22:57:35
r r = −3iˆ + 2 ˆj + 5kˆ
Contoh: Contoh: Menggambarkan posisi partikel yang terletak dalam sumbu x :3 m dari sumbu koordinat,, dalam sumbu y: 2 m dari koordinat sumbu koordinat, koordinat, dan dalam sumbu z: 5 m dari sumbu koordinat. koordinat.
Koefisien x, y dan z merupakan lokasi parikel dalam koordinat kartesian relatif terhadap titik pusat koordinat.
r r = xiˆ + yˆj + zkˆ
Posisi partikel dalam koordinat kartesian diungkapkan sbb:
Posisi dan Perpindahan
Gerak Dalam 2D/3D
Fisika I
22:57:35
r r r ∆r = r2 − r1
r
atau ∆r = ( x2 − x1 )iˆ + ( y2 − y1 ) ˆj + ( z2 − z1 )kˆ
Jika partikel bergerak, maka vektor posisinya akan berubah misalkan dari r1 ke r2. Vektor perpindahan partikel diungkapkan sbb:
Posisi dan Perpindahan
Gerak Dalam 2D/3D
Fisika I
r
a. Dimanakah posisi mobil pada t = 1 s b. Gambarkan lintasan mobil dalam koordinat kartesian
y = 0,5t 2 − 9t + 30
x = −t 2 + 7t + 28
Sebuah mobil melintas di tempat parkir dengan perubahan posisi terhadap waktu sbb:
Sebuah partikel bergerak dari posisi: r1 = −3iˆ + 2 ˆj + 5kˆ r r Ke posisi: 2 = 9iˆ + 2 ˆj + 8kˆ Carilah vektor perpindahan partikel tersebut
Contoh
Gerak Dalam 2D/3D
22:57:35
Fisika I
22:57:35
r ∆xiˆ + ∆yˆj + ∆zkˆ vav = ∆t
Tentukan kecepatan rata-rata partikel tersebut
r Sebuah partikel bergerak dari posisi: r1 = −3iˆ + 2 ˆj + 5kˆ r Ke posisi: r2 = 9iˆ + 2 ˆj + 8kˆ dalam 2s.
Contoh
r r ∆r vav = ∆t
Jika partikel bergerak dengan perpindahan ∆r dalam selang waktu ∆t, maka kecepatan rata-ratanya adalah:
Kecepatan ratarata-rata dan Kecepatan sesaat
Gerak Dalam 2D/3D
Fisika I
r dx dy ˆ dz ˆ v = iˆ + j+ k dt dt dt
Berapakah kecepatan mobil pada t = 2 s
y = 0,5t 2 − 9t + 30
x = −t 2 + 7t + 28
Contoh Sebuah mobil melintas di tempat parkir dengan perubahan posisi terhadap waktu sbb:
r r dr v= dt
Kecepatan sesaat didefinisikan sebagai turunan pertama dari posisi terhadap waktu
Kecepatan ratarata-rata dan Kecepatan sesaat
Gerak Dalam 2D/3D
22:57:35
Fisika I
r ∆viˆ + ∆vˆj + ∆vkˆ aav = ∆t
r r dv a= dt
r dv x ˆ dv y ˆ dv z ˆ a= i+ j+ k dt dt dt
Percepatan sesaat didefinisikan sebagai turunan pertama dari kecepatan terhadap waktu
r r ∆v aav = ∆t
Percepatan rata-rata didefinisikan sebagai perubahan kecepatan dalam interval waktu tertentu
Percepatan rata rata--rata dan Percepatan sesaat
Gerak Dalam 2D/3D
22:57:35
Fisika I
22:57:35
(dalam m/s). Pada t = 0, partikel mengalami percepatan dengan nilai a = 3 m/s2 dan arah θ = 120° terhadap sumbu x positif. Berapakah kecepatan partikel pada t = 5s.
r Sebuah partikel sedang bergerak dengan kecepatan: v0 = −2iˆ + 4 ˆj
Berapakah percepatan mobil pada t = 2 s
y = 0,5t 2 − 9t + 30
x = −t 2 + 7t + 28
Contoh Sebuah mobil melintas di tempat parkir dengan perubahan posisi terhadap waktu sbb:
Gerak Dalam 2D/3D
Fisika I
22:57:35
a. Posisi partikel setiap saat b. Posisi partikel pada saat t = 2 detik c. Kecepatan ratarata-rata dalam selang waktu antara t=0 sampai t=3 detik d. Kecepatan sesaat pada t=2 detik e. Percepatan rata rata--rata dalam selang waktu antara t=0 sampai t=3 detik f. Percepatan sesaat pada t=2 detik
Sebuah partikel bergerak pada bidang xy dimana posisi dalam arah sumbu x dinyatakan dengan x(t) = t3 – 2t dan posisi dalam arah sumbu y dinyatakan dengan y(t) = 2t2 + 5 5,, (x dan y dalam meter dan t dalam detik). detik). Tentukanlah: Tentukanlah:
Latihan
Gerak Dalam 2D/3D
Fisika I
22:57:35
Dengan kedua asumsi tersebut, maka gerak peluru membentuk lintasan parabola simetris.
Untuk mempelajari gerakan peluru, biasanya diambil asumsi : • Percepatan gerak jatuh bebas konstan sepanjang gerakan. • Efek hambatan udara diabaikan
Contoh fenomena yang termasuk gerak 2D adalah gerak peluru dan gerak melingkar
Gerak Dalam 2D/3D
Fisika I
22:57:35
vy0
θ vx0
v0
x = x 0 + v 0 t + 1 at 2 2 = v x 0 t = (v 0 cos θ)t
Arah horisontal (x) :
v y 0 = v 0 sin θ
v x 0 = v 0 cos θ
• Pada titik awal (t = 0), posisi x0 = y0 = 0, kecepatan adalah v0
• Benda bergerak dengan percepatan ay = -g ((gerak gerak jatuh bebas ; y positif jika gerak keatas keatas)) dan ax = 0 (tidak (tidak ada percepatan horisontal). horisontal).
Bagaimana bentuk persamaan geraknya ?
Gerak Peluru
Fisika I
x (v 0 cos θ)
x x − 1 g 2 v 0 cos θ v 0 cos θ
2 g x = tan θ x − 2 2 2 v o cos θ
y = (v 0 sin θ )
Substitusi t ke dalam y, maka diperoleh :
x = (v 0 cos θ )t ⇒ t =
Dari arah gerak horizontal (x) :
y = y 0 + v 0 t + 1 at 2 2 = v y 0 t − 1 gt 2 = (v 0 sin θ)t − 1 gt 2 2 2
Arah vertikal (y) :
Gerak Peluru
2
y = ax +bx2 (pers. Parabola)
22:57:35
Fisika I
θ vx0
Titik tertinggi : y = yA = h
vy0
v0
vyA=0
h
tA =
g v y0 h = − g 2 g v
2 y0
v 2y 0 = 2g
2
g
v y0
0 = v y 0 − gt A
v yA = v y 0 − gt
y A = h = y 0 + v y 0 t − 1 gt 2A 2
vxA
Berapakah titik tertinggi yang bisa dicapai ??
Gerak Peluru
22:57:35
Fisika I
Titik terjauh diperoleh pada tembakan dengan sudut 45 45°°
x = v x 0 t = (v 0 cos θ)t
x = x0 + vx0t
Berapakah titik terjauh yang bisa dicapai ??
Gerak Peluru
22:57:35
Fisika I
22:57:35
Jika pada saat melempar ada angin yang berhembus secara horizontal searah dengan gerakan batu, batu, dan menyebabkan batu dipercepat dalam arah horizontal sebesar 0,5 m/s, maka tentukan seperti (a) dan (b)
Seseorang melemparkan batu dari atas gedung dengan sudut 30 30°° terhadap horizontal. Lemparan tersebut memberikan laju awal batu 20 m/s. Jika tinggi gedung 45 m, tentukan tentukan:: (a) waktu yang dibutuhkan batu untuk sampai ke tanah (b) kecepatan batu sesaat sebelum sampai ke tanah (c) ketinggian maksimum yang dicapai
Gerak Peluru
Fisika I
22:57:35
Peluru ditembakkan dengan kecepatan awal vo = (3 i + 4 j )m/s dari ketinggian 10 m. Tentukan : a. Posisi tinggi maksimum b. Lama peluru di udara c. Posisi saat peluru sampai tanah d. Kecepatan peluru saat sampai tanah
Sebuah bola golf dipukul sehingga memiliki kecepatan awal 150 m/s pada sudut 45o dengan horizontal. horizontal. Tentukan : a. Tinggi maksimum yang dapat dialami bola golf tersebut dari permukaan tanah b. Lama waktu bola berada di udara c. Jarak dari saat bola dipukul sampai kembali ke tanah
Latihan
Fisika I
22:57:35
r r (t ) = reˆr
]
[
r r0 (t ) = r cos θ 0iˆ + sin θ 0 ˆj
]
Konstanta ω menyatakan kecepatan sudut, θo menyatakan sudut awal, dan er menyatakan vektor satuan dari r(t). r menyatakan jari-jari lintasan yang besarnya konstan. Pada saat = 0, berlaku :
[
r r (t ) = r cos(ωt + θ 0 )iˆ + sin (ωt + θ 0 ) ˆj
Gerak melingkar adalah gerak pada bidang dengan lintasan berupa lingkaran. Posisi benda dari gerak pada bidang dapat dinyatakan dalam bentuk vektor :
Gerak Melingkar
Fisika I
xo = r cos θo yo = r sin θo yo
θo
r xo
22:57:35
Pada sistem koordinat polar posisi dari suatu titik dinyatakan oleh jarak dari titik tersebut terhadap titik pusat koordinat dan sudut yang dibentuk dengan sumbu x positif.
Untuk memudahkan perhitungan dalam mencari persamaan gerak rotasi, suatu posisi dapat dinyatakan dalam koordinat polar.
Dengan (xo, yo) adalah posisi awal. Arah putaran berlawanan arah jarum jam.
Berlaku :
Gerak Melingkar
Fisika I
yo
22:57:35
Untuk gerak melingkar, jarak r(t) besarnya konstan yang dinyatakan sebagai jari-jari lintasan r.
θo
r xo
Dengan r(t) menyatakan jarak objek terhadap titik pusat koordinat sebagai fungsi waktu dan vektor satuan er menyatakan arah dari vektor r(t) yang arahnya berubah terhadap waktu. er
r r (t ) = r (t )eˆr
Vektor posisi dalam koordinat polar dinyatakan dalam :
Gerak Melingkar
Fisika I
)
(
)
r r der ˆ ˆ = ω cos(ωt + 90°)i + sin(ωt + 90°) j = ωeθ dt
(
r der = ω − sin(ωt )iˆ + cos(ωt ) ˆj dt
Pada θ = 0, diperoleh: r er = cos(ωt )iˆ + sin (ωt ) ˆj
r r r dr (t ) der v (t ) = = r dt dt r Dengan er adalah : er = cos(ωt + θ 0 )iˆ + sin (ωt + θ 0 ) ˆj
Kecepatan dari gerak melingkar dinyatakan oleh :
Gerak Melingkar
22:57:35
Fisika I
yo θo
R
eθ
xo
er
atau:
22:57:35
r r v (t ) = ωreθ
Dengan demikian kecepatan dalam gerak melingkar sama dengan :
Vektor satuan eθ menyatakan arah tegak lurus dengan vektor satuan er seperti pada gambar.
r eθ = cos(ωt + 90°)iˆ + sin(ωt + 90°) ˆj r eθ = − sin(ωt )iˆ + cos(ωt ) ˆj
Gerak Melingkar r er = cos(ωt + θ 0 )iˆ + sin (ωt + θ 0 ) ˆj
Fisika I
22:57:35
o
θo
r
xo
r r dv (t ) dωeˆθ a (t ) = = r dt dt
Percepatan dari gerak melingkar dinyatakan oleh :
Dengan demikian besar kecepatan v = ωr dengan arah tegak lurus vektor posisi. Arah dari kecepatan merupakan garis singgung dari lintasan lingkaran. Vektor satuan eθ menyatakan arah tegak lurus dengan vektor satuan er eθ er seperti pada gambar samping. y
Gerak Melingkar
Fisika I
22:57:35
( (
)
)
Dengan demikian besar percepatan a = ω2r dengan arah berlawanan vektor posisi (-er).
r r dv (t ) deˆθ a (t ) = = ωr dt dt
r deθ d = − sin(ωt )iˆ + cos(ωt ) ˆj dt dt = −ω cos(ωt )iˆ + sin(ωt ) ˆj = - ωeˆ r
Jika ω konstan maka percepatan :
dθ (t ) d = (ωt + θ 0 ) = ω dt dt
Gerak melingkar beraturan terjadi jika ω yang menyatakan kecepatan sudut konstan. Kecepatan sudut adalah turunan sudut terhadap waktu.
Gerak Melingkar
Fisika I
22:57:35
dω + reˆθ dt
Percepatan yang searah dengan arah kecepatan (eθ) disebut percepatan tangensial.
Dengan α menyatakan percepatan sudut yang merupakan turunan pertama dari kecepatan sudut terhadap waktu.
= - ω 2 reˆr + rαeˆθ
r r dv (t ) deˆ a (t ) = = ωr θ dt dt
Jika ω tidak konstan, maka percepatan menjadi :
Percepatan yang demikian disebut percepatan sentripetal, yang dicirikan arahnya menuju titik pusat.
Gerak Melingkar
Fisika I
22:57:35
Sebuah roda berotasi murni mengelilingi porosnya. Sebuah titik P yang berjarak 0,2 m dari sumbu rotasi menempuh sudut (dalam radian) sebagai berikut : θ = (πt3)/3 – (πt2)/2 − 2πt (t dalam sekon) Tentukan : a. Kecepatan dan percepatan sudut titik P pada t = 2 s b. Laju titik P pada t = 2 s c. Percepatan tangensial dan sentripetal titik P pada t = 2 s
Contoh
Gerak Melingkar
Fisika I
22:57:35
C
A
B
A dan C benar, benar, karena itu kecepatan bersifat relatif
• C : B lebih cepat dari A
• A : B bergerak dengan kecepatan normal
• Kecepatan suatu benda bergerak tidak absolut, absolut, bergantung pada si pengamat.. pengamat • Contoh : Dua orang (A dan B) yang menaiki eskalator. eskalator. B naik eskalator sambil berjalan dengan kecepatan konstan. konstan. Ada satu orang lagi (C) sebagai pengamat yang diam.
Gerak Relatif
Fisika I
Contoh lain
Gerak Relatif
22:57:35
Fisika I
•
•
•
22:57:35
r v AB = r v BA =
kecepatan B relatif terhadap A
kecepatan A relatif terhadap B
Jika dua buah benda bergerak segaris (searah atau berlawanan), berlawanan), maka kecepatan relatif hanya tinggal mengurangi atau menjumlahkan. menjumlahkan. Contoh : 1. sebuah mobil A dengan kecepatan 90 km/jam mendahului mobil B yang bergerak dengan kecepatan 60 km/jam, maka mobil A memiliki kecepatan relatif terhadap mobil B sebesar 30 km/jam. 2. Sama dengan no. 1, namun kedua mobil bergerak berlawanan arah, arah, maka mobil A memiliki kecepatan relatif terhadap mobil B sebesar 150 km/jam. Kecepatan relatif ditulis memberikan indeks indeks..
Bagaimana menghitung kecepatan relatif ?
Gerak Relatif
Fisika I
22:57:35
Sebuah perahu bergerak ke utara (N) menyeberangi sungai dengan kecepatan 10 km/jam relatif terhadap air air.. Air bergerak ke arah timur dengan kecepatan 5 km/jam relatif terhadap bumi. bumi. Berapakah kecepatan relatif perahu terhadap pengamat yang berdiri di pelabuhan ?
Gerak Relatif
Fisika I
22:57:35
3. Sebuah objek pada suatu posisi tertentu memiliki percepatan a = 3j 3j m/s2 dan kecepatan awal vi = 500i 500i m/s. (a) Tentukan vektor posisi dan kecepatan sebagai fungsi waktu. waktu. (b) Tentukan koordinat posisi dan laju pada t = 2 s
2. Untuk merobohkan suatu dinding bukit, bukit, sebuah granat dilemparkan dengan kecepatan awal 300 m/s dan sudut 55 55°° terhadap horizontal. Granat meledak pada sisi bukit 42 detik setelah dilemparkan. dilemparkan. Pada posisi x dan y berapa granat tersebut meledak, meledak, relatif terhadap titik asal. asal.
setiap saat
Tentukan percepatan benda tersebut dan kecepatan serta posisi benda pada
dan pada t=3 benda bergerak dengan kecepatan: kecepatan: 9iˆ + 7 ˆj m/s
bidang xy. xy. Pada t=0 kecepatannya adalah: adalah: 3 iˆ − 2 ˆj m/s,
1. Sebuah benda bergerak dari posisi 0 dengan percepatan konstan pada
Tugas
Fisika I
