FI2104 Mekanika B Sem. 1 2017-2018
Dosen: Agus Suroso
Pekan #1
Kinematika Mekanika membahas gerakan benda-benda fisis. Kita akan memulai pembahasan dengan kinematika benda titik. Kinematika yaitu topik yang membahas deskripsi gerak benda-benda tanpa memperhatikan penyebab gerak. Sedangkan benda titik adalah benda-benda yang ukuran, bentuk, dan struktur internalnya diabaikan.
1
Kinematika benda titik: posisi, kecepatan, percepatan
Kita mulai dengan meninjau gerak benda titik dalam satu dimensi. Andaikan posisi benda titik untuk tiap waktu diketahui dan dinyatakan dengan variabel x sebagai fungsi waktu x = x(t),
(1)
maka kecepatan benda tersebut diperoleh dengan mengukur perubahan posisi benda tiap satuan waktu, atau secara infinitesimal dx v= . (2) dt Perubahan kecepatan benda tiap satuan waktu kita sebut sebagai percepatan, a=
2
dv . dt
(3)
Kinematika dalam bidang
Untuk mendeskripsikan gerak benda dalam bidang, kita dapat menggunakan sistem koordinat Kartesis atau polar (tentu saja kita bisa menggunakan sistem koordinat lain juga). Terlebih dahulu kita bahas hubungan antara kedua sistem koordinat tersebut. Tinjau suatu benda yang berada di titik P . Posisi benda tersebut dalam koordinat Kartesis adalah (xp , yp ) dan dalam koordinat polar (ρ, φ). Vektor basis koordinat Kartesis kita tuliskan ˆ sebagai {ˆ x, yˆ} dan vektor basis polar kita tuliskan sebagai {ˆ ρ, φ}. y
y^
φ^
^ ρ
φ^ ^ ρ
P
⃗ r φ
φ
x
O
y^
yp
xp
φ P
x^
x^
Gambar 1: Kiri : besaran-besaran dalam koordinat polar. Kanan: uraian vektor-vektor basis koordinat polar ke komponen-komponennya (warna hijau).
update: 28 Agustus 2017
halaman 1
FI2104 Mekanika B Sem. 1 2017-2018
Dosen: Agus Suroso
Vektor posisi titik P dalam koordinat Kartesis adalah ~rp = xp x ˆ + yp yˆ,
(4)
sedangkan dalam koordinat polar kita tuliskan ~rp = ρˆ ρ.
(5)
Berdasarkan Gambar 1, dapat kita tuliskan xp = ρ cos φ,
yp = ρ sin φ,
ρ=
q x2p + yp2 .
(6)
Vektor-vektor basis dari koordinat polar berubah sesuai arah perubahan nilai r dan φ. Vektor ˆ dapat diuraikan ke arah {ˆ basis koordinat polar {ˆ ρ, φ} x, yˆ} sebagai berikut, ρˆ = cos φ x ˆ + sin φ yˆ, φˆ = − sin φ x ˆ + cos φ yˆ.
(7) (8)
Terlihat bahwa besar komponen masing-masing vektor basis koordinat polar pada sumbu Karˆ terhadap φ adalah tesis {ˆ x, yˆ} bergantung pada nilai φ. Perubahan vektor basis {ˆ ρ, φ} dˆ ρ ˆ = − sin φ x ˆ + cos φ yˆ = φ, dφ dφˆ = − cos φ x ˆ − sin φ yˆ = −ˆ ρ. dφ
(9) (10)
Sekarang, kita telah siap mendeskripsikan gerak benda pada bidang menggunakan koordinat Kartesis dan polar. Dalam koordinat Kartesis, posisi suatu benda dinyatakan sebagai ~r(t) = x x ˆ + y yˆ.
(11)
Kecepetan benda diperoleh dengan menurunkan posisi terhadap waktu, ~v =
d~r = vx x ˆ + vy yˆ, dt
(12)
dengan dx dy , vy = . dt dt Dan percepatan diperoleh dengan menurunkan kecepatan terhadap waktu, vx =
~a =
d2~r d~v = 2 = ax x ˆ + ay yˆ, dt dt
(13)
(14)
dengan dvx d2 x = 2, dt dt Dalam koordinat polar, posisi benda adalah ax =
ay =
dvy d2 y = 2. dt dt
~r = ρˆ ρ.
(15)
(16)
Kecepatan benda adalah ~v =
d~r dρ dˆ ρ dφ ˆ = ρˆ + ρ = ρˆ ˙ ρ + ρφ˙ φ. dt dt dφ dt
(17)
ˆ
dˆ ρ dφ Kita telah menggunakan aturan rantai, ddtφ = dφ dt , menerapkan persamaan (9), serta menggunakan notasi titik di atas (over dot) yang menyatakan turunan terhadap waktu. Kita mempeˆ masing-masing roleh komponen kecepatan benda pada arah ρˆ dan φ,
vr = ρ, ˙ update: 28 Agustus 2017
˙ vφ = ρφ.
(18) halaman 2
FI2104 Mekanika B Sem. 1 2017-2018
Dosen: Agus Suroso
Lebih lanjut, kita dapatkan percepatan benda ~a =
d~v dρ˙ dˆ ρ dφ dρ ˙ ˆ dφ˙ φˆ dφ = ρˆ + ρ˙ + φφ + ρ φˆ + ρφ˙ dt dt dφ dt dt dt dφ dt 2 ˆ = ρ¨ − ρφ˙ ρˆ + ρφ¨ + 2ρ˙ φ˙ φ.
(19)
ˆ Kita dapat mengidentifikasi perepatan benda arah radial (searah ρˆ) dan tangensial (arah φ), aρ = ρ¨ − ρφ˙ 2 ,
˙ aφ = ρφ¨ + 2ρ˙ φ.
(20)
Suku ρφ˙ 2 = vφ2 /ρ disebut sebagai percepatan sentripetal. Pada kondisi ρ¨ = ρ˙ = 0 maka ρ konstan yang berarti benda bergerak dalam lintasan lingkaran. Suku 2ρ˙ φ˙ sering disebut sebagai percepatan koriolis.
3
Kinematika dalam ruang tiga dimensi
Kita akan membahas kinematika dalam ruang tiga dimensi ini menggunakan koordinat Kartesis, silinder, dan bola. Dalam koordinat Kartesis, posisi benda tiap waktu kita tuliskan sebagai ~r(t) = x x ˆ + y yˆ + z zˆ,
(21)
dengan x, y, dan z adalah fungsi waktu. Kecepatan benda adalah ~v =
d~r = vx x ˆ + vy yˆ + vz zˆ, dt
(22)
dengan vx =
dx , dt
vy =
dy , dt
vz =
dz . dt
(23)
Serta percepatan benda ~a =
d~v = ax x ˆ + ay yˆ + az zˆ, dt
(24)
dengan d2 y d2 z d2 x , a = , a = . (25) y z dt2 dt2 dt2 Koordinat silinder tidak lain merupakan koordinat polar (ρ, φ) yang ditambah dengan sumbu vertikal z. Hubungan antara vektor-vektor basis pada koordinat silinder dengan koordinat Kartesis adalah ax =
ρˆ = cos φ x ˆ + sin φ yˆ, ˆ φ = − sin φ x ˆ + cos φ yˆ,
(26)
zˆ = zˆ.
(28)
(27)
Seperti pada koordinat polar, pada koordinat silinder juga berlaku dρ ˆ = φ, dφ
dφˆ = −ˆ ρ. dφ
(29)
Posisi suatu benda dalam koordinat silinder dapat dituliskan dalam bentuk ~r = ρˆ ρ + z zˆ.
(30)
Perhatikan bahwa posisi dalam koordinat silinder sama dengan posisi pada bidang xy dalam koordinat silinder ditambah dengan posisi arah sumbu-z. Sehingga, kecepatan dan percepatan
update: 28 Agustus 2017
halaman 3
FI2104 Mekanika B Sem. 1 2017-2018
Dosen: Agus Suroso
z z^
⃗ r P z^
^ ϕ ^ ρ
z y^
x^
x
ϕ
y
y
x
Gambar 2: Koordinat silinder.
benda masing-masing akan sama dengan kecepatan benda pada bidang polar ditambah kecepatan arah sumbu-z, d~r d (ρˆ ρ) dz = + zˆ = ρˆ ˙ ρ + ρφ˙ φˆ + z˙ zˆ, dt dt dt ~v ~a = = ρ¨ − ρφ˙ 2 ρˆ + ρφ¨ + 2ρ˙ φ˙ φˆ + z¨zˆ. dt ~v =
(31) (32)
Koordinat bola pada dasarnya sama dengan koordinat silinder, namun dengan mengambil parameter θ yang merupakan sudut yang dibentuk oleh vektor posisi ~r dengan sumbu-z. Posisi suatu titik dalam ruang kemudian dinyatakan dalam koordinat (r, θ, φ). Nilai dari komponen ρ dan z pada koordinat polar selanjutnya dinyatakan dalam r dan θ, ρ = r sin θ,
z = r cos θ.
(33)
Sedangkan nilai (x, y, z) koordinat Kartesis terhubung dengan (r, θ, φ) melalui x = r sin θ cos φ,
y = r sin θ sin φ,
z = r cos θ.
(34)
n o ˆ φˆ adalah searah dengan arah perubahan positif dari masingArah vektor-vektor basis rˆ, θ, n o ˆ φˆ dapat diuraikan dalam arah vektor-vektor basis masing r, θ, dan φ. Vektor-vektor basis rˆ, θ, koordinat silinder sebagai berikut, rˆ = cos θˆ z + sin θρˆ, θˆ = − sin θz + cos θρˆ,
(35)
ˆ φˆ = φ.
(37)
(36)
Selanjutnya, dengan memanfaatkan persamaan (7) dan (8), diperoleh uraian vektor-vektor basis koordinat bola dalam arah vektor-vektor basis koordinat Kartesis sebagai berikut,
update: 28 Agustus 2017
rˆ = sin θ cos φˆ x + sin θ sin φˆ y + cos θˆ z, θˆ = cos θ cos φˆ x + cos θ sin φˆ y + sin θˆ z,
(38)
ˆ φˆ = − sin φˆ x + cos φφ.
(40)
(39)
halaman 4
FI2104 Mekanika B Sem. 1 2017-2018
Dosen: Agus Suroso
z r^
⃗ r P z^
x^
x
ϕ
^ θ
z
θ y^
^ ϕ
y
y
x
Gambar 3: Koordinat bola.
Tugas #1. Buktikan hubungan-hubungan berikut: dˆ r ˆ = θ, dθ dθˆ = −ˆ r, dθ dφˆ = 0, dθ
dˆ r ˆ = sin θ φ, dφ dθˆ ˆ = cos θ φ, dφ dφˆ = − sin θ rˆ + cos θ θˆ . dφ
(41)
Kita sudah siap untuk menuliskan posisi, kecepatan, dan percepatan benda dalam koordinat bola. Posisi: ~r = rˆ r. (42) Kecepatan, ~v =
d~r dr dˆ r = rˆ + r dt dt dt dˆ r dθ dˆ r dφ = rˆ ˙r + r + dθ dt dφ dt ˆ = rˆ ˙ r + rθ˙ θˆ + rφ˙ sin θ φ.
(43)
Pada baris kedua dari persamaan di atas, aturan rantai diterapkan dengan melibatkan variabel θ dan φ karena vektor basis rˆ adalah fungsi dari kedua variabel tersebut. Selanjutnya, dengan menurunkan kecepatan terhadap waktu, akan diperoleh percepatan ˆ ~a = ar rˆ + aθ θˆ + aφ φ,
(44)
dengan ar = r¨ − rθ˙2 − rφ˙ 2 sin2 θ, aθ = rθ¨ + 2r˙ θ˙ − rφ˙ 2 sin θ cos θ,
(46)
aφ = rφ¨ sin θ + 2r˙ φ˙ sin θ + 2rθ˙φ˙ cos θ.
(47)
(45)
Tugas #2. Dapatkan persamaan (44) hingga (47) dengan menurunkan persamaan (43) terhadap waktu.
update: 28 Agustus 2017
halaman 5
