MODEL CAMPURAN LINEAR Bab 6 Linear Mixed Models (6.1-6.5)
Outline Model umum Struktur Ragam Peragam
Model Campuran untuk data longitudinal Menduga pegaruh tetap untuk Ragam (V) diketahui Menduga pegaruh tetap untuk Ragam (V) tidak diketahui Prediksi pegaruh acak untuk Ragam (V) diketahui
Model umum 𝒚 = 𝑿𝜷 + 𝒁𝒖 + 𝒆 𝒚 adalah vektor amatan berukuran nx1 𝜷 adalah vektor pengruh tetap berukuran px1 u adalah vektor pengaruh acak berukuran rx1 𝒆 adalah vektor komponen sisaan berukuran nx1 𝑿 adalah matriks rancangan pengaruh tetap berukuran nxp 𝒁 adalah matriks rancangan pengaruh acak berukuran nxr
𝒚|𝒖 diasumsikan mengikuti sebaran tertentu dengan 𝐸 𝒚|𝒖 = 𝑿𝜷 + 𝒁𝒖 dan 𝑉𝑎𝑟 𝒚 𝒖 = 𝑹 Untuk mendapatkan momen pertama dan kedua dari y, dibutuhkan pengaruh acak u Nilai harapan dari u diasumsikan sama dengan 0 dengan ragam D, sehingga diperoleh 𝐸 𝒚 = 𝑿𝜷 dan 𝑉𝑎𝑟 𝒚 = 𝑽 = 𝒁𝑫𝒁′ + 𝑹
Struktur Ragam Peragam Misalkan data skor ujian matematika level 9 dari empat kelas pada 15 sekolah di New York City. Data dibedakan berdasarkan jenis kelamin. Tiga sumber keragaman yaitu : antar sekolah, antar kelas pada setiap sekolah antar siswa pada setiap kelas
Misalkan 𝑦𝑡𝑖𝑗𝑘 adalah skor ujian siswa ke –k ( dari jenis kelamin ke-t) dalam kelas-j dari sekolah ke-i, maka persamaan model dapat dituliskan : 𝐸 𝑦𝑡𝑖𝑗𝑘 |𝑠𝑖 , 𝑐𝑖𝑗 = 𝛽𝑡 + 𝑠𝑖 + 𝑐𝑖𝑗
𝛽𝑡 adalah pengaruh tetap dari jenis kelamin ke-t (t= 1,2) 𝑠𝑖 adalah pengaruh acak dari sekolah ke-i (𝑖 = 1, … , 15) 𝑐𝑖𝑗 adalah pengaruh acak dari kelas ke-j (𝑗 = 1, 2,3,4) untuk setiap sekolah ke-i Indeks 𝑘 = 1, … , 10
Struktur Ragam Peragam 𝐸 𝑦𝑡𝑖𝑗𝑘 |𝑠𝑖 , 𝑐𝑖𝑗 = 𝛽𝑡 + 𝑠𝑖 + 𝑐𝑖𝑗 𝐸 𝒚|𝒖 = 𝑿𝜷 + 𝒁𝒖
{𝑐 𝑠𝑖 }15 𝛽𝒎 𝒖𝟏 𝑖=1 𝜷= 𝛽 ,𝒖= 𝒖 = , 𝒁 = 𝒁𝟏 4 15 𝟐 {𝑐 {𝑐 𝑐𝑖𝑗 }𝑗=1 }𝑖=1 𝒇
𝒁𝟐 sehingga 𝒁𝒖 = 𝒁𝟏 𝒖𝟏 + 𝒁𝟐 𝒖𝟐
𝐸 𝒚 𝒖 = 𝑿𝜷 + 𝒁𝟏 𝒖𝟏 + 𝒁𝟐 𝒖𝟐 𝑽 = 𝒁𝟏 𝑫𝟏 𝒁′𝟏 + 𝒁𝟐 𝑫𝟐 𝒁′𝟐 + 𝒁𝟏 𝑫𝟏𝟐 𝒁′𝟐 + 𝒁𝟐 𝑫𝟐𝟏 𝒁′𝟏 + 𝑹 𝑣𝑎𝑟(𝒖1 ) 𝑫 = 𝑣𝑎𝑟 𝒖 = 𝑐𝑜𝑣(𝒖𝟐 , 𝒖′𝟏 )
𝑐𝑜𝑣(𝒖𝟏 , 𝒖′𝟐 ) 𝑫𝟏 = 𝑫𝟐𝟏 𝑣𝑎𝑟(𝒖2 )
𝑫𝟏𝟐 𝑫𝟐
𝑫𝟏 adalah matriks ragam pengaruh acak dari sekolah, 𝑫𝟐 adalah matriks ragam pengaruh acak dari antar kelas pada setiap sekolah, dan 𝑫𝟏𝟐 = 𝑫𝟐𝟏 adalah mariks peragam antar sekolah dan kelas. R didefenisikan sebagai 𝑉𝑎𝑟 𝒚 𝒖 , yaitu ragam-peragam dari komponen 𝑝𝑡𝑖𝑗𝑘 (pengaruh acak dari galat).
𝑦𝑡𝑖𝑗𝑘 𝑦1,1,1,1 1 ⋮ = ⋮ 𝑦2,15,4,10 0
𝒚1200𝑥1
𝑿1200𝑥2 𝜷2𝑥1
𝑫 = 𝑣𝑎𝑟 𝒖 =
𝑫75𝑥75
0 𝛽 𝑚 ⋮ 𝛽 𝑓 1
𝑫𝟏 𝑫𝟐𝟏
𝑫𝟏𝟐 𝑫𝟐
𝒁1
+
𝒖 𝒁2 𝒖 𝟏 𝟐
𝒖75𝑥1
𝒁1200𝑥15 𝒁1200𝑥60
𝑫1
15 x 15
𝑫2
60 x 60
𝑫12
15 x 60
𝑫21
60 x 15
𝒖1
15 x 1
𝒖2
60 x 1
Bentuk umum dari 𝐸 𝒚 𝒖 dan 𝑽 jika terdapat r faktor pengaruh acak 𝑟 𝑖=1 𝒁𝒊 𝒖𝒊
𝐸 𝒚 𝒖 = 𝑿𝜷 + 𝒓
𝒓
𝒓
𝒁𝒊 𝑫𝒊𝒊′ 𝒁′𝒊′ + 𝑹
𝒁𝒊 𝑫𝒊𝒊 𝒁′𝒊 +
𝑽=
𝒊=𝟏 𝒊′ =𝟏
𝒊=𝟏
𝒁 = 𝒁𝟏
𝒁𝟐
… 𝒁𝒓 = {𝑟 𝒁𝒊 }𝑟𝑖=1
𝒖 = {𝑐 𝒖𝒊 }𝑟𝑖=1 dan 𝑫 = 𝑣𝑎𝑟 𝒖 = {𝑚 𝑫𝒊𝒊′ }𝑟𝑖,𝑖 ′ =1
dimana 𝑫𝒊𝒊 = 𝑣𝑎𝑟 𝒖𝒊 dan 𝑫𝒊𝒊′ = 𝑐𝑜𝑣 𝒖𝒊 , 𝒖′𝒊′ Jika antar faktor acak diasumsikan saling bebas sehingga 𝑫𝒊𝒊′ = 𝟎 maka 𝑫 = {𝑑 𝑫𝒊 }𝑟𝑖=1 dan 𝑽 =
𝒓 ′ 𝒊=𝟏 𝒁𝒊 𝑫𝒊 𝒁𝒊
+𝑹
Jika pada contoh kasus diasumsikan antar sekolah saling bebas, dan ragam dari sekolah homogen maka dapat dituliskan sebagai 𝑫𝟏 = 𝜎𝑠2 𝐈15
Jika diasumsikan juga antar kelas pada setiap sekolah saling bebas maka ragam 2 dari pengaruh interaksi dapat dituliskan 𝑫𝟐 = {𝑑 𝜎𝑖2 𝐈4 }15 𝑖=1 = 𝜎𝑐 𝐈60 𝑉𝑎𝑟 𝒚 𝒖 = 𝑹 = 𝜎 2 𝐈1200
𝑫𝟏 𝑫 = 𝑣𝑎𝑟 𝒖 = 𝟎
𝜎𝑠2 𝐈15 𝟎 = 𝑫𝟐 𝟎
𝟎 𝜎𝑠2 𝐈15 = 𝟎 {𝑑 𝜎𝑖2 𝐈4 }15 𝑖=1
𝟎 𝜎𝑐2 𝐈60
𝑽 = 𝒁𝟏 𝒁′𝟏 𝝈𝟐𝒔 + 𝒁𝟐 𝒁′𝟐 𝝈𝟐𝒄 + 𝜎 2 𝐈1200 Sehingga secara umum jika terdapat r faktor acak saling bebas, antar individu dalam faktor acak tersebut juga bebas , dan memiliki ragam homogen, maka dapat dituliskan 𝑫 = {𝑑 𝜎𝑖2 𝐈𝑞𝑖 }r𝑖=1
dan
𝑽=
𝒓 ′ 𝟐 𝒁 𝒁 𝒊 𝒊=𝟏 𝒊 𝜎𝒊
+ 𝜎 2 𝐈N
Perubahan penulisan notasi Perubahan penulisan notasi yang disarankan oleh Hartley dan Rao (1967) dengan mendefenisikan ulang matriks D. Hal ini dilakukan dengan mendefenisikan terlebih dahulu 𝜎02 ≡ 𝜎 2 , 𝒁0 ≡ 𝐈𝑁 𝑑𝑎𝑛 𝑞0 ≡ 𝑁, 𝜎02 𝐈𝑞0 𝑫∗ = 𝟎
𝟎 = {𝑑 𝜎𝑖2 𝐈𝑞𝑖 }r𝑖=0 dan 𝑽 = 𝑫
𝒓 ′ 𝟐 𝒁 𝒁 𝒊 𝒊=𝟎 𝒊 𝜎𝒊
Atau V dapat juga dituliskan sebagai 𝑽 = 𝒁∗ 𝑫∗ 𝒁′∗
𝒁∗ = 𝒁𝟎
𝒁𝟏
𝒁𝟐
… 𝒁𝒓 = 𝒁𝟎
𝒁
Model Campuran untuk data longitudinal Laird dan Ware (1982) untuk kasus dengan data longitudinal sebagai berikut : 𝐸 𝒚𝒊 𝒖𝒊 = 𝑿𝒊 𝜷 + 𝒁𝒊 𝒖𝒊 Jika 𝒚𝑖 adalah vektor dari 𝒏𝑖 pengukuran pada pasien ke-i, 𝜷 dan 𝒖𝒊 adalah vektor dari pengaruh tetap dan acak Nilai koefisien 𝜷 akan sama untuk setiap pasien, sedangkan 𝒖𝒊 akan berbeda
Misalkan ada m pasien, maka 𝒚 = {𝑐 𝒚𝑖 }, 𝑿 = {𝑐 𝑿𝑖 }, 𝒁 = {𝑑 𝒁𝑖 }, 𝑑𝑎𝑛 𝒖 = {𝑐 𝒖𝑖 }, { 𝑐 𝐸 𝒚𝒊 𝒖𝒊 } 𝑚 𝑖=1 = 𝐸 𝒚 𝒖 = 𝑿𝜷 + 𝒁𝒖 Sehingga struktur ragam yang diajukan oleh Laird dan Ware (1982) 𝑽 = 𝒁𝑫𝒁′ + 𝑹, dengan 𝑫𝒊𝒊 = 𝑫 ∀𝒊 , 𝑫𝒊𝒊′ = 𝟎 ∀𝒊≠𝒊′ dan 𝑹 = {𝑑 𝑹𝑖 }, 𝑽 = 𝑣𝑎𝑟(𝒚) = {𝑑 𝒁𝒊 𝑫𝒁′𝒊 + 𝑹𝒊 }
More detail in section 7
Menduga pegaruh tetap untuk Ragam (V) diketahui Menduga pengaruh tetap untuk ragam (V )diketahui, dilakukan dengan menggunakan pendekatan maksimum likelihood. Misalkan 𝒚~𝑁(𝑿𝜷, 𝑽) , persamaam log likelihood untuk y, 1 1 𝑁 ′ −1 𝒍 = − (𝒚 − 𝝁) 𝑽 𝒚 − 𝝁 − log 𝑽 − log 2𝜋 2 2 2 dimana 𝝁 = 𝝁 𝜽 dan 𝑽 = 𝑽(𝝋)
𝜕𝒍 𝜕𝜽
=
𝜕𝝁′ −1 𝑽 𝜕𝜽
𝒚−𝝁 =𝟎
Penduga bagi 𝜷 (dilambangkan dengan 𝜷𝟎 ) 𝑿′ 𝑽−𝟏 𝒚 − 𝑿𝜷𝟎 = 𝟎 𝑿′ 𝑽−𝟏 𝒚 − 𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿𝜷𝟎 = 𝟎 𝜷𝟎 = (𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿)− 𝑿′ 𝑽−𝟏 𝒚
Menduga pegaruh tetap untuk Ragam (V) diketahui Penduga maksimum likelihood bagi 𝑿𝜷 𝑀𝐿 𝑿𝜷 = 𝑿𝜷𝟎 = 𝑿(𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿)− 𝑿′ 𝑽−𝟏 𝒚 dengan 𝑉𝑎𝑟 𝒚 = 𝑽, maka 𝑉𝑎𝑟 𝑿𝜷𝟎 = 𝑉𝑎𝑟(𝑿 𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿)− 𝑿′ 𝑽−𝟏 𝒚 ′
′
= 𝑿(𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿)− 𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑉𝑎𝑟(𝒚)𝑽−𝟏 𝑿(𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿)− 𝑿′ ′
′
= 𝑿(𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿)− 𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑽𝑽−𝟏 𝑿(𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿)− 𝑿′ ′
= 𝑿(𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿)− 𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿(𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿)− 𝑿′ ′
Karena (𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿)− adalah kebalikan umum dari (𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿), sehingga 𝑉𝑎𝑟 𝑿𝜷𝟎 = 𝑿(𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿)− 𝑿′
Menduga pegaruh tetap untuk Ragam (V) tidak diketahui-Estimation Penduga bagi 𝜷 (dilambangkan dengan 𝜷) diperoleh dengan cara yang sama seperti pada menduga pengaruh tetap untuk ragam (V ) diketahui Penduga ML bagi 𝑿𝜷
𝑀𝐿 𝑿𝜷 = 𝑿𝜷 = 𝑿(𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿)− 𝑿′ 𝑽−𝟏 𝒚
Penduga ML bagi 𝑽 dengan turunan pertama persamaan log likelihood
𝝏𝒍 𝝏𝝋𝒌
= 𝟎 dan 𝑽 = 𝑽(𝝋)
𝜕𝒍 1 𝜕𝑽 𝜕𝑽 −1 = − 𝑡𝑟 𝑽−1 − (𝒚 − 𝝁)′ 𝑽−1 𝑽 (𝒚 − 𝝁) 𝜕𝝋𝒌 2 𝜕𝝋𝑘 𝜕𝝋𝑘
dan untuk 𝜎 2 digunakan 𝜕𝑽 𝜕𝝋𝑘 = 𝜕𝑽 𝜕𝜎𝑖2 = 𝜕( 𝒋 𝒁𝒋 𝒁′𝒋 𝜎𝒊𝟐 𝜕𝜎𝑖2 = 𝒁𝒊 𝒁′𝒊 sehingga persamaan diatas dapat dituliskan sebagai berikut : 𝜕𝒍 1 1 −1 𝒁 𝒁′ − (𝒚 − 𝑿𝜷)′ 𝑽−1 𝒁 𝒁′ 𝑽−1 (𝒚 − 𝑿𝜷) = − 𝑡𝑟 𝑽 𝒊 𝒊 𝒊 𝒊 2 2 𝜕𝜎𝑖2 dengan menyelesaikan setiap persamaan diatas untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑟 dan mengganti 𝜷 dengan 𝜷, 𝑽 digantikan dengan 𝑽 maka akan diperoleh : Newton Raphson dan 𝑡𝑟 𝑽−1 𝒁𝒊 𝒁′𝒊 = (𝒚 − 𝑿𝜷)′ 𝑽−1 𝒁𝒊 𝒁′𝒊 𝑽−1 (𝒚 − 𝑿𝜷)
Fisher Scoring
Menduga pegaruh tetap untuk Ragam (V) tidak diketahui-Sampling Variance Penduga ragam bagi 𝑿𝜷, akan didekati dengan kasus sederhana misalkan ada 𝓵′ 𝜷 untuk menduga 𝓵′ 𝜷(𝓵′ = 𝒕′ 𝑿 )
Kackar dan Harville (1984) mengatakan 𝓵′ 𝜷 − 𝓵′ 𝜷 dapat dituliskan sebagai penjumlahan dua bagian yang saling bebas, 𝓵′ 𝜷 − 𝓵′ 𝜷𝟎 dan 𝓵′ 𝜷𝟎 − 𝓵′ 𝜷
𝓵′ 𝜷 − 𝓵′ 𝜷 = 𝓵′ 𝜷𝟎 − 𝓵′ 𝜷 + 𝓵′ 𝜷𝟎 − 𝓵′ 𝜷
Menduga pegaruh tetap untuk Ragam (V) tidak diketahui-Sampling Variance Sehingga untuk menghitung 𝑣𝑎𝑟(𝓵′ 𝜷) dapat dituliskan sebagai berikut : 𝑣𝑎𝑟 𝓵′ 𝜷 = 𝑣𝑎𝑟 𝓵′ 𝜷𝟎 − 𝓵′ 𝜷 + 𝑣𝑎𝑟 𝓵′ 𝜷 − 𝓵′ 𝜷𝟎
= 𝓵′ 𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿 𝓵 + 𝓵′ 𝑻𝓵 𝓵′ 𝑻𝓵 = 𝓵′ 𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿
−
𝒓
𝒓
𝒄𝒊𝒋 𝑮𝒊𝒋 − 𝑭𝒊 (𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿)− 𝑭𝒋
×
(𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿)− 𝓵
𝒊=𝟎 𝒋=𝟎 𝑟 𝑟 𝑐𝑖𝑗 adalah elemen matriks asimtotik ragam peragam, 𝑪 = {𝑚 𝑐𝑖𝑗 }𝑟𝑖=0,𝑗=0 = {𝑚 𝑐𝑜𝑣∞ (𝜎𝑖2 , 𝜎𝑗2 )}𝑟𝑖=0,𝑗=0
𝑮𝒊𝒋 = 𝑿′ 𝑽−𝟏 𝒁𝒊 𝒁′𝒊 𝑽−𝟏 𝒁𝒋 𝒁′𝒋 𝑽−𝟏 𝑿 sehingga 𝓵′ 𝑻𝓵 =
𝒓 𝒊=𝟎
−
, 𝑭𝒊 = −𝑿′ 𝑽−𝟏 𝒁𝒊 𝒁′𝒊 𝑽−𝟏 𝑿, 𝒉′ = 𝓵′ 𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿 𝑿′ 𝑽−𝟏
𝒓 ′ ′ ′ 𝒋=𝟎 𝒄𝒊𝒋 𝒉 𝒁𝒊 𝒁𝒊 𝑷𝒁𝒋 𝒁𝒋 𝒉
= 𝒕𝒓 𝑪{𝒎 𝒉′ 𝒁𝒊 𝒁′𝒊 𝑷𝒁𝒋 𝒁′𝒋 𝒉}𝒓𝒊,𝒋=𝟎
𝑣𝑎𝑟 𝓵′ 𝜷 = 𝓵′ 𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿 𝓵 + 𝒕𝒓 𝑪{𝒎 𝒉′ 𝒁𝒊 𝒁′𝒊 𝑷𝒁𝒋 𝒁′𝒋 𝒉}𝒓𝒊,𝒋=𝟎
Menduga pegaruh tetap untuk Ragam (V) tidak diketahui— Bias in the Variance Kenward dan Roger (1997) mengatakan bahwa 𝓵′ 𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿 𝓵 adalah bias dari 𝓵′ 𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿 𝓵 Untuk menginvestigasi bias, dimulai dengan two-term Taylor series expansion
𝓵′ 𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿 𝓵 = 𝓵′
𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿
−
𝜕 𝑿𝑽 𝑿 + (𝜎 2 − 𝜎 2 )′ 𝜕𝜎 2
1 − ′ ′ −𝟏 ′ ′ −𝟏 𝑬 𝓵 𝑿 𝑽 𝑿 𝓵 =𝓵 𝑿 𝑽 𝑿 𝓵 + 2 𝜕 2 𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿 𝜕𝜎𝑖2 𝜕𝜎𝑗2
−
′ −𝟏
−
= − 𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿
− ′ −𝟏 𝑿 𝑽 (𝒁
𝑟
1 + 2 𝑟
𝑖=0 𝑗=0
𝑟
𝑟
2 ′ −𝟏 2 2 2 2 𝜕 𝑿 𝑽 𝑿 (𝜎𝑖 − 𝜎𝑖 ) (𝜎𝑗 − 𝜎𝑗 ) 𝜕𝜎𝑖2 𝜕𝜎𝑗2
𝑖=0 𝑗=0
2 ′ −𝟏 2 2 ′𝜕 𝑿 𝑽 𝑿 𝑐𝑜𝑣(𝜎𝑖 , 𝜎𝑗 )𝓵 𝜕𝜎𝑖2 𝜕𝜎𝑗2
−
𝓵
′ ′ ′ ′ −𝟏 ′ −𝟏 𝒊 𝒁𝒊 𝑷𝒁𝒋 𝒁𝒋 + 𝒁𝒋 𝒁𝒋 𝑷𝒁𝒊 𝒁𝒊 ) × 𝑽 𝑿 𝑿 𝑽 𝑿
−
−
𝓵
Menduga pegaruh tetap untuk Ragam (V) tidak diketahui— Bias in the Variance 𝑬
𝓵′
𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿 ×
𝑟
𝓵 −
𝓵′
− ′ −𝟏 𝑿𝑽 𝑿 𝓵
(𝒁𝒊 𝒁′𝒊 𝑷𝒁𝒋 𝒁′𝒋
+
1 = − 2
𝑟
𝑟
𝑐𝑖𝑗
𝓵′
− ′ −𝟏 ′ −𝟏 𝑿𝑽 𝑿 𝑿𝑽
𝑖=0 𝑗=0 − ′ ′ 𝒁𝒋 𝒁𝒋 𝑷𝒁𝒊 𝒁𝒊 )𝑽−𝟏 𝑿 𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿 𝓵
𝑟
𝑐𝑖𝑗 𝒉′ 𝒁𝒊 𝒁′𝒊 𝑷𝒁𝒋 𝒁′𝒋 𝒉 = − 𝓵′ 𝑻𝓵
=−
𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝒉′ = 𝓵′ 𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿
𝑖=0 𝑗=0
Sehingga
𝑬 𝓵′ 𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿 𝓵 = 𝓵′ 𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿 𝓵 − 𝓵′ 𝑻𝓵
−
𝑿′ 𝑽−𝟏
Menduga pegaruh tetap untuk Ragam (V) tidak diketahui— Bias in the Variance Pada dasarnya yang ingin diduga adalah 𝑣𝑎𝑟 𝓵′ 𝜷 = 𝓵′ 𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿 𝓵 + 𝓵′ 𝑻𝓵 dan dari penurunan sebelumnya diperoleh 𝑬 𝓵′ 𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿 𝓵 = 𝓵′ 𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿 𝓵 − 𝓵′ 𝑻𝓵
sehingga pendekatan untuk penduga takbias bagi 𝑣𝑎𝑟 𝓵′ 𝜷 berdasarkan 𝓵′ 𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿 𝓵 yang di-adjusted adalah : 𝓵′ 𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿 𝓵
𝑎𝑑𝑗𝑢𝑠𝑡𝑒𝑑
= 𝓵′ 𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿 )− 𝓵 + 𝟐𝓵′ 𝑻𝓵
Prediksi pegaruh acak untuk Ragam (V) diketahui Misalkan 𝒚~(𝑿𝜷, 𝑽) untuk 𝑽 = 𝒁𝑫𝒁′ + 𝑹, diasumsikan 𝒚 dan 𝒖 mengikuti sebaran bersama normal dengan nilai harapan bersyarat : 𝐸 𝒖 𝒚 = 𝑫𝒁′ 𝑽−𝟏 (𝒚 − 𝑿𝜷) 𝒖 = 𝑫𝒁′ 𝑽−𝟏 𝒚 − 𝑿𝜷 , dengan
𝑣𝑎𝑟(𝒖) = 𝑫𝒁′ 𝑽−𝟏 𝒁𝑫
𝜷 diganti dengan 𝜷𝟎 = (𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿)− 𝑿′ 𝑽−𝟏 𝒚 sehingga menghasilkan BLUP (best linear unbiased predictor), sehingga 𝒖𝟎 = 𝑫𝒁′ 𝑽−𝟏 𝒚 − 𝑿𝜷𝟎 = 𝑫𝒁′ 𝑷𝒚, 𝑣𝑎𝑟(𝒖𝟎 ) = 𝑣𝑎𝑟 𝑫𝒁′ 𝑷𝒚 = 𝑫𝒁′ 𝑷𝑣𝑎𝑟 𝒚 𝑷′ 𝒁𝑫′ = 𝑫𝒁′ 𝑷𝑽𝑷′ 𝒁𝑫′ = 𝑫𝒁′ 𝑷𝒁𝑫′ 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑷𝑽𝑷′ = 𝑷, dimana 𝑷 = 𝑽−𝟏 − 𝑽−𝟏 𝑿(𝑿′ 𝑽−𝟏 𝑿)− 𝑿′ 𝑽−𝟏
Jadi dengan D dan V diketahui, selang kepercayaan bagi 𝒖 dapat dihitung.
Butir penting terkait model campuran sesuai dengan pemahaman saya : Penentuan pengaruh tetap dan pengaruh acak yang masuk ke dalam model Sebaran dari pengaruh acak
Sebaran y bersyarat dari pengaruh acak Penentuan matriks rancangan X untuk pengaruh tetap dan matriks rancangan Z untuk pengaruh acak
Struktur dari ragam dan peragam matriks D atau matriks ragam peragam dari pengaruh acak Struktur dari ragam dan peragam matriks V atau matriks ragam peragam dari y
Metode pendugaan/prediksi pengaruh tetap/acak baik untuk matriks V diketahui maupun tidak diketahui
