Kuliah Fisika Dasar
GERAK BENDA TEGAR • Benda tegar adalah sistem benda yang terdiri atas sistem benda titik yang jumlahnya tak-hinggadan jika ada gaya yang bekerja, jarak antara titik-titik anggota sistem selalu tetap. Gerak benda tegar terdiri atas
⊲ Gerak Translasi ⊲ Gerak Rotasi ⊲ Kombinasi gerak rotasi dan translasi
Gbr. 1: Gerak rotasi dan translasi pada benda tegar
Kinematika Rotasi • Kinematika rotasi adalah mempelajari gerak rotasi benda tegar dengan mengabaikan gaya penyebab gerak rotasi(lihat kinematika translasi). Parameter fisika yang penting dalam kinematika rotasi adalah 1. Perpindahan rotasi(angular) → 2. Kecepatan rotasi(angular) → 3. Percepatan rotasi(angular) →
θ(rad)
ω(rad/s) α(rad/s2 )
• Gerak rotasi dapat dibedakan yaitu
[email protected]
-1-
Kuliah Fisika Dasar
1. Gerak rotasi beraturan
ω = tetap atau α = 0 2. Gerak rotasi berubah beraturan
α 6= 0 → α > 0 atau α < 0 dan ω > 0 artinya ada gerak rotasi dipercepat atau diperlambat.
• Hubungan Perpindahan, kecepatan dan percepatan angular adalah
dengan
dω dt
θ
=
ω
=
1 2 θo ± ωo t + αt 2 ωo + αt
(1) (2)
∆θ ∆ω dθ dan α = lim = = ∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t dt
ω = lim
• Kecepatan dan percepatan angular sebagai vektor ω
v
r v
θ
Gbr. 2: hubungan kecepatan dan percepatan angular sebagai vektor
Hubungan antara kecepatan angular dan translasi adalah
[email protected]
-2-
Kuliah Fisika Dasar
v = ω r dalam bentuk vektor v = ω × r = ωr u ˆθ dimana
(3)
u ˆθ adalah vektor satuan tegak lurus jari-jari ling-
karan.
∆v • Percepatan a = lim mengarah ke pusat lingkaran ∆t→0 ∆t sehingga disebut dengan percepatan sentripetal dan dinyatakan
acp
vT2 , vT = ω × (ω × r) =ω r= r 2
(4)
Untuk kecepatan yang tidak tetap, pada arah menyinggung lintasan akan timbul percepatan tangensial atau aT dan hubungannya
dω dvT =r = αr (5) dt dt q a2T + a2cp atau a = Maka percepatan total adalah a = aT =
−ω 2 r u ˆr + αrˆ uθ .
Dinamika Rotasi • Dinamika gerak rotasi adalah mempelajari gerak rotasi dengan memperhitungkan pengaruh gaya yang menyebabkan benda bergerak. Karena ada pengaruh gaya maka dinamika rotasi meliputi 1. Hukum kekekalan momentum rotasi 2. Hukum kekekalan energi
[email protected]
-3-
Kuliah Fisika Dasar
• Hukum gerak yang mengatur gerak translasi dan rotasi adalah hukum Newton ke-2. yaitu Gerak translasi
X
F = ma
(6)
Gerak rotasi
X
τ = Iα
(7)
Gbr. 3: Gerak mobil ketika membelok
[email protected]
-4-
Kuliah Fisika Dasar
Momen inersia dan Momen Gaya • Momen inersia kecenderungan benda untuk melakukan gerak rotasi. Momen inersia tergantung pada bentuk benda, massa dan letak sumbu putar(r ) dan dinotasikan dengan I , 2
satuannya kg.m
Untuk benda-benda yang tidak beraturan jarak sumbu putarnya disebut dengan jari-jari girasi atau k
• Momen inersia dapat dibedakan yaitu : benda titik, kumpulan benda titik dan benda kontinyu
= mr 2 (benda titik) X = mi ri2 (kelompok benda titik) Z M = r 2 dm (benda kontinyu)
I I I
(8) (9) (10)
0
r O (a) Satu benda titik O
r1 r pusat massa
r2
m
r3 r4 (c) Benda tegar (b) Kelompok benda titik
Gbr. 4: Momen inersia
[email protected]
-5-
Kuliah Fisika Dasar
✍ Menghitung Momen Inersia • Menghitung momen inersia dari batang dengan massa M , kerapatan ρ Elemen massa dm berada pada jarak x dari sumbu putarnya. Karena ρ = M/L maka dm = ρ dx = M/L dx Z L Z L Z L M M Iy = dx = x2 dm = x2 dx L L 0 0 0 L 1 M 1 3 x = M L2 = L 3 3 0
Y L dx x Z x
Gbr. 5: Menghitung momen inersia dari batang homogen
• Menghitung momen inersia dari cincin homogen dengan massa M dan jari-jari R
I=
[email protected]
Z
r 2 dm = R2
Z
dm = M R2
-6-
Kuliah Fisika Dasar
Y
X R
Z
Gbr. 6: Menghitung momen inersia dari cincin
✍ Teorema Sumbu Sejajar • Teorema sumbu sejajar adalah metode untuk menentukan momen inersia dari benda dengan menghubungkan momen inersia terhadap pusat dan momen inersia pada sumbu yang lain tetapi sejajar
I = M h2 + Ipm
(11)
m
bu
pu
ta
r
Y
Su
X R
Z
Gbr. 7: momen inersia dari cincin dengan teorema sumbu sejajar
[email protected]
-7-
Kuliah Fisika Dasar
Dari kasus diatas maka momen inersia dari cincin yang diputar sejauh h dari pusat massa adalah
I = Ipm + M h2 = M R2 + M R2 = 2M R2 Bagaimana dengan batang yang diputar pada pusat massanya? Y L/2 L dx x Z x
Gbr. 8: Momen inersia dari batang dengan teorema sumbu sejajar
Ic m = I − M h2 =
[email protected]
1 1 1 M L2 − M L2 = M L2 2 4 12
-8-
Kuliah Fisika Dasar
[email protected]
Gbr. 9: Momen inersia benda-benda uniform dengan berbagai bentuk -9-
Kuliah Fisika Dasar
Momentum Gerak Rotasi • Dalam hukum Newton, hubungan antara perubahan momentum linier dengan gaya luar adalah
dp F= dt
(12)
dimana p adalah momentum linier
• Momentum angular sebuah partikel dinyatakan sebagai gerak partikel dalam lingkaran berjari-jari r dengan kecepatan angular ω dan dinotasikan dengan L L = mvr = mωr 2 = Iω
(13)
Untuk kelompok partikel maka momentum angular totalnya adalah jumlah dari masing-masing elemen benda yaitu
Li =
X
mi ri2 ω
i
Gbr. 10: Prinsip momentum angular
[email protected]
-10-
Kuliah Fisika Dasar
• Sehingga perubahan momentum angular terhadap waktu dapat dinyatakan sebagai bentuk analog pada Pers(12) yaitu disebut dengan Torsi
d(Iω) dω dL = =I = Iα dt dt dt
τ=
(14)
• Jika torsi luar yang bekerja pada sistem adalah nol maka dapat dituliskan dari Pers(14) menjadi
dL = 0 → I1 ω1 = I2 ω2 dt
(15)
Pers(15) dikenal dengan hukum kekekalan momentum
~ Bukti L dL dt
= ~r × p~ dp dr dp + ×p=r× + v × mv dt dt dt dp = r× dt
= r×
Hukum Newton
dp dp →r×F =r× F= dt dt dp dL τ =r× = dt dt
[email protected]
-11-
Kuliah Fisika Dasar
Energi Kinetik Rotasi • Energi kinetik gerak rotasi dinyatakan 1 2 EK = Iω 2 Daya
P = τ ω dan Kerja rotasi Wrotasi =
(16)
Z
τ dθ . Hu-
kum Kekekalan Energi Kinetik Rotasi
∆EK = ∆EKtrans + ∆EKrotasi
(17)
• Kerja gerak translasi dan rotasi benda 1 vv t = mv 2 WT = F d = m.a.d = m t2 2
(18)
ωω 1 2 WR = τ θ = Iαθ = I t = Iω t 2 2
(19)
Gbr. 11: Energi kinetik translasi dan rotasi
[email protected]
-12-
Kuliah Fisika Dasar
Gerak rotasi dan gaya tegang tali • Persamaan gerak rotasi X τ = Iα → F R = Iα Maka T2
− T1 =
Ia , T=gaya tegang tali 2 R
• Persamaan gerak translasi T1 − m1 g = m1 a(beban 1); m2 g − T2 = m2 a(beban 2) T2 − T1 = (m2 − m1 )a + (m2 − m1 ) • Percepatan (m2 − m1 )gR2 a= I − (m2 − m2 )R2
(20)
Gbr. 12: Gerak rotasi dan gaya tegang tali
[email protected]
-13-
Kuliah Fisika Dasar
Gerak Rotasi dan Gaya Gesek • Pandang sebuah silinder(jari-jari R) yang diletakkan pada bidang horisontal B
11111 00000 00000 11111 C 00000 11111 00000 11111 00000 11111
Vrotasi
Vcm
Vcm
Vcm
B
B
11111 00000 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111
11111 00000 00000 11111 V=0 00000 11111 00000 11111 00000 11111 Vrotasi
A (a)
A (b)
Vcm
A (c)
Gbr. 13: Silinder pada bidang horisontal(a)translasi (b) rotasi dan (c)rotasi dan translasi
(a) Gerak translasi murni VA
= VB = VC = Vpm
(b) Gerak rotasi murni terhadap sumbu pusat massa Vpm
=
0, VA = −ωR, VB = +ωR (c) Gerak translasi dan rotasi : Gerak dengan sumbu putar melalui pusat massa(Vcm atau melalui titik A yang dinamakan sumbu sessaat.
• Gerak silinder pada bidang horisontal atau miring dapat berupa
⊲ Jika bidang licin(tidak ada gesekan) maka silinder akan bergerak meluncur(sliding)
⊲ Jika bidang tidak licin(ada gaya gesek) maka silinder akan berputar melalui pusat massa disebut mengglinding( rolling) yaitu kombinasi antara gerak rotasi dan translasi. Menggelinding dibedakan menjadi menggelinding dengan slip dan tanpa slip
[email protected]
-14-
Kuliah Fisika Dasar
Gaya gesek fk
N
Gaya normal
Silinder
M g sinθ M g cosθ Mg
θ
Gbr. 14: Silinder dalam bidang miring
• Gerak tanpa slip berlaku hubungan s = θR, VT = ωR, aT = αR dan disebabkan gaya gesek statik dan jika berputar satu kali, pusat massa berpindah sebesar 2πR
• Gerak dengan slip diakibatkan ada gaya gesek kinetik. Jika benda berputar tidak sama dengan 2πR, mungkin lebih besar atau lebih kecil dari 2πR.
[email protected]
-15-
