VEKTOR II. Tujuan Pembelajaran

X Kela s

Kurikulum 2013

matematika PEMINATAN VEKTOR II Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami tentang pembagian vektor. 2. Memahami tentang teorema Menelaus. 3. Dapat melakukan operasi perkalian dua vektor. 4. Dapat menentukan sudut antara dua vektor. 5. Dapat menentukan panjang dari jumlah dan selisih vektor. 6. Dapat menentukan proyeksi suatu vektor pada vektor lain.

A. Pembagian Vektor 1. Pembagian Ruas Garis

  Titik P membagi ruas garis AB dengan perbandingan m : n, sehingga AP : PB = m : n. Ada 2 kemungkinan posisi titik P terhadap ruas garis AB, yaitu titik P di dalam AB atau titik P di luar AB. Untuk mengetahui pengaruh posisi titik P terhadap tanda perbandingan ruas garis, perhatikan tabel berikut. Posisi Titik P

Perbedaan

Titik P di dalam AB m

Gambar A

Titik P di luar AB m

n P

B

A

B

n

P

Perbedaan



Posisi Titik P

Tanda perbandingan

Titik P di dalam AB   AP dan PB mempunyai arah yang sama, sehingga m dan n mempunyai tanda yang sama.

Perbandingan ruas garis

  AP : PB = m : n   AP : AB = m : (m + n)

Titik P di luar AB   AP dan PB mempunyai arah yang berlawanan, sehingga m dan n mempunyai tanda yang berlawanan.   AP : PB = m : −n   AP : AB = m : (m − n)

Contoh Soal 1

Diketahui layang-layang PQRS yang diagonal-diagonalnya berpotongan di titik O.     Jika panjang PO = OR = 4 cm, OS = 6 cm, dan QO = 10 cm, tentukan perbandinganperbandingan berikut!     c. QO : SO a. PO : OR     b. PO : PR d. QO : SQ

Pembahasan: Layang-layang pada soal dan unsur-unsur yang diketahui dapat digambarkan sebagai berikut. S 6 P

R

O 10

Q Berdasarkan gambar tersebut, diperoleh:   a. PO : OR = 4 : 4 = 1 : 1   b. PO : PR = 4 : (4 + 4) = 4 : 8 = 1 : 2     c. QO : SO = QO : (− OS ) = 10 : (−6) = 5 : −3     d. QO : SQ = QO : (− QS ) = 10 : −(10 + 6) = 5 : −8

2

2. Pembagian dalam Bentuk Vektor

   Misalkan a , b , dan p berturut-turut merupakan vektor posisi dari titik A, B, dan P. Jika titik P   membagi ruas garis AB dengan perbandingan AP : PB = m : n, berlaku rumus berikut. B n

 b  p O

 a

   mb + na p= m+n

P m A

Contoh Soal 2   Diketahui vektor posisi dari titik C dan D berturut-turut adalah c dan d . Jika titik P   membagi ruas garis CD dengan perbandingan CP : PD = 2 : 3, tuliskan vektor posisi dari   titik P dalam c dan d !

Pembahasan:

  Oleh karena perbandingan CP : PD = 2 : 3, maka m = 2 dan n = 3. Dengan menggunakan rumus pembagian ruas garis dalam bentuk vektor, diperoleh:      md + nc 2d + 3c 2  3  p= = = d+ c m+n 2+3 5 5  2  3    Jadi, vektor posisi dari titik P dalam c dan d adalah p = d + c . 5 5

Contoh Soal 3 Diketahui titik E(11, 3) dan F(6, 8). Jika titik P membagi ruas garis EF dengan perbandingan   EP : PF = −2 : 7, tentukan koordinat titik P!

Pembahasan:

  Oleh karena perbandingan EP : PF = −2 : 7, maka m = −2 dan n = 7. Dengan menggunakan rumus pembagian ruas garis dalam bentuk vektor, diperoleh:  6   11  65    −2   + 7      mf + ne 8 3 5  13  p= =     =   =  m+n −2 + 7 5 1 Jadi, koordinat titik P adalah (13, 1).

3

B. Teorema Menelaus Diketahui sebuah segitiga ABC. Titik Y terletak pada sisi AC dan titik Z terletak pada sisi AB. Melalui titik Y dan Z dibuat garis YZ. Garis CB dan YZ diperpanjang sehingga berpotongan di titik X seperti pada gambar berikut. Bunyi Teorema Menelaus A Y

Z

B

C

 BX Titik X, Y, Z segaris (kolinear) jika dan hanya jika  XC

X  CY .  YA

 AZ .  = 1. ZB

Teorema Menelaus disebut juga dengan teorema Ceva.

SUPER "Solusi Quipper" Cara Mudah Mengingat Teorema Menelaus Agar kamu lebih mudah mengingat teorema ini, perhatikan arah panah berikut. 2

A

1

Y

Z

1

2 B

C

X

1

2

 BX  XC

 CY .  YA

 AZ .  = 1. ZB

4

Contoh Soal 4 Perhatikan gambar berikut! A Y

C

Z

B

X

    Diketahui koordinat titik A(4, 8) dan B(8, −2). Jika perbandingan BX : XC = 1 : 2 dan CY : YA = 4 : 1, tentukan koordinat titik Z!

Pembahasan:

  Mula-mula, tentukan perbandingan AZ : ZB dengan menggunakan teorema Menelaus.    AZ BX CY  ⋅  ⋅  = 1 ZB XC YA  AZ 1 4 ⇔  ⋅ ⋅ = 1 ZB 2 1  AZ ⇔  ⋅ 2 = 1 ZB  AZ 1 ⇔  = ZB 2  AZ m 1 Ini berarti,  = = n 2 ZB Selanjutnya, tentukan koordinat titik Z dengan menggunakan rumus pembagian ruas garis dalam bentuk vektor.  8   4   16    1  + 2      16   mb + na  −2   8   14   3  z= = = =  m+n 1+ 2 3  14     3   16 14  Jadi, koordinat titik Z adalah  , .  3 3 

5

C. Perkalian Skalar Dua Vektor (Perkalian Titik atau Dot Product) Perhatikan gambar berikut!  a θ  b

  Pangkal vektor a dan b berimpit di satu titik   Hasil perkalian skalar vektor a dan b adalah suatu bilangan real yang dapat ditentukan dengan rumus berikut.     a ⋅ b = a b cos θ   dengan θ adalah sudut antara vektor a dan b .       Perkalian skalar vektor a dan b disebut juga dengan perkalian titik a dan b atau a ∙ b   (dibaca a dot b ). Syarat perkalian skalar dua vektor adalah pangkal kedua vektor harus berimpit di satu titik. Perhatikan gambar vektor di R³ berikut! Z

A (a1, a2, a3)  a  b

θ

B (b1, b2, b3) Y

O

X b  a    1   1 Jika diketahui komponen vektornya, misalnya a =  a2  dan b =  b2  , perkalian b  a   3  3 skalar dua vektor dapat ditentukan dengan rumus berikut.   a ⋅ b = a1 ⋅ b1 + a2 ⋅ b2 + a3 ⋅ b3 Tips: Cukup kalikan elemen-elemen yang seletak.

6

Sekarang, perhatikan gambar berikut ini! A(a1, a2, a3)

Z A(a1, a2, a3)  a

Y

θ O

θ O

B(b1, b2, b3)

 b

X

B(b1, b2, b3)   Jika vektor a tegak lurus vektor b (θ = 90°), diperoleh:     a ⋅ b = a b cos 90° = a1 ⋅ b1 + a2 ⋅ b2 + a3 ⋅ b3 = 0

Contoh Soal 5 Perhatikan gambar berikut!  a =4 45°  b =6   Tentukan nilai dari a ∙ b !

Pembahasan: Syarat perkalian skalar dua vektor adalah pangkal kedua vektor harus berimpit di satu  titik. Oleh karena itu, vektor b harus digeser sedemikian rupa hingga pangkalnya berimpit  dengan pangkal vektor a .  a =4 θ

45°

 b =6

7

Berdasarkan gambar tersebut, diketahui θ = 180° − 45° = 135° (sudut berpelurus). Dengan demikian, diperoleh:     a ⋅ b = a b cos θ = ( 4 )( 6 ) cos 135°  1  = 24  − 2   2  = −12 2   Jadi, nilai dari a ⋅ b = −12 2 .

Contoh Soal 6     Diketahui a = 2i − 3j + k dan b = −5i − 2 j + 4 k . Tentukan nilai dari a ⋅ b !

Pembahasan: Oleh karena yang diketahui komponen vektornya, maka cukup kalikan elemen-elemen yang seletak.   a ⋅ b = a1b1 + a2 b2 + a3b3 = ( 2 ) ( −5 ) + ( −3 ) ( −2 ) + (1)( 4 ) = −10 + ( 6 ) + ( 4 ) =0   Jadi, nilai dari a ∙ b = 0. Sifat-Sifat Perkalian Skalar Dua Vektor   2 a. a ⋅ a = a     b. a ⊥ b ⇔ a ⋅b = 0     c. Komutatif: a ⋅ b = b ⋅ a        d. Distributif: a ⋅ b + c = a ⋅ b + a ⋅ c       e. Tidak asosiatif: a ⋅ b ⋅ c ≠ a ⋅ b ⋅ c

(

f. g.

)

( ) ( )

Tidak memiliki elemen identitas Tidak memiliki invers

8

Contoh Soal 7     Diketahui a = 4i + 2 j − 5k˘ , b = i + 3j + xk˘ , dan c = 6i + 5j + 2k˘ . Jika vektor a tegak lurus     vektor b , hasil dari 2a + 3b − c adalah .... (UN 2015) A. 5i + 8 j + 6k C.

5i + 8 j − 6k 5i − 8 j + 6k

D.

6i + 5j − 8k

E.

6i − 5j + 6k

B.





Pembahasan: Mula-mula, tentukan nilai x.     Oleh karena vektor a tegak lurus vektor b , maka a ∙ b = 0  4  1       a ⋅ b =  2  3   −5   x     ⇔ 0 = 4 + 6 − 5x ⇔ 5 x = 10 ⇔ x =2  Ini berarti, b = i + 3j + 2k .    Selanjutnya, tentukan 2a + 3b − c .  4   1  6           2a + 3b − c = 2  2  + 3  3  −  5   −5   2   2         8  3 6       =  4  + 9 − 5  −10   6   2         5   = 8   −6       Jadi, hasil dari 2a + 3b − c = 5i + 8 j − 6k .

9

D. Sudut antara Dua Vektor

    Misalkan a dan b adalah vektor-vektor di Rn. Besarnya sudut antara vektor a dan b (θ) dapat ditentukan dari rumus perkalian titik dua vektor, yaitu sebagai berikut.     a ⋅ b = a b cos θ   a⋅b ⇔ cos θ =   ab  ⇔ θ = arc cos   

  a⋅b    ab 

Dengan demikian, rumus untuk menentukan sudut antara dua vektor adalah sebagai berikut.  θ = arc cos   

  a ⋅ b    ab 

Pertanyaan yang muncul terkait materi ini tidak terbatas pada nilai θ saja, tetapi juga dapat ditanyakan nilai sin θ, tan θ, dan sebagainya. Jika θ bukan sudut istimewa, nilai sin θ dan tan θ dapat ditentukan berdasarkan nilai cos θ yang telah diperoleh sebelumnya. Dalam penentuan tersebut, kamu dapat memanfaatkan identitas berikut. Identitas Pythagoras: sin2 θ = 1− cos2 θ ⇔ sinθ = 1− cos2 θ Identitas perbandingan: tan θ =

sin θ cos θ

Contoh Soal 8   Jika θ merupakan sudut antara vektor a = 2i − 3j + 5k dan b = −3i − 5j + 2k , tentukan nilai dari sin θ!

Pembahasan: Tentukan dahulu nilai dari θ.

10

  a⋅b cos θ =   ab

⇔ cos θ = ⇔ cos θ =

 2   −3      −3   −5   5  2     22 + ( −3 ) + 52 ⋅ 2

( −3) + ( −5) 2

2

+ 22

−6 + 15 + 10 38 ⋅ 38

19 38 1 ⇔ cos θ = 2 ⇔ θ = 60° ⇔ cos θ =

Jadi, nilai dari sin θ = sin 60° =

1 3. 2

E. Rumus Panjang dari Jumlah dan Selisih Vektor    Misalkan a dan b adalah vektor-vektor di Rn, serta θ adalah sudut antara vektor a    dan b . Panjang dari jumlah dan selisih vektor a dan b dapat ditentukan dengan rumus berikut.  2 2 2   2 2   a ± b = a + b ± 2 a b cos θ = a + b ± 2a ⋅ b

Contoh Soal 9       Diketahui vektor a dan b dengan a = 4, b = 3, dan a + b = 5. Jika θ adalah sudut antara   vektor a dan b , nilai cos 2θ adalah .... (UN 2015) A.

C.

1 4 5 0

D.

−

B.

E.

1 2 -1

11



Pembahasan: Dengan menggunakan rumus panjang dari jumlah dua vektor, diperoleh:  2 2 2   a + b = a + b + 2 a b cos θ ⇔ 52 = 4 2 + 32 + 2 ( 4 )( 3 ) cos θ ⇔ 25 = 25 + 24 cos θ ⇔ 24 cos θ = 0 ⇔ cos θ = 0 ⇔ θ = 90° Jadi, nilai cos 2θ = cos 2 ( 90° ) = cos 180° = −1.

F. Proyeksi Suatu Vektor pada Vektor Lain

   Jika vektor a diproyeksikan pada vektor b , akan dihasilkan vektor c yang segaris dengan  vektor b seperti gambar berikut.  a θ  c

 b

Dengan menggunakan rumus perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku, diperoleh:  c cos θ =  a   ⇔ c = a cos θ     Substitusikan cos θ = a ⋅ b   ab       a⋅b ⇔c =a   ab   a.b ⇔c =  b   Oleh karena nilai c merupakan suatu bilangan real (skalar), maka c disebut     proyeksi skalar vektor a pada b , atau panjang proyeksi vektor a pada b .

12

   a⋅b c =  b   Sementara itu, vektor hasil proyeksi a pada b dinyatakan sebagai proyeksi vektor     a pada b . Proyeksi vektor a pada b dapat ditentukan dengan rumus berikut.    a⋅b  c =  2 ⋅b b Agar kamu dapat membedakan proyeksi skalar dan proyeksi vektor dengan baik, perhatikan tabel berikut. Tabel Perbedaan Proyeksi Skalar dan Proyeksi Vektor Ortogonal   Vektor a pada b Proyeksi Skalar Ortogonal   Vektor a pada b

Proyeksi Vektor Nama lain



Proyeksi Vektor Ortogonal   Vektor a pada b

Rumus

Proyeksi skalar/panjang proyeksi Proyeksi vektor/vektor proyeksi     a pada b vektor a pada b         a⋅b   a⋅b  c ⋅b c = ab =  c = ab =  2 ⋅ b =  b b b

Hasil

Bilangan real (skalar atau konstanta) Vektor



Contoh Soal 10   Tentukan panjang proyeksi vektor a = 7i − j − 9k pada b = i − 2 j − 2k , kemudian tentukan proyeksi vektornya.

Pembahasan:

  Panjang proyeksi vektor a pada b dapat dirumuskan sebagai berikut.  7  1      −1   −2   −9   −2    

   7 + 2 + 18 27 a⋅b c =  = = = =9 2 2 2 3 9 b 1 + ( −2 ) + ( −2 )

13

  Sementara itu, proyeksi vektor a pada b dapat dirumuskan sebagai berikut.    1  1  3  a ⋅ b  27       c =  2 ⋅ b =  −2  = 3  −2  =  −6  = 3i˘ − 6 ˘j − 6k˘ 9      b  −2   −2   −6    Jadi, panjang proyeksi vektor a pada b adalah 9, sedangkan proyeksi vektornya adalah 3i˘ − 6 ˘j − 6k˘ .

Contoh Soal 11    Diketahui vektora = 2i − p j + 3k dan b = i − 2 j + 2k . Jika c adalah panjang proyeksi vektor   a pada b , dan c = 4, nilai p adalah .... (UN 2015)



A.

−4

B.

−2

C.

2

D.

4

E.

8

Pembahasan:   Dengan menggunakan rumus panjang proyeksi vektor a pada b , diperoleh:    a⋅b c =  b

⇔4=

 2  1      − p   −2   3  2     12 + ( −2 ) + 22 2

2 + 2p + 6 3 ⇔ 12 = 8 + 2 p ⇔ p=2 ⇔4=

Jadi, nilai p adalah 2.

G. Perkalian Silang Dua Vektor (Cross Product) Berbeda dengan perkalian skalar dua vektor, hasil perkalian silang dua vektor adalah suatu        vektor. Perkalian vektor a dan b ditulis sebagai a × b (dibaca a kali silang b atau a cross

14

     b ). Vektor hasil a × b tidak sebidang dengan a dan b , tetapi tegak lurus dengan bidang      yang memuat keduanya. Ini berarti, a × b tegak lurus dengan a dan a × b tegak lurus  dengan b . Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar berikut.

N

  a×b  b

 a

  Perkalian silang vektor a = ( a1 , a2 , a3 ) dan b = ( b1 , b2 , b3 ) dapat ditentukan dengan rumus berikut.   a a×b = 2 b2

a3  a1 i− b3 bi

a3  a1 j+ b3 b1

a2  k b2

  Selain itu, perkalian vektor a dan b juga dapat ditentukan dengan menggunakan determinan matriks 3 × 3 berikut. i   a × b = a1 b1

j a2 b2

k a3 b3

i = a1 b1

j a2 b2

k a3 b3

i a1 b1

j a2 b2

= ( a2 b3 ) i + ( a3b1 ) j + ( a1b2 ) k − ( a1b3 ) j + ( a3b2 )i + ( a2 b1 ) k   

Sifat-Sifat Perkalian Silang Dua Vektor         1. Tidak komutatif: a × b ≠ b × a , karena a × b = − b × a        2. Distributif : a × b ± c = a × b ± a × c       3. m a × b = ma × b = a × mb , m konstanta real       4. Tidak asosiatif : a × b × c ≠ a × b × c          5. a × b × c = a ⋅ c b − a ⋅ b c          6. a×b ×c = a⋅c b − b ⋅c a

(

( ) ( )

(

)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

15

)

Contoh Soal 12     Diketahui vektor p = 3i + j + 5k dan q = i + j − 2k . Buktikan bahwa vektor p × q tegak   lurus vektor p dan q .

Pembahasan:

  Mula-mula, tentukan p × q . i   p×q = 3 1

j 1 1

k 5 −2

i =3 1

j 1 1

k 5 −2

i 3 1

j 1 1

= −2i + 5j + 3k −  −6 j + 5i + k    = −7i + 11j + 2k    Selanjutnya, hitung nilai dari p × q ⋅ p .

(

)

 −7   3         p × q ⋅ p =  11   1   2  5     = −21+ 11+ 10 =0       Oleh karena p × q ⋅ p = 0, maka p × q tegak lurus vektor p .    Setelah itu, hitung nilai dari p × q ⋅ q .

(

)

(

)

(

)

 −7   1         p × q ⋅ q =  11   1   2   −2     = −7 + 11− 4 =0       Oleh karena p × q ⋅ q = 0, maka p × q tegak lurus vektor q .     Jadi, terbukti bahwa vektor p × q tegak lurus vektor p dan q .

(

)

(

)

16