BAB 2. PROGRAM LINEAR
2.1. Pengertian Program Linear Pemrograman Linier disingkat PL merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. PL banyak diterapkan dalam masalah ekonomi, industri, militer, sosial dan lain-lain. PL berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dengan beberapa kendala linier. a. Formulasi Permasalahan Urutan pertama dalam penyelesaian adalah mempelajari sistem relevan dan mengembangkan pernyataan permasalahan yang dipertimbangakan dengan jelas. Sistem dalam pernyataan ini termasuk pernyataan tujuan, sumber daya yang membatasi, alternatif keputusan yang mungkin (kegiatan atau aktivitas), batasan waktu pengambilan keputusan, hubungan antara bagian yang dipelajari dan bagian lain dalam perusahaan, dan lain-lain. Penetapan tujuan yang tepat merupakan aspek yang sangat penting dalam formulasi masalah. Untuk membentuk tujuan optimalisasi, diperlukan identifikasi anggota manajemen yang benar-benar akan melakukan pengambilan keputusan dan mendiskusikan pemikiran mereka tentang tujuan yang ingin dicapai. b. Pembentukan model matematik Tahap berikutnya yang harus dilakukan setelah memahami permasalahan optimasi adalah membuat model yang sesuai untuk analisis. Pendekatan konvensional riset operasional
untuk
pemodelan
adalah
membangun
model
matematik
yang
menggambarkan inti permasalahan. Kasus dari bentuk cerita diterjemahkan ke model matematik. Model matematik merupakan representasi kuantitatif tujuan dan sumber daya yang membatasi sebagai fungsi variabel keputusan. Model matematika
permasalahan optimal terdiri dari dua bagian. Bagian pertama memodelkan tujuan optimasi. Model matematik tujuan selalu menggunakan bentuk persamaan. Bentuk persamaan digunakan karena kita ingin mendapatkan solusi optimum pada satu titik. Fungsi tujuan yang akan dioptimalkan hanya satu. Bukan berarti bahwa permasalahan optimasi hanya dihadapkan pada satu tujuan. Tujuan dari suatu usaha bisa lebih dari satu. Tetapi pada bagian ini kita hanya akan tertarik dengan permasalahan optimal dengan satu tujuan. Bagian kedua merupakan model matematik yang merepresentasikan sumber daya yang membatasi. Fungsi pembatas bisa berbentuk persamaan (=) atau pertidaksamaan (≤ atau ≥). Fungsi pembatas disebut juga sebagai konstrain. Konstanta (baik sebagai koefisien maupun nilai kanan) dalam fungsi pembatas maupun pada tujuan dikatakan sebagai parameter model. Model matematika mempunyai beberapa keuntungan dibandingkan pendeskripsian permasalahan secara verbal. Salah satu keuntungan yang paling jelas adalah model matematik menggambarkan permasalahan secara lebih ringkas. Hal ini cenderung membuat struktur keseluruhan permasalahan lebih mudah dipahami, dan membantu mengungkapkan relasi sebab akibat penting. Model matematik juga memfasilitasi yang berhubungan dengan permasalahan dan keseluruhannya dan mempertimbangkan semua keterhubungannya secara simultan. Terakhir, model matematik membentuk jembatan ke penggunaan teknik matematik dan komputer kemampuan tinggi untuk menganalisis permasalahan. Di sisi lain, model matematik mempunyai kelemahan. Tidak semua karakteristik sistem dapat dengan mudah dimodelkan menggunakan fungsi matematik. Meskipun dapat dimodelkan dengan fungsi matematik, kadang-kadang penyelesaiannya sulit diperoleh karena kompleksitas fungsi dan teknik yangdibutuhkan. c. Bentuk umum pemrograman linier adalah sebagai berikut : 1. Fungsi tujuan : Maksimumkan atau minimumkan z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn 2. Sumber daya yang membatasi :
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = /≤ / ≥ b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = /≤/ ≥ b2 … am1x1 + am2x2 + … + amnxn = /≤ / ≥ bm x1, x2, …, xn ≥ 0 Simbol x1, x2, ..., xn (xi) menunjukkan variabel keputusan. Jumlah variabel keputusan (xi) tergantung dari jumlah kegiatan atau aktivitas yang dilakukan untuk mencapai tujuan. Simbol c1,c2,...,cn merupakan kontribusi masing-masing variabel keputusan terhadap tujuan, disebut juga koefisien fungsi tujuan pada model matematiknya. Simbol a11, ...,a1n,...,amn merupakan penggunaan per unit variabel keputusan akan sumber daya yang membatasi, atau disebut juga sebagai koefisien fungsi kendala pada model matematiknya. Simbol b1,b2,...,bm menunjukkan jumlah masing-masing sumber daya yang ada. Jumlah fungsi kendala akan tergantung dari banyaknya sumber daya yang terbatas. Pertidaksamaan terakhir (x1, x2, …, xn ≥ 0) menunjukkan batasan non negatif. Membuat model matematik dari suatu permasalahan bukan hanya menuntut kemampuan matematik tapi juga menuntut seni permodelan. Menggunakan seni akan membuat permodelan lebih mudah dan menarik. Kasus pemrograman linier sangat beragam. Dalam setiap kasus, hal yang penting adalah memahami setiap kasus dan memahami konsep permodelannya. Meskipun fungsi tujuan misalnya hanya mempunyai kemungkinan bentuk maksimisasi atau minimisasi, keputusan untuk memilih salah satunya bukan pekerjaan mudah. Tujuan pada suatu kasus bisa menjadi batasan pada kasus yang lain. Harus hati-hati dalam menentukan tujuan, koefisien fungsi tujuan, batasan dan koefisien pada fungsi pembatas.
2.2. Model Perogram Linear Pada Model Program Linear ada 2 Metode yang dipakai yaitu : Metode Grafik dan Metode matematik. Metode grafik hanya bisa digunakan untuk menyelesaikan
permasalahan dimana hanya terdapat dua variabel keputusan. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, langkah pertama yang harus dilakukan adalah memformulasikan permasalahan yang ada ke dalam bentuk Linear Programming (LP). Langkah-langkah dalam formulasi permasalahan adalah : 1. Pahamilah secara menyeluruh permasalahan manajerial yang dihadapi. 2. Identifikasikan tujuan dan kendalanya 3. Definisikan variabel keputusannya 4. Gunakan variabel keputusan untuk merumuskan fungsi tujuan dan fungsi kendala secara matematis. Sebagai contoh dalam memformulasikan permasalahan, berikut ini akan dibahas perusahaan Furniture yang akan membuat meja dan kursi. Keuntungan yang diperoleh dari satu unit meja adalah Rp 70.000,- sedangkian keuntungan yang diperoleh dari satu unit kursi adalah Rp. 50.000,-. Namun untuk meraih keuntungan tersebut Perusahaan menghadapi kendala keterbatasan jam kerja. Untuk pembuatan 1 unit meja memerlukan 4 jam kerja. Untuk pembuatan 1 unit kursi membutuhkan 3 jam kerja. Untuk pengecatan 1 unit meja dibutuhkan 2 jam kerja, dan untuk pengecatan 1 unit kursi dibutuhkan 1 jam kerja. Jumlah jam kerja yang tersedia untuk pembuatan meja dan kursi adalah 240 jam per minggu sedang jumlah jam kerja untuk pengecatan adalah 100 jam per minggu. Berapa jumlah meja dan kursi yang sebaiknya diproduksi agar keuntungan perusahaan maksimum ? Dari
kasus
di
atas
dapat
diketahui
bahwa
tujuan
perusahaan
adalah
memaksimumkan profit. Sedangkan kendala perusahaan tersebut adalah terbatasnya waktu yang tersedia untuk pembuatan dan pengecatan. Apabila permasalahan tersebut diringkas dalam satu tabel akan tampak sebagai berikut: TABEL 2.1 Informasi Permasalahan Perusahaan Furniture
Jam kerja per unit
Pembuatan Pengecatan Kebutuhan per unit
Meja
Kursi
4 2 Rp. 70.000,-
3 1 Rp. 50.000,-
Waktu tersedia per minggu (jam) 240 100
Mengingat produk yang akan dihasilkan adalah meja dan kursi, maka dalam rangka memaksimumkan profit, perusahaan harus memutuskan berapa jumlah meja dan kursi yang sebaiknya diproduksi. Dengan demikian dalam kasus ini, yang merupakan variabel keputusan adalah meja (X1) dan kursi (X2). Setelah kita mendefinisikan variabel keputusan, maka langkah selanjutnya adalah menuliskan secara matematis fungsi tujuan dan fungsi kendala. 1. Fungsi Tujuan Tujuan perusahaan adalah maksimisasi keuntungan, sehingga kita dapat menuliskan fungsi tujuan sebagai berikut : P = (Rp. 70.000 x jumlah meja + Rp. 50.000 x jumlah kursi) yang diproduksi atau secara matematis dapat dituliskan : Maksimumkan Z = 70.000 X1 + 50.000 X2 2. Fungsi kendala Berkaitan dengan sumber daya yang digunakan, perusahaan tidak bisa memperkirakan secara tepat kebutuhan sumber daya yang digunakan untuk mencapai keuntungan tertentu. Biasanya perusahaan menyediakan sumber daya tertentu yang merupakan kebutuhan minimum atau maksimum. Kondisi seperti ini secara matematis diungkapkan dengan pertidaksamaan. Kendala yang pertama adalah waktu yang tersedia di departemen pembuatan. Total waktu yang diperlukan untuk pembuatan X1 (meja) dimana untuk membuat satu unit meja diperlukan waktu 4 jam kerja dan untuk pembuatan X2 (kursi) diperlukan waktu 3 jam kerja. Total waktu pembuatan yang tersedia adalah 240 jam.
Kendala : Waktu pembuatan 1 unit meja memerlukan 4 jam untuk pembuatan
->
4 X1
1 unit kursi memerlukan 3 jam untuk pembuatan
->
3 X2
Total waktu yang tersedia per minggu untuk pembuatan
->
240 Jam
Dirumuskan dalam pertidaksamaan matematis
->
4 X1 + 3 X2 240
Seperti halnya pada kendala yang pertama, maka pada kendala kedua dapat diketahui bahwa total waktu yang diperlukan untuk pengecatan X 1 (meja)
diperlukanwaktu 2 jam kerja dan untuk pengecatan X2 (kursi) dibutuhkan waktu 1 jam kerja. Total waktu pengecatan yang tersedia adalah 100 jam.
Kendala : Waktu pengecatan 1 unit meja memerlukan 2 jam untuk pengecatan
->
2 X1
1 unit kursi memerlukan 1 jam untuk pengecatan
->
1 X2
Total waktu yang tersedia per minggu untuk pengecatan
->
100 Jam
Dirumuskan dalam pertidaksamaan matematis
->
2 X1 + X2 100
Salah satu syarat yang harus dipenuhi dalam Linear Programming adalah asumsi nilai X1 dan X2 tidak negatif. Artinya bahwa X1 ≥ 0 (jumlah meja yang diproduksi adalah lebih besar atau sama dengan nol) . X2 ≥ 0 (jumlah kursi yang diproduksi adalah lebih besar atau sama dengan nol) Dari uraian di atas dapat dirumuskan formulasi permasalahan secara lengkap sebagai berikut : 1. Fungsi tujuan : Maksimumkan Z = 70.000 X1 + 50.000 X2 2. Fungsi kendala : 4X1 + 3X2 ≤ 240 2X1 + 1X2 ≤ 100 X1, X2 ≥ 0 (kendala non negatif pertama) Setelah formulasi lengkapnya dibuat, maka Kasus Furniture tersebut akan diselesaikan dengan metode grafik. Keterbatasan metode grafik adalah bahwa hanya tersedia dua sumbu koordinat, sehingga tidak bisa digunakan untuk menyelesaikan kasus yang lebih dari dua variabel keputusan. Langkah pertama dalam penyelesaian dengan metode grafik adalah menggambarkan fungsi kendalanya. Untuk menggambarkan kendala pertama secara grafik, kita harus merubah tanda pertidaksamaan menjadi tanda persamaan seperti berikut. 4 X1 + 3 X2 = 240
Untuk menggambarkan fungsi linear, maka cari titik potong garis tersebut dengan kedua sumbu. Suatu garis akan memotong salah satu sumbu apabila nilai variabel yang lain sama dengan nol. Dengan demikian kendala pertama akan memotong X 1, pada saat X2 = 0, demikian juga kendala ini akan memotong X2, pada saat X1 = 0. Kendala I : 4 X1 + 3 X2 = 240 memotong sumbu X1 pada saat X2 = 0 4 X1 + 0 = 240 X1 = 240 / 4 X1 = 60. memotong sumbu X2 pada saat X1 = 0 0 + 3 X2 = 240 X2 = 240/3 X2 = 80 Kendala I memotong sumbu X1 pada titik (60, 0) dan memotong sumbu X2 pada titik (0, 80). Kendala II : 2 X1 + 1 X2 = 100 memotong sumbu X1 pada saat X2 = 0 2 X1 + 0 = 100 X1 = 100/2 X1 = 50 memotong sumbu X2 pada saat X1 =0 0 + X2 = 100 X2 = 100 Kendala I memotong sumbu X1 pada titik (50, 0) dan memotong sumbu X2 pada titik (0, 100).
Gambar 2.1. Area Layak Titik potong kedua kendala bisa dicari dengan cara substitusi atau eliminasi 2 X1 + 1 X2 = 100
→
X2 = 100 - 2 X1
4 X1 + 3 X2 = 240
X2 = 100 - 2 X1
4 X1 + 3 (100 - 2 X1) = 240
X2 = 100 - 2 * 30
4 X1 + 300 - 6 X1 = 240 - 2 X1 = 240 - 300
X2 = 100 - 60 X2 = 40
- 2 X1 = - 60 X1 = -60/-2 = 30. Sehingga kedua kendala akan saling berpotongan pada titik (30, 40).
Tanda ≤ pada kedua kendala ditunjukkan pada area sebelah kiri dari garis kendala. Feasible region (area layak) meliputi daerah sebelah kiri dari titik A (0; 80), B (30; 40), dan C (50; 0). Untuk menentukan solusi yang optimal, ada dua cara yang bisa digunakan yaitu 1. Dengan menggunakan garis profit (iso profit line) 2. Dengan titik sudut (corner point) Penyelesaian dengan menggunakan garis profit adalah penyelesaian dengan menggambarkan fungsi tujuan. Kemudian fungsi tujuan tersebut digeser ke kanan sampai menyinggung titik terjauh dari dari titik nol, tetapi masih berada pada area layak (feasible region). Untuk menggambarkan garis profit, kita mengganti nilai Z dengan
sembarang nilai yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi profit. Pada kasus ini angka yang mudah dibagi angka 7 (koefisien X1) dan 5 (koefisien X2) adalah 35. Sehingga fungsi tujuan menjadi 35 = 7 X1 + 5 X2. Garis ini akan memotong sumbu X1 pada titik (5, 0) dan memotong sumbu X2 pada titik (0, 7).
Gambar 2.2. Iso profit line Iso profit line menyinggung titik B yang merupakan titik terjauh dari titik nol. Titik B ini merupakan titik optimal. Untuk mengetahui berapa nilai X1 dan X2, serta nilai Z pada titik B tersebut, kita mencari titik potong antara kendala I dan kendala II (karena titik B merupakan perpotongan antara kendala I dan kendala II). Dengan menggunakan eliminiasi atau substitusi diperoleh nilai X1 = 30, X2 = 40 dan Z = 410. Dari hasil perhitungan tersebut maka dapat disimpulkan bahwa keputusan perusahaan yang akan memberikan profit maksimal adalah memproduksi X1 sebanyak 30 unit, X2 sebanyak 40 unit dan perusahaan akan memperoleh profit sebesar 4.100.000. Penyelesaian dengan menggunakan titik sudut (corner point) artinya kita harus mencari nilai tertinggi dari titik-titik yang berada pada area layak (feasible region). Dari peraga 1, dapat dilihat bahwa ada 4 titik yang membatasi area layak, yaitu titik 0 (0, 0), A (0, 80), B (30, 40), dan C (50, 0). Keuntungan pada titik O (0, 0) adalah (70.000 x 0) + (50.000 x 0) = 0 Keuntungan pada titik A (0; 80) adalah (70.000 x 0) + (50.000 x 80) = 4.000.000 Keuntungan pada titik B (30; 40) adalah (70.000 x 30) + (50.000 x 40) = 4.100.000
Keuntungan pada titik C (50; 0) adalah (70.000 x 50) + (50.000 x 0) = 3.500.000 Karena keuntungan tertinggi jatuh pada titik B, maka sebaiknya perusahaan memproduksi meja sebanyak 30 unit dan kursi sebanyak 40 unit, dan perusahaan memperoleh keuntungan optimal sebesar 4.100. 000. 2.2.1. Solusi Grafis Untuk mencari solusi suatu persoalan program linier dengan cara grafis, berikut ini dikemukakan dua buah contoh, yaitu persoalan maksimasi dan minimasi. a. Solusi grafis untuk persoalan maksimasi Contoh: Maksimumkan
z = 3x1 + 5x2
Berdasarkan
x1 ≤ 4 2x2 ≤ 12 3x1 + 2x2 ≤ 18 x1, x2 ≤ 0
Gambar 2.3 Titik D sebagai titik optimum b. Solusi grafis untuk persoalan minimasi Contoh: PT Auto Indah memproduksi dua jenis mobil, yaitu mobil sedan dan truk. Untuk dapat meraih konsumen berpenghasilan tinggi, perusahaan ini memutuskan untuk melakukan promosi dalam dua macam acara TV, yaitu pada acara hiburan dan acara olah raga. Promosi pada acara hiburan akan disaksikan oleh 7 juta pemirsa wanita
dan 2 juta pemirsa pria. Promosi pada acara olah raga akan disaksikan oleh 2 juta pemirsa wanita dan 12 juta pemirsa pria. Biaya promosi pada acara hiburan adalah 5 jutarupiah/menit, sedangkan pada acara olah raga biayanya adalah 10 juta/menit. Jika perusahaan menginginkan promosinya disaksikan sedikitnya oleh 28 juta pemirsa wanita dan sedikitnya oleh 24 juta pemirsa pria, bagaimanakah strategi promosi itu sebaiknya? Penyelesaian: Variabel keputusan: x1 lamanya promosi dalam acara hiburan x2 lamanya promosi dalam acara olah raga Formulasi persoalan: Minimumkan
z = 5x1 + 10x2
Berdasarkan
7x1 + 2x2 ≥ 28 2x1 + 12x2 ≥ 24 x1, x2 ≥ 0
Gambar 2.4 Solusi persoalan untuk PT Auto Indah 2.2.2. Kasus Khusus Contoh soal yang telah dibahas di atas mempunyai hanya satu titik optimal. Berikut ini ada persoalan program linier yang mempunyai kasus khusus seperti: 1. Mempunyai solusi optimal yang tidak terbatas, biasa disebut juga mempunyai solusi alternatif atau bersolusi optimal banyak.
2. Tidak mempunyai solusi fisibel atau persoalan progama linier yang infisibel. 3. Mempunyai ruang solusi yang tidak terbatas, yaitu kasus dimana ada titik-titik pada daerah fisibel dengan harga z yang sangat besar (pada persoalan maksimasi). 2.2.2.1. Solusi alternatif atau solusi optimal banyak Contoh: Maksimumkan
z = 3x1 + 2x2
Berdasarkan
(1/40)x1 + (1/60)x2 ≤ 1 (1/50)x1 + (1/50)x2 ≤ 1 X 1, x 2 ≥ 0
Solusi grafis pada persoalan diatas adalah:
Gambar 2.5 Solusi alternatif 2.2.2.2. Persoalan programa linier tanpa solusi fisibel Dalam hal ini solusi fisibelnya kosong sehingga dengan sendirinya tidak ada solusi optimal. Contoh: Maksimumkan
z = 3x1 +2x2
Berdasarkan
(1/40)x1 + (1/60)x2 ≤ 1 (1/50)x1 + (1/50)x2 ≤ 1 x1 ≤ 30 x2 ≤ 20 x1, x2 ≤ 0
Solusi grafis pada persoalan ini adalah:
Gambar 2.6 Tidak ada ruang fisibel 2.2.2.3. Persoalan program linier dengan ruang solusi yang tidak terbatas (unbounded) Kasus ini terjadi apabila ruang solusi tidak terbatas sehingga nilai fungsi tujuan dapat meningkat/menurun secara tidak terbatas. Pada umumnya, kasus ini terjadi karena kesalahan dalam memformulasikan persoalan. Contoh: Maksimumkan Berdasarkan
z = 2x1 – x2 x1 – x2 ≤ 1 2x1 + x2 ≥ 6 X1, x2 ≥ 0
Solusi grafis pada persoalan ini adalah:
Gambar 2.7 Ruang solusi tidak terbatas
Latihan soal: 1. Sebuah industri kecil, memproduksi 2 macam hiasan dinding dari tripleks yang proses pengerjaannya dilakukan di 2 stasiun kerja yaitu pemotongan dan perakitan. Hiasan model A mula-mula dikerjakan di bagian pemotongan selama 5 menit kemudian dirakit selama 10 menit. Hiasan model B dikerjakan di bagian pemotongan selama 8 menit kemudian dirakit selama 8 menit. Dalam 1 hari kerja, waktu yang tersedia di bagian pemotongan 3 jam 20 menit, sedang di bagian perakitan tersedia waktu 4 jam. Jika harga jual hiasan model A $ 500/unit dan hiasan model B $ 600/unit. Berapakah masingmasing model harus dibuat agar diperoleh total pendapatan yang optimal?
2. Sebuah pabrik akan mengirimkan hasil produksinya dengan menggunakan 120 kotak berukuran besar (L) dan 180 kotak berukuran sedang (M). Pabrik tsb akan menyewa truk besar dan kecil untuk mengangkut barang-barang itu. Sebuah truk besar dapat memuat 10 kotak L dan 20 kotak M. Sebuah truk kecil dapat memuat 8 kotak L dan 4 kotak M. Ongkos angkutan truk besar sekali jalan Rp. 150.000 dan ongkos truk kecil sekali jalan Rp. 100.000. Berapa truk besar dan kecil yang harus digunakan supaya total ongkos angkutnya optimal? 3. Sebuah perusahanaan sepatu membuat 2 jenis sepatu yaitu sepatu I bersol karet dan sepatu II bersol kulit. Untuk membuat sepatu, perusahaan mempunyai 3 macam mesin. Mesin 1 untuk membuat sol dari karet, mesin 2 untuk membuat sol dari kulit, mesin 3 untuk membuat bagian atas sepatu dan memasangkan dengan sol sepatu. Setiap lusin sepatu I dikerjakan mesin 1 selama 2 jam, kemudian mesin 3 selama 6 jam. Sepatu II dikerjakan mesin 2 selama 3 jam kemudian mesin 3 selama 5 jam. Jam kerja maksimum setiap hari untuk mesin 1 selama 8 jam, mesin 2 selama 15 jam, dan mesin 3 selama 30 jam. Sumbangan laba untuk setiap lusin sepatu I adalah Rp. 30.000 dan sepatu II adalah Rp. 50.000. Berapakah masing2 model harus dibuat, agar laba yang diperoleh optimal? 4. Sebuah industri perakitan komputer, memproduksi 2model komputer yaitu model DeskTop dan model Tower. Pabrik tersebut mampu memproduksi 1000 unit komputer per bulan. Berdasarkan informasi dari bagian penjualan, dinyatakan bahwa untuk model DeskTop mampu menjual 800 unit per bulan sedangkan model Tower sampai 600 unit
per bulan. Jika keuntungan yang diperoleh dari penjualan 1 unit komputer model DeksTop adalah $ 120 dan komputer model Tower adalah $ 130. Berapakah masingmasing model harus dibuat agar diperoleh keuntungan yang optimal?. (diasumsikan jumlah sumberdaya yang lain tidak terbatas)
