
Jika keduanya bentuk polar Perkalian
(r1 ∠ θ1) ∙ (r2 ∠ θ2) = r1 ∙ r2 ∠ (θ1+θ2)
Pembagian
∠ ∠
=
∠ (θ1- θ2)
Contoh soal : 6 ∠ 40° ∙ 2 ∙ 10°
= 6 ∙ 2 ∠ (40°+10°) = 12 ∠ 50° 12 ∠ 50° : 2 ∙ 10° = 12 : 2 ∠ (50°-10°) = 6 ∠ 40° Jika 1 bentuk polar dan 1 bentuk siku Bentuk polar diubah dahulu ke bentuk siku, baru dihitung menggunakan operasi hitung bilangan kompleks atau sebaliknya.
Rangkuman Kelas XII
130
MATERI 14 IRISAN KERUCUT
Lingkaran Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang memiliki jarak sama terhadap titik tertentu.
Bagian-Bagian Lingkaran
I
P
Q
T O
A
OA = OB = OC = jari-jari (r) AB = diameter (d) = 2r PQ = tali busur ∩ PQ (garis lengkung) Daerah I = tembereng Daerah II = juring OT = apotema (garis tinggi)
B II
C
Berlaku :
∠
∩
=
∠
∩
=
Contoh soal : 1. Sebuah busur lingkaran panjangnya 121 cm, jika jari-jari lingkaran 35 cm, tentukan besar sudut pusat busur tsb! Jawab : ∩=121 cm dan r=35 cm ∠ ∠
=
∠
∩
=
∠
=
220∙∠pusat = 242π ∠ pusat = 1,1 ∙ 180° = 198° 2. Tentukan keliling plat tsb ! ∠
r=14 cm 60°
∠
=
∩ ∩
=
60°
=
∩
6 ∙ ∩AB = 88
r=14 cm
∩ AB
= = 14
∩ CD = ∩ AB = 14 Kell plat
= AD + CD + BC + AB = 15+14 +15+14 = 59 cm
Rangkuman Kelas XII
131
Persamaan Lingkaran 1. Di pusat (0,0) dan jari-jari r
y P(x,y) r x
x 2 + y2 = r 2
(0,0)
Contoh soal : 1. Diketahui persamaan lingkaran 2x2+2y2-32=0, tentukan pusat dan jari-jarinya! Jawab : 2x2+2y2 = 32 : 2 r2 = x2+y2 x2+y2 = 16 r2 = 16 r =√ Jadi, lingkaran di pusat (0,0) dan =4 jari-jari 4 2. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) yang melalui titk (0,-5) ! Jawab : (0,-5) x2 + y2 = r2 2 2 0 + (-5) = r2 r =√ =5 jadi, persamaan garis x2 + y2=5 2. Di pusat (a,b) dan jari-jari r
y
b
P(a,b)
r (x-a)2 + (y-b)2 = r2
x a Contoh soal : 1. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran (x+2)2 + (y-1)2 – 9 =0 ! Jawab : (x+2)2 + (y-1)2 = 9 (x+2)2 + (y-1)2 = 27 2 2 [x-(-2)] + [y-1] = 27 a b
x3
Pusat (a,b) (-2,1) r2 = 27 r =√ = 3√
2. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (1,-2) melalui titik (4,0) ! Jawab : (a,b) (1,-2) (x-a)2 + (y-b)2 = r2 2 2 (x-1) + (y-(-2)) = r2 Rangkuman Kelas XII
132
(x-1)2 + (y+2)2 (4-1)2 + (0+2)2 9+4 r2 persamaan garis : (x-1)2 + (y+2)2 = 13 (4,0)
= = = =
r2 r2 r2 13
3. Di pusat (a,b) dan jari-jari r dalam bentuk umum Merupakan penjabaran dari (x-a)2 + (y-b)2 = r2 , menjadi : x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0 x2 + y2 + Ax + By + C = 0 ket : A = -2a B = -2b 2
a=- A b=- B 2
C = a + b – r2 Pusat (a,b) (- A, - B) r
=√
Contoh soal : Diketahui persamaan lingkaran x2+y2-4x+8y-29=0. Tentukan pusat dan jarijarinya! Jawab : x2+y2-4x+8y-29=0 r =√ A = -4 , B=8, C=-29 Pusat (a,b)
(- A, - B) (-
∙ -4, -
=√ ∙ 8)
(2, -4)
=√ =√ =√ =7
Garis Singgung Lingkaran
1. Di pusat (0,0) dan jari-jari r
y r
P(x,y) l x
(0,0)
Dari persamaan x2 + y2 = r2 menjadi x 1 ∙ x + y1 ∙ y = r 2
Contoh soal : Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dari x2+y2=20 dititik (4,2)! Jawab : (4,2) x1∙x + y1∙y = r2 4x + 2y = 20 Rangkuman Kelas XII
133
2y y 2x+y-10
= 20 – 4x = 10 – 2x =0
2. Di pusat (a,b) dan jari-jari r Dari persamaan (x-a)2 + (y-b)2 = r2 menjadi (x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b) = r2 Contoh soal : Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dari (x+2)2+(y-4)2=45 dititik (4,1)! Jawab : (x+2)2+(y-4)2 = 45 (x1+2)(x+2) + (y1-4)(y-4) = 45 (4,1) (4+2)(x+2) + (1-4)(y-4) = 45 6x+12 +-3y+12 = 45 6x-3y = 21 :3 2x – y =7 2x – y – 7 =0 3. Di pusat (a,b) dan jari-jari r dalam bentuk umum Dari persamaan x2 + y2 + Ax + By + C = 0 menjadi x1∙x + y1∙y +
A(x1+x) + B(y1+y) + C = 0
Contoh soal : Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dari x2+y2+4x+2y-8=0 dititik (-5,-3)! Jawab : x2+y2+4x+2y-8=0 A=4, B=2, dan C=-8 x1∙x + y1∙y +
A(x1+x) + B(y1+y) + C
(-5)∙x + (-3)∙y +
=0
∙ 4[(-5)+x] + ∙ 2[(-3)+y] – 8
-5x-3y-10+2x-3+y-8 -3x-2y-21 3x+2y+21
(-5,-3) =0
=0 =0 =0
4. Di pusat (0,0) , jari-jari r , dan gradien m Dari persamaan x2 + y2 = r2 , gradien m dari y=mx+n, dan syarat D=0 y = mx ± r√ Contoh soal : Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dari x2+y2=4 dan bergradien 2! Jawab : x2+y2 =4 , m=2 y = mx ± r√ 2 r =4 y = 2x ± 2√ r =√ y = 2x ± 2√ =2 2x-y+2√ =0 V 2x-y-2√
5. Di pusat (a,b) , jari-jari r , dan gradien m Dari persamaan (x-a)2 + (y-b)2 = r2 dan gradien m dari y=mx+n y-b = m (x-a) ± r√ Rangkuman Kelas XII
134
Contoh soal : Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dari (x-2)2+(y+3)2 = 25 dan bergradien -1 ! Jawab : (x-2)2+(y-(-3))2 = 25 a=2 dan b=-3 r2 = 25 m=-1 r =√ =5 y-b
= m (x-a) ± r√
y – (-3)
= -1 (x-2) ± 5√
y+3
= -x+2 ± 5√
y
= -x – 1 ± 5√
x+y+1+5√ V x+y+1-5√ 6. Garis Singgung Persekutuan Luar
A B |AB| = √
P
Q
Contoh soal : Dua lingkaran berjari-jari 5 cm dan 3 cm. Jarak kedua kedua pusat lingkaran adalah 17 cm. Tentukan garis singgung persekutuan luar ! Jawab : GSPL
=√
r
r
=√ =√ =√ 7. Garis Singgung Persekutuan Dalam
A |AB| = √
P
Q B
Contoh soal : Dua lingkaran berjari-jari 5 cm dan 3 cm. Jarak kedua kedua pusat lingkaran adalah 17 cm. Tentukan garis singgung persekutuan luar ! Jawab : GSPL
=√
r
r
=√ =√ =√ = 15
Parabola Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya ke suatu titik tertentu (fokus) sama dengan jaraknya ke garis tertentu.
Rangkuman Kelas XII
135
Persamaan Parabola 1. Di puncak (0,0)
Y
2
y =4px
Komponen parabola : Puncak (0,0) Fokus (p,0) Garis Direktrik x=-p Sumbu simetris sumbu x atau y=0 Latus Rectum = 2 ∙ y Kurva membuka ke kanan/kiri
X O
y2 = 4px
F(p,0)
-
X=-p
y2 = 4px kanan y2 = -4px kiri
Latus Rectum garis yang melalui fokus dan tegak lurus sumbu simetri
x2 = 4py
Y
x2=4py
F(0,p) X O
y=-p
Komponen parabola : Puncak (0,0) Fokus (0,p) Garis Direktrik y=-p Sumbu simetris sumbu y atau x=0 Latus Rectum = 2 ∙ x Kurva membuka ke atas/bawah -
x2 = 4py atas x2 = -4py bawah
Contoh soal : 1. Tentukan titik fokus, persamaan sumbu simetri, garis direktrik, dan latus rectum dari : y2 = 12x membuka kanan Sumbu simetris sumbu x atau y=0 2 Fokus (3,0) y2 = 12x y = 4px 4p = 12 y2 = 12 ∙ 3 p =3 y =√ Puncak (0,0) =6 Fokus (p,0) (3,0) Latus Rectum = 2 ∙ y =2∙6= Garis Direktrik x=-p x=3 12 satuan -
x2 = -8y membuka bawah 2 x = 4py 4p = -8 p = -2 Puncak (0,0) Fokus (0,p) (0,-2) Garis Direktrik y=-p y=2
Sumbu simetris sumbu y atau x=0 Fokus (0,-2) x2 = -8y x2 = -8 ∙ -2 x =√ =4 Latus Rectum = 2 ∙ x =2∙4= 8 satuan
2. Tentukan persamaan parabola di puncak (0,0) dengan fokus : - (3,0) y2 = 4px - (0,-3)x2 2 y = 4 ∙ 3x x2 y2 = 12x x2 \
Rangkuman Kelas XII
= 4py = 4 ∙ -3 y = -12y
136
3. Tentukan persamaan parabola di puncak (0,0) dengan garis direktrik : - x = -4 - y =5 x = -p y = -p p =4 p =-5 2 fokus (4,0) y = 4px fokus (0,-5) x2 = 4py 2 y = 4 ∙ 4x x2 = 4 ∙ -5y 2 2 y = 16x x = -20y 2. Di puncak (a,b)
(y-b)2=4p(x-a)
(y-b)2 = 4p(x-a) Komponen parabola :
Y b
F(a+p,b) X a
O
X=a-p
Puncak (a,b) Fokus (a+p, b) Garis Direktris x = a-p Sumbu simetris y=b Kurva membuka ke kanan/kiri (y-b)2 = 4p(x-a) kanan 2 (y-b) = -4p(x-a) kiri Latus Rectum = antara y1 hingga y2 (x-a)2 = 4p(y-b)
Komponen parabola : Puncak (a,b) Kurva membuka ke atas/bawah (x-a)2 = 4p(y-b) atas Fokus (a, b+p) 2 (x-a) = -4p(y-b) bawah Garis Direktris y = b-p Latus Rectum = antara x1 hingga x2 Sumbu simetris x=a Contoh soal : 1. Tentukan titik puncak, titik fokus, persamaan sumbu simetri, garis direktrik, dan latus rectum dari : - y2 + 6y – 6x – 9 = 0 y2 + 6y + 32 = 6x +9 + 32 ditambah bilangan kuadrat untuk mengetahui faktornya 2 (y+3) = 6x+18 2 (y+3) = 6(x+3) (y-b)2 = 4p(x-a) a =-3 titik puncak (a,b)(-3,-3) b =-3 4p = 6 p
= =
titik fokus (a+p, b)
(-3+ , -3) (- , -3)
Persamaan sumbu simetri y=b y=-3 Garis direktrik x = a-p = -3 Fokus (- , -3)
=-
(y+3)2 = 6(x+3) (y+3)2 = 6(- +3)
cuma pake x-nya
2
(y+3) = -9+18 y+3 = ±√ y = ±3 – 3 Latus rectum = 6 satuan Rangkuman Kelas XII
y1 = 0 V y2 = -6
137
-
x2 – 8x – 4y + 4 = 0 x2 – 8x +(-4)2 = 4y - 4+(-4)2 ditambah bilangan kuadrat untuk mengetahui faktornya (x-4)2 = 4y +12 (x-4)2 = 4(y+3) 2 (x-a) = 4p(y-b)
a =4 titik puncak (a,b)(4,-3) b =-3 4p = 4 p =1 titik fokus (a, b+p) (4,-3+1) = (4, -2) Persamaan sumbu simetri x=a x=4 Garis direktrik y = b-p = -3-1 = -4 Fokus (4, -2) (x-4)2 = 4(y+3) (x-4)2 = 4(-2+3) cuma pake y-nya 2 (x-4) = 4 x-4 =±√ x =±2 +4 x1 = 6 V y2 = 2 Latus rectum = 4 satuan 2. Tentukan persamaan parabola dari : - Puncak (4,6) dan fokus (6,6) - Puncak (-4,5) dan fokus(-4,2) M (4,6) a=4 dan b=6 M (-4,5) a=-4 dan b=5 F (a+p, 6) F (-4, b+p) F (4+p, 6) F(6,6) F (-4, 5+p) F(-4,2) 4+p =6 5+p =2 p =2 p = -3 (y-b)2 (y-6)2 y2-12y+36 y2-12y-8x+68
= = = =
(x-a)2 = 4p(y-b) (x+4)2 = 4 ∙ -3(y-5) 2 x +4x+16 = -12y+60 x2 +4x+12y-44=0
4p(x-a) 4 ∙ 2(x-4) 8x – 32 0
Garis Singgung Parabola 1. Di puncak (x1, y1) Dari persamaan y2 = 4px menjadi y1y = 2p(x+x1) 2
Dari persamaan x = 4py menjadi x1x = 2p(y+y1) Contoh soal : Tentukan persamaan garis singgung parabola dari : y1y = 2p(x+x1) (4,4) - y2 = 4x yang melalui titik (4,4) 2 y = 4px 4y = 2 ∙ 1 (x+4) 4p = 4 4y = 2x + 8 p =1 2x-4y +8 = 0 x-2y+4 = 0 -
x2 = 3y yang melalui titik(-3,3) x2 = 4py 4p = 3
Rangkuman Kelas XII
p
=
138
x1x = 2p(y+y1) (-3,3) -3x = 2 ∙
-6x = 3y + 9 6x+3y+9 =0 2x+y+3=0
(y+3)
-3x = y + 2. Di puncak (a,b) Dari (y-b)2 = 4p(x-a) menjadi
(y1-b)(y-b) = 2p(x+x1 – 2a) 2
Dari (x-a) = 4p(y-b) (x1-a)(x-a) = 2p(y+y1 – 2b) Contoh soal : Tentukan persamaan garis singgung parabola dari : - (y+1)2 = 2(x-4) melalui titik - (x-2)2 = 4(y+1) melalui titik (6,1) (6,3) (y-b)2 = 4p(x-a) (x-a)2 = 4p(y-b) a=4, b=-1, dan 4p =2 a=2, b=-1, dan 4p =4 p =1 p = (y1-b)(y-b) (6,1)
= 2p(x+x1 – 2a)
(1+1)(y+1)
=2∙
∙ 4) 2y + 2 X – 2y – 4
=x–2 =0
(x+6 – 2
(x1-a)(x-a) (6,3) (6-2)(x-2) ∙ -1) 4x – 8 4x – 2y – 18
= 2p(y+y1 – 2b) = 2 ∙ 1(y+3 – 2 = 2y + 10 =0
3. Di puncak (0,0) dan gradien m Dari persamaan y2 = 4px dan gradien m dari y=mx+n y = mx + 2
Dari persamaan x = 4py dan gradien m dari y=mx+n y = mx – pm2 Contoh soal : Tentukan persamaan garis singgung parabola dari : - y2 = -8x bergradien 3 - x2 2 y = 4px x2 4p = -8 4p P = -2 P y
= mx +
y
= 3x +
m=3
3y = 9x – 2 9x – 3y – 2 =0
= 2y bergradien 4 = 4py =2 =
y
= mx – pm2
y
2
= 4x -
∙4
m=4
y = 4x – 8 4x – y – 8 =0
4. Di puncak (a,b) dan gradien m Dari persamaan (y-b)2 = 4p(x-a) dan gradien m dari y=mx+n y-b = m(x-a) + Dari persamaan (x-a)2 = 4p(y-b) dan gradien m dari y=mx+n y-b = m(x-a) – pm2 Rangkuman Kelas XII
139
Contoh soal : Tentukan persamaan garis singgung parabola dari : - (y+3)2 = -6(x-1) bergradien 4 y-b (y-b)2 = 4p(x-a) y+3 a=1, b=-3 4p = -6 y+3 P =y
= m(x-a) +
m=4
= 4(x-1) + = 4x – 4 = 4x -
32x – 8y – 59 = 0
-
(x-2)2 = 8(y+3) bergradien -2 (x-a)2 = 4p(y-b) a=2, b=-3 4p = 8 P =2 y-b = m(x-a) – pm2 m=-2 y+3 = -2(x-2) – 2 ∙ (-2)2 y+3 = -2x+4 – 8 y = -2x – 7 2x+y+7 = 0
Ellips Ellips adalah himpunan titik yang jumlah jaraknya terhadap titik tertentu (fokus) adalah tetap. Bagian-Bagian Ellips
y (0,b) F2(-c,0) (-a,0)
F1(c,0) 0
x (a,0)
F1(c,0) dan F2(-c,0) adalah fokus ellips dengan pusat (0,0) 2a = panjang sumbu mayor (panjang) 2b = panjang sumbu minor (pendek) 2c = jarak fokus
(0,-b) Persamaan Ellips 1. Di pusat (0,0)
+
= 1 , dengan a>b
Komponen ellips Pusat ellips (0,0) Fokus ellips F1(-c,0) dan F2(c,0) dengan b2=a2 – c2 2a = panjang sumbu mayor 2b = panjang sumbu minor Puncak ellips (a,0), (-a,0), (0,b), dan (0,-b) Sumbu simetri = sumbu x dan y Nilai eksentrisitet e = Persamaan Direktrik x = -
Rangkuman Kelas XII
dan x =
140
+
= 1 , dengan a>b
Komponen ellips Pusat ellips (0,0) Fokus ellips F1(0,-c) dan F2(0,c) dengan b2=a2 – c2 2a = sumbu mayor 2b = sumbu minor Puncak ellips (0,a), (0,-a), (b,0), dan (-b,0) Sumbu simetri = sumbu x dan y Nilai eksentrisitet e = Persamaan Direktrik x = -
dan x =
Contoh soal : Diketahui ellips dengan persamaan a. b. c. d. e.
+
= 1, tentukan :
Titik puncak Titik fokus Panjang sumbu mayor dan minor Nilai eksentrisitet Persamaan direktrik
Jawab : Bentuk ellips a2 a
=25 =√ =5
b2 b
= 16 =√ =4
c2 c2 c2 c
= = = = =
+
= 1 , dengan a>b 25>16
a2 – b 2 25 – 16 9 √ 3
a. Titik puncak
(a,0), (-a,0), (0,b), dan (0,-b)
(5,0), (-5,0), (0,4), dan (0,-4) F1(-c,0) dan F2(c,0) F1(-3,0) dan F2(3,0) c. Sumbu mayor = 2a = 2 ∙ 5 = 10 Sumbu minor = 2b = 2∙ 4 = 8 b. Titik fokus
d. Nilai eksentrisitet e =
=
= 0,6
e. Persamaan direktrik x = -
dan x =
x=-
dan x =
X=-
dan x =
Rangkuman Kelas XII
141
2. Di pusat (p,q)
+
= 1 , dengan a>b
Komponen ellips Pusat ellips (p,q) 2a = sumbu mayor 2b = sumbu minor Fokus ellips F1(p+c,q) dan F2(p-c,q) Puncak ellips (p+a, q), (p-a, q), (p, q+b), dan (p, q-b) Persamaan Direktrik x = p± Nilai eksentrisitet e =
+
= 1 , dengan a>b
Komponen ellips Pusat ellips (p,q) 2a = sumbu mayor 2b = sumbu minor Fokus ellips F1(p, q+c) dan F2(p, q-c) Puncak ellips (p, q+a), (p, q-a), (p+b, q), dan (p-b, q) Persamaan Direktrik x = q± Nilai eksentrisitet e = Contoh soal : Diketahui ellips dengan persamaan
+
= 1, tentukanlah :
a. Titik pusat, titik puncak, dan titik fokus ellips b. Panjang sumbu mayor dan minor c. Nilai eksentrisitet d. Persamaan direktrik Jawab : Bentuk ellips
+
P=2 dan q=-1 a2 = 36 b2 a =6 b
= 25 =5
a. Titik pusat
= 1 , dengan a>b 36>25 c2 c
= a2-b2 =√ =√
(p,q) (2,-1) Titik fokus F1(p+c,q) dan F2(p-c,q) F1(2+√ , -1) dan F2(2-√ , -1) Titik puncak (p+a, q), (p-a, q), (p, q+b), dan (p, q-b) (2+6, -1), (2-6, -1), (2, -1+5), dan (2, -1-5) (8, -1), (-4, -1), (2, 4), (2,-6) b. Sumbu mayor 2a = 2 ∙ 6 = 12 Sumbu minor 2b = 2 ∙ 5 = 10
c. Nilai eksentriset e =
e=
√
= √
d. Persamaan direktrik x = p± x=2+ x = 2–
√ √
=2+ =2-
√ √
Garis Singgung Ellips 1. Di pusat (0,0) Dari
+
= 1 di titik (x1,y1) menjadi +
=1
Contoh soal : Tentukan persamaan garis singgung ellips pada ellips
+
= 1 di titik (2,1)!
Jawab : a2 = 8, b2 = 2 +
=1
+
(2,1)
=1
2x+4y x+2y-4
=8 =0
2. Di pusat (p,q) Dari
+
= 1 di titik (x1,y1) menjadi
+
=1
Contoh soal : Tentukan persamaan garis singgung pada ellips
+
= 1 dititik (-3,1) !
Jawab : a2 = 6, b2 = 3, p = -1, q=2 +
=1
+
=1
(-3,1)
=1
+ +
=1
-2x-2-2y+4 2x+2y+4 X+y+2
=6 =0 =0
3. Di pusat (0,0) dan gradien m Dari
+
= 1 dengan a>b dan gradien m dari y=mx+n y = mx ± √
Rangkuman Kelas XII
143
Dari
+
= 1 dengan a>b dan gradien m dari y=mx+n y = mx ± √
Contoh soal : Tentukan persamaan garis isnggung pada ellips
+
= 1 yang bergradien
!
Jawab : Bentuk ellips
+
= 1 dengan a>b 25>16
a2=25, b2=16, dan m= y
= mx ± √
y
=
y
= x±√
y
= x±√
y
= x±5
∙x±√
( )
5y = 3x ± 5 3x-5y±5 = 0 Jadi, persamaan garis singgung 3x-5y+5=0 dan 3x-5y-5=0 4. Di pusat (p,q) dan gradien m Dari
+
= 1 dan gradien m (y-q) = m(x-p)± √
Dari
+
= 1 dan gradien m (y-q) = m(x-p) ± √
Contoh soal : Tentukan persamaan gais singgung pada ellips
+
= 1 bergradien 1 !
Jawab : Bentuk ellips
+
=1
a2=16, b2=9, p=-2, q=3, m=1 (y-q) = m(x-p)± √ (y-3)
y-3 y y-3 y
= 1(x+2)±√
= = = =
x+7 x+10 x-3 x
(y-3) = x+2 ± √ jadi, persamaan garis singgung x-y+10=0 dan x-y=0
Hiperbola Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu (fokus) adalah tetap. Persamaan Hiperbola
y
B1(0,b)
F2(-c,0) A2(-a,0)
A1(a,0)
F1(c,0)
x
0 B2(0,-b) Rangkuman Kelas XII
144
1. Di pusat (0,0)
-
= 1, dengan a>b
Komponen hiperbola : Pusat O(0,0) Puncak (a,0) dan (-a,0) Fokus (c,0) dan (-c,0) dengan b2 = c2 – a2 Eksentrisitet e = Persamaan direktrik x = ± Asimtot y = ± x Sumbu utama (nyata) Sumbu sekawan (imaginer)
= sumbu x = sumbu y
-
= 1, dengan a>b
Komponen hiperbola : Pusat O(0,0) Puncak (0,a) dan (0,-a) Fokus (0,c) dan (0,-c) dengan b2 = c2 – a2 Eksentrisitet e = Persamaan direktrik y = ± Asimtot y = ± x Sumbu utama (nyata) Sumbu sekawan (imaginer)
= sumbu x = sumbu y
Contoh soal : Diketahui hiperbola dengan persamaan
-
= 1, tentukan koordinat titik
puncak, titik fokus, persamaan direktrik, dan persamaan asimtotnya ! Jawab : Bentuk
-
= 1 dengan a>b 16>9
c2 = b2+a2 2 c = 16+9 c =5 koordinat titik puncak (a,0) dan (-a,0) (4,0) dan (-4,0) Titik fokus (c,0) dan (-c,0) (5,0) dan (-5,0) a a
2
= 16 =4
b b
2
=9 =3
Persamaan direktrik x = ±
x=
dan x = -
Persamaan asimtot y = ± x y = x dan y = - x 2. Di pusat (p,q)
-
= 1, dengan a>b
Komponen hiperbola : Rangkuman Kelas XII
145
Pusat O(0p,q) Puncak (p+a, q) dan (p-a, q) Fokus (p+c, q) dan (p-c, q) dengan b2 = c2 – a2 Eksentrisitet e = Persamaan direktrik x = p± Asimtot y-q = ± (x-p)
-
= 1, dengan a>b
Komponen hiperbola : Pusat O(0p,q) Puncak (p, q+a) dan (p, q-a) Fokus (p, q+c) dan (p, q-c) dengan b2 = c2 – a2 Eksentrisitet e = Persamaan direktrik y = p± Asimtot y-q = ± (x-p) Contoh soal :
-
Diketahui hiperbola
= 1 tentukan koordinat pusat, puncak,
fokus, persamaan direktrik, dan asimtotnya ! Jawab : Bentuk hiperbola a a
2
= 16 =4
b b
2
=9 =3
= 1 dengan a>b 16>9 2
c c2 c koordinat pusat (p,q) (2,-1) Puncak (p+a, q) dan (p-a, q) Fokus (p+c, q) dan (p-c, q) Persamaan direktrik x = p±
= b 2 + a2 = 9+16 =5
p=2, dan q=-1
(2+4, -1) dan (2-4, -1) (6,-1) dan (-2, -1) (2+5, -1) dan (2-5, -1) (7,-1) dan (-3,-1) x = 2+
=
x = 2-
=-
Asimtot y-q = ± (x-p) y+1
=
(x-2)
Y+1
= x-
4y+4 = 3x – 6 3x – 4y – 10 = 0
y+1
=-
(x-2)
y+1
=-
x+
4y+4 = -3x + 6 3x+4y – 2 = 0
Garis Singgung Hiperbola 1. Di pusat (0,0) melalui (x1, y1) Dari
-
= 1 melalui titik (x1,y1) menjadi
Rangkuman Kelas XII
=1 146
Contoh soal : Tentuksn persamaan garis simggung pada hoperbola
-
= 1 di titik (3, ) !
Jawab : Bentuk
-
2
=1
2
a = 8, b = 2 -
=1
-
(3, )
=1
3x – 2y =8 3x – 2y – 8=0 2. Di pusat (p,q) melalui (x1,y1) Dari
-
= 1 melalui titik (x1,y1) menjadi =1
Contoh soal : Tentukan persamaan garis singgung hiperbola
-
= 1 di titik (2,-3) !
Jawab : a2 = 12, b2 = 48, p=-2, dan q=1 =1
(2,-3)
=1 =1 16x+32-(-4y+4) 16x+32+4y-4 16x + 4y-20 4x + y – 5
= = = =
48 48 0 0
3. Dengan gradien Dari
-
= 1 dan gradien m y = mx ± √
Dari
-
= 1 dan gradien m y = mx ± √
Contoh soal : Tentukan persamaan garis isnggung hiperbola
-
= 1 yang bergradien 4 !
Jawab : Bentuk 2
-
=1
2
a = 16, b = 6, dan m=4 y
= mx ± √
y
= 4x ± √ = 4x ± √ = 4x ± √ = 4x ± 5√
Jadi, persamaan garis singgungnya 4x-y+5√ Rangkuman Kelas XII
dan 4x-y-5√
147
