BAB 3 PROGRAM LINEAR 1. MODEL MATEMATIKA

BAB 3 PROGRAM LINEAR 1. MODEL MATEMATIKA Masalah 1.1 Sekelompok tani transmigran mendapatkan 10 hektar tanah yang dapat ditanami padi, jagung, dan palawija lain. Karena keterbatasan sumber daya petani harus menentukan berapa bagian yang harus ditanami padi dan berapa bagian yang harus ditanami jagung, sedangkan palawija lainnya ternyata tidak menguntungkan. Untuk suatu masa tanam, tenaga yang tersedia hanya 1550 jam/orang, pupuk juga terbatas, tak lebih dari 460 kilogram, sedangkan air dan sumber daya lainnya cukup tersedia. Diketahui pula bahwa untuk menghasilkan 1 kuintal padi diperlukan 10 jam-orang tenaga dan 5 kilogram pupuk, dan untuk 1 kuintal jagung diperlukan 8 jam/orang tenaga dan 3 kilogram pupuk. Kondisi tanah memungkinkan menghasilkan 50 kuintal padi per hektar atau 20 kuintal jagung per hektar. Pendapatan petani dari 1 kuintal padi adalah Rp 40.000 sedang dari 1 kuintal jagung Rp 30.000, dan dianggap bahwa semua hasil tanamnya selalu habis terjual. Masalah bagi petani ialah bagaimanakah rencana produksi yang memaksimumkan pendapatan total? Artinya berapa hektar tanah harus ditanami padi dan berapa hektar tanah harus ditanami jagung. Perumusan Masalah Berdasarkan masalah di atas, diketahui bahwa setiap 1 hektar menghasilkan 50 kuintal padi. Artinya, untuk 1 kuintal padi diperlukan 0,02 hektar. Demikian juga, untuk 1 kuintal jagung diperlukan 0,05 hektar. Perhatikan tabel di bawah ini!

Alternatif Penyelesaian Besarnya pendapatan kelompok petani dipengaruhi banyak padi dan jagung yang diproduksi. Tentunya, besar pendapatan tersebut merupakan tujuan kelompok tani, tetapi harus mempertimbangkan keterbatasan (luas tanah, tenaga dan pupuk). Misalkan :

banyak kuintal padi yang diproduksi oleh kelompok tani banyak kuintal jagung yang diproduksi oleh kelompok tani. Untuk memperoleh pendapatan terbesar, harus dipikirkan keterbatasan berikut: a. Banyak hektar tanah yang diperlukan untuk kuintal padi dan untuk kuintal jagung tidak boleh melebihi 10 hektar. b. Untuk ketersediaan waktu (jam-orang), tiap-tiap padi dan jagung hanya tersedia waktu tidak lebih dari 1550 jam-orang. c. Jumlah pupuk yang tersedia untuk padi dan jagung tidak lebih dari 460 Kg. d. Dengan keterbatasan (a), (b), dan (c), petani ingin mengharapkan pendapatan Rp 40.000,00 dan Rp 30.000,00 untuk setiap kuintal padi dan jagung.

Masalah kelompok tani transmigran dapat diubah bentuk menjadi suatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Hal ini merupakan pengembangan konsep pertidaksamaan linear satu variabel yang telah kamu pelajari pada Kelas X. Adapun sistem pertidaksamaan linear yang dimaksud adalah sebagai berikut: {

{

Karena luas tanah/lahan, banyak waktu, dan banyak pupuk tidak mungkin negatif, kendala ini sebagai kendala nonnegatif, yaitu: } Untuk pendapatan tentu dimaksimumkan dan sebaliknya untuk biaya tentu diminimumkan. Untuk masalah ini, Petani hendak memaksimumkan pendapatan, melalui memperbanyak kuintal padi dan jagung yang dijual berturutturut Rp 40.000 dan Rp 30.000. Rumusan ini disebut sebagai fungi tujuan/sasaran; sebut . Secara matematik dituliskan: Maksimumkan: (dalam satuan ribuan rupiah). Masalah 1.2 Suatu pabrik farmasi menghasilkan dua jenis kapsul obat flu yang diberi nama Fluin dan Fluon. Tiap-tiap kapsul memuat tiga unsur (ingredient) utama dengan kadar kandungannya tertera dalam Tabel di bawah ini! Unsur Aspirin Bikorbonat Kodein

Banyak grain perkapsul Fluin Fluon 2 5 1

1 8 6

Menurut dokter, seseorang yang sakit flu akan sembuh jika dalam tiga hari (secara rata-rata) minimal menelan 12 grain aspirin, 74 grain bikarbonat dan 24 grain kodein. Jika harga Fluin Rp 500,00 dan Fluon Rp 600,00 per kapsul, bagaimana rencana (program) pembelian seorang pasien flu (artinya berapa kapsul Fluin dan berapa kapsul Fluon harus dibeli) supaya cukup untuk menyembuhkannya dan meminimumkan ongkos pembelian total. Alternatif Penyelesaian Data pada masalah di atas, dapat disajikan seperti tabel berikut ini. Banyak grain perkapsul Unsur Batas minimum Fluin Fluon Aspirin Bikorbonat Kodein Harga

2 5 1 500

1 8 6 600

12 74 24

Misalkan,

: banyak kapsul Fluin yang dibeli. : banyak kapsul Fluon yang dibeli. Selanjutnya, kita mencari yang memenuhi:

{ Minimumkan: Masalah 1.3 Setiap enam bulan, seorang pemilik usaha tanaman hias memesan tanaman hias dari agen besar; Aglaonema (A) dan Sansevieria (S) yang berturut-turut memberi laba sebesar Rp5.000.000,00 dan Rp3.500.000,00 per unit yang terjual. Dibutuhkan waktu yang cukup lama untuk menghasilkan satu tanaman hias dengan kualitas super. Oleh karena itu agen besar memiliki aturan bahwa setiap pemesanan tanaman hias A paling sedikit 20% dari seluruh pesanan tanaman hias lain. Pemilik usaha tanaman hias memiliki lahan yang hanya cukup untuk 10 tanaman hias A saja atau 15 tanaman hias S. Dalam keadaan demikian, berapa banyak tanaman hias A dan S sebaiknya dipesan (per semester) jika diketahui bahwa pada akhir semester tanaman hias lama pasti habis terjual dan pemilik usaha tersebut ingin memaksimumkan laba total? Alternatif Penyelesaian Misalkan, : banyak tanaman hias A yang dipesan banyak tanaman hias S yang dipesan. Pernyataan ”Oleh karena itu agen besar memiliki aturan bahwa setiap pemesanan tanaman hias A paling sedikit 20% dari seluruh pesanan tanaman hias lain”, dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk memperoleh laba, pemilik harus mempertimbangan keterbatasan lahan sebagai daya tampung untuk tiap-tiap tanaman hias. Misal,

: luas kebun tanaman hias, : luas kebun yang diperlukan untuk 1 tanaman hias A, : luas kebun yang diperlukan untuk 1 tanaman hias S. Sesuai keterangan pada masalah di atas, luas kebun hanya dapat menampung 10 tanaman hias A atau 15 tanaman hias S. Pernyataan ini, dimodelkan sebagai berikut:

Tentu luas kebun yang diperlukan untuk banyak tananam hias A dan banyak tanaman hias S tidak melebihi luas kebun yang ada. Oleh karena itu, dapat dituliskan; (

)

(

)

Selanjutnya, pemilik kebun mengharapkan laba sebesar Rp 5.000.000,00 dari 1 tanaman hias A yang terjual dan Rp 3.500.000,00 dari 1 tanaman hias S yang terjual. Oleh karena itu, untuk sebanyak tanaman hias A yang terjual dan sebanyak tanaman hias S yang terjual, dapat dituliskan sebagai laba total pemilik kebun; yaitu: (dalam juta rupiah). Jadi secara lengkap, model matematika masalah program linear pemilik kebun tanaman hias dinyatakan sebagai berikut. { Maksimumkan:

(dalam juta rupiah).

Persamaan (1), (2) dan (3) merupakan model matematika masalah program linear, secara umum program linear dapat di definisikan sebagai berikut: Definisi 1.1 Masalah program linear adalah menentukan nilai 𝑥1 𝑥2 𝑥3 … 𝑥𝑛 yang memaksimumkan (atau meminimumkan) fungsi sasaran/tujuan, 𝑍 𝑥1 𝑥2 𝑥3 … 𝑥𝑛 𝐶1 𝑥1 𝐶3 𝑥2 𝐶3 𝑥3 ⋯ 𝐶𝑛 𝑥𝑛 dengan kendala/keterbatasan: 𝑎11 𝑥1 𝑎12 𝑥2 𝑎13 𝑥3 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 𝑏1 𝑎21 𝑥1 𝑎22 𝑥2 𝑎23 𝑥3 ⋯ 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 𝑏2 ↓ 𝑎𝑚1 𝑥1 𝑎𝑚2 𝑥2 𝑎𝑚3 𝑥3 ⋯ 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 𝑏𝑚 𝑥1 𝑥2 𝑥3 … 𝑥𝑛

2. PROGRAM LINEAR DENGAN METODE GRAFIK Masalah program linear dua variabel dapat diselesaikan melalui grafik sistem kendala dari masalah tersebut. Oleh karena itu, langkah awal dalam menyelesaikan masalah tersebut, yaitu dengan menggambarkan sistem pertidaksamaan yang terbentuk pada keterbatasan masalah program linear. Cara menggambarkan daerah penyelesaian suatu pertidaksamaan linear sudah kita pelajari pada Kelas X. Catatan Dalam menggambar Grafik Daerah Penyelesaian sistem pertidaksamaan linear, kita bisa mengarsir daerah yang tidak memenuhi persamaan sehingga Daerah Bersih merupakan daerah penyelesaian pertidaksamaan atau sebaliknya. Contoh. 1.1 Tentukan daerah penyelesaian dari a. b.

c. d.

–

Alternative Penyelesaian: a. mempunyai persamaan . Daerah penyelesaian adalah daerah di sebelah kanan garis karena yang diminta adalah untuk . Daerah penyelesaian ditunjukkan pada gambar 1.a. b. mempunyai persamaan x = 2 dan x = 4. Daerah penyelesaian adalah daerah di antara kedua garis tersebut. Daerah penyelesaian ditunjukkan pada gambar 1.b.

c. Untuk mencari titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y dicari dengan cara membuat tabel berikut ini.

Dengan demikian titik potong dengan sumbu x dan y adalah (2, 0) dan (0, 4). Ambillah titik P(0, 0) sebagai titik uji pada dan diperoleh Daerah yang terdapat titik P merupakan penyelesaian (daerah terarsir) yang ditunjukkan pada gambar di samping. d. 2x – 3y = 6 Untuk mencari titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y dicari dengan cara membuat tabel berikut ini:

Dengan demikian titik potong dengan sumbu x dan y adalah (0, -2) dan (3, 0). Ambillah titik P(0,0) sebagai titik uji pada , & diperoleh . Daerah yang terdapat titik P bukan merupakan daerah penyelesaian yang ditunjukkan pada gambar disamping.

Contoh 1.2 Tentukan himpunan penyelesaian dari a. dan b. dan . c. , dan d. dan Jawab: a. dan  Untuk mempunyai persamaan atau pada sumbu y. Daerah penyelesaiannya di sebelah kanan garis.  Untuk mempunyai persamaan atau pada sumbu x. Daerah penyelesaiannya di sebelah atas garis.  Untuk mempunyai persamaan dan titik potong grafik dengan sumbu koordinat dicari seperti berikut ini.

b.

dan

  

. Untuk mempunyai persamaan . Daerah penyelesaiannya di sebelah kanan garis. Untuk mempunyai persamaan . Daerah penyelesaiannya di sebelah atas garis. Untuk mempunyai persamaan dan titik potong grafik dengan sumbu koordinat dicari seperti berikut ini.

Dengan cara yang sama kita dapatkan gambar daerah penyelesaian untuk : c. d.

Contoh 1.3 Gambarkan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan berikut ini. Alternatif Penyelesaian Untuk menggambarkan daerah penyelesaian setiap pertidaksamaan pada sistem di atas, dapat dimulai dengan menggambar satu per satu pertidaksamaan yg tersaji.

Gambar. 1

Gambar. 2

Gambar 1 menunjukkan Daerah penyelesaian adalah Daerah Bersih, sedangkan pada gambar 2 daerah penyelesaian ditunjukkan oleh daerah terarsir. Untuk selanjutnya gambar grafik persamaan linear atau sistem pertidaksamaan linear pada modul ini akan ditunjukkan dengan Daerah Terarsir. Contoh 1.4 Tentukan system pertidaksamaan dari daerah yang diarsir pada gambar di samping! Jawab: Langkah pertama adalah mencari persamaan garis yang melalui titik-titik pada gambar dengan menggunakan rumus persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) yaitu: 1 2

1

1 2

1

Misalkan g1 adalah garis yang melalui titik (6, 0) dan (0, 6), maka g1 adalah

Misalkan g2 adalah garis yang melalui titik (0, 0) dan (3, 3), maka g2 adalah

Daerah yang diarsir terletak pada sebelah kanan sumbu y, maka sebelah atas sumbu x , maka kiri bawah garis g1 maka sebelah kanan bawah garis g2, maka Jadi sistem pertidaksamaan dari daerah yg diarsir :

sebelah . .

Untuk mencari persamaan garis yang memotong sumbu x dan sumbu y di titik (a, 0) dan (0, b) dapat digunakan rumus :

Uji Kompetensi 1.1 Buatlah model matematika dari permasalahan di bawah ini, kemudian gambarlah Grafiknya! 1. PT Lasin adalah suatu pengembang perumahan di daerah pemukiman baru. PT tersebut memiliki tanah seluas 12.000 meter persegi berencana akan membangun dua tipe rumah, yaitu tipe mawar dengan luas 130 meter persegi dan tipe melati dengan luas 90 m2. Jumlah rumah yang akan dibangun tidak lebih 150 unit. 2. Seorang atlet diwajibkan makan dua jenis tablet setiap hari. Tablet pertama mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B, sedangkan tablet kedua mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam satu hari, atlet itu memerlukan 20 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. 3. Dengan persediaan kain polos 20 meter dan kain bergaris 10 meter, seorang penjahit akan membuat 2 model pakaian jadi. Model I memerlukan 1 meter kain polos dan 1,5 meter kain bergaris. Model II memerlukan 2 meter kain polos dan 0.5 meter kain bergaris. 4. Sebuah toko bunga menjual 2 macam rangkaian bunga. Rangkaian I memerlukan 10 tangkai bunga mawar dan 15 tangkai bunga anyelir, Rangkaian II memerlukan 20 tankai bunga mawar dan 5 tangkai bunga anyelir. Persediaan bunga mawar dan bunga anyelir masing-masing 200 tangkai dan 100 tangkai. 5. Seorang pengusaha ingin menyewakan rumahnya kepada 640 orang mahasiswa. Pengusaha tersebut membangun rumah tidak lebih dari 120 rumah yang terdiri atas tipe I (untuk 4 orang) disewakan Rp500.000,00/bulan dan tipe II (untuk 6 orang) disewakan Rp700.000,00/bulan. 6. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan di bawah ini. a. b. c. d. 7. Tentukan sistem pertidaksamaan dari himpunan penyelesaian yang disajikan dalam gambar (daerah diarsir) di bawah ini.

3. FUNGSI OBJEKTIF DAN NILAI OPTIMUM Definisi 1.2 (Daerah Layak/Daerah Penyelesaian/Daerah Optimum) Daerah fisibel atau Daerah Penyelesaian Masalah Program Linear merupakan himpunan semua titik (x, y) yang memenuhi kendala suatu masalah program linear. Definisi 1.3 Fungsi sasaran/tujuan merupakan atau fungsi objektif suatu rumusan fungsi yang memenuhi semua keterbatasan pada suatu masalah program linear. Fungsi sasaran/tujuan merupakan fungsi linear yang terkait dengan setiap nilai variabel dalam semua kendala program linear. Definisi 1.4 Garis selidik adalah grafik persamaan fungsi sasaran/tujuan yang digunakan untuk menentukan solusi optimum (maksimum atau minimum) suatu masalah program linear. Contoh. 1.5 Perhatikan sistem pertidaksamaan yang kita peroleh dari masalah 1.1 Kita akan menentukan banyak hektar tanah yang seharusnya ditanami padi dan jagung agar pendapatan kelompok tani tersebut maksimum. { } Dengan Fungsi Tujuan, Maksimumkan:

(dalam ribuan rupiah).

Alternatif Penyelesaian Langkah pertama, kita menentukan daerah penyelesaian yang memenuhi sistem Mari cermati gambar di bawah ini

Selanjutnya kita akan memilih dua titik yang terdapat di daerah penyelesaian untuk membantu menentukan arah pergeseran garis selidik (dalam ribuan rupiah).

Misal, titik (20,20), sehingga diperoleh persamaan garis Sedangkan untuk titik (50, 100), diperoleh persamaan garis

. .

Untuk mendapatkan nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi sasaran kalian dapat memilih titik yang terletak pada perpotongan dua garis yang membatasi Daerah Penyelesaian. Perhatikan gambar, titik potong yang membatasi Daerah penyelesaian adalah (92,0), (0,153.3) dan (0,0). Substitusikan kedua titik tersebut pada persamaan garis selidik Untuk (92,0) di peroleh Untuk (0,153.3) di peroleh Untuk (0,0) di peroleh

(Nilai Maksimum)

Contoh 1.3 Perhatikan sistem pertidaksamaan yang kita peroleh dari masalah 1.2

{ Dengan Fungsi Tujuan, Minimumkan: Alternatif Penyelesaian Perhatikan gambar di bawah ini

Selanjutnya, akan ditentukan nilai menjadikan nilai fungsi

dan

yang terdapat di daerah penyelesaian yang minimum.

Perhatikan Gambar, Daerah penyelesaian dibatasi oleh titik (24,0), (0,12), Titik A dan Titik B. Untuk menentukan koordinat titik A dan titik B kita gunakan Sistem Persamaan Linear dua Variabel yang sudah kita pelajari di kelas X. Koordinat titik A merupakan titik potong antara persamaan dengan menggunakan eliminasi kita dapat nilai memenuhi yaitu (2,8)

dan

dan yang

Koordinat titik B merupakan titik potong antara persamaan dengan menggunakan eliminasi kita dapat nilai dan memenuhi yaitu (11.45,2.09) dibulatkan ke (12,2) Untuk titik (0,12) diperoleh Untuk titik (2,8) diperoleh (Nilai Minimum) Untuk titik (12,2) diperoleh Untuk titik (24,0) diperoleh

dan yang

Uji Kompetensi 1.2 1. Tentukan nilai x dan y yang memberikan nilai optimum serta nilai maksimum atau minimum dari bentuk objektif tersebut. a. ; bentuk objektif . b. ; bentuk objektif . c. bentuk objektif . d. ; bentuk objektif . e. ; bentuk objektif . 2. Pak Benni, seorang penjaja buah-buahan yang menggunakan gerobak menjual apel dan pisang. Harga pembelian apel Rp 18.000,-tiap kilogram dan pisang Rp 8.000,00,-tiap kilogram. Beliau hanya memiliki modal Rp2.000.000,00, sedangkan muatan gerobak tidak lebih dari 450 kilogram. Padahal keuntungan tiap kilogram apel 2 kali keuntungan tiap kilogram pisang. 3. Pesawat penumpang mempunyai tempat duduk 48 kursi. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi maksimum 60 kilogram sedangkan kelas ekonomi maksimum 20 kg. Pesawat hanya dapat membawa bagasi maksimum 1440 kg. Harga tiket kelas utama Rp150.000,00 dan kelas ekonomi Rp100.000,00. Supaya pendapatan dari penjualan tiket pada saat pesawat penuh mencapai maksimum, tentukan jumlah tempat duduk kelas utama. 4. Suatu jenis roti membutuhkan 150 gram tepung dan 50 gram mentega, sedangkan jenis yang lain membutuhkan 75 gram tepung dan 75 gram mentega. Bahan yang tersedia adalah 26,25 kg tepung dan 16,25 kg metega. Keuntungan yang diperoleh dari hasil penjualan roti jenis pertama dan kedua masing-masing Rp 500,00 dan Rp 600,00. Tentukan tiap-tiap jenis roti yang harus dibuat supaya didapat hasil keuntungan yang maksimum. 5. Seorang pemborong merencanakan membangun 2 tipe rumah dengan ukuran T.50 dan T.70. Untuk itu, ia meminta uang muka masing-masing 1 juta untuk rumah T.50 dan 2 juta untuk T.70 dan ia mengharapkan uang muka yang masuk paling sedikit 250 juta rupiah dari paling sedikit 150 buah rumah yang hendak dibangunnya. Biaya pembuatan tiap rumah adalah 50 juta untuk T.50 dan 75 juta untuk T.70. Tentukan biaya minimal yang harus disediakan untuk membangun rumahrumah tersebut.

SOAL LATIHAN 1. Harga 1 kg pupuk jenis A Rp 4.000,00, sedangkan harga 1 kg pupuk jenis B Rp 2.000,00. Seorang petani mempunyai modal Rp 800.000,00 untuk membeli pupuk. Jika gudang beliau hanya dapat menampung 500 kg pupuk (misal pupuk A = x dan pupuk B = y), maka model matematika dari permasalahan di atas adalah …. A. x  y  500, 2 x  y  400, x  0, y  0 B. x  y  500, 2 x  y  400, x  0, y  0 C. x  y  500, 2 x  y  400, x  0, y  0 D. x  y  500, 2 x  y  400, x  0, y  0 E. x  y  500, 2 x  y  400, x  0, y  0 2. Suatu tempat parkir luasnya 400 m 2 . Sebuah bus memerlukan tempat parkir seluas 20 m 2 , sedangkan sebuah sedan memerlukan tempat parkir seluas 10 m 2 . Tempat parkir tersebut tidak dapat menampung lebih dari 30 kendaraan. Jika x dan y berturut-turut menyatakan banyaknya bus dan sedan yang diparkir, maka model matematika dari persoalan tersebut adalah .... A. 2 x  y  40, x  y  30, x  0, y  0 B. 2 x  y  40, x  y  30, x  0, y  0 C. 2 x  y  40, x  y  30, x  0, y  0 D. 2 x  y  40, x  y  30, x  0, y  0 E. x  2 y  40, x  y  30, x  0, y  0 3. Daerah yang diarsir pada gambar di samping ini y merupakan penyelesaian dari pertidaksamaan …. A. 2 x  6 y  12, x  y  5, x  0, y  0 B. 2 x  6 y  12, x  y  5, x  0, y  0 (0,5) C. 2 x  6 y  12, x  y  5, x  0, y  0 D. 2 x  6 y  12, x  y  5, x  0, y  0 (0,2) E.  2 x  6 y  12,  x  y  5, x  0, y  0 x y (5,0) (6,0) 4. Sistem pertidaksamaan yang memenuhi daerah yang diarsir pada grafik di bawah ini adalah …. A. x  y  10, 2 x  y  12, 2 x  5 y  20, x  0, B. x  y  10, 2 x  y  12, 2 x  5 y  20, x  0, C. x  y  10, 2 x  y  12, 2 x  5 y  20, x  0, D. x  y  10, x  2 y  12, 5x  2 y  20, x  0, E. x  y  10, x  2 y  12, 5x  2 y  20, x  0, 5.

y

y0 y0 y0 y0 y0

10

4 x 6

10

Sistem pertidaksamaan linier yang memenuhi daerah penyelesaian (daerah yang diarsir) pada grafik di bawah ini adalah ….

5

x –1

12

1

4

6

A. B. C. D. E.

5x  6 y  30, 5x  6 y  30, 5x  6 y  30, 5x  6 y  30, 5x  6 y  30,

x  y  1, x  y  1, x  y  1, x  y  1, x  y  1,

x  4, x  4, x  4, x  4, x  4,

y0 y0 y0 y0 y0

6. Seorang penjahit mempunyai persediaan kain putih 10 m dan kain berwarna 15 m. Ia ingin membuat dua model pakaian, yaitu pakaian model I dan model II. Untuk pakaian model I memerlukan 1 m kain putih dan 3 m kain berwana, sedangkan pakaian model II memerlukan 2 m kain putih dan 1 m kain berwarna. Sebuah pakaian model I dijual dengan harga Rp 75.000,00, sedangkan sebuah pakaian model II dijual dengan harga Rp 60.000,00. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh penjahit tersebut apabila semua pakaian yang dibuat terjual habis adalah …. A. Rp 300.000,00 D. Rp 750.000,00 B. Rp 375.000,00 E. Rp 900.000,00 C. Rp 480.000,00 7. Seorang penjahit akan membuat dua jenis pakaian. Pakaian jenis I memerlukan 1 m kain polos dan 1,5 m kain bermotif, sedangkan pakaian jenis II memerlukan 2 m kain polos dan 0,5 m kain bermotif. Bahan yang tersedia adalah 30 m kain polos dan 15 m kain bermotif. Penjahit tersebut mendapatkan keuntungan dari sebuah pakaian jenis I sebesar Rp 15.000,00 dan dari sebuah pakaian jenis II sebesar Rp 20.000,00 Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh penjahit tersebut adalah …. A. Rp 600.000,00 D. Rp 300.000,00 B. Rp 450.000,00 E. Rp 135.000,00 C. Rp 330.000,00 8. Sebuah pesawat terbang komersil memiliki tempat duduk tak lebih dari 30 orang untuk kelas utama dan kelas ekonomi. Setiap penumpang kelas utama hanya boleh membawa barang seberat 90 kg, sedangkan penumpang kelas ekonomi hanya boleh membawa barang seberat 45 kg. Kapasitas barang di bagasi pesawat hanya 1.800 kg. Harga tiket penumpang kelas utama dan kelas ekonomi berturut-turut adalah Rp 800.000,00 dan Rp 600.000,00. Pendapatan maksimum yang dapat diperoleh perusahaan penerbangan tersebut dari penjualan tiket adalah …. A. Rp 16.000.000,00 D. Rp 24.000.000,00 B. Rp 18.000.000,00 E. Rp 32.000.000,00 C. Rp 20.000.000,00 9. Nilai maksimum dari fungsi objektif f ( x, y)  2 x  3 y yang memenuhi sistem pertidaksamaan x  2 y  10 , x  y  7 , x  0 , y  0 , serta x dan y  bilangan riil adalah …. A. 14 D. 17 B. 15 E. 18 C. 16 10. Diketahui sistem pertidaksamaan 2 x  3 y  24 , x  y  10 , x  10 , dan y  0 . Nilai maksimum dari fungsi objektif f ( x, y)  2.000 x  1.000 y adalah …. A. 8.000 D. 20.000 B. 10.000 E. 24.000 C. 16.000 11. Pada grafik di bawah ini, daerah yang diarsir merupakan himpunan penyelesaiaan program linier. y Nilai maksimum dari fungsi Z  2 x  5 y pada grafik di samping adalah ….

10

5

5

15

x

A. B. C. D. E.

15 20 25 26 30

12. Daerah yang diarsir pada grafik di bawah ini merupakan penyelesaiaan dari suatu sistem pertidaksamaan. Nilai minimum dari fungsi objektif f ( x, y)  7 x  6 y pada grafik di bawah ini adalah …. A. 21 B. 24 C. 26 D. 28 E. 36 y

13.

4 2

y= 2 3

x

y 6 4 (2,2) 3

4

Pada grafik di bawah ini, daerah yang diarsir adalah penyelesaiaan dari program linier. Nilai maksimum f ( x, y)  8 x  2 y adalah …. A. 4 B. 8 C. 9 D. 14 E. 16

Selesaikan permasalahan dibawah ini 1. Gambarlah grafik daerah penyelesaian dari system pertidaksamaan di bawah ini a. b. c. d.

e.

2. Tentukan system pertidaksamaan dari grafik

x

3. Seorang pedagang kue mempunyai persediaan 9 kg tepung dan 6 kg mentega. Pedagang memproduksi kue jenis isi pisang dan isi keju. Untuk membuat kue jenis isi pisang memerlukan 150 gram tepung dan 50 gram mentega, sedangkan jenis isi keju memerlukan 75 gram tepung dan 75 gram mentega. Apabila harga sebuah kue jenis isi pisang Rp6.000,00 dan isi keju Rp 4.000,00. a. Buatlah model matematika dari permasalahan di atas. b. Tentukan besarnya pengeluaran minimum petani tersebut. 4. Sebuah pabrik memproduksi biskuit yang dikemas dalam bentuk kaleng dengan isi 1 kilogram dan 2 kg. Kapasitas produksi tiap hari tidak lebih dari 120 kaleng. Tiap hari biskuit dengan kemasan 1 kg tidak kurang dari 30 kaleng dan kemasan 2 kg 50 kaleng. Keuntungan dari hasil penjualan Rp5.000,00 per kaleng dengan isi 1 kg dan Rp7.000,00 untuk kemasan isi 2 kg. a. Buatlah model matematika dari permasalahan di atas. b. banyaknya produksi masing-masing jenis agar diperoleh keuntungan maksimum dan berapakah keuntungan maksimumnya? 5. Sebuah rumah sakit untuk merawat pasiennya, setiap hari membutuhkan paling sedikit 150.000 unit kalori dan 130.000 unit protein. Setiap kg daging sapi mengandung 500 unit kalori dan 200 unit protein, sedangkan setiap kg ikan segar mengandung 300 unit kalori dan 400 unit protein. Harga per kg daging sapi dan ikan segar masing-masing Rp 40.000,00 dan Rp 30.000,00. a. Buatlah model matematika dari permasalahan di atas. b. Tentukan berapa kg daging sapi dan ikan segar yang harus disediakan rumah sakit supaya mengeluarkan biaya sekecil mungkin. 6. Seorang pemborong mempunyai persediaan cat warna cokelat 100 kaleng dan abuabu 240 kaleng. Pemborong tersebut mendapat tawaran untuk mencat ruang tamu dan ruang tidur di suatu gedung. Setelah dikalkulasi ternyata 1 ruang tamu menghabiskan 1 kaleng cat warna cokelat dan 3 kaleng warna abu-abu. Sedang 1 ruang tidur menghabiskan 2 kaleng cat warna cokelat dan 2 kaleng warna abuabu. Biaya yang ditawarkan pada pemborong setiap ruang tamu Rp 30.000,00 dan tiap ruang tidur Rp 25.000,00. a. Buatlah model matematika dari permasalahan di atas. b. Berapakah pendapatan maksimum yang dapat diterima pemborong? 7. Seorang petani menghadapi suatu masalah sebagai berikut. Agar sehat, setiap sapi harus diberi makanan yang mengandung paling sedikit 27, 21, dan 30 satuan unsur nutrisi jenis P, Q, dan R setiap harinya. Dua jenis makanan I dan makanan II diberikan kepada sapi tersebut. Satu kg jenis makanan I mengandung unsur nutrisi jenis P, Q, dan R masing-masing sebesar 3, 1, dan 1 satuan. Sedangkan satu kg jenis makanan II mengandung unsur nutrisi jenis P, Q, dan R masing-masing sebesar 1, 1, dan 2 satuan. Harga satu kg makanan I dan makanan II adalah Rp 60.000,00 dan Rp 40.000,00. a. Buatlah model matematika dari permasalahan di atas. b. Tentukan besarnya pengeluaran minimum petani tersebut 8. Pengusaha logam membuat logam campuran sebagai berikut. Logam I terdiri atas baja, besi, dan aluminium dengan perbandingan 2 : 2 : 1. Logam II terdiri atas baja, besi, dan aluminium dengan perbandingan 4 : 3 : 3. Sedangkan baja, besi dan aluminium hanya tersedia 128 ton, 120 ton dan 90 ton. Logam I dijual dengan harga Rp1.500.000,00 per ton dan logam II dijual dengan harga Rp2.500.000,00 per ton. a. Buatlah model matematika dari permasalahan di atas. b. Tentukan berapa ton logam I dan logam II yang harus diproduksi supaya mendapatkan hasil maksimum dan berapakah hasil maksimum tersebut..