VEKTOR Kata vektor berasal dari bahasa Latin yang berarti "pembawa" (carrier), yang ada hubungannya dengan "pergeseran" (diplacement). Vektor biasanya digunakan untuk menggambarkan perpindahan suatu partikel atau benda yang bergerak, atau juga untuk menggambarkan suatu gaya. I.
BESARAN SKALAR DAN BESARAN VEKTOR
Besaran skalar (scalar quantities) : besaran yang hanya mempunyai nilai saja. Contoh: jarak, luas, isi dan waktu. Besaran vektor (vector quantities) : besaran yang mempunyai besar dan arah. Contoh: lintasan, kecepatan, percepatan dan gaya. Sebuah besaran vektor dapat dinyatakan dengan sebuah garis lurus dengan arah panah dalam Gambar1. Besar dari vektor A dinyatakan oleh panjangnya, yang digambarkan dengan skala tertentu. Arah dari suatu vektor mungkin digambarkan dengan menyatakannya dengan suatu sudut dalam derajat yang dibuat oleh vektor tersebut dengan sumbu horizontal (x) yang diukur dengan cara konvensional dalam arah berlawanan jarum jam.
II.
PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN VEKTOR
Dua buah vektor dapat di jumlahkan secara grafik dengan menggambarkan kedua vektor tersebut dari titik asal yang sama.
a. Penjumlahan Vektor
b. Pengurangan Vektor
III.
Sistem Koordinat Kartesian ( x, y, z )
Kita lihat bagaimana suatu vektor diuraikan atas komponen-komponen pada sumbu x dan sumbu y. Untuk vektor yang terletak dalam ruang (3 dimensi), maka vektor dapat diuraikan atas komponen-komponen pada sumbu x, y dan z. α, β, dan γ = masing-masing sudut antara vektor A dengan sumbu-sumbu x, y dan z. A=Ax+Ay+Az
atau A = / A x / î + / A y / ĵ + / A z / k / A x / = A cos / A y / = A cos
/ A z / = A cos Besaran vektor A A
𝐴𝑥
𝐴𝑦 ||𝐴𝑧
dan î , ĵ, kmasing-masing vektor satuan pada sumbu x, y dan z. Dari ketiga sistem koordinat yang ada, ketiga vektor tersebut saling tegak lurus yang dipakai untuk menguraikan tiap vektor menjadi vektor komponennya. Terkadang, perlu mencari vektor satuan dalam arah tertentu. Vektor satuan dalam arah r ialah r/ 𝐵𝑥 2 + 𝐵𝑦 2 + 𝐵𝑧 2 . Dan untuk vektor satuan dalam arah B adalah a𝐵 = IV.
𝐵 𝐵𝑥 2 +𝐵𝑦 2 +𝐵𝑧 2
𝐵
= |𝐵| .
Medan Vektor
Medan vektor sebagai fungsi vektor dari vektor kedudukan. Di dalam ruang, besar dan arah fungsinya akan berubah kedudukan titiknya dan nilai fungsi vektor harus ditentukan dari nilai koordinat dari titik yang bersangkutan. V.
Perkalian Titik (Dot Product)
Ada beberapa aturan perkalian titik dalam vektor antar lain adalah sebagai berikut : 1. Perkalian titik didefinisikan sebagai perkalian dari besar A dan besar B dikalikan kosinus sudut diantara kedua vektor tersebut yaitu A . B = |A| |B| cos ϴAB 2. Perkalian titik atau perkalian skalar juga merupakan perkalian skalar dan mengikuti hukum komutatif, yaitu A . B = B . A
3. Tiga sudut yang mengandung perkalian titik vektor satuan dengan dirinya sendiri yang hasilnya adalah satuan dapat ditulis sebagai berikut : A . B = AxBy + AyBy + AzBz dimana rumusan ini tidak mengandung sudut. 4. Perkalian titik antara vektor dengan dirinya sendiri menghasilkan kuadrat dari besar vektor A . A = A2 = |A|2 . Dari tiap vektor satuan dikalikan dengan dirimya menghasilkan satuan aA . aA = 1 5. Untuk mencari komponen sebuah vektor dalam arah tertentu misalnya mencari komponen dari B pada arah vektor satuan a dapat menggunakan rumus B . a = |B| |a| cos ϴBa = |B| cos ϴBa. Berdasarkan definisi diatas dapat dibuktikan sifat-sifat perkalian skalar sebagai berikut : 1. a . b = 0, maka a = 0, atau b = 0, atau ϴ = 90o 2. a . b = b . a 3. a . (b + c) = a . b + a . c 4. a . (kb) = (kb) . a = k (a . b) 5. a . a = a2 6. Apabila a = a1i + a2j dan b = b1i + b2j, maka a . b = a1b1 + a2b2.
VI.
Perkalian Silang Vektor (Cross Product)
Ada beberapa aturan perkalian silang dalam vektor, antara lain : 1. Perkalian silang A x B merupakan sebuah vektor dan besar A x B sama dengan besar A dikalikan dengan besar B dan dikalikan dengan sinus sudut terkecil antara A dan B, arah A dan B saling tegak lurus pada bidang datar tempat A dan B terletak dan arahnya sesuai dengan arah maju sekrup putar kanan yang diputar dari arah A ke B. Dapat dirumusukan sebagai berikut : A x B = aN |A| |B| sin ϴAB dengan pernyataan tambahan yang diperlukan untuk menyatakan arah vektor satuan aN dimana subscrip “N” menyatakan “normal”. Jika urutan vektor A dan B dibalik maka akan menghasilkan vektor satuan yang arahnya berlawanan dengan arah semula dimana B x A = - (A x B ). 2. Sebelumnya telah dijelaskan bahwa ax x ay = az, ay x az = ax, dan az x ax = ay didapatkan bahwa ay x ax = -az , az x ay = -ax , dan ax x az = -ay dan ketiga suku lainnya sama dengan
nol mala sudut diantaranya nol. Sehingga A x B = (AyBz – AzBy)ax + (AzBx - AxBz) ay + (AxBy – AyBx) az . 3. Dalam bentuk determinan adalah :
Sifat-sifat perkalian silang : Misalkan a, b, dan c vektor-vektor pada ruang 1. a x b = -b x a 2. a x (b + c) = a x b + a x c 3. k (a x b) = (ka) x b 4. a x 0 = 0, 0 x a = 0, a x a = 0 5. a x (b x c) = (a . c)b – (a . b)c 6. a x b . c = a . b x c
VII.
Sistem Koordinat Tabung (ρ, φ , z)
Dalam koordinat tabung, ada beberapa komponen yang dibutuhkan seperti ρ, φ , dan z. Koordinat tabung memiliki vektor satuan aρ, aφ, dan az. Ketiga vektor satuan tersebut saling tegak lurus karena masing – masing vektor arahnya normal pada salah satu dari tiga bidang yang saling tegak lurus, dan dapat didefinisikan sistem koordinaat tabung putar kanan melalui sifat perkalian vektor dari vektor satuannya aρ x aφ = az.
KOORDINAT TABUNG
KOORDINAT TABUNG
KOORDINAT TABUNG
Segmentasi Panjang :
Segmentasi Luas :
Segmentasi Volume :
1. dρ
1. dAz = ρ dρ dφ
2. ρ dφ
2. dAr = ρ dρ dz
3. dz
3. dAφ = dρ dz
dV = ρ dρ dφ dz
VIII. Sistem Koordinat Bola (r,ϴ, φ) Dalam sistem koordinat bola, ada bebeurapa komponen yang dibutuhkan anatara lain r,ϴ, dan φ. r adalah jarak dari titik asal ke titik yang ditinjau,sudut ϴ antara sumbu z dan garis yang ditarik dari titik asal ke titik yang ditinjau, dan φ merupakan sudut yang definisinya tepat sama dengan φ untuk koordinat tabung dimana sudut tersebut merupakan sudut antara sumbu x dengan garis proyeksi dari garis yang menghubungkann titik asal dengan titik yang ditinjau pada bidang z = 0.
Dalam sistem kordinat bola, vektor satuannya dapat didefinisikan disetiap titik yaitu antara z a . Ketiga satuan vektor ini saling tegak lurus dan dalam sistem koordinat putar lain ar , aϴ , dan φ kanan berlaku ar x aϴ = aφ. Untuk Transformasi dari kartesian ke bola begiti juga sebaliknya adalah :
KOORDINAT BOLA
KOORDINAT BOLA
KOORDINAT BOLA
Segmentasi Panjang :
Segmentasi Luas :
Segentasi Volume :
1. dr 2. r dφ sin ϴ 3. r dϴ
1. dAφ = r dr dϴ 2. dAρ = r2 dϴ dφ sin ϴ 3. dAϴ = r dr dφ sin ϴ
dV = r2 dr dφ dϴ sin ϴ
Tabel Transformasi Koordinat Bola âr
âφ
âϴ
âx .
Sin ϴ.cos φ
-sin φ
Cos φ.cos ϴ
ây .
Sin ϴ.sinφ
Cos φ
Cos ϴ.sin φ
âz .
Cos ϴ
0
-sin ϴ
