7
2-Kinematika Bodu
KINEMATIKA Kinematika-úvod Kinematika jako část mechaniky je nauka o pohybu těles bez ohledu na síly, které pohyb způsobily. Tělesa nebudou mít v našich úvahách hmotnost a budou popsána jen svými geometrickými vlastnostmi. Ty budou během pohybu neměnné tj. u těles nebudeme uvažovat deformace.
2 Kinematika bodu Pohybující se těleso můžeme nahradit hmotným bodem (částicí), jestliže pro popis jeho pohybu nejsou rozhodující jeho vlastní rozměry. To je v případě, že rozměry tělesa jsou z hlediska dané rozlišovací schopnosti zanedbatelné nebo jestliže všechny části tělesa se pohybují stejně rychle a ve stejném směru. Jako hmotný bod si můžeme tedy představit např. bednu sesouvající se po nakloněné rovině. Model bodového tělesa však již není možné použít pro otáčející se hřídel, neboť různé části se v daném okamžiku pohybují různě rychle a v různých směrech. V kinematice uvažujeme pohyby jen po stránce geometrické tj. bez ohledu na jejich hmotnost, proto dále budeme používat výraz bodové těleso. Pro popis pohybu musíme vždy stanovit, vzhledem ke které souřadné soustavě pohyb vyšetřujeme tj. na začátku řešení úloh zvolíme soustavu souřadnicových os (soustavu souřadnic). V technické mechanice zpravidla souřadnou soustavu zpravidla spojíme s rámem (tj. se zemí). Hodnoty rychlostí a zrychlení v takové soustavě budeme nazývat absolutní. Když se těleso vzhledem k takové soustavě nepohybuje, říkáme, že je v klidu. V některých případech je výhodné popř. nutné zavádět i soustavy spojené s pohybujícími se tělesy. V kinematice je sice jedno, jaký pohyb vykonává vztažná soustava vzhledem k jiným souřadnicovým soustavám (tělesům), musíme si však uvědomit, že dráha zkoumaného pohybu podstatně záleží na výběru vztažné soustavy. Např. dráha letadla je jiná v soustavě spojené s rotující Zemí a jiná v soustavě spojené se stálicemi. Podobně vertikálně uložený píst automobilu vykonává vzhledem k válci a karoserii posuvný přímočarý pohyb ale vzhledem k nepohyblivé silnici se píst pohybuje podle sinusovky. Orientaci a polohu souřadných os můžeme volit libovolně, zpravidla ji volíme ve směru pohybu (ten je určen vektorem rychlosti). Např. pro popis pohybu po nakloněné rovině je tedy vhodné používat osu x ve směru nakloněné roviny tj. nikoliv horizontálně. Podobně libovolná je i volba druhu souřadnic. Např. pro popis pohybu po kružnici je zřejmě vhodné použití polárních souřadnic. V kinematice předpokládáme, že pohyb je zadán, jsou-li zadány některé ze základních kinematických veličin vzhledem ke zvolené (vztažné) soustavě souřadnic jako funkce času a souřadnic. Polohu tělesa vyjadřujeme funkcemi času t. V klasické mechanice považujeme čas t za spojitou veličinu, která probíhá ve všech souřadnicových soustavách stejně, nezávisle na jejich pohybu. Při sledování pohybu zpravidla zvolíme začátek odečítání času čas t=t0 =0. Časovým úsekem ∆t rozumíme rozdíl mezi hodnotami času v okamžicích t2 a t1. Při pohybu těles v obecném případě se pohybují jednotlivé body tělesa různým způsobem. Při valení se kola po kolejnici, se jeho střed pohybuje přímočaře a trajektorie bodů na obvodu kola vytvářejí cykloidy. Proto před vyšetřováním pohybu těles je vhodné začínat studium pohybu na případě bodového tělesa. Mimo to některé praktické úlohy o pohybu těles, lze řešit na základě znalostí řešení pohybu bodu. Spojitou křivku, kterou opisují body při svém pohybu nazýváme trajektorie bodu. Je-li trajektorie bodu přímka, nazývá se pohyb přímočarý, je-li trajektorie křivka (ne nutně
7
2-Kinematika Bodu
8
rovinná), pohyb se nazývá křivočarý. Základní prostorově časové charakteristiky pohybu bodu jsou poloha, rychlost, zrychlení. Základní úlohou v kinematice bodu je zjištění závislosti polohy bodu na čase (zákon pohybu). Nyní si rozebereme jak ze zadané závislosti polohy bodu na čase určíme jeho rychlost a zrychlení nebo obráceně jak ze zadaného zrychlení nebo zadané rychlosti určíme časový vývoj polohy.
2.1 Kinematika bodu při přímočarém pohybu Přímočarý pohyb je nejjednodušším případem pohybu bodu, dráha je určena pomocí jedné souřadné osy s, kterou zpravidla orientujeme ve směru pohybu tj. ve směru vektoru rychlosti.
2.1.1 Základní kinematické veličiny Poloha bodu na přímce je určena jen jednou souřadnicí. Počátek souřadnic je pevný bod O a od něj odečítáme polohový vektor r určující polohu bodu v daném okamžiku. Při numerických výpočtech týkajících se přímočarého pohybu polohový vektor vyjadřujeme pomocí jeho vzdálenosti od počátku tj. odlehlosti s (obr. 2.1a). Hodnota s je přitom záporná v případě nesouhlasu orientace polohového vektoru a směru souřadné osy, v opačném případě je kladná. Závislost odlehlosti na čase s=s(t) nazýváme zákon pohybu. Posunutí bodu ∆ r je změna jeho polohy (viz obr. 2.1b) a vyjadřujeme jej pomocí skalárního rozdílu ∆ s = s´-s. Posunutí je kladné, jestliže se bodové těleso posunulo v kladném směru souřadné osy, v opačném případě je záporné. Při posunutí tělesa zavádíme průměrnou rychlost ∆r ∆s v stř = , vstř = (2.1) ∆t ∆t Od posunutí odlišujeme celkovou prošlou dráhu l, což je vždy kladný skalár. Prošlá dráha s časem vždy narůstá
l (t ) = ∑ ∆li , kde ∆li = ∆ si
(2.2a)
Při přemístění po dráze l zavádíme střední hodnotu velikosti rychlosti (dráhovou rychlost) vstř =
l
∆t
,
(2.2b)
kde ∆ t je čas průchodu po dráze l. Obecně tedy průměrná velikost rychlosti není totéž jako velikost průměrné rychlosti. Pozn. 1. Vektor rychlosti se v angličtině překládá "velocity", velikost rychlosti "speed". Pozn. 2. V případě, že během pohybu se bodové těleso vrátí do výchozí polohy, pak je ∆r průměrná rychlost v stř = = 0 , ale střední hodnota velikosti rychlosti je od nuly různá ! ∆t Okamžitá hodnota rychlosti je dána vztahem ∆r v = lim (2.3) ∆ t →0 ∆ t Opět při numerických výpočtech vektor rychlosti vyjadřujeme pomocí velikosti tj. kladného skaláru s tím, že v případě nesouhlasu orientace vektoru rychlosti a směru souřadné osy použijeme před hodnotou modulu vektoru rychlosti záporné algebraické znaménko. Např. jestliže osa s je orientována zleva doprava (obr. 2.1, v rovnici 2.4 vyznačeno na levé straně šipkou), pak vektor rychlosti v reprezentujeme pomocí skaláru
8
2-Kinematika Bodu
9 v=
( → +)
ds dt
(2.4)
Jestliže se tedy bod pohybuje doprava, je rychlost kladná, jestliže se pohybuje doleva, je rychlost záporná. Známe-li závislost rychlosti na čase, pak přemístění bodu z polohy P do t
polohy P´ můžeme vyjádřit pomocí vztahu ∆s =
P,
t
P,
∫ v dt , prošlou dráhu pomocí l =
∫ v dt .
tP
tP
Obr. 2.1
Zrychlení bodu je definováno jako změna rychlosti, pro okamžité zrychlení tedy platí a=
d v d 2r = 2 dt dt
Lze také používat zápis a = vɺ = ɺrɺ . Při numerických výpočtech je velikost vektoru zrychlení reprezentována skalárem dv d 2 s ( → +) a= = dt dt 2
(2.5)
(2.6)
Zrychlení je určeno silami, které způsobují pohyb tj. závisí od povahy působících sil. Lze ho tedy určit z pohybových rovnic, jejichž sestavováním se zabývá dynamika. času t, rychlosti v, polohové souřadnice s nebo Obecně zrychlení a může být funkcí jejich kombinací. Hodnotu polohy nebo rychlosti pak musíme zjistit integrací ze zrychlení. Např. při pohybu v odporovém prostředí je zrychlení úměrné rychlosti tj. je známa funkce a=f(v). Pak kromě definičních vztahů pro rychlost a zrychlení můžeme také využít vyjádření zrychlení pomocí derivace rychlosti podle dráhy. Platí totiž
a=
dv ds dv 1 d (v 2 ) =v = dt ds ds 2 ds 9
(2.7)
10
2-Kinematika Bodu
Známe- li tedy závislosti a=f(v) popř. v=v(s), je v těchto případech vhodné pro nalezení relací mezi zbývajícími kinematickými veličinami používat nikoliv diferenciální vztahy (2.4) resp. (2.6) ale diferenciální vztah 1 ads=vdv= dv 2 (2.8) 2
2.1.2 Skalární reprezentace vektorů V rámci kinematiky bodového tělesa hledáme relace mezi jednotlivými kinematickými veličinami platnými pro jeden a ten samý bod. Při výpočetním řešení úloh týkajících se vztahů mezi vektorovými veličinami přitom bývá častou chybou používání správného znaménka. V technické mechanice, pokud vyjadřujeme vztahy mezi vektorovými veličinami pomocí rovnic, zapisujeme jednotlivé vektory zpravidla s kladným znaménkem, bez ohledu na jejich orientaci vzhledem k souřadným osám. Např. vztah mezi vektory na obr. 2.2a a 2.2b vyjádříme v obou případech součtem tj. píšeme F = Fx + Fy
F' = F' x + F' y
Obr. 2.2
Při numerických výpočtech, které vychází z vektorových rovnic, vyjadřujeme vektory pomocí skalárů a původní vektorové rovnice nahrazujeme rovnicemi složkovými tj. vztahy mezi skaláry. Obecně u skaláru sice znaménko patří k hodnotě a hodnoty skalárních veličin by neměly záviset ;na volbě souřadnic. Jestliže však skaláry používáme jako reprezentanty vektorových veličin, pak hodnota těchto skalárů je kladná, jestliže je příslušný vektor souhlasně kolineární s osou do které vektor promítáme, v opačném případě je záporná. Jinými slovy, při změně orientace souřadné osy se změní i znaménko příslušné skalární reprezentace. „Zápornost“ souřadnic vektorů přitom můžeme provést pomocí záporného algebraického znaménka jen tehdy, jestliže je souřadnice vektoru vyjádřena pomocí čísla, kladné fyzikální konstanty (např. gravitační zrychlení g) nebo pomocí modulu složky vektoru (např. v x ). V posledním případě však musíme mít jistotu, jak je vektor v orientován, protože jestliže vx je záporné, pak v x =- v x a znaménko – by bylo aplikováno 2x. Proto v případech, že u některých vektorů si nejsme jisti jejich orientací, považujeme všechny jejich složky za kladné. Za tohoto předpokladu pak sestavujeme k vektorovým rovnicím příslušné rovnice složkové, provedeme výpočet a podle numerických hodnot provedeme případné korekce smyslů složek popř. rozhodneme o charakteru pohybu (tj. zda-li je počáteční poloha kladná, zda-li je
10
2-Kinematika Bodu
11
počáteční pohyb ve směru souřadné osy, na kterých úsecích dráhy je pohyb zrychlený popř. zpomalený apod.). Př. 2.1 Zjistěte prošlou dráhu a přemístění od t1 =1 s do t2=5 s pro kámen vržený vzhůru počáteční rychlostí v0 = 30m/s. Pro gravitační zrychlení použijte hodnotu g=10 m/s2. Řešení: Kladný směr souřadné osy orientujeme ve směru pohybu tj. směrem vzhůru., souřadnice zrychlení pak bude záporná tj. bude platit v
t
v0
0
∫ dv = ∫ a dt ⇒ v( t ) = 30 − 10t −10t + 30 pro t ≤ 3 v( t ) = 10t − 30 pro t ≥ 3 5
5
1
1
Pak přemístění ∆s = ∫ v( t )dt = ∫ ( −10t + 30 ) dt =0 m 3
5
1
3
Prošlá dráha l = ∫ ( −10t + 30 ) dt + ∫ ( 30 − 10t ) dt = 40 m Př. 2.2 Těleso koná přímočarý pohyb s konstantním zrychlením o velikosti a=0,06m s-2. V čase t0=0 se nachází ve vzdálenosti d=0,5m od počátku souřadné osy, po určité době bod projde počátkem. V čase t1=4s je jeho rychlost v1=0. Určete: a) funkční závislost rychlosti na čase; b) čas průchodu počátkem tP; c) funkční závislost odlehlosti na čase; d) průměrnou rychlost a střední dráhovou rychlost pro časový interval ∆t=t2-t0, kde t2=10s Řešení: Jako kladný směr souřadné osy s zvolíme zleva doprava. Vzhledem k tomu, že neznáme orientaci počáteční polohy (zda je napravo nebo nalevo od počátku souřadnic), neznáme směr počáteční rychlosti a směr zrychlení, předpokládáme, že všechny tyto vektory jsou kladně orientované vůči zvolenému směru souřadné osy (zmiňovaná nejistota vyznačena čárkovaně).
a v0
ro
O
s0 =d
s
Obr. 2. 3
Pohyb je s konstantním zrychlením, proto pro vyjádření závislosti vektoru rychlosti na čase použijeme vztah v = v 0 + a t , který reprezentujeme pomocí složkové rovnice ( → +) v = v0 + 0 , 06t (a) Po dosazení v1=0 pro t1=4s dostáváme v0=- 0,24 m/s. Na začátku pohybu je znaménko rychlosti a zrychlení opačné, tj. pohyb je rovnoměrně zpožděný. Závislost rychlosti na čase v=v(t)=-0,24 + 0,06t t2 Vektorovou rovnici r = r0 + v 0t + a reprezentujeme pomocí složkové rovnice 2 t2 ( → +) s = s0 − 0 , 24t + 0 , 06 (b) 2
11
12
2-Kinematika Bodu
Položíme-li hodnotu odlehlosti s=0 dostáváme kvadratickou rovnici pro čas průchodu tp bodu počátkem 2 0,03 t P − 0, 24t P + s0 = 0 (c) Kořeny této rovnice
( t P )1,2 =
0 ,12 ± 0 , 0144 − 0 , 03s0
(d) 0 , 03 Pro hodnotu s0= 0,5 m jsou oba kořeny komplexní tj. pokud by počáteční poloha bodu byla napravo od počátku pak by bod jej nemohl dosáhnout. Proto možná počáteční hodnota odlehlosti je s0= - 0,5 m. Pro s0= - 0,5 m dostáváme jeden kořen kladný tj. čas průchodu počátkem tP1=9,7 s. Záporný kořen tP2=-1,71 s odpovídá času průchodu počátkem který předcházel poloze s0. Závislost odlehlosti na čase (zákon pohybu) je tedy dána vztahem s=s(t)=- 0,5-0,24t + 0,03t2
(e)
Pro t2=10s dostáváme hodnotu odlehlosti s2= 0,1 m. Hodnota střední rychlosti v časovém s −s 0,1 + 0,5 = 0,06 m/s. Pro určení hodnoty střední dráhové intervalu ∆t=t2-t0 je vstř = 2 0 = t2 − t0 10 rychlosti musíme nejprve zjistit odlehlost s1 při které se bod zastavil. Dosazením t1=4 s do rovnice (e) dostáváme s1=-0,98 m. Celková prošlá dráha do času t2=10s tedy je l2=2.0,98∆l + ∆l2 0,5+0,1=1,56 m a střední hodnota velikosti rychlosti v stř 1 =0,156 m/s. t 2 − t0
2.1.3 Základní úlohy kinematiky bodu Při vyšetřování pohybu bodu je základní úlohou zjistit závislost polohy bodu na čase tj. získání zákona pohybu. Základními kinematickými veličinami jsou a, v, s a t. Pohyb bodu je zcela popsán šesti závislostmi s=s(t), v=v(t), a=a(t), v=f(s), a=g(s), a=h(v). Pokud z experimentu nebo pozorování známe závislost některé z prvních tří kinematických veličin na čase, závislosti zbývajících veličin na čase pak získáme derivováním nebo integrací. Relace mezi jednotlivými veličinami pak najdeme vyloučením času. Při integraci musíme znát polohu a rychlost v nějakém daném okamžiku, aby bylo možné stanovit integrační konstanty. a) Přímočarý pohyb rovnoměrně zrychlený : a=konst. Je-li a konstantní, rovnice (2.4) resp. (2.6) se mohou přímo integrovat. Např. pro počáteční dv po separaci podmínky s = s0, v = v0 v okamžiku t = 0 dostáváme ze vztahu a= dt proměnných (tj. na každé straně rovnice se vyskytuje jen jedna neznámá) vztah v
t
∫ dv = ∫ adt ⇒ v = v0 + at v0
Protože dále je podle definice v=
0
ds , bude po separaci a integraci dt
12
(2.9)
2-Kinematika Bodu
13 v
s
1 2 ∫v vdt = s∫ ds ⇒ s = s0 + v0 + 2at 0 0
(2.10)
Závislost v=v(s) bychom mohli získat vyloučením času t z rovnice (2.9 a dosazením do (2.9). Výhodnější je však aplikace vztahu (2.8)ze kterého vyplývá s
v
2a ∫ ds = ∫ vdv ⇒ 2a( s − s0 ) = v 2 − v0 ⇒ v 2 = v02 + 2a( s − s0 ) 2
s0
(2.11)
v0
Pozn. Nikdy neaplikujte vztahy (2.9), (2.10) popř. (2.11) pokud se nepřesvědčíte že skutečně platí a=const ! dv b) Zrychlení přímočarého pohybu je funkcí času: a=f(t). Z rovnice a= obdržíme po dt separaci proměnných a integraci vztah pro rychlost v
t
t
∫ dv = ∫ f (t )dt ⇒ v = v0 + ∫ f (t )dt v0
0
0
s
t
t
s0
0
(2.12)
a pro odlehlost s
∫ ds = ∫ f (t )dt ⇒ s = s + ∫ f (t )dt 0
(2.13)
0
c) Zrychlení přímočarého pohybu je funkcí rychlosti : a=f(v). Separujeme a integrujeme a dostáváme vztah pro závislost času na rychlosti t v v dv dv dt = ⇒ t = ∫0 v∫ f (v) ∫v f (v) 0 0
(2.14)
Určíme-li inverzí z tohoto vztahu rychlost jako funkci času v = v( t ) , můžeme dosadit do ds v(t ) = a integrací určit zákon pohybu tj. s=s(t). dt Alternativně lze použít i rovnici (2.6), kde po dosazení za zrychlení a po separaci proměnných obdržíme integrací v vdv s = s0 + ∫ (2.15) f (v ) v0 Tento vztah nám určí funkční závislost mezi rychlostí a souřadnicí polohy v = f ( s ) . Aplikací ds vztahu v(t ) = a integrací můžeme opět zjistit zákon pohybu s=s(t). dt d) Zrychlení je funkcí souřadnice: a=f(s). Použitím vztahu (2.8) pak můžeme psát v
s
∫ vdv = ∫ f ( s)ds ⇒ v v0
s0
s
2
= v + 2 ∫ f ( s )ds 2 0
s0
e) Rychlost je funkcí souřadnice v=g(s): Použijeme definiční vztah v(t ) =
ds . Separací a integrací obdržíme dt
13
(2.16)
2-Kinematika Bodu
14 t
s
∫ dt = ∫ s0
s
ds ds ⇒ t =∫ g (s) g ( s) s0
(2.17)
Tím je opět určena souřadnice polohy jako funkce času. V každém případě řešení diferenciálních rovnic integrací záleží na tvaru funkcí. V případě, že je funkce složitá, provádíme integraci numericky na počítačích (např. pomocí Maple). Příklad 2.3 Loď plave přímočaře rychlostí v0. a) Určete závislost rychlosti a odlehlosti lodě na čase, když náhle motory vypneme a loď se začne v důsledku odporu prostředí zastavovat se zrychlením a = – kv2, kde k je kladná konstanta. b) Určete, na jaké dráze lz se loď zastaví, jestliže náhle zapneme motory vzad a loď se začne v důsledku odporu prostředí a zpětném chodu motorů zastavovat se zrychlením a = -k1-k2 v2.
Obr. 2.4
Řešení: a) Podle (2.6) platí a=
dv dt
(a)
Dosadíme −k v 2 =
dv dt
(b)
a integrujeme t
v
0
v0
1
∫ dt = ∫ −k
v2
dv (c)
1 1 − kt = − + v v0 Odkud v=
v0 1 + v0 kt
Závislost odlehlosti na čase určíme ze vztahu v = t
(d)
ds : dt s
v0 v0 v0 ds 1 = ⇒ ds = ⇒∫ dt = ∫ ds ⇒ s = ln(1 + v0 kt ) 1 + v0 kt dt 1 + v0 kt 1 + v0 kt k 0 0 b) Pro výpočet dráhy zastavení lz použijeme vztah (2.8) tj. 1 a ds= dv 2 2
14
(e)
(f)
2-Kinematika Bodu
15
lz
0
dv 2 − k1 − k2 v 2 v0
2 ∫ ds = ∫ 0
(g)
Zavedeme substituci y = v 2 pro kterou platí y0 = v0 , dy = 2vdv = d v 2 : 2
0
−2l z =
0 k1 dy 1 1 1 = ln ( k1 + k2 y ) y = ln k1 − ln ( k1 + k2 y0 ) = ln 0 k2 k2 k2 k1 + k2 y0 1 + k2 y
∫k
y0
k1 + k2 v02 1 Pro dráhu do zastavení tedy dostáváme vztah lz = ln 2k2 k1
2.2 Kinematika bodu při křivočarém pohybu Při křivočarém pohybu se bodové těleso pohybuje po obecné prostorové nebo rovinné křivce.
2.2.1 Způsob určení polohy bodu Poloha bodu je jednoznačně určena polohovým vektorem bodu vzhledem na libovolný počátek, polohový vektor je přitom funkcí času. Množina koncových bodů polohového vektoru je trajektorie bodu. Při hledání parametrických rovnic popisujících trajektorii bodu pomocí souřadnic zpravidla postupujeme tak, že ve startovací poloze t=0 sledovaný bod umístíme do počátku nebo na některou z os vztažného systému a pomocí trigonometrie nalezneme souřadnice bodu pro libovolný čas t různý od nuly. Při řešení kinematiky bodu při křivočarém pohybu je důležitý vhodný výběr souřadnicového systému. Ten vybíráme podle typu řešené úlohy. 2.2.1.1 Určení polohy bodu v kartézských souřadnicích V kartézské soustavě souřadnic zadáme souřadnice x, y, z bodu M (obr. 2.4) jako známé funkce času, tj. x=x(t), y=y(t), z=z(t) (2.18) Rovnice (2.18) jsou parametrické rovnice určení trajektorie, parametr je čas t. Máme-li určit trajektorii v souřadnicovém (explicitním) tvaru, musíme parametr t vyloučit a zjistit funkci f(x,y,z)=0. 2.2.1.2 Určení polohy bodu ve válcových, polárních a sférických souřadnicích. Ve válcových souřadnicích (obr.2.5) se určuje poloha bodu poloměrem ρ, úhlem φ (azimutem) a souřadnicí z. Pohyb bodu bude zadán, když budeme znát funkce ρ=ρ(t), φ=φ(t), z=z(t) (2.19a) Transformační rovnice, které převádějí válcové souřadnice do kartézských jsou: x=ρcosφ, y=ρsinφ, z=z
(2.19b)
Při pohybu bodu v rovině místo válcových souřadnic používáme souřadnice polární, které dostaneme z válcových položením z=0. Jako vektory báze přitom používáme jednotkový vektor ve směru radiálním e ρ (ve směru ρ) a jednotkový vektor eϕ ve směru transverzálním (příčném) -viz obr. 2.6. Polohový vektor bodu je pak dán vztahem
15
2-Kinematika Bodu
16
r M = ρ eρ
eϕ
(2.19c)
rM
eρ
Obr. 2.6 Obr. 2.5
Ve sférických souřadnicích je pohyb bodu popsán parametrickými rovnicemi r = r( t ),ϑ = ϑ( t ),ϕ = ϕ ( t ) . Transformací x = r sin ϑ cos ϕ , (2.20) y = r sin ϑ sin ϕ , z = r cos ϑ
můžeme od sférických souřadnic přejít k souřadnicím kartézským. Poznámka1: Válcové resp. polární souřadnice používáme v případech kdy je to účelnější z hlediska popisu pohybu (např. při pohybu bodu po kružnici stačí místo dvou kartézských souřadnic x(t) a y(t) jen zadat φ(t)) nebo je to výhodné z hlediska měření (např. sledujeme-li pohyb letadla letícího ve známé výšce měřením úhlu nad horizontem). Podobně souřadnice sférické používáme při analýze pohybu po povrchu koule popř. při analýze sférických pohybů. Poznámka 2: Použití polárních souřadnic je výhodné pro analýzu pohybu bodového tělesa pohybujícího se podél rotujícího ramene. V tomto případě je radiální souřadnice ρ(t) určena závislostí polohy bodu na rameni a příčná souřadnice φ(t) je určena úhlem pootočení ramene. 2.2.1.3 Přirozený způsob určení polohy bodu Předpokládejme že trajektorii bodu známe (např. v rovině je to funkce f(x,y)=0). Nechť O je libovolný pevný (námi zvolený) bod na trajektorii (obr. 2.7). Zvolíme-li kladný smysl přírůstku oblouku na trajektorii, pak polohu bodu M v libovolném okamžiku t určíme ze vzdálenosti (odlehlosti) bodu M od pevného bodu O v závislosti na čase. Poloha bodu bude tedy určena závislostí sM= sM(t) (2.21)
16
2-Kinematika Bodu
17
sM
Obr. 2.7
2.2.2 Určení rychlosti při křivočarém pohybu V prostoru je poloha bodu v okamžiku t určena polohovým vektorem r(t) a v okamžiku t +∆t vektorem r (t+∆t) (obr. 2.8). Bod se přitom může pohybovat po obecné prostorové křivce, přemístění bodu ∆ r můžeme dostat diferencí hodnot průvodiče. Okamžitou rychlost definujeme jako derivaci přemístění podle času tj. ∆r d r v = lim = . (2.22) ∆t → 0 ∆t dt Jak je z obr. (2.8) zřejmé, je to vektor, který má směr tečny k trajektorii a jeho smysl je orientován ve směru pohybu bodu.
Obr 2.8
2.2.2.1 Rychlost bodu v kartézských souřadnicích Při souřadnicovém způsobu popisu pohybu rozkládáme obecný křivočarý pohyb do přímočarých, simultánně probíhajících pohybů ve směru souřadných os. Např. v kartézské souřadnicové soustavě jsou zadány souřadnice bodu jako funkce času x=x(t), y=y(t), z=z(t) (2.23) Pokud vztažný souřadný systém je nepohyblivý (např. je spojen s rámem), pak vektory báze tohoto kartézského systému i, j,k nejsou funkcemi času. Pak ze vztahu pro průvodič bodu r = x i + y j + z k vyplývá
17
18 v=
dr = xɺ i + yɺ j + zɺ k dt
2-Kinematika Bodu
(2.24a)
tj. složky rychlosti vx, vy, vz jsou dány derivacemi odpovídajících souřadnic podle času vx = xɺ , v y = yɺ , vz = zɺ (2.24b) Modul rychlosti je určen vztahem
v = xɺ 2 + yɺ 2 + zɺ 2
(2.25)
a směr rychlosti je určen směrovými kosiny cos α v =
vy vx v , cos β v = , cos γ v = z v v v
(2.26)
2.2.2.2 Rychlost bodu ve válcových a polárních souřadnicích Sledujeme-li pohyb bodu v polárních souřadnicích, jsou zadány závislosti polárních souřadnic na čase tj. ϕ=φ(t) a ρ=ρ(t) . Vzhledem k tomu, že vektory báze polárních souřadnic se pohybují, je nutné při derivaci vztahu (2.20) uvažovat i jejich časovou derivaci. Přitom de ρ deϕ = ϕɺ e j , = −ϕɺ e ρ . Po úpravách pro rychlost v polárních souřadnicích pak platí dt dt dostáváme vztah v = ρɺ e ρ + ρ ϕɺ eϕ (2.27) V polárních souřadnicích se rychlost se tedy rychlost rozkládá ve dvě vzájemně kolmé složky: radiální vρ = ρɺ a příčnou vϕ = ρ ϕɺ - viz obr.2.9. Modul rychlosti určíme opět podle vztahu v= vρ2 + v 2p = ρɺ 2 + ρ 2ϕɺ 2 = xɺ 2 + yɺ 2
eϕ
(2.28)
eρ
obr.2.9
Pozn. 1 To, že v polárních souřadnicích je obecně nenulová radiální složka neznamená, že rychlost není tečná k dráze pohybu, protože radiální a příčný směr polárních souřadnic není obecně totožný s normálou a tečnou dráhy bodu.
18
19
2-Kinematika Bodu
Pozn.2 Rovnice (2.28) nám pomáhá při přechodu od kartézských souřadnic k polárním a obráceně. 2.2.2.3 Rychlost bodu v přirozených souřadnicích Bod M se pohybuje po známé křivce obr. 2.10. Za čas ∆t se bod přemístí do polohy ∆r lim =τ M1. Platí , sečna přejde v bodě M v tečnu tj. . ∆σ ∆t → 0 Pro vektor rychlosti platí dσ v = v τ, v = (2.29) dt kde τ je jednotkový tečný vektor orientovaný ve smyslu kladného přírůstku oblouku ∆σ.
Obr. 2.10
2.3.3 Určení zrychlení bodu při křivočarém pohybu 2.3.3.1 Zrychlení v kartézských souřadnicích Nechť je zadán pohyb v nepohyblivé kartézské souřadnicové soustavě: x=x(t), y=y(t), z=z(t)
(2.30)
Pak složky zrychlení ax , ay , az jsou rovny druhým derivacím odpovídajících souřadnic podle času nebo první derivacím podle času odpovídající souřadnice rychlosti tj. jsou dány vztahy ax = vɺx = ɺɺ x, a y = vɺ y = ɺɺ y, az = vɺz = ɺɺ z (2.31) Modul zrychlení je určen vztahem
a = ɺɺ x 2 + ɺɺ y 2 + ɺɺ z2
(2.32)
a směr je určen směrovými kosiny cos α a =
ay ax a , cos β a = , cos γ a = z a a a
19
(2.33)
20
2-Kinematika Bodu
2.3.3.2 Zrychlení ve válcových souřadnicích a polárních souřadnicích Derivováním vztahu (2.27) bychom pro vyjádření vektoru zrychlení ve válcových souřadnicích dostali vztahy ɺ ɺ ) eϕ + ɺɺ a M = ( ρɺɺ − ρϕɺ 2 ) e ρ + ( ρϕɺɺ + 2 ρϕ z ez (2.34) Průměty zrychlení na radiální a příčnou osu tedy jsou ɺ ɺ) . aρ = ( ρɺɺ − ρϕɺ 2 ) , aϕ = ( ρϕɺɺ + 2 ρϕ
(2.35)
Pro modul zrychlení opět platí vztahy umožňující přechod od válcových souřadnic k souřadnicím kartézským a = aρ2 + aϕ2 + az2 = ɺɺ x 2 + ɺɺ y 2 + ɺɺ z2
(2.36)
Vztahy pro rychlost a zrychlení bodu v polárních souřadnicích můžeme také získat sledováním komplexního čísla Z * = A* ( t )eiϕ ( t ) = ρ ( t )eiϕ ( t ) a jeho derivací v komplexní Gaussově rovině. Reálné části součinitelů u ei ϕ pak vždy vyjadřují složky vektorů r, v a a do osy ρ (tj. složky radiální), imaginární části pak složky těchto vektorů do osy φ (tj. složky příčné). Pro průvodič platí r = ρ ei ϕ (2.37a)
Čili rρ = Re A* = ρ , rϕ = Im A* = 0 Pro rychlost
v = rɺ = ( ρɺ + i ρϕɺ ) ei ϕ
Čili vρ = Re A* = ρɺ , vϕ = Im A* = ρϕɺ a pro zrychlení ɺ ɺ ) ei ϕ a = ɺrɺ = ρɺɺ − ρϕɺ 2 + i ( ρϕɺɺ + 2 ρϕ
(
)
(2.37b)
(2:37c)
ɺɺ Čili aρ = Re A* = ρɺɺ − ρϕɺ 2 , aϕ = Im A = ρϕɺɺ + 2 ρϕ 2.3.3.3 Zrychlení bodu v přirozených souřadnicích V bodě M prostorové křivky můžeme konstruovat tzv. průvodní trojhran, tvořený tečnou τ , normálou n (v oskulační rovině) a binormálou b pro který platí b=τxn (2.38) Tyto vektory jsou jednotkové a vytváří bázi přirozených souřadnic. Při pohybu v rovině vektor zrychlení leží v oskulační rovině a pro jeho rozklad do směru tečného a normálového platí vztahy sɺ 2 a = a τ τ + a n n = ɺɺ sτ+ n , (2.39) R kde R je poloměr oskulační kružnice (oskulační kružnice v daném místě aproximuje dráhu kruhovým obloukem). Průmět zrychlení do směru tečného k dráze se nazývá tečné zrychlení a τ = vɺ = ɺɺ s (2.40a) Průmět zrychlení do normály se nazývá normálové zrychlení an =
sɺ 2 v 2 = R R
20
(2.40b)
21 Hodnota zrychlení ve směru binormály je nulová tj. ab = 0
2-Kinematika Bodu
(2.40c)
Tečné zrychlení charakterizuje změnu modulu rychlosti a normálové zrychlení změnu směru rychlosti. Normálové zrychlení vždy míří dovnitř oblouku dráhy. Modul vektoru zrychlení je roven
a = aτ2 + an2 = ɺɺ x 2 + ɺɺ y2
(2.41)
Při sledování pohybů nás často zajímá úloha nalezení an, protože tato složka zrychlení určuje velikost odstředivé síly. Máme –li pohyb zadán v kartézských souřadnicích tj. známe x=x(t), y=y(t) postupujeme následovně. Derivováním zjistíme vx,(t) vy(t) , ax(t), ay(t). Následně pak proderivováním velikosti rychlosti v podle času zjistíme at(t). Nakonec použitím vztahu
an = a 2 − aτ2 zjistíme an(t) a R(t). Je-li rychlost bodu pohyb bodu s konstantní velikostí rychlosti tj. aτ =0, pohyb nazýváme rovnoměrný. Když v, aτ jsou stejného znaménka, potom modul rychlosti bodu se zvětšuje a pohyb se nazývá zrychlený. Když však znaménka jsou navzájem různá, modul rychlosti se zmenšuje a pohyb je zpožděný (retardovaný). Normálové zrychlení an=0 v přímých úsecích dráhy, v inflexních bodech křivočarého pohybu ( R = ∞ ) a v okamžicích, kdy je velikost rychlosti bodu nulová. V případě že aτ=const a sign(aτ)=sign(v) pak pohyb nazýváme rovnoměrně zrychlený, je-li sign(aτ )= - sign(v) pak rovnoměrně zpožděný. Poznámka1: V přirozených souřadnicích postačuje pro určení kinematiky bodu znalost dvou funkcí s(t) a R(t). Musíme mít však zadánu trajektorii. Poznámka 2: Přímočarý pohyb můžeme považovat za zvláštní případ pohybu křivočarého, při kterém je τ vektor konstantní co do směru. V případě přímočarého pohybu jednu z os souřadného systému zpravidla ztotožníme se směrem pohybu (např. při sledování pohybu na nakloněné rovině ztotožníme některou z os kartézského souřadného systému se sklonem nakloněné roviny). Směr osy přitom orientujeme ve směru pohybu (ten je určen směrem vektoru rychlosti).
21
22
2-Kinematika Bodu
Příklad 2.4 Vozítko na horské dráze se pohybuje po spirále (šroubovici) s konstantní rychlostí v=6m/s; výška závitu šroubovice je h=10m. Určete velikost zrychlení vozíku, je-li poloměr závitu ρ=5m., vozítko poklesne o výšku závitu vždy za 1 otočku T.
ρ
h
Obr. 2.11
Řešení: a) Pohyb je po válci, použijeme válcové souřadnice v = ρɺ eρ + ρϕɺ e j + zɺe z (a) Vzhledem k tomu, že ρ je konstantní a pro výšku závitu h platí, velikost rychlosti je rovna v = ( ρϕɺ )2 + ( vz )2
(b)
Vzhledem k tomu, že h = vz T =
vz 2π h ⇒ vz = ϕɺ 2π ϕɺ
Dosazením do (b) dostáváme pro ϕɺ 2 vztah
ϕɺ =
v
=
v
= 0 ,374 m/s 2 2 πρ ( 2 ) + h h ρ2 + 2π (c) Odtud vyplývá, že ϕɺ je konstantní. Je-li ϕɺ je konstantní, pak podle konstantní i vz. Ze vztahu pro zrychlení ve válcových souřadnicích 2
ɺ ɺ ) eϕ + ɺɺ a = ( ρɺɺ − ρϕɺ 2 ) e ρ + ( ρϕɺɺ + 2 ρϕ z ez
(b)
je
(d)
pak vyplývá, že v daném případě je velikost celkového zrychlení rovna
22
23
2-Kinematika Bodu
a = ρϕɺ 2 =6,54 m/s2 Ze vztahu pro zrychlení můžeme určit při pohybu bodu po válcové šroubovici určit i poloměr oskulační kružnice tj. poloměr šroubovice R 2 h 2 2 ρ + ϕɺ 2 2 2 2 2 π ɺ ( 2πρ ) + h 2 ( ρϕ ) + vz v R= = = = (e) an ρϕɺ 2 ρϕɺ 2 ( 2π )2 ρ Vzhledem k tomu, že pro úhel stoupání šroubovice platí 2πρ (f ) cos β = 2 ( 2πρ ) + h 2
h
β 2πρ
dostáváme dosazením do (d) vztah R=
ρ
(g)
cos 2 β
b) řešení pomocí kartézských souřadnic
R
ρ
x = ρ cos ϕɺ t y = ρ sin ϕɺ t, z = vz t proderivováním podle času dostáváme
23
2-Kinematika Bodu
24 xɺ = − ρϕɺ sin ϕɺ t yɺ = ρϕɺ cos ϕɺ t zɺ = vz
odtud v = ρ 2ϕɺ 2 + vz
2
ɺɺ x = − ρϕɺ 2 cos ϕɺ t, ɺɺ y = − ρϕɺ 2 sin ϕɺ t ɺɺ z=0 a = ρϕɺ 2 Z těchto vztahů bychom mohli určit závislost odlehlosti na čase t
s( t ) = ∫ xɺ 2 + yɺ 2 + zɺ 2 dτ = t ρ 2ϕɺ 2 + 0
h2 ϕɺ 2 = 1.96 t 2 ( 2π )
2.3.4 Kinematika kruhového pohybu Pohybuje-li se bod po kružnici, potom souřadnice ρ =konst.=r, což je poloměr kružnice - obr. 2.12. Poloha bodu je úplně určena úhlem φ. Derivace úhlu podle času se nazývá úhlová rychlost ω = ϕɺ , druhá derivace úhlu podle času úhlové zrychlení α = ωɺ = ϕɺɺ . Použitím vztahů pro rychlost a zrychlení v přirozených souřadnicích pak dostáváme vztahy v = rϕɺ = rω (2.42) an =r ω 2 , aτ =rα
(2.43)
V případě, že úhlové zrychlení α=konst., pak pro závislosti ϕ=ϕ(t) a ω=ω(t) platí obdobné
φ
Obr. 2.12
vztahy jako pro pohyb přímočarý s konstantním zrychlením tj. platí ω = ω0 + α t dϕ , bude po separaci a integraci dt ϕ ω 1 2 ω dt = ∫ω ∫ϕ dϕ ⇒ ϕ = ϕ0 + ω0 + 2 α t 0 0
(2.44)
Protože dále je podle definice ω=
Vyloučením času t můžeme získat hned závislost ω=ω(ϕ).
24
(2.45)
2-Kinematika Bodu
25 ω
ϕ
ω0
ϕ0
α ∫ ω dω = ∫ dϕ ⇒ ω 2 = ω02 − 2α (ϕ − ϕ0 )
(2.46)
V případě, že pohyb kruhový je rovnoměrný tj. ω=konst, pak definujeme dobu oběhu T podle vztahu 2π ω= (2.47) T Pozn. Pro nalezení vztahů ϕ=ϕ(t), ω=ω(t), α=α(t), ω=f(ϕ), α=g(ϕ), α=h(ω) používáme stejných postupů jako jsou zmiňovány v kap. 2.2 tj. získáváme je integrací definičních 2 dϕ dω 1 d (ω ) dω diferenciálních vztahů ω= , α= aα= =ω . dt dt 2 dϕ dϕ . Př. 2.5 Vyšetřete pohyb bodu, jehož polohový vektor závisí na čase podle rovnice 1 r = i A cos ωt + j A sin ωt , kde A = 6m, ω = π s −1 . 4 Určete vektor rychlosti a jeho velikost jako funkci času Určete jednotkový vektor rychlosti ev jako funkci času Určete vektor zrychlení a jeho velikost funkci času Určete tečné a normálové zrychlení funkci času Vypočítejte poloměr křivosti dráhy hmotného bodu funkci času Řešení: dr d Rychlost hmotného bodu je podle vztahu v = = ( i A cos ωt + j A sin ωt ) . dt dt 1 Tedy v = Aω ( −i sin ωt + j cos ωt ) , kde A = 6m, ω = π s −1 . 4 Velikost vektoru rychlosti určíme podle vztahu
v = vx2 + v y2 =
( − Aω sin ω t ) + ( Aω cos ω t ) 2
Jednotkový vektor rychlosti ev = Odtud ev = −i sin ωt + j cos ωt
2
= Aω . Po dosazení v =
1 3πms −1 . 2
1 1 v= Aω ( −i sin ωt + j cos ωt ) . v Aω
dv d = Aω ( −i sin ωt + j cos ωt ) . dt dt Tedy a = − Aα 2 ( i cos ωt + j sin ωt ) = −ω 2r . Zrychlení je podle vztahu (2.5) a =
Velikost zrychlení je dána vztahem a = ax2 + a y2 =
( − Aω
2
cos α t ) + ( − Aω 2 sin ω t ) = Aω 2 . 2
2
1 Po dosazení a = 3π 2 ms − 2 . 8 Velikost tečného zrychlení vypočítáme ze vztahu aτ =
dv d = ( Aω ) = 0 (rovnoměrný pohyb dt dt
kruhový). Vzhledem k tomu, že aτ = 0 , vyplývá ze vztahu a = aτ2 + a n2 , že a n = a .
25
26
2-Kinematika Bodu
1 Tedy aτ = 0 , a n = a = 3π 2 ms − 2 . 8 Poloměr křivosti R vypočteme ze vztahu R =
v2 . Po dosazení dostáváme R = 6m . an
2.4 Harmonický pohyb Z hlediska technické praxe je významný případ pohybů, kdy je působící síla úměrná výchylce a vrací pohybující se bod neustále do počáteční polohy (např. těleso na pružině, kyvadlo apod.). Takový pohyb se nazývá harmonický, typickým příkladem harmonického pohybu je kmitání částí těles kolem rovnovážné polohy. Podle 2. Newtonova zákona je u takového pohybu zrychlení úměrné výchylce tj. platí
a = −Ω 2 x
(2.48)
x ii + Ω 2 x = 0
(2.49)
Označíme-li a = x ii budeme mít
Je to diferenciální rovnice druhého řádu bez pravé strany, její řešení x=x(t) je možné hledat na bázi harmonických funkcí, např. ve tvaru x = A cos Ωt + B sin Ωt
(2.50a)
Diferenciální rovnici (2.49) však vyhovuje i řešení ve tvaru x = C sin(Ωt + ϕ )
(2.50b)
Aplikací pravidla pro sinus součtu dvou úhlů dostaneme vztah x = C sin ϕ cos Ωt + C cos ϕ sin Ωt
(2.50c)
Ze srovnání (2.50a) a (2.50c) dostáváme A = C sin ϕ ; B = C cos ϕ
(2.51)
Pak
C = A2 + B 2 se nazývá amplituda,
ϕ = arctg
A se nazývá počáteční fáze, B
Ω je vlastní úhlová frekvence.
(2.52) (2.53) (2.54)
Rychlost při harmonickém pohybu je
a zrychlení
π xɺ = C Ω cos ( Ωt + ϕ ) = C Ω sin Ωt + ϕ + 2
(2.55)
ɺɺ x = −C Ω 2 sin ( Ωt + ϕ ) = C Ω 2 sin ( Ωt + ϕ + π )
(2.56)
Konstanty A , B nebo C a ϕ jsou integrační konstanty, které závisí na počátečních podmínkách.
26
27
2-Kinematika Bodu
Např. pro počáteční podmínky x ( 0 ) = x0 , xɺ (0) = v0 dostáváme x0 = A cos Ωt + B sin Ωt
(a)
v0 = − A Ω sin Ωt + B Ω cos Ωt
(b)
Řešením těchto rovnic dostáváme pro konstanty A, B vztahy v A = x0 , B = 0 Ω
(c)
Pro uvedené počáteční podmínky má řešení harmonického pohybu tvar v x = x0 cos Ωt + 0 sin Ωt Ω
(d)
Poznámka: Rovnice harmonického pohybu je rovna průmětu rovnoměrného kruhového pohybu do některého z os kartézského souřadného systému.
2.5 Kinematika současných pohybů bodů 2.5.1 Kinematika současných pohybů volných bodů Při současných pohybech bodů pohybujících se po drahách které se protínají nebo splývají často řešíme úlohu nalezení polohy a času srážky. Úlohu řešíme tak, že napíšeme zákony pohybu pro oba body, zjistíme čas srážky z podmínky rovnosti poloh a následným dosazením doby srážky do některého ze zákonů pohybu určíme polohu srážky. Achilleův paradox: Jsou-li dvě vozidla jedoucí za sebou a zadní vozidlo jede rychleji, než vozidlo před ním, každodenní zkušenost říká, že je přední vozidlo dříve či později předjeto. Nicméně, přední vozidlo nestojí a tak když se do stejného bodu dostane vozidlo rychlejší, to pomalejší je již o kus dál a tak neustále dokola ve stále kratších intervalech. Jak se tedy mohou vozidla předjet? Úloha je z historie známá jako paradox Achilla a želvy (Achilles je rychlejší vozidlo, ale vyběhl později, želva je pomalejší, dobíhané vozidlo). Ty dílčí intervaly mezi nimi se stále zkracují a pokud Achilles i želva se pohybují rovnoměrně, pak se zkracují geometrickou řadou. Ta má konečný součet, třebaže má nekonečně mnoho členů. Součet dílčích intervalů udává právě vzdálenost, po které Achilles želvu dohoní. V tom okamžiku mají oba stejnou polohu. Poté tedy už běží Achilles vepředu a želva ho (marně) dobíhá.
2.5.2 Kinematika současných pohybů vzájemně vázaných bodů V některých případech pohyb jednoho bodového tělesa závisí na pohybu jiného bodového tělesa např. spojení tyčí nebo lanem. Jestliže body jsou spojeny lanem konstantní délky (např. lano je vedeno přes pevné kladky nebo obliny) a úseky lana spojující body nemění svůj směr (obr. 2.12a), pak pro nalezení vztahů mezi kinematickými veličinami jednotlivých bodů odečítáme polohové souřadnice jednotlivých bodů následujícím způsobem: 1) vzdálenosti bodů odečítáme od pevného bodu (nebo pevné přímky) 2) dáváme jim kladný smysl ve směru od referenčního pevného bodu 3) úseky lana, jejichž délka se během pohybu nemění do souřadnic nezapočítáváme Součet těchto souřadnic je roven délce lana (mimo jeho neproměnných úseků). Proderivováním tohoto součtu polohových souřadnic podle času pak dostaneme vztah mezi rychlostmi spojených bodů. s A + sB = const. dsB ds A + = 0 tj. vB = −v A ,aB = − a A dt dt Komplikovanější případ nastává, jestliže úseky lana spojující body mění svůj směr (obr. 2.12b). V tomto případě je nutné polohové souřadnice odečítat následujícím způsobem: 1) zavedeme pevný souřadný systém, jednu z os orientujeme ve směru zadaného pohybu 27
28
2-Kinematika Bodu
2) odečteme polohové souřadnice ve směru os 3) vyjádříme celkovou délku lana pomocí polohových souřadnic Opět proderivováním tohoto součtu polohových souřadnic podle času dostaneme vztah mezi rychlostmi spojených bodů.
h
Obr. 2.12a
Obr. 2.12b
Pro celkovou délku lana platí: l = lDA + lCD
l = h2 + x2 + ( h − y ) Proderivováním podle času dostáváme závislost rychlost i vS na rychlosti vA vztah dy 1 2x dx 1 2x = = vS = vA 2 2 2 dt 2 h + x dt 2 h + x 2 Za předpokladu konstantní rychlosti vA pak dalším proderivováním podle času dostáváme pro zrychlení bodu S vztah d 2 y − x2 dx 1 dx aS = 2 = + vA 3 1 dt dt dt 2 2 2 2 (h + x )2 ( h + x ) 2 Poznámka1: Zrychlení závaží S je tedy nenulové i při konstantní rychlost vA Poznámka 2: V případě, že některý z bodů koná pohyb rotační, použijeme pro vyjádření jeho polohy souřadnice polární.
28
2-Kinematika Bodu
29
Př. 2.5 Ramenem jeřábu otáčíme ve svislé rovině kolem bodu O lanem, které je navíjeno na rovnoměrně se otáčející buben. Zjistěte závislost úhlové rychlosti zvedání ramene jeřábu na úhlové rychlosti otáčení bubnu ωb (viz obr. 2.13).
y B A h φ
A0
O x
l
ωb r
Obr. 2.13
Označíme: OA = OA0 = l,OB = h . x A = l cos ϕ , y A = h − l sin ϕ , BA = x A2 + y A2 Závislost zkracování délky lana na čase je dána otáčením bubnu tj.
( l cos ϕ )
s(t)= r ωb t = r ϕb = BA − BA0 =
2
+ ( h − l sin ϕ ) − l 2
Po umocnění a úpravách dostáváme pro závislost úhlu otáčení jeřábu φ na úhlu otočení bubnu vztah rϕ ϕ = arcsin b 2 h 2 + l 2 − r ϕb 2hl Proderivováním dostáváme pro závislost úhlové rychlosti ω zvedání ramene jeřábu na úhlové rychlosti ωb otáčení bubnu vztah
)
(
ω = ϕɺ =
rωb t
(
h 2 + l 2 − − rωb t
)
h l 1 − sin ϕ
29
30
2-Kinematika Bodu
Kontrolní otázky 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)
Jaký je rozdíl mezi dráhou a odlehlostí ? Co je to zákon pohybu? Vztahy pro rychlost a zrychlení v přirozených souřadnicích? Proč při kruhovém pohybu používáme souřadnice polární? Jak stanovíte jednotkový tečný vektor k dráze znáte-li x=x(t), y=(t) ? Vyjádřete zrychlení pomocí derivace rychlosti podle dráhy? Definujte harmonický pohyb? V jakém tvaru předpokládáme řešení rovnice harmonického pohybu, k čemu používáme okrajové podmínky? 9) Z jaké podmínky se zjistí čas srážky dvou bodů pohybujících se po stejných nebo protínajících se drahách? 10) Jak řešíme úlohu nalezení souvislostí mezi rychlostmi a zrychleními bodů vázaných lanem?
30
