BIOMECHANIKA
KINEMATIKA
MECHANIKA Mechanika je nejstarším oborem fyziky (z řeckého méchané − stroj). Byla původně vědou, která se zabývala konstrukcí strojů a jejich činností. Mechanika studuje zákonitosti mechanického pohybu. Mechanickým pohybem rozumíme změnu polohy tělesa nebo jeho částí vzhledem k jiným tělesům nebo jinému, tzv. vztažnému tělesu, v závislosti na čase. Spojením vztažného tělesa se souřadnou soustavou vznikne vztažná soustava.
KINEMATIKA − DEFINICE Slovo kinematika pochází z řeckého kineo, což znamená pohyb. Kinematika studuje a popisuje pohyb těles bez ohledu na jeho příčinu (působící sílu). Základními veličinami, které používáme k popisu pohybu jsou polohový vektor r , rychlost v , zrychlení a .
Pojem těleso bývá v textu často nahrazen termínem hmotný bod. Hmotný bod je objekt, jehož rozměry a tvar můžeme při řešení určitého problému zanedbat (zjednodušení řešení úlohy).
KINEMATIKA − DĚLENÍ POHYBŮ Podle trajektorie
a) přímočaré – trajektorií pohybu je přímka, vektor rychlosti v má stále stejný směr
b) křivočaré – trajektorií pohybu je křivka, vektor rychlosti v mění svůj směr. V každém okamžiku je tečnou k trajektorii.
KINEMATIKA − DĚLENÍ POHYBŮ Podle rychlosti a)
rovnoměrný
⇒ a = 0 m⋅s−2
b)
rovnoměrně zrychlený (zpomalený)
⇒ a = konst.
c)
nerovnoměrně zrychlený (zpomalený) ⇒ a ≠ konst .
KINEMATIKA − RYCHLOST Při svém pohybu má těleso rychlost, která je charakterizována změnou dráhy, ke které dojde během časového intervalu. Jednotkou rychlosti je m.s-1.
∆s vp = ∆t
Stanovíme průměrnou rychlost v daném úseku
Okamžitou rychlost (rychlost v okamžiku odrazu, odhodu apod.) definujeme
∆s ∆r = lim v = lim ∆ t →0 ∆ t ∆ t →0 ∆ s
KINEMATIKA − ZRYCHLENÍ Zrychlení je změna rychlosti, ke které dojde během časového intervalu.
∆v a= ∆t
Jednotkou zrychlení je m.s-2. Průměrné zrychlení je celková změna rychlosti za celý časový interval. Okamžité zrychlení získáme, jestliže časový interval limitně zmenšíme
∆ v dv a = lim = dt ∆t → 0 ∆ t
ROVNOMĚRNÝ PŘÍMOČARÝ POHYB Při tomto pohybu se těleso pohybuje konstantní rychlostí. Za stejné časové intervaly urazí těleso stejnou dráhu. Protože se rychlost nemění, je zrychlení pohybu nulové. Grafickým znázorněním závislosti rychlosti na čase je přímka rovnoběžná s časovou osou.
ROVNOMĚRNÝ PŘÍMOČARÝ POHYB Pro dráhu rovnoměrného pohybu získáme vztah s = vt + s0 . Dráha roste přímo úměrně v závislosti na čase. Grafickým znázorněním této závislosti je přímka různoběžná s časovou osou.
ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ PŘÍMOČARÝ POHYB Rychlost tohoto pohybu rovnoměrně roste v závislosti na čase. Za stejné časové intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu. Zrychlení je tedy konstantní.
ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ PŘÍMOČARÝ POHYB Dráha je vyjádřena kvadratickou závislostí. Proto grafickým znázorněním závislosti dráhy na čase je parabola.
ROVNOMĚRNĚ ZPOMALENÝ PŘÍMOČARÝ POHYB Zrychlení tohoto pohybu je orientováno proti směru rychlosti. v = −at + v0
1 2
s = − at 2 + v0 t
Pohyb přímočarý rovnoměrně zrychlený a rovnoměrně zpomalený zahrnujeme pod označení pohyb rovnoměrně proměnný.
VOLNÝ PÁD Volný pád je zvláštním případem rovnoměrně zrychleného pohybu. Všechna tělesa volně puštěná se v tíhovém poli Země pohybují se stejným zrychlením. Toto zrychlení nazýváme tíhové. Značíme g. Hodnota tíhového zrychlení v naší zeměpisné šířce je g = 9,81 m.s-2.
Počáteční rychlost volného pádu v0 = 0 m.s-1, počáteční dráha s0 = 0 m. Pak
v = g ⋅t
, s=
1 ⋅ g ⋅ t2 . 2
POHYB PO KRUŽNICI Trajektorií pohybu je kružnice. Jestliže se těleso pohybuje z bodu A, pak se po určité době dostane zpět do původního postavení.
Jedná se o pohyb periodický. Veličinu, která charakterizuje tento pohyb časově, se nazývá perioda T. Jednotkou periody je sekunda.
Počet oběhů za sekundu se nazývá frekvence f. Mezi periodou a frekvencí platí vztah Jednotkou frekvence je hertz (Hz).
f =
1
T
POHYB PO KRUŽNICI − DOSTŘEDIVÉ ZRYCHLENÍ, TEČNÉ ZRYCHLENÍ Změna směru rychlosti je způsobena dostředivým (normálovým) zrychlením an. Normálové (dostředivé) zrychlení směřuje vždy do středu křivosti.
2
v an = r
Změna velikosti rychlosti je způsobena tečným zrychlením at. U zrychleného pohybu má stejný směr jako vektor rychlosti, u zpomaleného pohybu má opačný směr vzhledem k vektoru rychlosti.
POHYB KŘIVOČARÝ − ZRYCHLENÍ
Tečné zrychlení
Normálové zrychlení
POHYB PO KRUŽNICI − ÚHLOVÉ VELIČINY Úhlová dráha představuje úhel ϕ , o který se těleso otočí při pohybu po kružnici za určitý čas. Jednotkou úhlové dráhy je radián. Úhlová rychlost ω je charakterizována změnou velikosti úhlové dráhy, která nastane během časového intervalu. Obvodová rychlost je úměrná úhlové rychlosti. Platí v = ω r .
ZÁKON O NEZÁVISLOSTI POHYBU Koná-li hmotný bod současně dva nebo více pohybů, je jeho výsledná poloha taková, jako kdyby konal tyto pohyby po sobě, a to v libovolném pořadí.
VRHY Vrhy jsou složené pohyby. Těleso je vrženo v určitém směru počáteční rychlostí v0 . Vlivem tíhového pole Země se těleso v každém okamžiku zároveň pohybuje volným pádem ve směru svislém.
VRH SVISLÝ VZHŮRU Pohyb rovnoměrný přímočarý vzhůru + pohyb rovnoměrně zrychlený (volný pád) dolů Kdyby neexistovalo tíhové pole Země (odpor vzduchu neuvažujeme), pak by se těleso pohybovalo konstantní rychlostí vzhůru. Okamžitou hodnotu rychlosti popíšeme vztahem v = v0 − g t Okamžitá výška tělesa nad povrchem Země
1 2 s = v0 t − g t 2
Rychlost se během pohybu mění. Postupně klesá, až v maximální výšce je rovna nule. Poté těleso padá a rychlost opět roste.
VRH SVISLÝ VZHŮRU Shrnutí • skládá se z pohybu rovnoměrného přímočarého (↑) a volného pádu • doba výstupu = doba volného pádu • počáteční rychlost = rychlosti v době dopadu • výška výstupu závisí na velikosti počáteční rychlosti
VRH VODOROVNÝ Pohyb rovnoměrný přímočarý ve směru horizontálním + volný pád Těleso je při vodorovném vrhu v určité výšce y vrženo počáteční rychlostí ve vodorovném směru. Kdyby neexistovalo tíhové pole Země, pak by se pohybovalo rovnoměrným pohybem ve směru osy x.
VRH VODOROVNÝ Shrnutí • pohyb rovnoměrný přímočarý ve směru počáteční rychlosti (→) a volný pád • trajektorií je část paraboly s vrcholem v místě začátku pohybu • dosažená vzdálenost je ovlivněna počáteční výškou a počáteční rychlostí
VRH ŠIKMÝ Těleso je vrženo vzhledem k vodorovné rovině pod úhlem α rychlostí v0 .
VRH ŠIKMÝ Maximální dolet Do maximální vzdálenosti xmax dopadne těleso za dobu letu t L . Určíme ji ze vztahu pro hodnotu x-ové souřadnice dosazením za čas t. Po úpravě dostaneme
xmax =
v02 sin 2α g
VRH ŠIKMÝ
v02 . cos 2α 2 . g . h 2 l= . sin α + sin α + 2 g v0
VRH ŠIKMÝ Shrnutí • pohyb rovnoměrný přímočarý ve směru počáteční rychlosti a volný pád • příklad pohybu – vrh koulí, odkop míče, odraz při chůzi • dosažená vzdálenost závisí na: – velikosti a směru (úhlu) počáteční rychlosti – velikosti a směru (úhlu) počáteční rychlosti a výšce nad terénem
