Bab 2. Persamaan Parametrik dan Sistim Koordinat Kutub
Persamaan Parametrik Kurva-kurva yang berada dalam bidang datar dapat representasikan dalam bentuk persamaan parametrik. Dalam persamaan ini, setiap titik-titik pada kurva x dan y merupakan fungsi dari t. Variabel t dinamakan parameter. Secara singkat ditulis: x = x (t) y = y (t) Membuat Sketsa Kurva Persamaan parametrik 1. Gambarlah kurva persamaan parametrik: x = t, y = t2 untuk -4 ≤ t ≤ 4 Jawab a. Pertama-tama kita buat tabel yang terdiri dari kolom t, x dan y. Kemudian plot nilai-nilai x terhadap y, untuk mempermudah dapat menggunakan perangkat lunak. Tabel t, x dan y
Kurva antara x dan y
t
x=t
y=t
-4
-4
16
-3
-3
9
-2
-2
4
-1
-1
1
0
0
0
1
1
1
2
2
4
3
3
9
4
4
16
2
Kurva yang dihasilkan berupa parabola. 2. Gambarlah kurva persamaan parametrik : x = 2cos t dan y = 2 sin t untuk 0 ≤ t ≤ 2 Pertama-tama kita buat tabel yang terdiri dari kolom t, x dan y. Hasilnya ditunjukkkan pada tabel dibawah ini
1
Tabel nilai t, x dan y t
x
y
t
x
0.00
3.0000
0.0000
3.36
-2.9287 -0.6500
0.12
2.9784
0.3591
3.48
-2.8299 -0.9960
0.24
2.9140
0.7131
3.60
-2.6903 -1.3276
0.36
2.8077
1.0568
3.72
-2.5120 -1.6401
0.48
2.6610
1.3853
3.84
-2.2976 -1.9290
0.60
2.4760
1.6939
3.96
-2.0502 -2.1902
0.72
2.2554
1.9782
4.08
-1.7732 -2.4199
0.84
2.0024
2.2339
4.20
-1.4708 -2.6147
0.96
1.7206
2.4576
4.32
-1.1472 -2.7720
1.08
1.4140
2.6459
4.44
-0.8071 -2.8894
1.20
1.0871
2.7961
4.56
-0.4554 -2.9652
1.32
0.7445
2.9061
4.68
-0.0971 -2.9984
1.44
0.3913
2.9744
4.80
0.2625
-2.9885
1.56
0.0324
2.9998
4.92
0.6184
-2.9356
1.68
-0.3270
2.9821
5.04
0.9653
-2.8404
1.80
-0.6816
2.9215
5.16
1.2984
-2.7045
1.92
-1.0264
2.8189
5.28
1.6129
-2.5296
2.04
-1.3565
2.6758
5.40
1.9041
-2.3183
2.16
-1.6671
2.4942
5.52
2.1679
-2.0737
2.28
-1.9537
2.2766
5.64
2.4006
-1.7992
2.40
-2.2122
2.0264
5.76
2.5987
-1.4989
2.52
-2.4389
1.7470
5.88
2.7594
-1.1771
2.64
-2.6305
1.4425
6.00
2.8805
-0.8382
2.76
-2.7842
1.1172
6.12
2.9601
-0.4874
2.88
-2.8979
0.7759
6.24
2.9972
-0.1295
3.00
-2.9700
0.4234
6.28
3.0000
-0.0096
3.12
-2.9993
0.0648
6.28
3.0000
0.0024
3.24
-2.9855 -0.2947
2
y
Dalam menyajikan data-data nilai t, buatlah selisih antara nilai t cukup kecil supaya diperoleh kurva yang smooth. Makin kecil, kurva makin smooth.
Kurva yang dihasilkan
Kurva yang dihasilkan berbentuk lingkaran. 3. Gambarlah kurva persamaan parametrik : x = cos t dan y = 2 sin 2t untuk 0 ≤ t ≤ 2 t 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00 3.20 3.40
x 0.000000 0.198669 0.389418 0.564642 0.717356 0.841471 0.932039 0.98545 0.999574 0.973848 0.909297 0.808496 0.675463 0.515501 0.334988 0.14112 -0.05837 -0.25554
y 0.000000 0.389418 0.717356 0.932039 0.999574 0.909297 0.675463 0.334988 -0.05837 -0.44252 -0.7568 -0.9516 -0.99616 -0.88345 -0.63127 -0.27942 0.116549 0.494113
t 3.60 3.80 4.00 4.20 4.40 4.60 4.80 5.00 5.20 5.40 5.60 5.80 6.00 6.20 6.40
3
x -0.44252 -0.61186 -0.7568 -0.87158 -0.9516 -0.99369 -0.99616 -0.95892 -0.88345 -0.77276 -0.63127 -0.4646 -0.27942 -0.08309 0.116549
y 0.793668 0.96792 0.989358 0.854599 0.584917 0.22289 -0.17433 -0.54402 -0.82783 -0.98094 -0.97918 -0.82283 -0.53657 -0.1656 0.23151
Kurva yang dihasilkan:
y 1.5 1.0 0.5
X
0.0 -1.5
-1.0
-0.5
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
-1.0 -1.5
Mengubah Persamaan Parametrik Menjadi Persamaan Kartesian 1. Ubahlah persamaan parametrik ke dalam bentuk kartesian a. x = t - 1, y = t2 b. x = 2cos t dan y = 2 sin t Jawab 1. a. persamaan parametrik : x=t–1 t=x+1 y = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1
y = t2
persamaan kartesian :
y = x2 + 2x + 1
Ini adalah persamaan kuadrat, kurvanya berupa parabola b. persamaan parametrik : x = 2cos t dan y = 2 sin t
cos t
x 2
sin t
y 2
persamaan identitas: sin2t + cos2t = 1 2
2
y x 1 2 2 x2 y 2 4 Ini adalah persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 2
4
Mengubah Persamaan Kartesian Menjadi Persamaan Parametrik 1. Tentukan persamaan parametrik dari persamaan kartesian xy = 9 Jawab Misal x 3t
xy 9 3ty 9 y
3 t
Jadi persamaan parametrik: x 3t , y
3 t
Catatan: bisa saja satu bentuk persamaan kartesian memiliki bentuk parametrik lebih dari satu. Coba pikirkan, kenapa? 2. Tentukan persamaan parametrik dari persamaan kartesian y 6 x 1 x 2 Jawab Misal x = sin
y 6sin 1 sin 2
y 6sin cos y 3sin 2 Jadi persamaan parametrik: x = sin, y = 3sin2 Atau Misal x = cos
y 6cos 1 cos2
y 6cos sin y 3sin 2 Jadi persamaan parametrik: x = cos, y = 3sin2 3. Tentukan persamaan parametrik dari persamaan kartesian 9 x 2 16 y 2 144! 5
Jawab:
9 x2 16 y 2 144 x2 y 2 1 Bandingkan dengan cos2 + sin2 = 1 16 9 x2 cos 2 16
x 4cos
y2 sin 2 9
y 3sin
Jadi persamaan parametrik: x = 4cos, y = 3sin Latihan 1. Gambarkan sketsa grafik persamaan parametrik berikut ini a. x = 2t, y = t + 4, -2 ≤ t ≤ 3 b. x = 3t – 1, y = 3t2 + 2, -4 ≤ t ≤ 4 c. x = 3t, y = t2-3 untuk-3 ≤ t ≤ 3 d. x = 3t2, y = t3 untuk-3 ≤ t ≤ 3 2 e. x t 4 , y 1 2 t 3 , untuk-3 ≤ t ≤ 3 3 f. x t 2t 4 , y t 1 , untuk-2 ≤ t ≤ 2
2 g. x t , y
1 untuk-3 ≤ t ≤ 3 t ,
h. x 4sin , y 4cos , untuk 0 ≤ ≤ 2 i. x 5cos , y 3sin , untuk 0 ≤ ≤ 2 j. x sec , y tan , untuk-3 ≤ ≤ 3 k. x = cost - 2cos2t,
y = sint - 2cost sint, untuk -0 ≤ t ≤ 2
l. Persamaan Lemniscate Bernoulli
6
Untuk 0 ≤ t ≤ 2 m. x = 31cost - 7cos 31/7t, y = 17sin t – 7sin31/7t, untuk 0 ≤ t ≤ 14 n. x = 17cost + 7cos17/7t, y = 17sin t – 7sin17/7t, untuk 0 ≤ t ≤ 14 o. x = cost + 1/2cos7t + 1/3sin17t, y = sin t + 1/2 sin 7t + 1/3cos17t, untuk 0 ≤ t ≤ 2
2. Tentukanlah bentuk kartesian dari persamaan parametrik berikut ini a. x = t + 4, y = 1-2t b. x = t + 1, y = t2 - 2
3 y 4t t,
c. x
d. x = t2, y = t3 e. x = t2-1, y = t3 + 2 f. x = t2, y g. x
2 t
1 t 1 t y , t t
h. x = 3cos, y = 4sin i. x = sin, y = cos2 j. x = 3cos, y = 5cos2 k. x = 3sec, y = 3tan l. x
1 t 2t y , 1 t 1 t
3. Tentukan persamaan parametrik dari persamaan kartesian berikut ini a. y x 4 x 2 , misal x= 2cos 7
b. y
x 1 x
2
2 , gunakan 1 + tan2 = sec
3 1 x2 c. y , gunakan x = sin atau x = 1/t x 4., Sederhanakan x2 y 2 6 x 4 y 12 0 kedalam bentuk ( x )2 ( y )2 1 kemudian ubah kedalam bentuk persamaan parametrik 5. Sederhanakan 9 x2 4 y 2 18x 16 y 43 0 kedalam bentuk
( x )2 ( y )2 1 a2 b2
kemudian ubah kedalam bentuk persamaan parametrik 6. Dengan mensubtitusi y = tx, tunjukkan bahwa persamaan kartesian x3 y3 3xy dapat dikonversi menjadi persamaan parametrik x
3t 2 3t y 1 t3 1 t ,
7. Ambil contoh kasus gerak parabola seperti di ilustrasikan, gerak ini dapat diuraikan menjadi dua komponen yaitu dalam arah x/horizontal dan dalam arah y/vertikal.
y vo
x
Berdasarkan konsep-konsep fisika, tentukan persamaan parametrik untuk menentukankedudukan x dan y.
8
SISTIM KOORDINAT KUTUB Dalam bagian ini, kita akan mempelajari koordinat kutub dan hubungannya dengan koordinat kartesian. Koordinat polar menunjukkan posisi relatif suatu titik terhadap sumbu polar dan titik kutub O (0,0). Titik pada koordinat kutub dinyatakan jari-jari dan sudut.
Koordinat kutub :
P (r, )
P (r, ) r
r : jarak dari O ke P (arah dari O menuju P)
O
: sudut antara sumbu x dan garis OP
x
Dalam sistim koordinat polar titik asal O dinamakan kutub (pole) dan sumbu x dinamakan sumbu kutub (polar axis).
Setiap titik pada koordinat kartesius diperoleh dari perpotongan antara x dan y, sedangkan titik pada koordinat polar merupakan titik potong antara jari-jari lingkaran yang berpusat pada titik kutub dan garis arah sudut.
Sistim Koordinat Kartesian
Sistim Koordinat Kutub
9
Koordinat Kutub Sekarang kita belajar menyatakan posisi suatu titik dalam koordinat polar. Perhatikanlah beberapa contoh titik-titik dibawah ini y 3 B 3/4 C
D
/4
2
A
1 -3
x
-2
-1
2
1
3
-1
E
-2 5/4
F 7/4
-3 Dalam gambar diatas ada dua lingkaran yang kecil berjari-jari 2 dan yang besar berjari-jari 3. Dan juga terdapat dua garis lurus yang menunjukkan sudut diukur dari sumbu polar. Titik A terdapat pada lingkaran kecil (r=2) dengan sudut /4 sehingga dapat dinyatakan A (2, /4) Titik B terdapat pada lingkaran besar (r=3) dengan sudut /2 sehingga dapat dinyatakan B (3, /2). Coba lanjutkan untuk titik C, D, E dan F sebagai latihan.
Konversi koordinat kutub ke koordinat kartesius y Kartesius ke Kutub P (r, )
y r O
x
x
10
Kutub ke Kartesius
r2 = x2 + y2
x = r cos
= tan-1 (y/x)
y = r sin
Contoh: 1. Ubahlah titik-titik dibawah ini ke bentuk kutub a. (-3,-4) b. (5,- 7) 2. Ubahlah titik-titik dibawah ini ke bentuk kartesius a. (2, 1/3) b. (-3, 4/3) Jawab a. Dari titik (-3, -4) diperoleh x = -3 dan y = -4 r2 = x2 + y2 = (-3)2 + (-4)2 = 25 r=5 = tan-1(4/3) = 233o Kartesius: (-3, -4), kutub: (5, 233o)
b. Dari titik (5, -7) diperoleh x = -3 dan y = -4 r2 = x2 + y2 = (5)2 + (-7)2 = 25+ 49 = 71 r =
71
= tan-1(-7/5) = 305,54o Kartesius: (5, -7), kutub: ( 71 , 305,54o)
2.
a. Dari titik (2, 1/3) diperoleh r = 2 dan = 1/3 x = r cos = 2 cos1/3 = 2 1/2 =1 11
y = r sin = 2 sin1/3 = 2 1/2 =
3
3
Kutub (2, 1/3), kartesius: (1,
3)
b. Dari titik (-3, 4/3) diperoleh r = -2 dan = 4/3 x = r cos = -3 cos 4/3 = -3 (-1/2) = 3/2 y = r sin = 2 sin 4/3 = -3 (-1/2 3 ) = 3/2 3 Kutub (-3, 4/3), kartesius: (3/2, 3/2 3 )
Dalam sistim koordinat kartesius, setiap titik dinyatakan oleh x dan y secara spesifik artinya titik berbeda, maka x dan y nya pun berbeda. Lain halnya dalam sistim koordinat kutub karena r punya arah dan nilai punya acuan arah putar dan bersifat periodik sebesar 2 maka untuk titik yang sama dapat dinyatkan oleh r dan yang berbeda-beda dengan jumlah representasi tak berhingga. y
Perhatikanlah contoh berikut
A
2 1 -3
-2
-1
1 -1 -2
12
/4 2
x 3
Dalam sistim kartesius: A (2, 2) Dalam sistim kutub: A (2 2 , /4), A (2 2 , /4 + 2), A (2 2 , /4 + 4),… A (2 2 , /4 + 2n) Boleh juga A (2 2 , -7/4), A (2 2 , -7/4+2), A (2 2 , -7/4+4), …A (2 2 , -7/4+ 2n) Boleh juga A (-2 2 , 5/4), A (-2 2 , 5/4+2), A (-2 2 , 5/4+4), … A (-2 2 , 5/4+ n2) Dengan n = 1, 2, 3,…
Mengkonversi persamaan kartesian ke kutub
1. Ubahlah persamaan berikut ke kutub y = 3x- 8 jawab ingat: x = r cos dan y = r sin y = 3x- 8 r sin = 3r cos - 8 r sin - 3r cos = - 8 r (sin - 3 cos) = - 8 r
8 3cos sin
2. Ubahlah persamaan berikut ke kutub x2+ (y - 3)2 = 9 jawab x2+ (y - 3)2 = 9 x2 + y2 - 6y + 9 = 9 x2 + y2- 6y = 0 r2 – 6 r sin = 0
13
r(r - 6 sin ) = 0 r - 6 sin = 0 r = 6 sin
Mengkonversi persamaan kutub ke kartesian 3. Ubahlah persamaan berikut ke kartesian r cos = -4 jawab r cos = -4 x = -4
4. Ubahlah persamaan berikut ke kartesian r2 = 4r cos Jawab r2 = 4r cos x2 + y2 = 4x x2 -4x + y2 = 0 x2 -4x + 4 + y2 = 4 (x - 2)2 + y2 = 4
14
Membuat grafik pada sistim koordinat kutub Buatlah grafik himpunan titik-titik koordinat polar dengan syarat-syarat berikut: a. r = 2 b. -2 ≤ r ≤ 3 c. r ≤ 0, = 1/4 d. 1/4 ≤ ≤ 1/6 Jawab Solusinya ditunjukkan pada gambar dibawah ini y
y
a.
b.
-3
-2
-3
2
2
1
1 x
-1
1
2
-3
3
-2
x -1
1
-1
-1
-2
-2
2
3
-3 y
y c.
d. /4
2
/6 1
1 -3
-2
x -1
/4
2
1
2
-3
3
-2
x -1
1
-1
-1
-2
-2
2
Latihan 1. Manakah titik-titik koordinat polar berikut ini yang menunjukkan titik yang sama 15
3
a. (3, 0) b. (-3, 0) c. (2, 2/3) d. (2, 7/3) e. (-3,) f. (2, /3) g. (-3, 2) h. (-2, -/3)
2. Plot titik-titik koordinat polar berikut ini a. (1, /6) b. (-1, /6) c. (2, /6) d. (3, /6) e. (2, /4) f. (2, -/4) g. (3, 5/6) h. (-3, 10/4)
3. Konversi koordinat kartesius dibawah ini menjadi koordinat polar a. (3, 4) b. (-2,
3)
c. (1, -2) d. (10, - 2 ) e. (-5, 7) f. (-6, -4 3 ) g. (-8, 6) h. (12, -5) 4. Konversi koordinat polar dibawah ini menjadi koordinat kartesius a. ( 2 , /4) 16
b. (0, /2) c. (-3, 2/3) d. (- 7 , 5/6) e. ( 2 3 , -/4) f. ( 2 , /4) g. (0, /2) h. (-3, 2/3)
5. Buatlah grafik dari himpunan titik-titik koordinat polar yang memenuhi syarat berikut ini a. r = 4 b. = 2/3, r ≤ -2 c. = /3, -1 ≤ r ≤ 3 d. r = 2, 0 ≤ ≤ e. 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ ≤ /2 f. -3 ≤ r ≤ 2, = /4 g. r ≤ 0, = /4 h. 2/3 ≤ r ≤ 5/6
6. Konversi persamaan polar berikut ini menjadi persamaan kartesius a. r cos = 4 b. r sin = -5 c. r cos + r sin = 1 d. r = cot csc e. r = 2cos + 2 sin f. r2 + r2cos sin = 1 g. r2 sin 2 = 2 h. r = 2cos - sin
7. Konversi persamaan kartesius berikut ini menjadi persamaan polar 17
a. x = 7 b. x - y = 3 c. y = 5 d. x y= 2 e. x2 + y2 = 5 f. x2 - y2 = 1 g. x2 + xy + y2 = 1
18
