Matematika Teknik Dasar-2 5 Perkalian Antar Vektor. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya

Matematika Teknik Dasar-2 5 – Perkalian Antar Vektor Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan – Universitas Brawijaya

Komponen-Komponen Vektor dalam Suku-Suku Vektor Satuan Vektor 𝑂𝑃 didefinisikan oleh magnitudonya (r) dan aranya (). Vektor ini dapat juga didefinisikan oleh kedua komponennya dalam arah OX dan OY. Berarti bisa juga dikatakan bahwa 𝑂𝑃 ekuivalen dengan vektor a dalam arah OX + vektor b dalam arah OY.

Artinya, 𝑂𝑃 = a (di sepanjang OX) dan b (di sepanjang OY) Jika didefinisikan i sebagai vektor satuan dalam arah OX, maka a = ai dan Jika didefinisikan j sebagai vektor satuan dalam arah OY, maka b = bj

Jadi vektor 𝑂𝑃 dapat ditulis; r = ai + bj Dimana i dan j adalah vektor satuan masing-masing dalam arah OX dan OY

Komponen-Komponen Vektor dalam Suku-Suku Vektor Satuan Misalkan z1 = 2i + 4j dan z2 = 5i + 2j

Untuk mendapatkan z1 + z2 digambar kedua vektor dalam suatu rantai.

z1 + z2 = 𝑂𝐵 = (2 + 5)i + (4 +2)j = 7i + 6j Jika z1 = 3i + 2j dan z2 = 4i + 3j z1 + z2 = 3i + 2j + 4i + 3j = 7i + 7j

Komponen-Komponen Vektor dalam Suku-Suku Vektor Satuan Jika z1 = 5i - 2j ; z2 = 3i + 3j ; z3 = 4i - 1j

Maka: a. z1 + z2 + z3 b.

z1 - z2 - z3

Diselesaikan: z1 + z2 + z3 = 5i - 2j + 3i + 3j + 4i - 1j z1 + z2 + z3 = (5 + 3 + 4)i + (-2 + 3 -1)j z1 + z2 + z3 = 12i

Komponen-Komponen Vektor dalam Suku-Suku Vektor Satuan Jika z1 = 5i - 2j ; z2 = 3i + 3j ; z3 = 4i - 1j

Maka: a. z1 + z2 + z3 b.

z1 - z2 - z3

Diselesaikan: z1 - z2 - z3 = (5i - 2j) – (3i + 3j) – (4i - 1j) z1 - z2 - z3 = (5 - 3 - 4)i + (-2 - 3 +1)j z1 + z2 + z3 = -2i -4j

Komponen-Komponen Vektor dalam Suku-Suku Vektor Satuan Jika 𝑂𝐴 = 3i + 5j dan 𝑂𝐵 = 5i - 2j , carilah 𝐴𝐵

Dari diagram yang dibuat, bisa ditulis hubungan antara vektorvektor tersebut. Kemudian dinyatakan dalam suku-suku vektor satuan. 𝑂𝐴 + 𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 (didapat dari diagram)  𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 - 𝑂𝐴 = (5i – 2j) – (3i + 5j) = 2i – 7j

Vektor dalam Ruang Sumbu-sumbu acuan didefinisikan oleh aturan ‘tangan kanan’

OX, OY, dan OZ membentuk set tangan kanan jika rotasi dari OX ke OY seperti halnya pembuka tutup botol gabus ulir-kanan sepanjang arah OZ positif. Sama halnya rotasi dari OY ke OZ bertindak seperti halnya pembuka tutup botol gabus ulir kanan di sepanjang arah positif OX. Vektor 𝑂𝑃 didefinisikan oleh komponen-komponennya. a di sepanjang OX

b di sepanjang OY c di sepanjang OZ

Vektor dalam Ruang Misalkan

i = vektor satuan dalam arah OX

j = vektor satuan dalam arah OY k = vektor satuan dalam arah OZ Maka, 𝑂𝑃 =ai + bj + ck

Juga, OL2 = a2 + b2 dan OP2 = OL2 + c2 OP2 = a2 + b2 + c2 Jadi, jika r = ai + bj + ck, maka r 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 Maka, hal ini bisa memudahkan untuk mencari magnitudo dari sebuah vektor yang dinyatakan dalam suku-suku vektor satuannya.

Vektor dalam Ruang Misalkan

i = vektor satuan dalam arah OX

j = vektor satuan dalam arah OY k = vektor satuan dalam arah OZ Maka, 𝑂𝑃 =ai + bj + ck

Juga, OL2 = a2 + b2 dan OP2 = OL2 + c2 OP2 = a2 + b2 + c2 Jadi, jika r = ai + bj + ck, maka r = 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 Maka, hal ini bisa memudahkan untuk mencari magnitudo dari sebuah vektor yang dinyatakan dalam suku-suku vektor satuannya.

Vektor dalam Ruang Coba diselesaikan soal berikut:

𝑃𝑄 = 4i + 3j + 2k, maka 𝑃𝑄 adalah.. 𝑃𝑄 = 42 + 32 + 22 𝑃𝑄 = 16 + 9 + 4 𝑃𝑄 = 29 𝑃𝑄 = 5,385

Kosinus Arah Arah suatu vektor dalam tiga dimensi ditentukan oleh sudut-sudut yang dibuat vektor dengan ketiga sumbu acuannya. Misalkan 𝑂𝑃 = r = ai + bj + ck Maka

Juga a2 + b2 + c2 = r2

𝑎 𝑟

= 𝑐𝑜𝑠𝛼

 a = r cos

𝑏 𝑟

= 𝑐𝑜𝑠𝛽

 b = r cos

𝑐 𝑟

= 𝑐𝑜𝑠𝛾

 c = r cos

Kosinus Arah a 2 + b 2 + c2 = r 2

r2 cos2 + r2 cos2 + r2 cos2 = r2 cos2 + cos2 + cos2 = 1 Jika l = cos 

m = cos  n = cos  Maka l2 + m2 + n2 = 1 * [l, m, n] ditulis dalam tanda kurung siku disebut kosinus arah vektor 𝑂𝑃 dan merupakan nilainilai kosinus sudut-sudut yang dibuat vektor yang bersangkutan dengan ketiga sumbu acuannya.

Kosinus Arah Jadi untuk vektor r = ai + bj + ck 𝑙=

𝑎 ; 𝑟

𝑚=

𝑏 ; 𝑟

𝑛=

𝑐 ; 𝑟

dan r = 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2

Dicari kosinus arah [l, m, n] dari vektor r = 3i - 2j + 6k a = 3, b = -2, c = 6, r = 9 + 4 + 36 r = 49 = 7 3 7

2 7

𝑙 = ; 𝑚 = − ; 𝑛 =

6 7

Hasil Kali Skalar dari Dua Vektor Jika a dan b merupakan dua vektor, hasil kali skalar a dan b didefinisikan sebagai skalar (bilangan) ab cos  dimana a dan b merupakan magnitudo vektor a dan b serta  merupakan sudut di antara kedua vektor ini. Hasil kali skalar ini dinotasikan dengan a.b (disebut ‘hasil kali titik’ a.b

= ab cos  = a x proyeksi b pada a = b x proyeksi a pada b ; pada kasus ini hasilnya merupakan kuantitas skalar

Hasil Kali Skalar dari Dua Vektor Contoh :

𝑂𝐴. 𝑂𝐵 = OA.OB. Cos  = 5.7 cos 45o = 35.

1 2

=

35 2 2

Hasil Kali Skalar dari Dua Vektor Hitung hasil kali skalar a dan b = a.b

a.b = ab cos 90o = ab.0 = 0 Jadi kesimpulannya adalah hasil kali dari sebarang dua vektor yang saling tegak-lurus akan selalu nol.

Untuk kasus di samping dapat diselesaikan sebagai berikut: a.b = ab cos 0o = ab.1 = ab

Hasil Kali Skalar dari Dua Vektor Jika kedua vektor dinyatakan dalam suku-suku vektor satuan i, j, dan k

Jika

a = a1i + a2j + a3k b = b1i + b2j + b3k

Maka a.b = (a1i + a2j + a3k).(b1i + b2j + b3k)

= a1 b1i .i + a1b2i.j + a1b3i.k + a2b1j .i + a2b2j.j + a2 b3j.k + a3b1k .i + a3b2k.j + a3b3k.k Dicoba untuk menyederhanakan persamaan: i.i = (1)(1)(cos 0o) = 1 i.i = 1; j.j = 1; k.k = 1

(a)

i.j = (1)(1)(cos 90o) = 0  i.j = 0; j.k = 0; k.i = 0

(b)

Hasil Kali Skalar dari Dua Vektor Menggunakan penyederhanaan di slide sebelumnya:

Maka a.b = a1 b1.1 + a1b2.0 + a1b3.0 + a2b1.0 + a2b2.1 + a2 b3.0 + a3b1.0 + a3b2.0 + a3b3.1 a.b = a1 b1 + a2b2 + a3b3 Berarti untuk operasi perkalian cukup dengan menjumlahkan hasil kali vektor-vektor satuan di sepanjang sumbu-sumbu yang bersangkutan. Misal a = 2i + 3j + 5k dan b = 4i + 1j + 6k Maka a.b = (2 x 4) + (3 x 1) + (5 x 6)

= 8 + 3 + 30 = 41

Hasil Kali dari Dua Vektor Hasil kali vektor a dan b ditulis a x b (seringkali disebut ‘hasil kali silang’) dan didefinisikan sebagai vektor yang memiliki magnitudo ab sin  dengan  adalah sudut di antara kedua vektor yang diketahui. Vektor hasil kali memiliki arah tegak-lurus baik terhadap a ataupun arah b, sehingga a,b dan a x b membentuk set tangan kanan dalam urutan tersebut.

𝒂 𝑥 𝒃 = 𝑎𝑏 𝑠𝑖𝑛𝜃 Diperhatikan dari gambar di samping bahwa b x a akan membalik rotasi dan vektor hasil kalinya sekarang memiliki arah ke bawah. b x a = -(a x b)

Hasil Kali dari Dua Vektor Jika  = 0o, maka 𝒂 𝑥 𝒃 = 0

Jika  = 90o, maka 𝒂 𝑥 𝒃 = 𝑎𝑏 Jika a dan b diberikan dalam suku-suku vektor satuan i, j, dan k: Maka:

a x b =a1 b1i x i + a1b2i x j + a1b3i x k + a2b1j x i + a2b2j x j + a2 b3j x k + a3b1k x i + a3b2k x j + a3b3k xk Diperhatikan bahwa 𝒊 𝑥 𝒊 = (1)(1)(sin 0o) = 0  I x i = 0; j x j = 0; k x k = 0

Bahwa 𝒊 𝑥 𝒋 = (1)(1)(sin 90o) = 1 dan i x i berada dalam arah k, hal ini berarti i x j = k. (magnitudo dan arah sama)

Hasil Kali dari Dua Vektor Bahwa 𝒊 𝑥 𝒋 = (1)(1)(sin 90o) = 1 dan i x i berada dalam arah k, hal ini berarti i x j = k.

(magnitudo dan arah sama) Maka ixj=k

jxk=i k x i = j; Diingat juga i x j = -(j x i) j x k = -(k x j) k x i = -(I x k)

Hasil Kali dari Dua Vektor Bisa dirapikan persamaan terakhir menggunakan pendekatan sebelumnya:

a x b =a1 b10 + a1b2k+ a1b3(-j) + a2b1(-k) + a2b20+ a2 b3i + a3b1j + a3b2(-i) + a3b30 a x b =(a2 b3 - a3b2)i – (a1b3 - a3b1)j + (a1b2 - a2b1)k Dapat dikenali bahwa pola di atas ini adalah pola suatu determinan yang baris pertamanya adalah tersusun dari vektor I,j, dan k. Maka dapat kita peroleh bahwa Jika

a = a1i + a2j + a3k

b = b1i + b2j + b3k

Hasil Kali dari Dua Vektor Jika

a = a1i + a2j + a3k

b = b1i + b2j + b3k 𝒊 a x b = 𝑎1 𝑏1

𝒋 𝑎2 𝑏2

𝒌 𝑎3 = (a2 b3 - a3b2)i – (a1b3 - a3b1)j + (a1b2 - a2b1)k 𝑏3

Cara determinan di atas ini adalah cara paling mudah dalam menuliskan hasil kali vektor dari dua vektor. a. Baris atas terdiri dari vektor satuan dalam urutan I,j,j b. Baris kedua terdiri dari koefisien dari a c. Baris ketiga terdiri dari koefisien dari b

Hasil Kali dari Dua Vektor Contoh:

Jika

p = 2i + 4j + 3k q = i + 5j - 2k

𝒊 𝒋 𝒌 𝑉𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛 p x q = 2 4 3 𝐾𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝒑 1 5 −2 𝐾𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝒒 𝒊 𝒋 𝒌 4 3 2 pxq= 2 4 3 =𝒊 −𝒋 5 −2 1 1 5 −2 p x q = i(-8 – 15) – j(-4 – 3) + k(10 – 4) p x q = -23i+ 7j+ 6k

2 4 3 +𝒌 1 5 −2

Sudut Antara Dua Vektor Misalkan a adalah satu vektor dengan kosinus arah [l, m, n]

Misalkan b adalah satu vektor dengan kosinus arah [l’, m’, n’] Maka harus dicari sudut antara kedua vektor ini. Misalkan 𝑂𝑃 dan 𝑂𝑃′ merupakan vektor satuan yang masingmasing sejajar dengan a dan b. Kemudian P memiliki koordinat (l,m,n) dan P’ memiliki koordinat (l’,m’,n’)

Sudut Antara Dua Vektor Maka

(PP’)2 = (l-l’)2 + (m-m’)2 + (n-n’)2 = l2 – 2.l.l’ + l’2 + m2 – 2m.m’ + m’2 + n2 – 2n.n’ + n’2 = (l2 + m2 + n2) + (l’2 + m’2 + n’2) – 2(ll’ + mm’ + nn’)

Tetapi (l2 + m2 + n2) = 1 dan (l’2 + m’2 + n’2) = 1 seperti yang dibuktikan sebelumnya. (PP’)2 = 2 – 2(ll’ + mm’ + nn’) (a)

Dengan aturan kosinus

Sudut Antara Dua Vektor Dengan aturan kosinus

(PP’)2 = OP2 + OP’2 – 2.OP.OP’.cos  = 1 + 1 – 2.1.1.cos  = 2 – 2 cos 

Dari (a) dan (b) didapatkan (PP’)2 = 2- 2(ll’ + mm’ + nn’) (PP’)2 = 2 – 2 cos  cos  = ll’ + mm’ + nn’

(b)

Sudut Antara Dua Vektor cos  = ll’ + mm’ + nn’

Jadi cukup menjumlahkan hasil kali kosinus arah yang bersesuaian dari kedua vektor yang diketahui. Jika [l,m,n] = [0,54, 0,83, -0,14] Dan [l’,m’,n’] = [0,25, 0,60, 0,76] Sudut antara kedua vektor adalah  = 58o13’ cos  = ll’

+ mm’

+ nn’

= (0,54)(0,25)

= (0,83)(0,60)

= (-0,14)(0,76)

= 0,1350

+ 0,4980

- 0,1064

= 0,5266  maka  = 58o13’

Sudut Antara Dua Vektor Cari sudut antara vektor-vektor p = 2i + 4j + 3k dan q = 4i - 3j + 2k

Dicoba untuk mencari kosinnus arah p. p = 𝑝 = 22 + 42 + 32 = 29 𝑙 =

𝑎 𝑝

=

2 29

𝑚=

𝑏 𝑝

=

[l’,m’,n’] =

2 3 4 , , 29 29 29

[l’,m’,n’] =

4 −3 2 , , 29 29 29

3 29

𝑛=

𝑐 𝑝

=

4 29

 dengan cara yang sama dicari kosinus arah q

Sudut Antara Dua Vektor Dengan cos  = ll’ + mm’ + nn’ dapat dicari sudut -nya

cos  = ll’ =(

+ mm’

2 4 )( ) 29 29

=

8 29

=

7 29

=( -

= 0,2414

 = 76o2’

9 29

3 −3 )( ) 29 29

+ nn’ = +

4 2 )( ) 29 29 8 29

Rasio Arah Jika 𝑂𝑃 = ai + bj + ck , telah diketahui bahwa 𝑂𝑃 = 𝑟 = 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 dan kosinus arah 𝑂𝑃 diberikan sebagai: 𝑎 𝑟

𝑏 𝑟

𝑙 = ,𝑚 = ,𝑛 =

𝑐 𝑟

Dapat dilihat bahwa komponen a, b, dan c masing-masing sebanding dengan kosinus arah l, m, n; dan komponen-komponen ini kadang disebut sebagai rasio arah dari vektor 𝑂𝑃