1. Kinematika hmotného bodu

Úlohy ke cvičení z teoretické mechaniky KEF/TMN a KEF/TMN1 (AF, BCHF, NAN, OFMF II a OP II), KEF/TMU (F-X, X-F III), 2 hodiny týdně

1.

Kinematika hmotného bodu

1.1 Na základě rovnic určete trajektorii hmotného bodu( pro ( vektorových ) ( ) ) následující případy a) r = t e x + 2t − t2 e y ; b) r = 3 sin t3 e y + 2 cos t3 e z ; c) r = a sin t e x + 2a cos (2t) e y . ( ) pt 1.2 Pohyb hmotného bodu je zadán rovnicí x = pt + 12 cos . Určete hodnotu souřadnice x v čase t = 15 s a celkovou 6 dráhu, kterou těleso za prvních 15 s urazí. 1.3 Pohyb bodu je v kartézských souřadnicích zadán rovnicemi x = e2t cos(3t), y = e2t sin(3t), z = e2t . Určete poloměr křivosti trajektorie. 1.4 Jsou dány pohybové rovnice x = a ch(5t), y = b sh(5t). Určete hodograf rychlosti. 1.5 Určete rychlost a zrychlení částice, která se pohybuje po kružnici dané rovnicí x2 − 2bx + y 2 = 0 s konstantní plošnou rychlostí vs = K. 1.6 Určete, jaký tvar má polární hodograf rychlosti pro pohyb a) rovnoměrný přímočarý; b) rovnoměrně zrychlený přímočarý; c) rovnoměrný pohyb po kružnici. 1.7 Hmotný bod se pohybuje po parabole y 2 = 2px tak, že parametrická rovnice ve směru osy y je y = kt. Určete rychlost, zrychlení a poloměr křivosti trajektorie. 1.8 Paraboly svazku y = bx2 , b ∈ R vyplňují celou rovinu xy. Zadáním b a x je možné určit libovolný bod, neboť těmto hodnotám odpovídá vždy právě jedno y. V souřadnicích q1 = x a q2 = b najděte Laméovy koeficienty, průměty rychlosti na souřadnicové čáry q1 = konst. a q2 = konst. a také výraz T = 12 v 2 . 1.9 Vyšetřete rovinné parabolické souřadnice, jejichž vztah ke kartézským souřadnicím x, y je dán vztahy x=±

√

ξη,

y=

1 (ξ − η) ; 2

0 ≦ ξ ≦ ∞, 0 ≦ η ≦ ∞.

1.10 Vyšetřete eliptické cylindrické souřadnice u, v, z, jejichž vztah ke kartézským souřadnicím je dán rovnicemi: x = a ch u cos v, y = x = a sh u sin v,

z = z.

Najděte Laméovy koeficienty, souřadnicové čáry a rozhodněte, zda jsou tyto souřadnice ortogonální (Arfken a Weber, 2005). 1.11 Dokažte, že pro polohový vektor r platí ∇rn = nrn−2r . 1.12 Pro cykloidu o parametrických rovnicích x = a (θ − sin θ), y = a (1 − cos θ), kde 0 < θ < 2p najděte tečný a normálový vektor (Gregory, 2006). 1.13 Pohyb bodu M je určen rovnicemi x = a cos (ωt) a y = a sin (ωt). Určete trajektorii bodu M , jeho rychlost a zrychlení (Bajer, 2004a). 1.14 Pod jakým úhlem je nutno vrhnout míč, aby dopadl co nejdále na nakloněnou rovinu se sklonem β (Bajer, 2004a)?

2. Dynamika hmotného bodu 2.1 Kvádr o hmotnosti m je připevněn k pravému konci pružiny, jejíž druhý konec je upevněn ke svislé stěně. Na počátku nebyla pružina deformována a kvádru byla udělena rychlost v0 (viz obr. 2.1). Najděte maximální výchylku kvádru, působí-li na něj síla pružnosti Fx = −αx − βx3

x 0

m x

kde x je prodloužení pružiny a α i β jsou kladné konstanty. 2.2 Uvažujte těleso pohybující se vodorovně rychlostí v0 ̸= 0, na něž začne působit síla úměrná r-té mocnině rychlosti. Pro jaké r má těleso konečnou brzdnou dráhu? Jaká je tato brzdná dráha? Návod viz (Vybíral, 2002).

Obrázek 2.1: K úloze č. 2.1

2.3 Zjistěte trajektorii šikmého vrhu v odporujícím prostředí. a) Uvažujte odporovou sílu F o = −kmv , k > 0, najděte analytické vyjádření obecné rovnice trajektorie a ukažte, že pro Typeset by XELATEX

1

Poslední úpravy: 22. září 2016

malé k a t přechází v trajektorii šikmého vrhu v neodporujícím prostředí. b) Uvažujte odporovou sílu podle Newtonova vztahu F o = −CϱSvv /2 působící na střelu o hmotnosti m = 2,5 kg s koeficientem odporu C = 0,48 a poloměrem příčného průřezu R = 4 cm vystřelenou počáteční rychlostí v0 = 200 m·s−1 . Pomocí vhodného programu najděte numericky tvar trajektorie a porovnejte získanou balistickou křivku s analytickým řešením uvedeným v (Trkal, 1956), s. 148. Návod viz (Holíková, 2006; Vybíral, 2002). 2.4 Na těleso nacházející se v klidu na hladké vodorovné desce začne ve směru osy x působit síla Fx = H sin kt, kde H a k jsou kladné konstanty. Najděte závislost x = x(t). 2.5 Nezatížená pružina má délku l. Zavěsíme-li na ní závaží o hmotnosti m, ustálí se délka pružiny na hodnotě l + h. Na zavěšené závaží, které je v klidu, dopadne z výšky h stejné závaží a zůstane na něm. Sestavte pohybovou rovnici a řešte ji za daných počátečních podmínek, pomocí výsledku určete frekvenci a amplitudu kmitů. Hmotnost pružiny a tlumení pohybu zanedbejte. Řešte nejprve obecně, potom pro hodnoty h = 0,05 m a m = 0,1 kg. Návod viz (Kvasnica et al., 2004). 2.6 Nelineární oscilátor má potenciální energii popsanou vztahem U (x) =

kx2 mλx3 − , 2 3

kde λ je malá konstanta. Najděte řešení pohybové rovnice s počáteční podmínkou x0 = 0 pro t = 0 (Yung-Kuo et al., 1994).

2.1

Pohyb v centrálním silovém poli

2.7 Meteor se pohybuje ve vzdálenosti 2,2 AU od Slunce rychlostí 12,5 km·s−1 , jejíž směr svírá se směrem průvodiče úhel 55◦ . Určete rozměry trajektorie a dobu oběhu. Návod viz (Šedivý a Volf, 2000). 2.8 Chceme-li řešit závislost polohy na čase pro těleso pohybující po eliptické trajektorii v radiálním gravitačním poli, používá se tzv. Keplerova rovnice 1/2 Ψ − ε sin Ψ − (GM ) a−3/2 t = 0, kde M je hmotnost centrálního tělesa, a velikost hlavní poloosy, ε numerická excentricita a Ψ tzv. excentrická anomálie, pro kterou platí (zvolíme-li počátek souřadnic v ohnisku elipsy) x = a cos Ψ − aε,

y = a sin Ψ.

Odvoďte Keplerovu rovnici a pomocí ní ukažte platnost 3. Keplerova zákona. b) Kometa Hale-Bopp objevená 23. 7. 1995 prolétla 1. 4. 1997 periheliem ve vzdálenosti 0,9141 AU od Slunce. Hlavní poloosa její trajektorie měří 187,8 AU. V jaké vzdálenosti se nacházela v době objevení a jakou rychlostí se přitom pohybovala? Numerické výpočty proveďte pomocí vhodného počítačového programu, návod viz (Šedivý a Volf, 2000; Holíková, 2006). 2.9 Kometa se pohybuje po parabolické trajektorii v gravitačním poli Slunce, jež můžeme považovat za nehybné, v periheliu je ve vzdálenosti 1/3 AU od Slunce. Po jakou dobu bude kometa od Slunce vzdálena méně než 1 AU (Greiner, 2004)?

2.2

Pohyb tělesa s proměnnou hmotností

2.10 Německé rakety V2, jimiž Němci na konci 2. světové války ohrožovali Londýn, měly startovní hmotnost 13 000 kg, z toho hmotnost paliva byla 8 750 kg a palivo se spalovalo rychlostí α = 120 kg·s−1 . Rychlost spálených plynů byla asi 2 200 m·s−1 . Vypočtěte, po jakou dobu rakety spalovaly palivo, jaké maximální rychlosti a maximální výšky dosáhly. Návod viz (Greiner, 2004). 2.11 (Buquoyova úloha) Jedním z prvních, kdo sestavoval a řešil úlohy na pohyb soustav s proměnnou hmotností byl český šlechtic Jiří František August Buquoy (1781–1851). Jako první ve své knize uvádí následující: Na vodorovné podložce leží smotané dokonale ohebné vlákno, na jehož jeden konce působí svisle vzhůru konstantní síla. Sestavte a vyřešte pohybovou rovnici pro tento konec vlákna (Šíma a Podolský, 2006). 2.12 Prachová částice zanedbatelné hmotnosti padá v homogenním tíhovém poli skrz oblast nasycenou vodními parami. Páry na částici kondenzují tak, že hmotnost vznikající kapky vzroste na každém uraženém centimetru o λ gramů. Najděte závislost uražené dráhy a rychlosti kapky na čase (Greiner, 2004).

3. Diferenciální principy mechaniky, Lagrangeovy rovnice 3.1 Z drátu je vyroben rám tvaru pravoúhlého △ postavený svisle (obr. 3.1). Po rámu bez tření kloužou dvě závaží spojená nití o hmotnostech m1 = 100 g a m2 = 300 g. Zjistěte napětí niti a úhel α ve stavu rovnováhy. 3.2 V jaké poloze se ustálí slánka délky 2l ve skleničce tvaru duté polokoule o poloměru r? Tření zanedbejte. Výsledek získaný pomocí principu virtuální práce ověřte použitím momentové věty. Návod viz (Берeзкин, 1974).

2

m1 α 30◦

. m2

Obrázek 3.1: K úloze 3.1

3.3 Stanovte podmínku rovnováhy tuhé lomené dvojzvratné páky Páka je zatížena tíhovými silami G 1 a G 2 na svých koncích. Návod viz (Brdička a Hladík, 1987). 3.4 Homogenní tyč délky 2l se opírá jedním koncem A o hladkou svislou stěnu, druhý konec B je pomocí pevné niti vázán k bodu O. Body A, B, O leží v jedné rovině kolmé na stěnu, vzdálenost bodu O od stěny je a. Najděte rovnovážnou polohu tyče. Návod viz (Brdička a Hladík, 1987). 3.5 Žebřík na obr. 3.2 se skládá ze dvou tyčí AC a CB spojených kloubem v bodě C. Hmotnost každé z tyčí je m. V bodě D stojí člověk o hmotnosti m1 . Určete reakci v bodě B, je-li |AC| = |CB| = 4|CD|, ∠CAB = ∠CBA = 60o .

C K

D L

60◦

60◦

A

B

Obrázek 3.2: K úloze 3.5

O

3.6 (d’Alembertův princip:) Na soustavě pevné a pohyblivé kladky jsou zavěšena břemena o hmotnostech m2 ,m3 ,m4 podle obr. 3.3. Hmotnost pohyblivé kladky je m1 . Hmotnost vláken neuvažujte. Vypočtěte zrychlení zavěšených břemen a osy pohyblivé kladky v tíhovém poli. 3.7 Kroužek o hmotnosti m klouže po drátu ve tvaru spirály působením tíhové síly. Pomocí Lagrangeových rovnic 1. druhu najděte pohybové rovnice a určete reakci drátu jako funkci času. Šroubovice je dána průsečíkem dvou ploch x = a cos kz, y = a sin kz. Tíhové pole má směr osy z. 3.8 Sestavte pohybové rovnice částice o hmotnosti m klouzající bez tření v homogenním tíhovém poli po kulové ploše. Zjistěte, v jaké výšce se taková částice od kulové plochy odlepí.

m1

y m2 m4

m3

Obrázek 3.3: K úloze 3.6

3.9 Je dána soustava dvou stejných matematických kyvadel spřažených pružinou tuhosti k (zanedbatelné hmotnosti). Sestavte Lagrangeovu funkci charakteristickou rovnici a vypočtěte vlastní úhlové frekvence malých kmitů kyvadel. Obecné řešení pohybových rovnic modelujte pro zvolené počáteční podmínky pomocí vhodného počítačového programu, zaměřte se na případ vzájemného předávání energie mezi kyvadly. 3.10 Dvě koule o hmotnostech m a M jsou spojeny pevným, neroztažitelným lanem délky d, jehož hmotnost je zanedbatelná, prostrčeným malým otvorem uprostřed vodorovné roviny tak, že koule m obíhá bez tření po této rovině a koule M svisle visí na druhém konci vlákna. Určete typ vazby, sestavte Lagrangeovy rovnice 2. druhu a najděte integrály pohybu (Greiner, 2003).

3.11 Částice klouže bez tření po cykloidě o rovnicích x = a (ϑ − sin ϑ), y = a (1 + cos ϑ), 0 ≦ ϑ ≦ 2p. Sestavte Lagrangeovy rovnice a najděte jejich obecné řešení; ukažte, že po vychýlení z rovnovážné polohy koná harmonické kmity (Greiner, 2003; Obetková et al., 1990; Taylor, 2005). 3.12 Pomocí Lagraneova formalismu najděte frekvenci kmitů atomů trojatomové molekuly A − B − A, v níž rovnovážné polohy atomů leží v jedné přímce. Návod viz (Ландaу, 1988; Goldstein, 1980; Greiner, 2003). 3.13 Najděte závislost doby kmitu matematického kyvadla na amplitudě výchylky a ověřte ji numerickým řešením odpovídající diferenciální rovnice. Návod viz (Ландaу, 1988), numerické řešení např. (Holíková, 2006; Lepil a Richterek, 2007). 3.14 Najděte pohybové rovnice a rovnice vazby pro válcový disk o hmotnosti M a poloměru R, který se bez prokluzování valí po vodorovné rovině tak, že vždy stojí ve svislé rovině (Greiner, 2003). 3.15 Najděte rovnovážnou polohu a reakci vazby pro hmotný bod vázaný na elipsu otáčející se podle svislé osy y, jež je zároveň vedlejší osou elipsy, v homogenním tíhovém poli Země. Návod viz (Obetková et al., 1990). 3.16 Na svislém drátu tvaru půlkružnice o poloměru r ohnuté vzhůru jsou navlečeny dvě kuličky o hmotnostech m1 a m2 spojené neroztažitelnou nití délky 2L, jejíž hmotnost je zanedbatelná. Najděte úhel α, který svírá nit s vodorovným směrem v rovnovážné poloze soustavy. Návod viz (Obetková et al., 1990). 3.17 Trojité matematické kyvadlo je rovinné kyvadlo tvořené třemi hmotnými body zavěšenými postupně pod sebou na vláknech konstantní délky a zanedbatelné hmotnosti, která kmitá okolo pevného závěsu. Předpokládáme, že hmotnosti m částic i délky kyvadel l jsou stejné. Sestavte pohybové rovnice soustavy a určete tzv. hlavní kmity (Obetková et al., 1990).

4.

Soustava hmotných bodů, tuhé těleso

4.1 Tenzor T má nějaké soustavě souřadnic složky ( Tik =

1 7

4 3

) .

Najděte složky Ti′ k′ tohoto tenzoru v souřadnicové soustavě, která je oproti původní otočená o 30◦ v kladném směru. 4.2 Pro symetrický tenzor T o složkách



Tik

7 0 = 0 1 2 0

 2 0  4

napište odpovídající kvadratickou bilineární formu, najděte jeho hlavní složky a přepište kvadratickou formu v souřadnicové soustavě hlavních os.

3

4.3 Pro totálně antisymetrický Levi-Civitův tenzor třetího řádu o složkách (v libovolné soustavě souřadnic!) εijk dokažte, že platí ∑ εijk εklm = εijk εlmk = δil δjm − δim δjl . k

4.4 Je dán trojúhelník ABC, kde A = [3; 0; 0], B = [0; 4; 0], C = [0; 0; 2]. Zjistěte, jak se změní jeho tvar, jestliže jej zobrazíme ortogonální maticí (Macur, 2010)   2 2 −1 1 M =  2 −1 2  . 3 −1 2 2 4.5 Najděte inverzní matice k maticím (Macur, ( 3 a) 7

2010) ) 2 ; 5

( cos α b) sin α

) − sin α . cos α

4.6 Najděte lineární transformaci převádějící kvadratickou formu ϕ = 5x21 + 8x1 x2 + 5x22 na diagonální tvar a tento tvar uveďte (Macur, 2010). 4.7 Určete těžiště homogenní desky na obr. 4.1. 1 1 4.8 Určete polohu hmotného středu homogenní tenké desky omezené obloukem křivky y = a cos x, x ∈ ⟨− p, p⟩ a osou x. 2 2 4.9 Vypočítejte souřadnice hmotného středu oktantu homogenního elipsoidu, jehož plášť je určen rovnicí x2 y2 z2 + + = 1; a2 b2 c2 návod viz (Obetková et al., 1990). 4.10 Vypočtěte momenty setrvačnosti Ixy , Ixz , Iyz homogenní trojúhelníkové desky o hmotnosti M (viz obr. 4.2). 4.11 Vypočtěte moment setrvačnosti vzhledem k ose x homogenního trojosého elipsoidu o rovnici (Landau, 1980) x2 y2 z2 + + = 1. a2 b2 c2 4.12 Najděte tenzor setrvačnosti vzhledem k souřadnicovým osám a hlavní osy setrvačnosti homogenní čtvercové desky o straně a a hmotnosti M , pro kterou platí x ∈ ⟨0,a⟩, y ∈ ⟨0,a⟩, z = 0. Napište rovnici elipsoidu setrvačnosti (Greiner, 2003). 4.13 Najděte tenzor setrvačnosti soustavy dvou hmotných bodů o souřadnicích (1,1,0) m a (−1, − 1,0) m a hmotnostech m1 = m2 = 1 kg. Dále určete −1 a) moment hybnosti, rotuje-li soustava úhlovou rychlostí ω = (0,3,0) rad·s√ , √ b) moment setrvačnosti vzhledem k ose y a ose určené vektorem o = (1/ 5,2/ 5,0), c) tenzor setrvačnosti vzhledem k bodu P = (2,4,0) m, d) transformujte tenzor setrvačnosti nalezený v bodě a) do soustavy hlavních os setrvačnosti a určete hlavní momenty setrvačnosti. 4.14 Tyč délky l klouže po vedení, které se skládá ze čtvrtkruhové části o poloměru a < l a z přímé části podle obr. 4.3. Výchozí poloha tyče je naznačena na obrázku. Určete graficky i analyticky nehybnou polodii. Návod viz (Vybíral, 1997). 4.15 Tuhé těleso s hlavními momenty setrvačnosti 7 kg · m2 , 25 kg · m2 a 32 kg · m2 rotuje kolem svého hmotného středu. Na počátku byla oddělena úhlová rychlost Ω vzhledem k ose určené vektorem o = (4,0,3). Najděte průměty úhlové rychlosti do hlavních os setrvačnosti a pomocí Eulerových dynamických rovnic najděte jejich závislost na čase. 4.16 Dokažte, že pootočení tuhého tělesa o úhel α okolo libovolné osy lze vyjádřit Eulerovými úhly podle vztahu cos

α ψ+φ ϑ = cos cos . 2 2 2

Návod viz (Obetková et al., 1990). 4.17 Tágem udeříme do kulečníkové koule o hmotnosti m a poloměru R tak, že hmotný střed se začne pohybovat rychlostí v0 , vektorová přímka hybnosti přitom hmotným středem prochází. Koeficient tření mezi koulí a hracím stolem je µ. Jakou dráhu koule urazí, než klouzání po podložce přejde ve valivý pohyb (Greiner, 2003)? 4.18 Povrch neutronové hvězdy varu koule pomalu vibruje tak, že hlavní momenty setrvačnosti jsou následujícími funkcemi času Izz Ixx

2 mr2 [1 + ε cos (ωt)] 5 [ ] ε 2 = Iyy = mr2 1 − cos (ωt) 5 2

=

4



R

z a



r

a





O l

Obrázek 4.1: K úloze č. 4.7




 



y



a

a

Obrázek 4.2: K úloze č. 4.10

Obrázek 4.3: K úloze č. 4.14

Obrázek 4.4: K zadání úlohy 4.20

Hvězda zároveň rotuje s úhlovou frekvencí Ω(t). a) Ukažte, že složka Ωz zůstává téměř konstantní. b) Ukažte, že Ω(t) koná nutační pohyb okolo osy z a najděte úhlovou frekvenci nutace pro případ Ωz Č ω (Greiner, 2003). 4.19 Tenká tyč délky l a hmotnosti M leží na dokonale hladké podložce. Hokejový pul o hmotnosti m narazí kolmo do tyče rychlostí v ve vzdálenosti d od jejího hmotného středu a poté zůstane v klidu. Popište pohyb tyče po nárazu a určete, pro jaký podíl m/M zůstane puk po nárazu v klidu (Greiner, 2003). 4.20 Po vodorovné ledové ploše klouže bez tření soustava tří malých koulí o hmotnosti m spojená dráty o zanedbatelné hmotnosti do tvaru rovnostranného trojúhelníka o straně l (obr. 4.4). V určitém okamžiku se koule A pohybuje rychlostí v ve směru AB a okamžitá rychlost koule B je rovnoběžná s úsečkou BC. Určete: a) okamžité rychlosti koulí B a C a těžiště soustavy T , b) úhlovou rychlost soustavy, c) velikosti sil, jimiž jsou namáhány dráty spojující koule. 4.21 Určete frekvenci malých kmitů homogenního půlválce ležícího na vodorovné rovině, pokud jej málo vychýlíme z rovnovážné polohy. Návod viz (Horský et al., 2001), s. 124–125. 4.22 Dokažte, že divergence vektoru se při ortogonální transformaci souřadnic nezmění, tj. je invariantní; návod viz např. (Obetková et al., 1990).

4.1

Neinerciální vztažné soustavy

4.23 Odvoďte pohybové rovnice pro pohyb v gravitačním poli rotující Země v soustavě spojené s jejím povrchem (Greiner, 2003). Najděte přesné řešení těchto rovnic pro případ volného pádu z výšky h v blízkosti povrchu Země, kdy gravitační pole v oblasti pohybu lze považovat za homogenní tíhové pole se zrychlením g. 4.24 Najděte Lagrangeovu funkci pro pohyb částice v neinerciální vztažné soustavě a ověřte platnost zákona zachování energie v neinerciální vztažné soustavě (Brdička a Hladík, 1987; Ландaу, 1988; Landau, 1980). 4.25 Řeka šířky D = 2 km teče v místě se severní zeměpisnou šířkou φ = 45° směrem k severu, přičemž rychlost vody v korytě je v0 = 5 km·h−1 . Který břeh je vyšší a o kolik (Greiner, 2003)? 4.26 Ukažte, že úhlová rychlost otáčení Foucaultova kyvadla v místě se zeměpisnou šířkou φ je rovna ω sin φ, kde ω je úhlová rychlost otáčení Země okolo své osy (Trkal, 1956; Ландaу, 1988; Landau, 1980; Bajer, 2006; Greiner, 2003). 4.27 Na základě podmínky rovnováhy mezi gravitační a odstředivou silou odvoďte tvar povrchu Země a určete její zploštění (Barger a Olsson, 1973). 4.28 Odhadněte výšku přílivu v závislosti na zeměpisné šířce (Barger a Olsson, 1973).

5. Variační principy, Hamiltonovy a Hamiltonovy-Jacobiho rovnice 5.1 Dokažte, že nejkratší spojnicí dvou bodů v rovině je přímka ((Elsgolc, 1965; Goldstein, 1980)). 5.2 Najděte rovnici rovinné křivky spojující pevně dané body x1 ,y1 , x2 ,y2 , pro kterou bude povrch vzniklý rotací této křivky podél osy y minimální. ((Elsgolc, 1965; Goldstein, 1980)). 5.3 Najděte tvar křivky, kterou zaujme vlastní tíhou ohebný drát (řetěz) zavěšený ve dvou bodech (Brdička a Hladík, 1987). 5.4 Úloha o brachistochroně: Najděte tvar křivky, podél níž se hmotný bod přemístí v homogenním tíhovém poli z bodu A = [0,0] do bodu B = [x1 ,y1 ] v nejkratším možném čase. 5.5 Stíhací křivka: Najděte tvar křivky, podél níž se pohybuje pes, jestliže běží stále směrem k pánovi, tj, ve směru jejich okamžité spojnice (Trkal, 1956). 5.6 Sestavte Hamiltonovy rovnice a Hamilton-Jacobiho rovnici pro pohyb matematického kyvadla a studujte malé kmity matematického kyvadla pomocí Hamilton-Jacobiho rovnice. 5

5.7 Pomocí Hamilton-Jacobiho rovnice řešte volný pád částice v homogenním tíhovém poli z výšky h. 5.8 Napište Hamiltonovy rovnice pro pohyb částice v soustavě, která se otáčí s úhlovou rychlostí ω(t). 5.9 Sestavte Hamiltonovy rovnice pro hmotný bod o hmotnosti m vázaný na plášť kužele v homogenním tíhovém poli (viz obr. 5.1). Ukažte, že ezistují mezní hodnoty zmin a zmax pro pohyb částice. Ukažte také, že pro z > 0 existuje řešení Hamiltonových rovnic obsahující kruhový pohyb v rovině z = konst. Taylor (2005) 5.10 Napište Hamiltonovy rovnice pro pohyb sférického kyvadla (Obetková et al., 1990). 5.11 Najděte Hamiltonovu funkci pro pohyb nabité částice v elektromagnetickém poli ((Horský et al., 2001), s. 95). 5.12 Uvažujme prostor mezi dvěma souosými válci o poloměrech R0 ,R. Mezi válci je elektrické pole E kolmé na osu válce, jehož velikost je nepřímo úměrná vzdálenosti od osy E = k/r. Navíc je válem v homogenním magnetickém poli rovnoběžném s osou válce. Routhovou metodou najděte rychlost, jakou musí částice s nábojem q vyletět z vnitřního válce kolmo na osu, aby dosáhnul vnějšího válce ((Horský et al., 2001), s. 95).

Obrázek 5.1: K úloze 5.9

5.13 Najděte vhodnou vytvořující funkci F3 (pk ,Qk ,t) kanonické transformace od kartézských ke sférickým souřadnicím a pomocí ní najděte vztah mezi složkami hybnosti v těchto soustavách souřadnic; návod viz (Obetková et al., 1990). 5.14 Dokažte, že transformace daná rovnicemi √ Q = 2qek cos p,

P =

√ −k 2qe sin p,

kde k je konstanta, je kanonická (Obetková et al., 1990).

6. Mechanika kontinua 1

6.1 Pro rovinný případ daný (obr. 6.1) sestavte tenzor napětí v bodě O. F = (3, − 3)T − 2)T N, S1 = 3 m2 , S2 = 2 m2 , n = (3,2)T . a) Určete jeho hlavní napětí a hlavní směry napětí. b) Určete napětí v bodě P pro h → 0. Návod viz (Kolář, 2003).

N,

2

F = (−2, −

6.2 Určete tenzor napětí v zavěšeném válci, u něhož nezanedbáváme vlastní hmotnost. Pro jednoduchost zvolme kruhový průřez a válec nechť je homogenní (ϱ=konst.) o výšce l a ploše podstavy S. Návod viz (Kolář, 2003). 6.3 Je dán tenzor napětí v bodě P



 7 −5 0 τij = −5 3 1 . 0 1 2

Určete vektor napětí působící na plochu procházející bodem P rovnoběžně s rovinou o rovnici 3x1 + 6x2 + 2x3 = 12 (Mase, 1970). 6.4 Je dán tenzor napětí



 5 0 0 τij = 0 −6 −12 . 0 −12 −1

Najděte hlavní směry napětí a soustavu, v níž budou tečná napětí maximální (Mase, 1970). 6.5 Najděte hlavní napětí a hlavní směry napětí pro tenzor napětí (Mase, 1970)   τ τ τ Š = τ τ τ  τ τ τ . 6.6 Pro pohyb kontinua zadaný rovnicemi y1 = kx2 t + x1 , y2 = x2 , y3 = x3 , sestavte tenzor konečné deformace a tenzor malé deformace. Návod viz (Kolář, 2003). 6.7 Pole rychlosti proudící tekutiny je popsáno rovnicemi v1 = 0,

( ) v2 = A x1 x2 − x23 e−Bt , ( ) v3 = A x22 − x1 x3 e−Bt . 6

Najděte tenzory rychlosti deformace a tenzor rychlosti rotace a jemu odpovídající axiální vektor víru rychlosti (Mase, 1970). ( ) 6.8 Vektor posunutí v látce je dán vztahem u = x21 x2e 1 + x2 − x23 e 2 + x22 x3e 3 . Najděte tenzor (malé) deformace, tenzor rotace, jemu odpovídající vektor v √ bodě P = [1,2, − 1], relativní změnu jednotkového objemu a relativní změnu jednotkového vektoru ve směru a = (e x + e y ) / 2 (Mase, 1970). 6.9 Závaží je zavěšeno na gumovém vlákně, které má délku l v nezatíženém stavu. Závaží vychýlíme o 90 ◦C (bez napínání vlákna) a pustíme. Při průchodu vlákna svislou polohou je jeho délka l1 . Určete rychlost závaží v tomto okamžiku. Hmotnost vlákna zanedbejte. Návod viz (Kolář, 2003). 6.10 Určete vlastní frekvenci ω0 kmitů kovové tyče obdélníkového průřezu s rozměry a, b a délky l, která je jedním koncem vetknuta a k jejímu volnému konci je upevněno závaží o hmotnosti m. Předpokládejte, že hmotnost tyče M Ć m a rozměry závaží jsou zanedbatelné. Návod viz (Kolář, 2003). 6.11 Ocelové pravítko délky l = 30 cm, šířky a = 1,5 cm a tloušťky b = 0,08 cm se oběma konci opírá o dvě lišty přibité ke stolu ve vzdálenosti L = 29 cm a) Jakou křivku vytváří ohnuté pravítko? b) Jakou silou působí pravítko na lišty? Návod viz (Kolář, 2003).

y

S

n

S1

Ň 1

F P

h O

S2

2

F Obrázek 6.1: K úloze 6.1.

6.12 Projektovaná betonová přehradní zeď, o délce e = 50 m a výšce v = 20 m, má příčný průřez tvaru lichoběžníku, jehož svislá vnitřní strana je v = 20 m, vodorovná základna spodní b = 12 m, horní c = 2 m. Hustota použitého betonu je ϱb = 2 400 kg·m−3 . a) Vypočtěte hydrostatickou tlakovou sílu působící na zeď, jestliže hladina vody v přehradě dosahuje horní hrany zdi. b) Přesvědčte se, jestli při zatížení hydrostatickou tlakovou silou podle a), je zajištěna stabilita přehradní zdi proti překlopení. Návod viz (Kolář, 2003). 6.13 Mějme dva nafukovací balónky stejného objemu, umístěné v autobuse. Jeden naplněný He (upevněný provázkem k podlaze) druhý plněný CO2 a upevněný ke stropu ve stejné výši jako první. Určete, jak se budou balónky pohybovat, jestliže se autobus začíná rozjíždět s konstantním zrychlením a a my přestřihneme provázky. Návod viz (Kolář, 2003). 6.14 Určete, jaké množství vody vyteče za sekundu z nádoby obdélníkovým otvorem o základně b a výšce a, je-li nádoba tak velká, že hladina vody v nádobě prakticky neklesá, a je-li otvor tak vysoký, že rychlost výtoku nelze považovat za konstantní. Horní okraj otvoru je v hloubce h pod hladinou. Návod viz (Kolář, 2003).

r0

6.17 Vypočtěte největší výkon a optimální otáčky Peltonovy turbíny, ke které přivádíme vodu z přehradní nádrže, jenž je ve výšce h = 300 m. Přiváděcí potrubí je zakončeno tryskou, jejíž ústí má poloměr r = 30 mm. Lopatkové kolo má střední poloměr r0 = 355 mm a jeho lopatky nechť obracejí směr toku ideálně o 180° (obr. 6.2). (Ve skutečnosti je z konstrukčních důvodů odklon minimálně o asi 4° menší.) Předpokládejte, že turbína má dostatečný počet lopatek, aby bylo možné uvažovat, že účinek proudu je spojitý. Návod viz (Vybíral, 2005).

u

v −(v − u )

v −u

R

−(v − u ) Obrázek 6.2: K úloze 6.17 O x

6.15 Určete rozložení rychlosti pohybu nestlačitelné vazké tekutiny, mezi dvěma souosými válcovými plochami rotujícími obvodovými rychlostmi kolem společné osy, jestliže va je rychlost na vnitřní ploše o poloměru a, vb je rychlost na vnější ploše o poloměru b. Návod viz (Kolář, 2003). 6.16 Určete rozdělení rychlosti v průřezu viskózní nestlačitelné tekutiny proudící mezi dvěma rovnoběžnými stěnami. Návod viz (Kolář, 2003).

x

u y

h

P r d

a Obrázek 6.3: K úloze 6.18

6.18 Výtok z vodní nádrže je uzavřen segmentovým stavidlem, které je částí válcové plochy o poloměru r = 3,50 m vymezené rozměry a = 2,00 m, d = 2,50 m (obr. 6.3). Šířka stavidla je b = 3,00 m a výška hladiny h = 6,00 m. Vypočtěte výslednou tlakovou sílu působící na stavidlo a určete, kterým bodem prochází její nositelka. Návod viz (Vybíral, 2003). 6.19 Je dán tenzor napětí



 5 0 0 τij = 0 −6 −12 . 0 −12 −1

Najděte hlavní směry napětí a soustavu, v níž budou tečná napětí maximální (Mase, 1970). 7

6.20 Určete deformaci duté válcové roury, na níž působí vnitřní tlak p, vnější tlak je nulový. Vnější poloměr roury je R2 , vnitřní R1 . 6.21 Odvoďte rovnici pro vedení tepla v tuhém neohraničeném prostředí s rozdělením teploty, které vyhovuje pouze jedné podmínce – v nekonečnu se teplota blíží konstantní hodnotě T0 a nevyskytují se deformace (Obetková et al., 1990). 6.22 Najděte vztah pro rychlost izotermického vytékání plynu z velké nádoby velmi malým otvorem v jejím dně a odvoďte tzv. Grahamův zákon (Obetková et al., 1990). ( ) 6.23 Ověřte, že funkce ϕ = A x21 − x22 může být rychlostním potenciálem tekutiny a najděte odpovídající proudové čáry (Mase, 1970). 6.24 Komplexní rychlostní potenciál má tvar f (z) = Az n , kde A, n jsou kladné konstanty. Najděte rychlostní potenciál ϕ, proudovou funkci ψ a určete typ proudění (Obetková et al., 1990). 6.25 Odvoďte závislost tlaku ideálního plynu (vzduchu) na nadmořské výšce v homogenním tíhovém poli za předpokladu, že závislost tlaku a hustoty odpovídá adiabatickému ději. Ukažte, že teplotní gradient (pokles teploty s nadmořskou výškou) bude konstantní (Douglas et al., 1985). 6.26 Proudové pole je popsáno vektorem rychlosti tekutiny v = (x − 7) e x + (a − y) e y . Najděte průběh proudových čar v polorovině pro x < 7 pro a ∈ ⟨2; 5⟩. Předpokládejte, že pro a = 2 proudová čára prochází bodem M = [0; 1] (Macur, 2010). ) ( 6.27 Proudové pole v rovině je popsáno potenciálem rychlosti φ = ax x2 − 3y 2 , kde a je kladná konstanta. Najděte rovnice proudových čar a komplexní potenciál proudového pole (Macur, 2010). √ 6.28 Najděte proudové čáry a hladiny potenciálu proudového pole popsaného komplexním potenciálem w = z (Macur, 2010).

7. Nelineární dynamika 7.1 Pohyb jednorozměrného oscilátoru je popsán rovnicí x ¨ + αx˙ + γx3 = 0. Ukažte, že jde o disipativní systém, najděte rovnovážné body a posuďte jejich stabilitu (Greiner, 2003). 7.2 Nelineární systém je popsán pohybovými rovnicemi [ ( )] x˙ = −y + x ϱ − x2 + y 2 , [ ( )] y˙ = x + y ϱ − x2 + y 2 . Najděte jejich stabilní řešení (Greiner, 2003). 7.3 Van der Polův oscilátor sehrál významnou úlohu ve vývoji nelineární dynamiky. Z matematického hlediska je popsán van der Polovou rovnicí ( ) dy d2 y + µ y2 − 1 + y = 0, (1) 2 dt dt kde µ ≧ 0 je konstantní parametr. Rovnice tohoto typu se objevila při studiu nelineárních elektrických obvodů v prvních radiopřijímačích v roce 1926 holandským inženýrem B. van der Polem, podobnou rovnicí se zabýval už lord Rayleigh okolo roku 1880 v souvislosti s nelineárními vibracemi (Strogatz, 2000; Greiner, 2003). Prostudujte vlastnosti řešení (numerické řešení viz (Lepil a Richterek, 2007)). 7.4 Známý Lorenzův atraktor je nazván po meteorologovi Edwardu Nortonu Lorenzovi (1917–2008), jenž v roce 1963 z hydrodynamických rovnic vynucené konvekce v atmosféře za silně zjednodušených předpokladů odvodil systém tří provázaných nelineárních diferenciálních rovnic. Lorenzovy rovnice lze zapsat ve tvaru (Strogatz, 2000) dx dt dy dt dz dt

= σ (y − x) ,

(2a)

= x (r − z) − y,

(2b)

= xy − bz,

(2c)

kde σ, r a b jsou nezáporné hydrodynamické parametry – σ tzv. Prandtlovo číslo, r tzv. Rayleighovo číslo (b pojmenování nemá). Numericky studujte vlastnosti systému (viz např. (Lepil a Richterek, 2007)). 7.5 Logistická funkce (mapa) je dána rovnicí f (x) = αx (1 − x) na intervalu x ∈ ⟨0,1⟩. Prostudujte její závislost na parametru α při opakované aplikaci této funkce (Greiner, 2003).

8

8. Doporučený software Algebraické výpočty si můžete usnadnit pomocí vhodného počítačového programu. Kromě komerčně distribuovaného software jako Mathematica, Maple nebo Derive lze využít volně šiřitelné programy, např. systém Maxima (http://maxima.sourceforge.net/). Numerické řešení diferenciálních rovnic, s nímž se při výpočtech setkáte, lze opět modelovat pomocí řady komerčních programů, např. Matlab. Volně šiřitelnou alternativou jsou např. systémy Octave (s velmi podobnou syntaxí jako Matlab, http://www.gnu.org/software/octave/, popř. v češtině http://www.octave.cz; základy dynamického modelování s programem GNU Octave jsou na konkrétních příkladech popsány např. v (Holíková, 2006; Lepil a Richterek, 2007).) nebo Scilab (http://www.scilab.org), na středních školách je známý i DOSovský Famulus (http://vnuf.cz/sbornik/odkazy/). Stále populárnější jsou také volně dostupná prostředí Easy Java Simulations (http://www.um.es/fem/Ejs/) nebo Modellus (http://modellus.fct.unl.pt). Dodejme, že pro některé úlohy lze využít pouze tabulkový kalkulátor typu MS Excel. Náročnější řešitelé mohou sáhnout přímo po některém z programovacích jazyků (Java, C, apod.) – takové příspěvky budou na cvičení obvzláště vítány a budou započítány jako plusové body v celkovém hodnocení!

Použitá literatura Arfken, G. B., a Weber, H. J. (2005). Mathematical Methods for Physicists. Amsterdam, Boston: Elsevier Academic Press. Bajer, J. (2004a). Mechanika 1. PřF UP Olomouc. Bajer, J. (2004b). Mechanika 2. PřF UP Olomouc. Bajer, J. (2006). Mechanika 3. PřF UP Olomouc. Barger, V. D. a Olsson, M. G. (1973). Classical mechanics. A Modern Perspective. McGraw-Hill Book Company. Бaть, М. И.; Джaнeлидзe, Г. Ю.a Keльзoн, А. С. (1967). Теоретическaя механикa примерaх и задачах I. Москва: Наука. Бaть, М. И.; Джaнeлидзe, Г. Ю. a Keльзoн, А. С. (1968). Теоретическaя механикa примерaх и задачах II. Москва: Наука. Бaть, М. И.; Джaнeлидзe, Г. Ю. a Keльзoн, А. С. (1973). Теоретическaя механикa примерaх и задачах III. Москва: Наука. Берeзкин, Е. Х. (1974). Курс теоретическoй механики. Москва: Издательство Москoвскoгo Университетa. Brdička, M. a Hladík, A. (1987). Teoretická mechanika. Praha: Academia. Douglas, J. F.; Gasiorek, J. M. a Swaffield, J. A. (1985). Fluid mechanics. Longman Scientific & Technical. Elsgolc, L. E. (1965). Variační počet. Praha: SNTL. Goldstein, H. (1980). Classical Mechanics. Addison-Wesley Publishing Company, Inc.. Gregory, R. D. (2006). Classical mechanics. Cambridge University Press. Greiner, W. (2003). Classical mechanics. System of particles and Hamiltonoan mechanics. New York: Springer-Verlag. Greiner, W. (2004). Classical mechanics. Point particles and relativity. New York: Springer-Verlag, 2004. Holíková, L. (2006). Použití numerických metod v úlohách středoškolské fyziky. Diplomová práce, Univerzita Palackého Olomouc. http://muj.optol.cz/~richterek/data/media/diplomky/06_holikova.pdf Horský, J. a Novotný, J. (1998). Teoretická mechanika. Brno: Masarykova univerzita. Horský, J.; Novotný, J. a Štefaník, M. (2001). Mechanika ve fyzice. Praha: Academia. Chorlton, F. (1963). Textbook of Dynamics. London: D. van Nostrand Company Ltd. Jírů, J. (2006). Diferenciální počet ve fyzice. Hradec Králové: MAFY. http://fo.cuni.cz/texty/dif.pdf Juliš, K. a Brepta, R. (1987). Mechanika II. díl (Dynamika). Praha: SNTL. Kay, D. C. (1988). Schaum’s outlines: Tensor calculus. New York: McGraw-Hill. Kolář, M. (2003). Sbírka úloh z mechaniky kontinua. Dizertační práce, Univerzita Palackého Olomouc. http://muj.optol.cz/~richterek/data/media/diplomky/03_kolar.pdf Kvasnica, J. (1989). Matematický aparát fyziky. Praha: Academia. Kvasnica, J.; Havránek, A.; Lukáč, P. et al. (2004). Mechanika. Praha: Academia. Ландaу, Л. Д. a Лифшиц, E. M. (1988). Механика. Москва: Наука. Landau, L. D. a Lifšic, J. M. (1980) Úvod do teoretickej fyziky 1 (mechanika, elektrodynamika). Bratislava: Alfa. Lepil, O.; Richterek, L. (2007). Dynamické modelování. Ostrava: Repronis. http://www.ufm.sgo.cz/ke_stazeni/Dynamicke_modelovani.pdf Macur, M. (2010). Úvod do analytické mechaniky a mechaniky kontinua. Brno: VUTIUM. Mase, G. E. (1970). Schaum’s outlines: Continuum mechanics. New York: McGraw-Hill. Meщчeрский, И. В. (1961). Сборник задач по теоретическoй механикe. Москва: Физмaтгиз. Obetková, V.; Mamrillová, A. a Košinárová, A. (1990). Teoretická mechanika. Bratislava: Alfa. Spurk, J. H. (1997). Fluid mechanics. Problems and Solutions. Berlin, Heidelberg: Springer Verlag. Strogatz, S. H. (2000). Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering. Westview Press. Šedivý, P. a Volf, I. (2000). Pohyb tělesa po eliptické trajektorii v radiálním gravitačním poli. Knihovnička FO č. 43„ Hradec Králové: MAFY. http://fo.cuni.cz/texty/druzice.pdf Šíma, V. a Podolský, J. (2006). Buquoyova úloha. PMFA, ročník 51, č. 3, s. 177–186. Taylor, J. R. (2005). Classical Mechanics. Susalito, California: University Science Books. Tillich, J. (1984). Teoretická mechanika. Olomouc: PřF UP Olomouc. Trkal, V. (1956). Mechanika hmotných bodů a tuhého tělesa. Praha: ČSAV. 9

Ungermann, Z. a Volf, I. (1983). Hmotný střed tělesa. Praha: SPN. Vybíral, B. (1992). Základy teoretické mechaniky (1. a 2. díl). Pedagogická fakulta Hradec Králové: Gaudeamus. Vybíral, B. (1997). Kinematika a dynamika tuhého tělesa. Knihovnička FO č. 31, Hradec Králové: MAFY. http://fo.cuni.cz/texty/dynamika.pdf Vybíral, B. (1998). Setrvačníky a jejich aplikace. Knihovnička FO č. 34, Hradec Králové: MAFY. http://fo.cuni.cz/texty/setrv.pdf Vybíral, B. a Zdeborová, L. (2002). Pohyb těles s vlivem odporových sil. Knihovnička FO č. 55„ Hradec Králové: MAFY. http://fo.cuni.cz/texty/odpory.pdf Vybíral, B. (2003). Mechanika ideálních kapalin. Knihovnička FO č. 62, Hradec Králové: MAFY. http://fo.cuni.cz/texty/kapaliny.pdf Vybíral, B. (2005). Aplikovaná mechanika tekutin. Knihovnička FO č. 69„ Hradec Králové: MAFY. http://fo.cuni.cz/texty/aplikace.pdf Yung-Kuo, L. et al. (1994). Problems and Solutions on Mechanics. Major American Universities Ph.D. Qualifying Questions and Solutions. Singapore: Wolrd Scientific. Žídek, A. (1998). Sbírka úloh z teoretické mechaniky. Diplomová práce, UP Olomouc.

10