VEKTOR 2 SMA SANTA ANGELA. A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan :

1 |SMA SANTA ANGELA

VEKTOR A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan :

𝐵

𝐴 Keterangan : Titik A disebut titik Pangkal Titik B disebut titik Ujung Dinotasikan : ⃗⃗⃗⃗⃗ atau

B. Vektor di R2 ( Ruang Dimensi Dua ) Panjang Vektor, Vektor Nol, Vektor Satuan dan Vektor Basis 1. Panjang Vektor adalah jarak antara titik pangkal dan titik ujung vektor. Misalkan diketahui titik

(

) dan titik

(

). Panjang vektor ⃗⃗⃗⃗⃗

dinotasikan |⃗⃗⃗⃗⃗ |.

⃗⃗⃗⃗⃗ | |𝐴𝐵

(𝑦 − 𝑦 ) + (𝑥 − 𝑥 )

2. Vektor Nol adalah suatu vektor yang ukurannya nol dan arahnya sembarang. Dinotasikan : ⃗

( )

2 |SMA SANTA ANGELA

3. Vektor Satuan adalah suatu vektor yang panjangnya satu satuan. Hanya vektor nol yang tidak memiliki satuan. Jika adalah ⃗⃗⃗⃗⃗ . Secara aljabar ⃗⃗⃗⃗⃗

* + maka vektor satuan ke arah ( )

⃗⃗⃗ |⃗⃗⃗ |

√

dan |⃗⃗⃗⃗⃗ |

+

.

4. Vektor Basis adalah vektor-vektor yang saling tegak lurus. Pada bidang koordinat kartesius terdapat dua vektor basis yang dinyatakan dalam

* + dan ̂ ̂

Secara aljabar vektor

̂ dan ̂ .

* +. Jika diketahui suatu vektor

* + maka kombinasi linear vektor

̂

dalam vektor basis ̂ dan

adalah :

𝑎

𝑥 𝑖̂ + 𝑦 𝑗̂

5. Vektor Posisi

(

Misalkan diketahui titik

adalah vektor posisi dari titik adalah

). Vektor posisi yang diwakili oleh ⃗⃗⃗⃗⃗ . Vektor posisi dari titik

(

)

* +. 𝑌

𝐴(𝑥 𝑦 )

Vektor Posisi 𝑂

𝑋

3 |SMA SANTA ANGELA

Ruas Garis berarah

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵

𝑌

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵

𝑥𝑏 − 𝑥𝑎 *𝑦 − 𝑦 + 𝑏

𝐴(𝑥𝑎 𝑦𝑎 ) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵

𝐵(𝑥𝑏 𝑦𝑏 )

𝑎

𝑎

𝑏⃗

𝑂

𝑋

6. Operasi Pada Vektor a. Secara Geometri 1. Penjumlahan Aturan segitiga : jumlah vektor

dan ⃗ dapat ditentukan

dengan cara memindah vektor ⃗ ( tanpa mengubah besar dan arahnya ) Aturan

jajarangenjang : jumlah vektor

dan ⃗

dapat

ditentukan dengan cara memindah vektor ⃗ ( tanpa mengubah besar dan arahnya ), tetapi titik pangkal vektor ⃗ berimpit dengan titik pangkal vektor Aturan poligon : penjumlahan tiga buah vektor atau lebih. Sifat – sifat operasi penjumlahan vektor Sifat Komutatif Asosiatif Elemen identitas Negatif ( lawan )

Bentuk

+⃗

⃗ +

( + ⃗)+

+ (⃗ + )

⃗ , dengan ⃗ +

+⃗

− , dengan (− ) +

+ (− )

⃗

4 |SMA SANTA ANGELA

2. Pengurangan Metode penyelesaiannya : sama seperti penjumlahan vektor yaitu

menggunakan

aturan

segitiga,

jajarangenjang

maupun

poligon. b. Secara Aljabar Penjumlahan dan pengurangan dua vektor secara aljabar dilakukan

dengan

menjumlahkan

maupun

mengurangkan

masing-masing komponen yang bersesuaian.

𝑥 *𝑦 + dan 𝑏⃗

Misalkan diketahui vektor 𝑎

𝑎 + 𝑏⃗

𝑥 𝑥 *𝑦 + + *𝑦 +

𝑎 − 𝑏⃗

𝑥 𝑥 *𝑦 + − *𝑦 +

𝑥 𝑦 𝑥 *𝑦 *

𝑥 *𝑦 + maka :

+𝑥 + +𝑦 −𝑥 −𝑦 +

7. Perkalian Suatu Skalar dengan Vektor Misalkan : diketahui suatu skalar Secara Aljabar vektor

[

dan vektor

* +

]

Jika diketahui suatu skalar k, skalar l, vektor

dan vektor ⃗ maka

berlaku sifat :

1. 𝑘(𝑙𝑎)

(𝑘𝑙)𝑎

2. (𝑘 + 𝑙)𝑎

𝑘𝑎 + 𝑙𝑎

3. 𝑘(𝑎 + 𝑏⃗ )

𝑘𝑎 + 𝑘𝑏⃗

4. 𝑘(𝑎 − 𝑏⃗ )

𝑘𝑎 − 𝑘𝑏⃗

5 |SMA SANTA ANGELA

8. Perbandingan Vektor Misalkan diketahui titik garis

(

) dan

sedemikian sehingga

⃗⃗⃗⃗⃗

(

) . jika titik

⃗⃗⃗⃗⃗

masing-masing-masing suatu skalar

pada

dengan p dan q , maka vektor posisi titik

adalah :

𝑐

𝑞𝑎 + 𝑝𝑏⃗ 𝑝+𝑞

9. Perkalian Titik dan Sudut antar Dua Vektor * +, ⃗

Misalkan diketahui vektor dan

⃗ adalah

* + dan sudut antara vektor

. Perkalian titik dua vektor

disebut dot product

dan

dan

⃗ ( biasa

⃗ ) adalah :

𝑎 ∙ 𝑏⃗

|𝑎| ∙ |𝑏⃗ | cos 𝛼

|𝑎 + 𝑏⃗ |

|𝑎| + |𝑏⃗ | + |𝑎||𝑏⃗ |𝑐𝑜𝑠𝛼

cos 𝛼

⃗ 𝑎⃗ ∙𝑏 ⃗| |𝑎⃗ |∙|𝑏

|𝑎 − 𝑏⃗ |

|𝑎| + |𝑏⃗ | − |𝑎||𝑏⃗ |𝑐𝑜𝑠𝛼

Diketahui vektor dan skalar

. Berlaku sifat–sifat perkalian skalar

dua vektor :

1. 2. 3. 4. 5.

𝑎 ∙ 𝑎 |𝑎| 𝑎 ∙ 𝑏⃗ 𝑏⃗ ∙ 𝑎 ⃗ ∙𝑎 𝑎∙⃗ ⃗ 𝑎(𝑏⃗ + 𝑐 ) 𝑎 ∙ 𝑏⃗ + 𝑎 ∙ 𝑐 𝑘(𝑎 ∙ 𝑏⃗ ) (𝑘𝑎)𝑏⃗ 𝑎(𝑘𝑏⃗ )

⃗ searah maka 𝑎 ∙ 𝑏⃗ 6. Jika vektor 𝑎 dan 𝑏

|𝑎| ∙ |𝑏⃗ |

⃗ saling tegak lurus maka 𝑎 ∙ 𝑏⃗ 7. Jika vektor 𝑎 dan 𝑏 ⃗ berlawanan arah maka 𝑎 ∙ 𝑏⃗ 8. Jika vektor 𝑎 dan 𝑏

−|𝑎| ∙ |𝑏⃗ |

6 |SMA SANTA ANGELA

Contoh Soal :

+ ⃗ dan

1. Tentukan

− ⃗ dari vektor-vektor di bawah ini !

𝑏⃗

𝑎

2. Tentukan

a  b  c  d dari vektor-vektor di bawah ini : 𝑎

3. Diketahui : titik

(

𝑏⃗

𝑐

) dan

( − )

𝑑

a. Nyatakan vektor posisinya dengan bentuk vektor kolom dengan kombinasi linear ̂ dan ̂. b. carilah panjang masing – masing vektornya.

4. Diketahui : vektor a. Tentukan

*

−

+, vektor ⃗

*

−

+

+ ⃗ dan ⃗ +

b. Periksalah apakah c. Tentukan ( + ⃗ ) +

+⃗ dan

⃗ + + (⃗ + )

d. Periksalah apakah ( + ⃗ ) +

5. Diketahui : vektor

̂+

* + dan

− ̂+

+ (⃗ + ) ̂ , vektor

− ̂+

̂ dan vektor vektor

̂ . Tentukan vektor-vektor berikut ini ( dalam ̂ dan ̂ ).

a.

+

+

c.

b.

−

−

d.

−

+

+ ⃗⃗⃗⃗ − 7 |SMA SANTA ANGELA

(

6. Diketahui : titik

) dan titik

sehingga ⃗⃗⃗⃗⃗

garis hubung

(

) . Titik

adalah sebuah titik pada

⃗⃗⃗⃗⃗

a. Tentukanlah vektor yang diwakili oleh ruas garis berarah ⃗⃗⃗⃗⃗ b. Tentukanlah vektor yang diwakili oleh ruas garis berarah ⃗⃗⃗⃗⃗ c. Tentukan koordinat titik 7. Diketahui

* + , vektor ⃗

: vektor

*

−

+ dan vektor

*

−

+.

Tentukan : a.

| |

b.

| + ⃗|

8. Diketahui : vektor

*

−

+, tentukan vektor satuan dari vektor

( − ) dan koordinat titik

9. Diketahui ruas garis AB dengan koordinat titik (

.

).

a. Tentukan koordinat titik C, jika b. Tentukan koordinat titik D, jika

* + dan vektor ⃗

10. Diketahui vektor

−

* + maka tentukanlah −

∙ ⃗ dan

⃗ ∙ . * + dan vektor ⃗

11. Diketahui : vektor

* + serta vektor

(tegak lurus) terhadap vektor ⃗ , hitunglah nilai

orthogonal

.

Latihan 1 1. Diketahui : vektor-vektor a. | | 2. Diketahui :

b. | ⃗ | *

−

+ dan ⃗

* + dan ⃗

* +. Tentukanlah : −

c. | + ⃗ | * + . Tentukan nilai

d. | − ⃗ | agar

dan

⃗ sejajar

dan searah.

8 |SMA SANTA ANGELA

3. Koordinat titik

(

) dan

sehingga ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ .

(

− ) . Titik R terletak pada garis

a. Tentukan vektor yang diwakili oleh ruas garis ⃗⃗⃗⃗⃗ b. Tentukan vektor yang diwakili oleh ruas garis berarah ⃗⃗⃗⃗⃗ c. Tentukan koordinat titik

.

( − ) dan titik

4. Diketahui : titik

(−

) maka tentukanlah koordinat titik

P, jika

(

(− − ) dan titik

5. Diketahui : titik

perpanjangan ruas garis AB, sehingga

⃗⃗⃗⃗⃗

) . Titik C terletak pada

⃗⃗⃗⃗⃗ . Tentukanlah koordinat

titik C.

* +, vektor

6. Diketahui : vektor panjang vektor

dan vektor satuan dari vektor .

7. Diberikan vektor-vektor dan −⃗ +

+

. Jika

dalam

( − ) +( + ) , ⃗

+⃗ +

( + ) +(

− )

maka tentukanlah kombinasi linear dari

dan .

8. Diketahui : vektor ⃗

* + dan

9. Tentukan sudut antara vektor ∙⃗

+ . Tentukan

* + dan vektor

− * + maka tentukanlah ⃗ ∙ . − dan ⃗ , jika diberikan | |

, |⃗ |

dan

√ .

10. Diketahui : vektor ⃗

* + dan

* + maka tentukan sudut antara vektor

⃗ dan . 11. Diberikan vektor ⃗

* + dan

*

−

+ dan vektor ⃗ dan

saling tegak

lurus maka tentukanlah nilai .

9 |SMA SANTA ANGELA

VEKTOR C. Vektor di R3 ( Ruang Dimensi Tiga ) Pada dimensi 3 semuanya analog dengan vektor pada dimensi 2 Proyeksi Skalar dan Proyeksi Vektor Ortogonal

⃗, 1. Proyeksi skalar ortogonal dari vektor 𝑎 pada arah vektor 𝑏 ditentukan :

|𝑐 |

⃗ 𝑎⃗ ∙ 𝑏 ⃗| |𝑏

⃗, 2. Proyeksi vektor ortogonal dari vektor 𝑎 pada arah vektor 𝑏 ditentukan :

𝑐

(

⃗ 𝑎⃗ ∙ 𝑏 2

⃗| |𝑏

)∙𝑏

Contoh :

̂−

1. Diketahui :

̂ − ̂ dan ⃗

̂ − ̂ . Berdasarkan vektor –

̂+

vektor tersebut maka tentukan : a. Tentukan proyeksi skalar orthogonal dari vektor

pada arah vektor ⃗

b. Tentukan proyeksi skalar orthogonal dari vektor ⃗ pada arah vektor c. Tentukan proyeksi vektor orthogonal dari vektor

2. Diketahui : vektor pada

adalah

(− ) . Jika panjang vektor

(− ) dan vektor

maka tentukanlah nilai

pada arah vektor ⃗

.

10 |SMA SANTA ANGELA

Contoh Soal : 1. Diketahui : vektor ⃗

(

⃗ −

a. Tentukan :

−

( ) dan vektor ⃗⃗ −

(

) −

+ ⃗⃗

⃗ −

b. Tentukan :

), vektor

+

⃗⃗ (

2. Diketahui : 3 buah titik yaitu titik

),

(

) dan

(

− ). Ruas-

ruas garis berarah ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗⃗⃗ masing-masing mewakili vektor

,

⃗

dan a. Nyatakan vektor

⃗ dan dalam vektor kolom

,

b. Nyatakan ruas garis ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗⃗⃗ dalam vektor kolom c. Tunjukkan bahwa titik d. Tentukan ⃗⃗⃗⃗⃗

dan

segaris atau kolinear.

⃗⃗⃗⃗⃗

(

3. Diketahui : titik

− ) dan

hubung ⃗⃗⃗⃗⃗ sehingga ⃗⃗⃗⃗⃗

(

). Titik R adalah titik pada garis

−

⃗⃗⃗⃗⃗

a. Tentukan vektor yang diwakili ruas garis berarah ⃗⃗⃗⃗⃗ b. Tentukan vektor yang diwakili ruas garis berarah ⃗⃗⃗⃗⃗ c. Tentukan koordinat titik 4. ABC adalh bangun geometri segitiga dengan koordinat titik sudutnya (

),

(

− ) dan

( −

) . Dengan menggunakan rumus jarak,

perlihatkan bahwa segitiga ABC adalah segitiga siku-siku di B. 5. Diketahui : vektor 6. Diketahui

( −

:

ruas

− ( ), tentukan vektor satuan dari vektor garis

dengan

koordinat

). Titik R membagi ruas garis

titik

(

. − ) dan

dengan perbandingan

.

Tentukan koordinat titik R.

11 |SMA SANTA ANGELA

7. Diketahui :

(

),

(−

) dan

) . Ruas garis berarah ⃗⃗⃗⃗⃗

( −

mewakili vektor ⃗ dan ruas garis berarah ⃗⃗⃗⃗⃗ mewakili vektor . Tentukan

( ⃗ ∙

).

8. Diketahui : vektor ⃗ vektor

(− ) dan vektor

tegak lurus pada vektor ⃗ . Tentukan nilai

9. Diketahui : vektor

) dan vektor ⃗

(

(

− antara vektor 10. Diketahui : titik

⃗ +

( ). Vektor − −

dan

yang mungkin.

). Tentukan besar sudut

−

dan ⃗ . (

− ),

(− −

a. Tentukan proyeksi skalar vektor

) dan vektor

̂−

̂ + ̂.

pada arah ⃗⃗⃗⃗⃗

b. Tentukan proyeksi vektor ortogonal vektor

pada arah ⃗⃗⃗⃗⃗

12 |SMA SANTA ANGELA

LATIHAN SOAL VEKTOR 1.

Diketahui : vektor ⃗ dan

. Jika | ⃗ |

, | |

dan | ⃗ + |

maka nilai | ⃗ − | sama dengan…… a. √

d. √

b. √

e.

c. √ 2.

(

Diketahui : vektor-vektor

+⃗ −

−

), ⃗

( ) dan

(

−

) maka

sama dengan…… − d. ( )

a. (

) − − b. ( ) −

− e. ( )

c. ( ) 3.

(

Diketahui : vektor-vektor

⃗ −( a.

−

), ⃗

( ) dan

( ). Besar vektor

) adalah……

−

d. √

√

b.

e. √

c. √ 4.

Diketahui : vektor-vektor

−

maka

5.

+

̂−

̂,

̂ − ̂ dan

̂+

sama dengan……

a.

̂+

̂− ̂

d.

̂−

̂+

̂

b.

̂−

̂+ ̂

e.

̂−

̂+

̂

c.

̂−

̂+

̂

Diketahui : vektor

⃗ a.

− ⃗ + √

̂+ ̂

− ( ) dan ⃗

(− ) dan

(− ) . Jika

maka | ⃗ | adalah…… d. √

13 |SMA SANTA ANGELA

6.

b.

√

c.

√

e. √

(− ), ⃗ −

Diketahui : vektor

( ) dan

− ⃗ +

( ). Nilai |

|

adalah…… a.

√

d.

b.

√

e.

c. 7.

(

Diketahui :

) dan

(

) . Titik

dengan perbandingan

8.

) membagi AB

. Koordinat titik

a. (

)

d. (

)

b. (

)

e. (

)

c. (−

(

adalah……

)

(

Diketahui :

),

sehingga

(

) dan

. Panjang

(

− ) . Titik

terletak

adalah……

a. √

d. √

b.

e. √

c. √ 9.

Diketahui : titik

(

),

dengan perbandingan

(− − −

) dan

membagi

, maka koordinat titik

di luar

adalah……

a. (− − − )

d. (

)

b. (− − − )

e. (

)

c. (− − − ) 10. Ditentukan membagi

koordinat

(

− ) ,

sehingga

dengan perbandingan

( dan

. Panjang vektor

a. √

d. √

b. √

e. √

− ) dan

(

membagi

) . di luar

adalah……

14 |SMA SANTA ANGELA

c. √ 11. Diketahui segitiga Koordinat titik berat a. (

)

c. (−

)

)

(

(−

12. Diketahui : titik – titik

d. (−

)

e. (−

)

),

segaris maka koordinat

(

) dan

)

d. (

)

b. (

)

e. (

)

c. (

)

maka nilai

(

).

( ),

(

) . Jika

adalah……

a. (

13. Jika vektor

− ) dan

adalah……

)

b. (−

dan

( −

dengan

( ) dan ( − ⃗ ) ∙ ⃗

( ) dan −

∙

,

sama dengan……

a. −

d.

b. −

e.

c. 14. Ditentukan vektor – vektor ⃗ Jika vektor

⃗ +

̂ + ̂ dan

̂−

dan vektor ⃗

⃗ −

a. −

d.

b. −

e.

maka nilai

̂+

̂− ̂ .

∙ ⃗ adalah…….

c. 15. Ditentukan : vektor

);⃗

(

(

−

−

) dan (

⃗)

maka nilai

−

bulat yang memenuhi adalah…… a. −

d.

b. −

e.

c.

15 |SMA SANTA ANGELA

̂ + ̂ + ̂ dan vektor

16. Sudut antara vektor ⃗ Maka nilai

̂ + ̂ adalah

.

adalah……

a.

atau

d. − atau

b.

atau −

e. − atau −

c. − atau 17. Vektor ⃗ maka nilai

̂+

̂ − ̂ tegak lurus terhadap vektor

̂− ̂

(

).

adalah……

a. − atau

d. −

b. − atau

e.

c. −

̂−

atau − atau

atau

18. Diketahui :

( −

dengan

),

( −

) dan

Tangen sudut antara ⃗⃗⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗⃗⃗ adalah…… a. b. c.

d. √

e.

√

√

19. Diketahui :

dengan

( − − ),

(

) dan

adalah sudut antara ⃗⃗⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ maka nilai dari

(

) . Jika

s

a.

√

d. −

√

b.

√

e. −

√

c.

√

(

). Jika ketiga titik itu

20. Diketahui : titik

(

)

(

segaris ( kolinear ) maka nilai

) dan dan

berturut-turut adalah……

16 |SMA SANTA ANGELA

a. −

dan

d.

b. − dan c.

e.

dan −

dan

̂+

21. Diketahui :

̂ + ̂ dan ⃗

̂ + ̂ − ̂ maka proyeksi vektor

pada arah ⃗ adalah……

orthogonal vektor a.

dan −

d.

[ ]

[

] −

b.

[ ] −

c.

[ ] −

e.

22. Diketahui : vektor Proyeksi vektor a.

b.

c.

[ ] dan

pada vektor

[ ]

[ ]

[

−

[ ]

] . Jika

+

dan

− .

adalah…… d.

[ ]

e.

[ ]

[ ]

23. Diketahui titik

(−

)

(

) dan

( −

) . Proyeksi ⃗⃗⃗⃗⃗ pada

⃗⃗⃗⃗⃗ adalah…… a.

( ̂−

̂ + ̂)

d.

( ̂−

̂ + ̂)

b.

( ̂−

̂ + ̂)

e.

( ̂−

̂ − ̂)

c.

( ̂+

̂ + ̂)

17 |SMA SANTA ANGELA

24. Diketahui

dengan

(

− )

(

− ) dan

(

) . Proyeksi

vektor orthogonal dari ⃗⃗⃗⃗⃗ pada arah ⃗⃗⃗⃗⃗ adalah…… a.

[ ]

d.

[ ]

b.

[ ]

e.

[

] −

c.

[

] −

25. Panjang proyeksi

[− ] pada ⃗

*

−

+ adalah

a. − atau −

d.

atau

b. − atau

e.

atau

√ . Nilai

c. − atau 26. Diketahui vektor

[ ] ; ⃗

* + dan panjang proyeksi vektor −

√ pada ⃗ adalah . Jika sudut antara vektor

dan ⃗ lancip, maka nilai

adalah…… a. −

d.

b. −

e.

c.

̂−

27. Panjang proyeksi skalar orthogonal vektor

⃗

̂−

̂ + ̂ adalah √ . Nilai

̂ + ̂ pada vektor

yang memenuhi adalah……

a.

d.

b.

e.

18 |SMA SANTA ANGELA

c.

− 28. Diberikan vektor

[

dan vektor ⃗

] dengan

[

] . Jika √

√ dan ⃗ membentuk sudut

, maka kosinus sudut antara vektor

dan

+ ⃗ adalah…… a.

d.

√

b.

√

c.

√

29. Diketahui :

√

e.

+⃗

√

̂ − ̂ + ̂ dan | − ⃗ |

a.

d.

b.

e.

√

. Hasil dari

∙⃗

c. 30. Jika | |

, |⃗ |

dan

(

⃗)

maka |

a.

d.

b.

e.

+ ⃗|

c.

Daftar Pustaka

Suwah Sembiring dkk, 2012, Matematika Berbasis Pendidikan Karakter Bangsa untuk SMA / MA Kelas XII IPA, YRAMA WIDYA Bandung. Sukino, 2004. Matematika untuk SMA Kelas XII IPA, Erlangga. Sartono Wirodikromo,2004. Matematika untuk SMA Kelas XII IPA, Erlangga. Enung S dkk, 2009. Evaluasi Mandiri Matematika Untuk SMA Kelas XII IPA, Erlangga. 19 |SMA SANTA ANGELA

Rignan Wargiyanto dkk, 2008, Buku Kerja Matematika Untuk SMA Kelas XII IPA Semester 1, Erlangga. Willa Adrian, 2008, Matematika Dasar untuk SMA, YRAMA WIDYA Bandung. Joshua Sabandar,2009, Matematika untuk SMA kelas XI IPA, Bailmu Bumi Aksara. Suwah Sembiring dkk, 2002, Rahasia Pintar Matematika untuk SMA / MA menembus SNM-PTN, YRAMA WIDYA Bandung.

20 |SMA SANTA ANGELA