BAB XIV VEKTOR 14. 1 Pengertian Vektor adalah besaran yang mempunyai arah. Tafsiran geometri sebuah vektor dilukiskan sebagai panah. Vektor dengan titik pangkal A (ax, ay, az) dan titik
B (ax, ay, az)
−−→
ujung B (bx, by, bz) dinotasikan dengan AB . ⎡b x − a x ⎤ −−→ Definisi AB = ⎢ b y − a y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ b z − a z ⎥⎦
Vektor dengan titik pangkal O (0, 0, 0) disebut vektor posisi Perhatikan gambar
A
z
A(a x ,a y ,a z )
B
−−→
→
−−→
a = OA adalah vektor posisi titik A
y
O
→
b = OB adalah vektor posisi titik B →
−−→
→
Maka AB = b − a
x
Ada tiga cara menuliskan sebuah vektor, yaitu … ⎡a1 ⎤
→ 1. a = ⎢a 2 ⎥
⎢a ⎥ ⎣ 3⎦
→
→
→
2. a = (a1, a2, a3)
→
→
3. a = a1 i + a2 j + a3 k
Ciri khas vektor adalah panjang dan arah vektor tersebut. Sebuah vektor tidak tergantung pangkal dan ujungnya. Vektor boleh digeser selama tidak merubah arah dan panjangnya →
a = b jika dan hanya jika
→
→
→
→
→
• ⏐a ⏐=⏐b ⏐
Notasi : | a | (baca panjang vektor a ) Definisi : | a | =
→
→
Misalkan a = (a1, a2, a3) a 12 + a 2 2 + a 3 2
•
→
→
a dan b arahnya sama
Contoh : ABCD adalah jajaran genjang dengan titik A(2,p,5), B(q,3,1). Diketahui vektor −− →
−−−→
DC = (1, r, p), maka ⏐ AB ⏐ = … (A) 14 (B) 21 (C) 66 (D) 2 21
Jawab : x B −x A Perhatikan AB = ⎡⎢ y B − yA ⎤⎥ = ⎣ z B −z A ⎦ −−−→
−−−→
(E) 3 14 D
⎡q − 2 ⎤ ⎢3−−4p ⎥ ⎣ ⎦
C
−− →
= DC karena panjang dan arah sama q ⎡ − 2⎤ ⎡1 ⎤ ⇒ ⎢3−p ⎥ = ⎢ r ⎥ ⇒ q = 3 ; p = −4 dan r = 3 − p = 3 − (−4) = 7 ⎣p ⎦ ⎣ −4 ⎦ AB
−−−→
Diperoleh AB = (1, 7, −4) −−−→
⏐ AB ⏐ = 12 + 7 2 + ( −4 ) 2 = 66 237
A
B
238 14. 2 Operasi pada vektor Secara analitik (aljabar) operasi jumlah pada vektor didefinisikan sebagai →
→
Misalkan a = (a1, a2, a3) dan b = (b1, b2, b3) Maka
→
→
b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)
+
a
Secara geometri operasi jumlah pada vektor dapat dilukiskan sebagai berikut … →
→
→
a
Aturan Jajaran Genjang
a + b
→
→
Titik pangkal a dan b harus sama. Lukiskan jajaran genjang. →
→
→
a + b adalah vektor diagonal.
b
Aturan Segitiga →
Ujung dari vektor
R →
→
harus
a
a +b
→
→
b
menjadi pangkal dari vektor b . →
→
−−→
−−→
−−−→
a + b = PQ + QR = PR
Q
→
P
a
Berikut ini adalah sifat-sifat penjumlahan vektor →
1. Komutatif : a + →
2. Assosiatif : ( a +
→
b →
b
=
→
b
→
+ a →
→
)+ c = a + (
→
b
→
+ c)
→
→
→
→
→
→
3. Ada unsur identitas yaitu 0 = (0, 0, 0) sehingga a + 0 = 0 + a = a →
→
→
4. Ada vektor − a sehingga a + (− a ) = 0 →
Catatan :
→
Vektor 0 dapat dilukiskan sebagai sebuah titik. Vektor 0 tidak mempunyai arah. → Sedangkan gambaran lebih jauh vektor − a adalah … →
−−→
Q
→
Misalkan a = PQ ; a = (a1, a2, a3) −−→
→
→
Maka : QP = − a = (−a1, −a2, −a3)
Q →
a
−a
P
P →
→
Dibawah ini adalah pengertian analitik operasi k a (baca : kelipatan vektor a ) →
→
→
→
Misalkan a = (a1, a2, a3) ; b = k a , k bilangan real ⇒ b = (k a1, k a2, k a3) →
Berikut ini adalah operasi k a dipandang dari sisi geometri … →
→
→
ka ,k>0
Misalkan b = k a , maka …
•
→
→
b segaris (atau sejajar) dengan a →
→
a
→
• ⏐ b ⏐ = ⏐k ⏐ ⏐ a ⏐
→
ka ,k<0
Vektor
239
→
→
→
→
a =k b
→
→
⇒ a =k b ,k>0
a searah dengan b
→
→
→
→
a berlawanan arah dengan b ⇒
→
→
→
⇒
a sejajar (atau segaris) dengan b
a = k b , k<0
−−→
−−→
→
→
1. Diketahui u = (3, 11, 5), v = (−1,2,7), AD = (6, 5, t). Jika AB sejajar u , −−→
−−→
−−→
→
−−→
−−→
AC sejajar v dan AD = AB + AC , maka DB = …
Jawab : −−→
AB
→
−−→
−−→
sejajar u ⇒ AB = k1 (3, 11, 5) −−→
−−→
AC
−−→
→
sejajar v ⇒ AC = k2 (−1,2,7)
−−→
AD = AB + AC = k1 (3, 11, 5) + k2 (−1,2,7) = (3k1 − k2, 11k1 + 2k2, 5k1 + 7k2)
Jadi 3k1 − k2 = 6 ⇒ k2 = 3 k1 − 6 11k1 + 2k2 = 5 ⇒ 11k1 + 2(3k1 − 6) = 5 ⇒ 17k1 = 17 ⇒ k1 = 1 dan k2 = −3 t = 5 k1 + 7k2 = 5 − 21 = −16 −−→
−−→
−−→
Dengan demikian DB = DA + AB = (−6, −5, 16) + (3, 11, 5) = (−3, 6, 21) C
2. Titik D ditengah-tengah AC dan titik E −−→
ditengah-tengah AB. Buktikan
=
DE
B
D
1 −−→ 2 CB
E A
Bukti −−→
DA −−→
AE
=
1 −−→ 2 CA
( karena DA searah dengan CA dan ⏐ DA ⏐ =
−−→
−−→
−−→
=
1 −−→ 2 AB
( karena AE searah dengan AB dan ⏐ AE ⏐ =
−−→
−−→
−−→
−−→
Dengan demikian: DE
−−→
−−→
⏐ CA ⏐ )
1 2 1 2
−−→
⏐ AB ⏐)
−−→
= DA + AE =
1 −−→ 2 CA
+
1 −−→ 2 AB
=
1 2
−−→
−−→
( CA + AB ) =
1 −−→ 2 CB B
S
3. Perhatikan gambar disamping ini ABCD R A adalah segi empat sembarang. Jika P, Q, R dan S masing-masing tengah-tengah AB, P BC, CD dan DA. Buktikan PQRS jajaran C Q D genjang. Bukti : Perhatikan ∆ ADB: Karena S tengah-tengah AB dan P tengah-tengah AD, −−→
−−→
maka PS = 12 DB (cara pembuktian persis soal no 2) Perhatikan ∆ CDB: Karena Q tengah-tengah CD dan R tengah-tengah CB, −−→
maka QR = −−→
1 2
−−→
DB (cara pembuktian persis soal no 2)
−−→
Diperoleh PS = QR dan ini berarti segiempat PQRS jajaran genjang.
Vektor
240 −−→
→
4. OABCDE adalah segi enam sama sisi. Jika a = → → −−→ −−→ → → → → OD , e = OE , maka a + b + c + d + e = … →
→
→
(A) 2 c (B) 2 12 c Jawab : C −−→ −−→ → → a + e = OA + OE −−→
= →
b
+
→
OA
+ AP = OP = −−→
−−→
→
→
−−→
OC
,
→
d
=
B
A
−→
−−→
→
→
dan c =
→
E
OD
O
−→
1 → 1 → 2 c + 2 c
→
→
= ( OA + OE ) + AB + ED = →
OB
P
−−→
−−→
−−→
−−→
C
= ( OA + AB ) + ( OE + ED ) −−→
=
(E) 4 c
1 → 2 c
+
OB
−−→
b
D −−→
−−→
=
d
→
(D) 3 12 c
(C) 3 c
→
,
OA
1 → 2 c
+
→
= 1 12 c
Diperoleh : a + b + c + d + e = 3 c → −−→ −−→ −−→ → → 5. Vektor a = OA , b = OB dan c = OC . P pada AB dan Q pada BC. Diketahui →
a
→
b
→
c
→
→
→
→
→
C
=− i −3 j +−k ,
Q
→
→
= 2 i + 3 j + 11 k , →
c
→
→
→
= 14 i − 5 j + 7 k →
−−→
b
→
B
O
P Jika PQ = 2 i + n k , maka n = → a A 1 (B) −1 (C) 1 2 (D) 2 (E) 3 (A) − 2 Jawab : C −−→ −−→ −−→ −−→ → → PB = segaris dengan AB ⇒ PB = k1 AB = k1 ( b − a ) = k1 (3, 6, 12) −−→
BQ
= segaris dengan
BC
⇒
−−→
BQ
−−→
→
→
= k2 BC = k2 ( c − b ) = k2 (12, −8, −4)
−−→
−−→
Karena
−−→
−−→
= PB + BQ ( 2, 0, n) = k1 (3, 6, 12) + k2 (12, −8, −4) ⏐ kali 2 ⏐ Diperoleh 3k1 + 12 k2 = 2 6k1 − 8 k2 = 0 − PQ
32 k2 = 4 ⇒ k2 =
dan 6k1 − 8k2 = 0 ⇒ k1 =
1 8
Dengan demikian n = 12 k1 − 4 k2 = 12 ⋅ →
−−→
→
−−→
− 4 ⋅
1 6
6. Perhatikan gambar a = OA , b = OB , Vektor → → → → (D) 23 a + 13 b (A) 13 a + 13 b (B) (B)
1 → a 6 1 → a 6
+ +
1 → b 3 1 → b 6
Jawab : −−−→ EC =
−−→
=
=−
−−→
(− −−−→
EC
Diperoleh 2
−−−→
EC
1
E
1
−−→
OB
+
) +
−−→
OB
−−→
D 1
2 B
−−→
1 CA 3
+ −−→
C
A
DC
1 3
) +
−−→
( CO + 1 3
(−2
−−→
OA
−−−→
) −−→
EC
+
⇒
−−−→
OA
)
−−→
1 1 OA + 3 OB 3 −−−→ 1 −−→ 1 −−→ EC = OA + 3 OB 3
+
O
1 → b 6
+
1 EB 3
( EO +
=…
3
−−→
1 3 1 3
+
EC
1 2
= 1
1
ED
= =
1 → a 3
(E)
−−→
1 8
1 6
EC
=
1 → a 6
+
1 → b 6
Vektor
241 7. ADCF dan DSFT jajaran genjang. Jika AS : SC = 3 : 1, CT : TB = 3 : 2 −−→ −−→ → −−→ → a = CA , b = CB , Maka DA = → → → → (A) 83 a − 103 b (D) 103 a − 83 b (B) (C)
3 → a+ 3 8 10 3 →+ 3 a 10 8
→
(E)
b
→
C
F
S T
→ → − 83 a − 103 b
A
b
D
B
Jawab : A −−→
DS −−→
DA
−−→
= TF ; karena DSFT jajaran genjang −−→
−−→
→
DA − 3 a 4 −−→
2 DA = −−→
DA
−−→
−−→
=
→
−−→
−−→
= − 3 b − DA
3 a 4
3 → a 8
−
−
−−→
−−→
AS b e r la w a n a n a r a h dengan CA dan −−→ −−→ → AS : CA = 3: 4, maka AS = − 34 CA = − 34 a
5
→
−−→
−−→
ADCF jajaran genjang ⇒ CF = AD = − DA
+ AS = TC + CF
3 → b 5
−−→
−−→
TC b e r l a wa n a n a r a h d e n g a n CB dan → −−→ −−→ TC: CB = 3 : 5, maka TC = − 53 CB = − 53 b
3 → b 10
14. 3. Perbandingan pada ruas garis
P
m Q
→
n
a
→
b
R →
c
T →
→
→
b = mn+ n a + mm+ n c
1. Titik C, D, P dan Q berturut-turut ditengah-tengah OA, AB, OD dan BC. →
Jika a = (A)
2 → b 5
(B)
1 → b 3
−−→
OA
→
(C)
3 → b 7
(D)
1 → b 4
(E)
3 → 2 → a +5 b 7
Jawab : D −−→ −−→ → OC segaris dengan a dan ⏐ OC ⏐ = −−→
CQ : QB = 1 : 1 ⇒ OQ = AD : DB = 1 : 1 ⇒ −−→
OP
O
−−→
−−→
, b = OB , maka PQ = …
segaris dengan
−−→
OD −−→
OD
=
1 −−→ OC 2 1 −−→ OA 2
dan
P
C
Q
A
1 2
→
D −−→
⏐ a ⏐ ⇒ OC =
B
1 −−→ OA 2
−−→ 1 −−→ 1 −−→ OB = 14 OA + 2 OB 2 −−→ + 12 OB −−→ −−→ −−→ −−→ ⏐ OP ⏐ = 12 ⏐ OD ⏐ ⇒ OP = 12 OD −−→ −−→ ⇒ OP = 14 OA
+
+
1 −−→ OB 4
Vektor
242 −−→
−−→
−−→
= OQ − OP =
Dengan demikian PQ
=
1 −−→ OB 4
1 −−→ OA 4
1 −−→ OB 2
+
− ( 14
−−→
OA
+
1 −−→ OB 4
)
1 → b 4
=
→
→
→
2. Titik A, B dan C segaris dan a , b , c seperti A gambar. B C → a. Buktikan dapat ditulis … → b → a → → → b = α a + (1 − α) c c untuk suatu konstanta α → → → → b. Jika b = x ( a + 5 c ) − c . Tentukan nilai x Jawab : → → → a. Misalkan AB : BC = m : n ⇒ b = mn+ n a + mm+ n c
Tuliskan α =
→
→
→
→
⇒ b = α a + (1 − α) c
n m+n →
→
→
→
→
b. Karena b = x ( a + 5 c ) − c = x a + (5x −1) c Maka x + (5x −1) = α + (1 − α) = 1 Diperoleh 6x − 1 = 1 ⇒ x = 13
C
3. Perhatikan gambar BP : PC = 3 : 2 AR : RD = 2 : 1 →
a
−−→
−−→
→
−−→
→
P
= OA , b = OB , c = OC , dst −−→
→
Jika PR = a + →
2 → b 3
−
2 → c 5
→
→
B →
dan d = k1 a + k2 b + k3 c Maka k1 + k2 + k3 = … (A) 1,9 (C) 1,3 (E) 2,6 (B) 2,9 (D) 2,3 Jawab : B → → BP : PC = 3 : 2 ⇒ p = 53 c + →
AR : RD = 2 : 1 ⇒ r = −−→
→
2 → d 3
+
D R O
A
2 → b 5
1 → a 3
→
Perhatikan PR = r − p →
a
+
2 → b 3
−
→
→
→
→
2 → c 5
→
= ( 23 d + →
1 →) a 3
→
→
→
→
→
− ( 53 c + →
2 → b 5
) ⏐ kali 15 ⏐
→
15 a + 10 b − 6 c = 10 d + 5 a − 9 c − 6 b →
→
→
→
10 d = 10 a + 16 b + 3 c ⇒ d = a + 1,6 b + 0,3 c Dengan demikian k1 + k2 + k3 = 2,9
Vektor
243
14. 4. Perkalian titik →
→
→
→
→
a . b = | a | | b | cos α
Misalkan a = (a1, a2, a3 ) →
→
b = (b1 , b2, b3 )
a
Maka berlaku …
α
→
→
→
a . b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
b
→ →
→ → a b +a b +a b α = ∠ ( a , b ) ⇒ cos α= a ⋅ b→ = 1 1 2 2→ 3 3 → → | a | | b| |a| |b|
Sifat-sifat 1. 2. 3. 4.
→
→
→
→
a ⋅ b = b ⋅ a →
→
→
→
→
→
→
a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c
→
→
→
a ⋅ a = ⏐ a ⏐2 →
→
→
→
a tegak lurus b ⇔ a ⋅ b = 0
Contoh : → → → → → 1. Jika diketahui vektor → a dan b dengan ⏐ a + b ⏐= 15 dan ⏐ a − b ⏐ = 10 dan → ⏐ b ⏐ = 5, maka⏐ → a⏐ = … 1 (A) 275 (B) 1 325 (C) 1 450 (D) 1 475 (B) 1 550 2
2
2
Jawab : E → 2 → 2 → ⏐→ a + b ⏐ = 225 ⇒ ⏐ a ⏐ + 2 a → → 2 → 2 ⏐→ a + b ⏐ = 100 ⇒ ⏐ a ⏐ − 2 a
2. Diketahui vektor
−−→
OA
b
b
→
+ 2⏐ b ⏐2 + 2 ⋅ 25 275 2
= 1
= 325 2 = 325 ⇒ 2 ⏐ → a ⏐ = 275
550
2
→
2
+ ⏐ b ⏐2 = 225 → + ⏐ b ⏐2 = 100 →
2 2 ⏐→ a⏐ 2 ⇒ 2 ⏐→ a⏐
⇒ ⏐→ a⏐ =
→ →
2
→
−−→
→
→
→
= i + k dan OB = 4 i + 3 j + 5 k . Titik P pada AB −−→
sehingga ∠AOP = ∠BOP, maka OP = … (A)
5 → i 3
+
→ 1 → j+ 3 k 2 2
(C)
3 → i 2
+
→ 1 → j+ 5 k 2 3
(B)
1 → i 2
+
→ 1 →j + 14 k 2
(D)
1 → i 2
+ j+
→
→
(E) i +
→ 3 → j+ 1 k 4 3
1 → k 4
Jawab : C
Vektor
244
−−→
−−→
−−→
Perhatikan : OP = OA +
AP
−→
−−→
−−→
−−→
OA −−→
−−→
−−→
⋅
−−→
−−→
| OB | | OP | cos α
OB ⋅ OP
−−→
−−→
Dengan demikian OP = ( 32 , →
−→
→
= 1
5
B
−−→
−−→
−−→
→
2 50
| OB |
Diperoleh : 5 OA ⋅ OP = OB ⋅ OP 5 ( 2 + 7k ) = 9 + 41k 10 + 35k = 9 + 41k ⇒ k =
→
−→
−−→
| | | | OP | cos α = |OA = OA = −−→ −−→ −−→
OP
−→
AP segaris dengan AB ⇒ AP = k AB
= OA + k AB = (1, 0, 1) + k (3, 3, 4) = (1 + 3k, 3k, 1 + 4k)
1 2
,
5 3
P A
1 6
α
)
O →
→
α
→
→ →
3. Jika a + 2 b − c = 0 ; ⏐ a ⏐ : ⏐ b ⏐ : ⏐ c ⏐ = 3 : 1 : 2 dan α = ∠( a , c ), maka sin α = (A) 14 7 (B) 12 7 (C) 13 7 (D) 23 7 (E) 34 7 Jawab : A → → → → → → ⏐ a ⏐ : ⏐ b ⏐ : ⏐ c ⏐ = 3 : 1 : 2 ⇒ ⏐ a ⏐ = 3t; ⏐ b ⏐ = t; ⏐ c ⏐ = 2t → → → → → → ⇒ ⏐2 b ⏐2 = ⏐ c − a ⏐2 2b = c − a →
→
→ →
→
⇒ 4 ⏐ b ⏐2 = ⏐ c ⏐2 − 2 a c + ⏐ a ⏐2 →
→ → → → ⇒ 4 | b | 2 = | c | 2 − 2 | a | | c | cosα + | a | 2 ⇒ 4 t2 = 4 t2 − 12 t2 cosα + 9 t2 ⇒ 12 t2 cosα = 9 t2 ⇒ cos α = 9 = 3
12
⇒ sin α = →
1 4
4
4
7
α
7
3
→
→
→
→
→
4. Vektor a + 2 b tegak lurus dengan vektor 3 a − b . Jika ⏐ a ⏐ : ⏐ b ⏐ = 2 : 3, dan → →
α = ∠( a , b ), maka cos α = … (A) 1 (B) 1 (C) 1 (D) 1 2
3
5
4
(E) 1
6
Jawab : → → → → ⏐ a ⏐ : ⏐ b ⏐ = 2 : 3 ⇒ ⏐ a ⏐ = 2t; ⏐ b ⏐ = 3t →
a
→
→
→
→
→
→
→
+2b ⊥ 3a −b ⇒ (a +2b) (3a −b)=0 → → → → ⇒ 3 ⏐ a ⏐2 + 5 a b − 2 ⏐ b ⏐2 = 0 → → → → ⇒ 3 ⏐ a ⏐2 + 5 ⏐ a ⏐ ⏐ b ⏐ cos α − 2 ⏐ b ⏐2 = 0 ⇒ 12 t2 + 30 t2 cos α − 18t2 = 0 ⇒ cos α = 1 5
5. Segitiga OAB sama sisi. Titik C pada OA sehingga OC : CA = 2 : 1, Titik D pada →
−−→ →
−−→
−−→
−−→
OB sehingga OD : DB = 2 : 3. Jika a = OA , b = OB dan CD ⋅ AB = 4,8 →
→
maka ⏐ a + b ⏐ = … (A) 3 (B) 2 3 (C) 3 3 Jawab : C
(D) 4 3
(E) 5 3
Vektor
245 O −−→
−−→
2
Dari CD ⋅ AB = 4,8 −−→
−−→
2 −−→
−−→
D
( CO + OD ) ( AO + OB ) = 4,8 →
→
→ → (− 2 a + 2 b ) (− a + b ) = 4,8 ⏐ kali 15 ⏐
5
3
→
→
→
→
(−10 a + 6 b ) (− a + b ) = 72 → 2 →→ 2 10⏐→ a ⏐ − 16 a b + 6⏐ b ⏐ = 72 → 2 → 2 10⏐→ a ⏐ − 8⏐ a ⏐ + 6⏐ a ⏐ = 72 → 2 2 8 ⏐→ a ⏐ = 72 ⇒ ⏐ a ⏐ = 9 → 2 → → → → ⏐ a + b ⏐ = ( a + b ) (→ a + b) → 2 → → 2 = ⏐→ a ⏐ + 2 a b +⏐ b ⏐ → 2 → 2 2 = ⏐→ a ⏐ +⏐ a ⏐ +⏐ a ⏐ = 27 → → Jadi ⏐ a + b ⏐ = 27 = 3 3 6. Titik P, Q dan R segaris dan vektor →
Q dan R. Jika
p
= (2,1,−1),
−−→
A
B
∆OAB sama sisi , maka ... →
→
→ →
→
• ⏐a⏐=⏐b⏐ →
• a b = ⏐ a ⏐⏐ b ⏐ cos 600 → → = ⏐ a ⏐⏐ a ⏐ 1
2
→ = 1 ⏐ a ⏐2 2
→
→
,
p
q
→
,
masing-masing vektor posisi titik P,
r
−−→
→
= (3,2,1) dan r ⊥
PQ
2
C
1
PQ
→
, maka r = …
(A) 12 (1, 3, 2) (B) (0, 4, 3) (C) (1,3,−2) (D) 12 (0,3,−2) (A) 12 (1,0,−3) Jawab : E −−→ −−→ −−→ −−→ → → → → P, Q dan R segaris ⇒ PR = α PQ ⇒ r − p = α PQ ⇒ r = p + α PQ →
⇒ r = (2,1,−1) + α (3,2,1) = (2 + 3α, 1 + 2α, −1 + α) −−→ −−→ → → r ⊥ PQ ⇒ r ⋅ PQ = 0 ⇒ (2 + 3α, 1 + 2α, −1 + α) . (3,2,1) = 0 ⇒ 14 α + 7 = 0 ⇒ α = − 12 →
Dengan demikian r = (2 − 32 , 1 − 1, −1 −
1 2
) = ( 12 , 0, − 32 ) =
1 2
(1, 0, −3)
7. D.ABC bidang empat dengan alas ∆ ABC sama sisi, yaitu p. Jika CD −−→ −−→ tegak lurus alas dan CD = q, maka cos∠( AD , BC ) = … q 2p (A) 2 2 (C) (E) 2 q p +q
(B)
p2 + q 2 p (D) 2 p2 + q 2
q 2 p2 + q 2
p2 + q 2
B −−→
v
C
maka ∠( AC , BC ) = ∠ACB = 600 −−→ −−→ −−→ −−→ Jadi AC BC = ⏐ AC ⏐ ⏐ BC ⏐ cos 600 = p ⋅ p ⋅ 12 = 12 p2
→
→
v
B
−−→
CD tegak lurus bidang alas ⇒ CD ⊥ Dengan demikian :
−−→
AD
−−→
−−→
AD
−− →
BC
−−→
BC
−−→
⇒ CD −−→
−−→
= ( AC + CD )
BC
= Dilain sisi :
bertolak belakang dengan ∠ACB, −−→
−−→
u
A
−−→
∠( AC , BC )
→
u
C A
Jawab : D →
D
−−→
−− →
AC
−− →
−− →
BC
−−→
BC
= 0.
−−→
BC
−−→
+ CD
−− →
BC
−−→
=
1 2
p2 + 0 =
1 2
p2
−− →
=⏐ AD ⏐ ⏐ BC ⏐ cos ∠( AD , BC )
Vektor
246 p2
1 2
= −−→
−− →
cos ∠( AD , BC )
p2 + q 2 ⋅ p ⋅ p = 2 p2 + q 2
−−→
−− →
cos ∠( AD , BC )
14. 5 Proyeksi Suatu Vektor Pada Vektor Yang Lain → Perhatikan gambar dibawah. Vektor c diperoleh dengan cara memproyeksikan vektor →
a
pada vektor
→
→
→
. Rumusan vector c dan ⏐ c ⏐ adalah …
b
a ⋅ b
c =
a
→
→
→
→
→
b
→ 2
| b| →
→
c
b
→
→
→
a ⋅b
|c |=
→
|b|
Contoh 1. Panjang vektor → | |2
−−→
PQ
→ | |2
→
(A) u → −→v
→
(C) |→u −→v |
| u + v |2
→ | |2
pada gambar disamping adalah… | u + v |2 →
→ | |2
→
→
| u | −| v | (E) → →
R
| u|+| v |
→
(D) | →u − →v |
(B) u → − →v
|u + v |
Q
v
→
P O
|u + v|
→
u
Jawab B −−→
→
→
Bangun diatas adalah jajaran genjang, maka OR = u + v −−→
→
→
→
−−→
OP diperoleh dengan memproyeksikan →
−−→
→
→
→
→
−−→
⏐ OQ ⏐ =
→
vektor u pada u + v
→
→
→
→
→
|u+v|
vektor v pada u + v
OQ diperoleh dengan memproyeksikan
→
v ⋅ (u + v)
⏐ OP ⏐ =
→
→
→
u ⋅ (u + v) →
→
| u + v| →
→
−−→ −−→ −−→ Maka ⏐ PQ ⏐ = ⏐ OQ ⏐ − ⏐ OP ⏐ = u ⋅→( u +→v ) − v ⋅→( u +→v )
| u + v|
→
= (u − →
→
→
→ → v) ⋅ ( u + v) → →
|u+v|
→
→ | |2
|u+v|
→ | |2
= u → − →v
|u + v |
→
→
2. Vektor c = 2 i + j − 2 k adalah proyeksi vektor a pada vektor →
a
+
→
b
→
→
→
= 5 i − 3 j − 4 k , maka
→ (A) 2 c 3
→ (B) 5 c 3
→
b
→ (C) 1 c 2
→
b
. Jika Vektor
=… → (D) 3 c
2
→ (E) 3 c
5
Jawab : A
Vektor
247 Perhatikan gambar →
a
−−→
−−→
−−→
→
= PS ;
= PQ
b
−−→
QU
= PT = proyeksi a pada
→
→
b
→
→
−−→
= c
b
S
R
T
U
→
→
a
−−→
+ c = PQ + QU −−→
→
P
= PU
−−→
−−→ −−→
−−→
→
−−→ PR ⋅ PT PT −−→ | PT | 2
= proyeksi PR pada PT =
Q
b →
→
= ( a +→b ) ⋅ c |c|
2
→
c
→ → → = 2 ⋅ 5 + 1 ⋅ ( −3) + ( −2) ⋅ ( −4) c = 15 c = 5 c
9
( 22 +12 +( −2)2 )2 →
Dengan demikian:
b
→
→ → → = 5 c − c = 2 c
3
3
→
→
3. Diketahui a = 6 i − j + 5 k ,
→
→
→
→
pada vektor
b
→
. Jika ⏐ c ⏐ =
b
→
→
→
→
⏐ b ⏐, maka m = …
2 5
(C) m =
atau m = −15
(D) m =
5 2
→
= 3 i − j + m k , c adalah proyeksi vektor a
(A) m = − 52 atau m = 15 (B) m =
3
2 5 2 5
atau m =
5 2
(E) m = 15 atau m =
5 2
atau m = −15
Jawab : A →
c
→
→
adalah proyeksi vektor a pada vektor →
⏐c⏐=
→ → a⋅b →
→
→
→
→
⇒⏐c⏐⏐b ⏐= a ⋅
b
⇒
| b|
⇒
2 5
b
, maka … →
→
⏐ b ⏐2 = a ⋅
2 5
→
b
(10 + m2) = 19 + 5m ⇒ 2m2 − 25m −75 = 0
⇒ (2m + 5 ) (m −15) = 0 ⇒ m = − 52 atau m = 15 −−→
→
→
→
4. Bangun ABCD pada gambar adalah trapesium. Jika AB = 3 i − 3 j + 4 k dan −−→
→
AD = i
→
−−→
→
− 2 j + k , maka DC = …
→ → → (A) 4 ( 3 i − 2 j + 4 k )
→ → → D (D) 5 ( 3 i − 2 j + 4 k )
17 → → → 13 (B) (3i−2 j+4k) 34 → → → (C) 13 ( 3 i − 2 j + 4 k ) 17
Jawab : A D
(E)
11 2( 11
→
→
C
→
3i−2 j+4k) B
A
C
−−→
−−→
−−→
= proyeksi AD pada AB
AE
−−→
=
−−→
AD ⋅ AB −−→ 2
−−→
AB
| AB | A −−→
DC
E −−→
F −−→
B −−→
−−→ = 13 AB −−→
= EF = AB − 2 AE = AB −
34 −−→ −−→ 13 AE = 4 AB 17 17
→ → → = 4 (3i− 2 j+4k)
17
Vektor
248
Pembahasan Vektor Matematika IPA −−→
1. Diketahui titik P(1,−2,5), Q(2,−4,4) dan R(−1,2,7). Maka PQ = ⎯→
a. 3 QR
⎯→
2 QR 3
b.
c.
⎯→
⎯→
⎯→
d. − 1 QR
1 QR 3
e. −3 QR
3
(Matematika ’89 Rayon A) Jawab : D ⎡2⎤ ⎡1⎤ ⎡1⎤ ⎡ −1⎤ ⎡ 2 ⎤ ⎡ −3 ⎤ −−→ ⎯→ PQ = ⎢ − 4 ⎥ − ⎢ − 2 ⎥ = ⎢ − 2 ⎥ dan QR = ⎢ 2 ⎥ − ⎢ − 4 ⎥ = ⎢ 6 ⎥ ⎢⎣ −1 ⎦⎥ ⎢⎣ 7 ⎦⎥ ⎢⎣ 4 ⎦⎥ ⎢⎣ 3 ⎦⎥ ⎣⎢ 4 ⎦⎥ ⎢⎣ 5 ⎥⎦ −−→
⎯→
maka PQ = − 1 QR 3
−−→
→
⎯→
2. Diketahui titik P(−3,−1,−5), Q(−1,2,0), dan R(1,2,−2). Jika PQ = a dan QR + →
→ →
PR = b maka a ⋅ b sama dengan …
a. 16
b. 22
c. 26
d. 30
e. 38 (Matematika ’89 Rayon B)
Jawab : C ⎡ −1⎤ ⎡ −3⎤ ⎡ 2 ⎤ ⎯→ ⎯→ → a = PQ = ⎢ 2 ⎥ − ⎢ −1 ⎥ = ⎢ 3 ⎥ ; QR = ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ −5⎥⎦ ⎢⎣ 5 ⎥⎦
⎡1⎤ ⎡ −1⎤ ⎡2⎤ ⎢ 2⎥ − ⎢2⎥ = ⎢0 ⎥; ⎢⎣ −2 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ −2 ⎥⎦
⎡ 1 ⎤ ⎡ −3⎤ ⎡ 4 ⎤ → ⎯→ ⎯→ ⎡ 2 ⎤ ⎡ 4 ⎤ ⎡6 ⎤ = ⎢ 2 ⎥ − ⎢ −1 ⎥ = ⎢ 3 ⎥ ; b = QR + PR = ⎢ 0 ⎥ + ⎢ 3 ⎥ = ⎢3 ⎥ ⎣⎢ −2 ⎦⎥ ⎣⎢ −5 ⎥⎦ ⎣⎢ 3 ⎥⎦ ⎣⎢ −2 ⎥⎦ ⎣⎢ 3 ⎥⎦ ⎣⎢1 ⎥⎦ ⎡ 2⎤ ⎡6⎤ → → Dengan demikian a ⋅ b = ⎢ 3 ⎥ ⋅ ⎢ 3⎥ = 26 ⎢⎣5 ⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎯→
PR
→
→
⎯→
→
⎯→
→
→
3. Diketahui a = −7 ι + 8 j dan P(1,−2) jika | PQ | = | a | dan PQ berlawanan dengan a maka koordinat titik Q adalah … c. (6, −6) d. (8, 10) e. (8, −10) a. (6, 10) b. (6, −10) (Matematika ’89 Rayon C) Jawab : E Sifat:
⎯→
→
⎯→
→
PQ berlawanan arah dengan a ⇒ PQ = k a , k < 0
Misalkan koordinat Q(x,y) ⎯→
PQ
→
berlawanan dengan a ⎯→
→
| PQ | = | a |
Q ⎯→
→
PQ = − a
Jadi PQ = − a = − ⎡−7 ⎤ = ⎡ 7 ⎤ ⇒ ⎡ x −1⎤ = ⎡ 7 ⎤ ⎢⎣ 8 ⎥⎦ ⎢⎣−8⎥⎦ ⎢⎣y + 2⎥⎦ ⎢⎣−8⎥⎦ ⎯→
→
P
→
−a
Didapat x = 8 dan y = −10 ∴ Titik Q(8, −10)
Vektor
249 →
→
→
4. Diketahui vektor u = (2, − 1,1) dan v = ( − 1,1, − 1). Vektor w yang → → panjangnya 1, tegak lurus pada u , dan tegak lurus pada v adalah … c. ( 0, − 2 , 2 ) e. ( 2 , 1 , − 2 ) a. ( 0, 0, 1) 2
2 2
b. ( 0,
2 2
,
)
3
2
d. (− 2 , 1 , − 2 3 2 3
3
3
) (Matematika ’90 Rayon A)
Jawab : B →
→
→
→
→
→
→
Rumus : w ⊥ u dan w ⊥ v ⇒ w = α ( u x v ), dimana α konstan
→
→
→
i j k 2 −1 1 −1 1 −1
−1 1 → 2 1 → 2 −1 → ⎤ =α ⎡ i − j+ k ⎢⎣ 1 −1 ⎥⎦ −1 −1 −1 1
→
=α
→
→ → → → → → → = α ⎡ i (1 − 1) − j ( −2 + 1) + k ( 2 − 1) ⎤ = α ⎡ j + k ⎤ = α j + α k ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦
w
w
→
sedangkan | w | = 1 ⇒ α 2 + α 2 = 1 ⇒ 2 α2 = 1 ⇒ α2 = ⇒ α=±
Untuk α =
1 2
1 2
2
. →
memenuhi jawaban B, w = (0,
2
1 2
1 2
2
,
1 2
2
)
5. Diketahui titik P(2, −3, 0), Q(3, −1, 2), dan R(4, −2, −1). Panjang proyeksi vektor ⎯→
PQ pada
a. 1
vektor b.
2
⎯→
PR
1 3
adalah … c.
d. 23
2 3
6 3
e.
(Matematika ’90 Rayon B) Jawab : E ⎡ 3 ⎤ ⎡ 2 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎯→ PQ = ⎢ −1⎥ − ⎢ −3⎥ = ⎢ 2 ⎥ ⎣⎢ 2 ⎦⎥ ⎣⎢ 0 ⎥⎦ ⎢⎣2⎦⎥ ⎡ 4 ⎤ ⎡2⎤ ⎡2⎤ ⎯→ PR = ⎢ −2 ⎥ − ⎢ −3⎥ = ⎢ 1 ⎥ ⎣⎢ −1 ⎦⎥ ⎣⎢ 0 ⎦⎥ ⎢⎣−1⎥⎦ ⎯→
⎯→
Panjang proyeksi PQ terhadap PR (atau proyeksi skalar ) adalah… ⎡1 ⎤ ⎡ 2 ⎤ ⎢2⎥ ⋅ ⎢ 1 ⎥ ⎢⎣2⎥⎦ ⎢⎣−1⎥⎦ PQ ⋅PR = = 2+2−2 = 2 = 1 6 22 + 12 + ( −1) 2
PR
→
→
→
6
→
6
→
3
→
6. Jika OA = i + k , OB = j + h , dan OC = c j + 4 k , dan ∠ABC = 60O maka c = a. 3 b. 2 c. 1 d. –1 e. –2 (Matematika ’90 Rayon C)
Vektor
250 Jawab : E
⎡1⎤ BA = ⎢ −1⎥ . BC = ⎢⎣ 0 ⎥⎦
⎡ 0 ⎤ ⎢c − 1⎥ ⎢⎣ 3 ⎥⎦ O BA ⋅ BC = BA ⋅ BC ⋅ cos 60
A(1,0,1)
600 B(0,1,1)
0 + (−c + 1) + 0 = 2 ⋅ (c − 1)2 + 9 ⋅ 1
C(0,c,4)
2
kedua ruas dikuadratkan, menjadi : 4( −c + 1)2 = 2(c – 1)2 + 18 4(1 – c)2 = 2(c – 1)2 + 18 2(c –1)2 = 18 1 – c = ± 9 ⇒ c = 1 ± 3 ⇒ c = 4 atau c = −2 7. Jika titik P( 32 , 52 ,1), Q(1,0,0), dan R(2,5,a) terletak pada satu garis lurus, maka a=… a. 0
1 2
b.
c. 1
d. 2
e.
5 2
(Matematika ’91 Rayon A) Jawab : D Titik P, Q, dan R terletak pada satu garis R ⎯→
⇓
⎯→
⎯→
⎯→
PQ segaris dengan PR
Q P
⇓
PQ = α PR , α konstan.
⎧ 2 ⎡ 32 ⎤ ⎫ ⎡ − 12 ⎤ ⎡ 12 ⎤ ⎪⎡ ⎤ ⎢ 5 ⎥ ⎪ 5 ⎨ ⎢5 ⎥ − 2 ⎬ ⇒ ⎢ − 2 ⎥ = α ⎢ 52 ⎥ ⎢⎣− 1⎦⎥ ⎪⎩ ⎣a ⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎪⎭ ⎣⎢a −1⎦⎥ = 12 α ⇒ α = −1
⎡1 ⎤ ⎡ 2 ⎤ ⇒ ⎢0⎥ − ⎢ 52 ⎥ = α ⎣⎢0⎦⎥ ⎢⎣1 ⎥⎦ 3
⎯→
PQ
=α
⎯→
PR
Diperoleh:
− 12
−1 = (a − 1) α ⇒ −1 = −a + 1 ⇒ a = 2 →
→
→
→
8. Jika besar sudut antara vektor p dan vektor q adalah 60O. Panjang p dan q →
→
adalah 10 dan 6, maka panjang vektor ( p − q ) sama dengan … e. 2 19 a. 4 b. 9 c. 14 d. 2 17 (Matematika ’91 Rayon B) Jawab : E →
→2
p−q
→
→ 2
→
→2
→
→
p−q
p−q
→2
→2
→
→
→2
→2
→2
→ →
→
→2
→2
→2
→ →
p+q = p + q +2 p⋅q
→
= p + q − 2 p q cos 60O
p−q = p + q −2 p⋅q
= 100 + 36 – 2 ⋅ 10 ⋅ 6 ⋅ 1
2
= 76
p−q =
76
= 2 19
Vektor
251 9. Diketahui titik A(1, − 2, − 8), dan titik B(3, − 4,0). Titik P terletak pada −−−→
perpanjangan AB sehingga
AP
−−−→
→
= −3 PB . Jika p
vektor posisi titik P,
→
maka p = … →
→
→
→
→
→
→
a. 4 i − 5 j + 4 k
→
→
b. 4 i − 5 j − 4 k
→
→
c. − j − 12 k
→
e. − i − 5 j − 2 k
→
→
d. −3 i − j − 12 k
(Matematika ’91 Rayon C) Jawab : A Misalkan titik P(x, y, z) ⎡ x − 1⎤ ⎡ 3− x ⎤ −−−→ −−−→ AP = −3 PB ⇒ ⎢ y + 2⎥ = −3 ⎢ − 4 − y ⎥ ⇒ ⎢⎣ z + 8 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 − z ⎥⎦ maka x – 1 = −9 + 3x y + 2 = 12 + 3y 8 = 2x −10 = 2y 4=x −5 = y
⎡ x − 1 ⎤ ⎡−9 + 3x ⎤ ⎢ y + 2⎥ = ⎢12 + 3y ⎥ ⎢⎣ z + 8 ⎥⎦ ⎢⎣ 3z ⎥⎦ z + 8 = 3z 8 = 2z 4=z →
→
→
→
didapat titik P(4, −5, 4) sehingga vektor p = 4 i − 5 j + 4 k
10. Garis g melalui A(2,4,–2) dan B(4,1,–1), sedangkan garis h melalui C(7,0,2) dan D(8,2, –1). Besar sudut antara g dan h adalah… a. 00 b. 300 c. 450 d. 600 e. 900 (Matematika ’92 Rayon A) Jawab : D ⎡ 4−2 ⎤ ⎡ 2 ⎤ AB = ⎢ 1− 4 ⎥ = ⎢−3⎥ ⎣−1− (−2)⎦ ⎣ 1 ⎦ −−−→ ⎡ 8− 7 ⎤ ⎡1⎤ CD = ⎢ 2 − 0 ⎥ = ⎢ 2 ⎥ ⎣−1− 2⎦ ⎣−3⎦ −−−→
−−−→
−−−→
−−−→
B A
−−−→
⋅ CD = | AB | | CD | cos α ⇒ 2 – 6 – 3 = 14 cos α ⇒ −7 = 14 cos α ⇒ cos α = − 1 ⇒ α = 180O − 60O = 120O
α
AB
C
D
2
∴ sudut antara dua garis harus sudut yang lancip; jadi ∠(g,h) merupakan sudut pelurus α ⇒ ∠(g,h) = 60O 11. Diberikan vektor
⎯→
OA
⎯→
→
→
→
= i + j+ 2k , ⎯→
⎯→
OB
⎯→
AB, sehingga ⏐ AP ⏐ = ⏐ OB ⏐. Maka OA ⋅ (Matematika ’92 Rayon B) a. 5 7 b. 4 7 c. 3 7 d. 2 7 e. 7 Jawab : C −−−→
AB
⎯→
−−−→
⎯→
⎯→
⎯→
= AO + OB = OB − OA 1 1 0 −−−→ = ⎡⎢2⎤⎥ − ⎡⎢1⎤⎥ = ⎡⎢1⎤⎥ ⇒ ⏐ AB ⏐ = ⎣3⎦ ⎣2⎦ ⎣1⎦ ⎯→
⏐ AP ⏐ = ⏐ OB ⏐ = 1 + 22 + 32 = 14
A
⎯→
AP
→
→
→
= i + 2 j + 3 k , titik P pada garis =…
α
P B
2 O
Vektor
252 Pada OAB bahwa cos α = OA ⋅ AB
……………………….(1)
Pada OAP bahwa cos α = OA ⋅ AP
………………………(2)
OA AB
OA AP
Dari (1) dan (2) = OA ⋅ AP
OA ⋅ AB OA AB ⎯→
OA
⋅
OA AP
→ → OA AP
⎯→
=
→ → OA AB
=
7(
AP
⎯→
OA
−−−→ ⋅ AB = 14 ⋅ (1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1)
2
1 + 2) = 3 7 →
→
→
→
12. Jika vektor a dan vektor b membentuk sudut 60o. | a | = 4 dan | b | = 3, →
→
→
maka a ⋅ ( a – b ) = … a. 2 b. 4 c. 6
d. 8
e. 10 (Matematika ’92 Rayon C)
Jawab : E →
a
→
→
→
→ →
→ →
→
→
→
⋅ ( a – b ) = a ⋅ a – a ⋅ b = | a |2 − | a || b | cos 60O = 42 – 4 ⋅ 3 ⋅ 12 = 16 – 6 = 10 →
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
13. a = 3x i + x j – 4 k , b = –2 i + 4 j + 5 k dan c = –3 i + 2 j + k . Jika a tegak →
→
→
lurus pada b , maka a – c = … →
→
→
→
→
→
a. –33 i – 8 j – 5 k b. –27 i – 8 j – 5 k →
→
→
→
→
d. –33 i – 12 j – 5 k →
→
→
e. –33 i + 8 j – 5 k
→
c. –27 i – 12 j – 5 k
(Matematika ’93 Rayon A) Jawab : C
⎡ 3x ⎤ ⎡ − 2 ⎤ → → ⇒ a⋅b=0⇒ ⎢x⎥ ⋅ ⎢4⎥ =0 ⎢⎣−4⎥⎦ ⎢⎣ 5 ⎥⎦ ⇒ −6x + 4x – 20 = 0 ⇒ 2x = 20 ⇒ x = 10 ⎡−30⎤ ⎡−3⎤ ⎡−27 ⎤ → → → → → → Jadi a = –30 i – 10 j – 4 k ⇒ a – c = ⎢ −10 ⎥ − ⎢ 2 ⎥ = ⎢ −12 ⎥ ⎢⎣ −4 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ ⎢⎣ −5 ⎥⎦ →
→
a tegak lurus pada b
→
→
→
→
⇒ a – c = –27 i – 12 j – 5 k →
→
→
→
14. Diketahui vektor-vektor u = 2 i – j +2 k dan
→
→
v
→
→
→
→
→
= 4 i + 10 j – 8 k . Vektor u + c v
→
akan tegak lurus pada vektor u jika c = … a. 1 b. –2 c. – 12 d. 12 e. –1 (Matematika ’93 Rayon B)
Vektor
253 Jawab : D ⎡2⎤ ⎡ 4 ⎤ ⎡ 2 + 4c ⎤ → → u + c v = ⎢ −1⎥ + c ⎢10 ⎥ = ⎢ −1 + 10c ⎥ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ −8⎥⎦ ⎢⎣ 2 − 8c ⎥⎦
⎡ 2 + 4c ⎤ ⎡ 2 ⎤ → → → → → → ( u + c v ) ⊥ u ⇒ ( u + c v ) ⋅ u = 0 ⇒ ⎢−1 + 10c⎥ ⋅ ⎢−1⎥ = 0 ⎢⎣ 2 − 8c ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⇒ 2 ( 2 + 4c ) – 1 ( −1 + 10c) + 2 ( 2 – 8c ) = 0 ⇒ 4 + 8c + 1 – 10c + 4 – 16c = 0 ⇒ 9 = 18c ⇒ c = →
→
→
→
→
→
→
→
15. a = – i + 4 j , b = 2 i + j , c = 3 i – 4
→
j
→
1 2
→
→
dan x = p a + q b dengan p dan q
→
→
bilangan real tidak nol. Jika x sejajar dengan c , maka p dan q memenuhi hubungan … a. 8p – 11q = 0 c. 11p − 8q = 0 e. 11p − 9q = 0 d.11p + 8q = 0 b. 8p + 11q = 0 (Matematika ’93 Rayon C) Jawab : B → → → → − p + 2q ⎤ −1 2 x = pa + qb ⇒ x = p⎡ ⎤ + q ⎡ ⎤ = ⎡ ⎢⎣ 4p + q ⎥⎦ ⎢⎣ 4 ⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦ →
→
→
→
x sejajar dengan c ⇒ x = k c , untuk suatu konstan k.
Jadi ⎡−p + 2q ⎤ = k ⎡ 3 ⎤ ⇒ −p + 2q = 3k (x4) ⎢⎣ 4p + q ⎥⎦ ⎢⎣−4⎥⎦ 4p + q = −4k (x3)
−4p + 8q = 12k 12p + 3q = −12k
⇒
8p + 11q = 0 →
→
→
→
→
→
16. Diketahui a = 3 i – 2 j , b = – i + 4 j , dan maka k + m = … e. – 2 a. 3 b. 2 c. 1 d. –1
→ r
→
+
→
→
→
→
= 7 i – 8 j . Jika r = k a + m b ,
(Matematika ’95 Rayon A) Jawab : C → → = k a + m b ⇒ ⎡ 7 ⎤ = k ⎡ 3 ⎤ + m ⎡−1⎤ ⇒ ⎡ 7 ⎤ = ⎡ 3k − m ⎤ ⎢⎣−8⎥⎦ ⎢⎣−2⎥⎦ ⎢⎣ 4 ⎥⎦ ⎣⎢ −8⎥⎦ ⎢⎣−2k + 4m ⎥⎦ Diperoleh : 3k – m = 7 (x4) 12k – 4m = 28 ⇒ −2k + 4m = −8 (x1) −2k + 4m = −8 +
→ r
10k = 20 ⇒ k = 2 untuk k = 2 maka 3 ⋅ 2 − m = 7, didapat m = −1. Jadi k + m = 2 – 1 = 1 ⎯→
⎯→
17. Diketahui P(a,0,3), Q(0,6,5) dan R(2,7,c). Agar vektor PQ tegak lurus QR , haruslah nilai a – c sama dengan … a. –3 b. –2 c. 2 d. 3 e. 5 (Matematika ’95 Rayon B) Jawab : B Perhatikan ⎯→
PQ
⎯→
⎯→
PQ
⎯→
= ( −a, 6, 2 ), QR = ( 2, 1, c−5 )
⎯→
⎯→
⊥ QR ⇒ PQ ⋅ QR = 0 ⇒ ( −a, 6, 2 ) ⋅ ( 2, 1, c−5 ) = 0 ⇒ −2a + 6 + 2c – 10 = 0 ⇒ −4 = 2a – 2c ⇒ a – c = −2
Vektor
254 →
→
18. Agar kedua vektor p = (x,4,7) dan q = (6,y,14) segaris, haruslah nilai x – y =… a. –5 b. –2 c. 3 d. 4 e. 6 (Matematika ’95 Rayon C) Jawab : A →
→
→
→
p dan q segaris ⇒ p = α q
Dengan demikian (x,4,7) = α (6,y,14) ⇒ (x,4,7) = (6α , y α ,14 α) x = 6α = 3; 4=yα⇒y=8 Diperoleh : 14 α = 7 ⇒ α = 12 ; maka x – y = 3 – 8 = −5 →
→
→
→
→
→
→
→
→
→
19. Diketahui vektor-vektor a = 2 i – 4 j + 3 k , b = x i + z j + 4 k , c = 5 i – 3 →
2 k dan
→
d
→
=2i+z
tegak lurus terhadap a. – 6
→
j
–
→
b. 4 i – 2
→
j →
d
→
j
→
→
→
c. 6 i – –
→
→
→
e. 4 i – 6
k
d. – 2 i –
k
+ →
, maka a – b = …
k →
j
+ x k . Jika vektor a tegak lurus terhadap b dan vektor c
→ →
→
→
→
→
j
–
→
k
→
k
(Matematika ’96 Rayon A) Jawab : E →
→
→ →
⊥ b jika a ⋅ b = 0 ⇒ 2x – 4z + 12 = 0 ⇒ 2x – 4z = −12 → → → → c ⊥ d jika c ⋅ d = 0 ⇒ 10 − 3z + 2x = 0 ⇒ 2x – 3z = −10 a
−z = −2 ⇒ z = 2 ⇒ x = −2 →
→
→
vektor b = −2 i + 2 j + 4 k →
⎡ 2 ⎤ ⎡−2⎤ ⎡ 4 ⎤ → → → → sehingga a – b = ⎢−4⎥ − ⎢ 2 ⎥ = ⎢ −6⎥ = 4 i – 6 j – ⎢⎣ 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 4 ⎥⎦ ⎢⎣ −1 ⎥⎦ → →
→
→
k
→
20. Panjang vektor a , b dan ( a + b ) berturut-turut adalah 12, 8, dan 4 7 . Besar sudut →
→
antara a dan b adalah … a. 45o b. 60o c. 90o d. 120o
e. 150o (Matematika ’96 Rayon B)
Jawab : D →
→
→
→
→ →
| a + b |2 = | a |2 + | b |2 + 2 a ⋅ b →
→
(4 7 )2 = 122 + 82 + 2| a || b | cos α 112 = 144 + 64 + 2 ⋅ 12 ⋅ 8 cos α 112 = 208 + 192 cos α −96 = 192 cos α ⇔ cos α = − 96 = − 1 ⇒ α = 120O 192
→
→
2
→
→ →
→ →
21. Diketahui u dan v vektor tak nol sembarang,, w = | v | u + | u | v . → → → → φ = ∠( v , w ), maka … Jika θ = ∠( u , w ) dan o a. φ – θ = 90 c. φ = θ e. φ + θ = 180o o b. φ + θ = 90 d. θ – φ = 90o (Matematika ’96 Rayon C)
Vektor
255 Jawab : C →
→ →
→ →
→
→
→ → →
→ → | u | 2 | v | + | u |( u . v ) → → u .( | v | u + | u | v ) θ = ∠( u , w ) ⇒ cos θ = →u . w→ = = → → → →
|u | |w|
|u | |w|
|u | |w|
→ → → |→ u| |v| + ( u . v )
cos θ =
……………….(1)
→
|w| →
→ →
→ → →
→ →
→
→
→ → | v | ( v . u ) + | u | | v |2 v .( | v | u + | u | v ) → → φ = ∠( v , w ) ⇒ cos φ = →v . w→ = = → → → →
|v| |w|
cos φ =
|v | |w|
|v | |w|
→ → → |→ u| |v| + ( u . v )
……………….(2)
→
|w|
Ruas kiri pernyataan (1) dan (2) bernilai sama, sehingga cos θ = cos φ atau θ = φ 22. Vektor
⎯→
PQ
= (2,0,1) dan vektor
⎯→
PR
= (1,1,2). Jika
⎯→
PS
=
1 ⎯→ PQ , 2
maka vektor
⎯→
=… a. (0,–1,– RS
b.
3 2
(1, 0 ,
3 2
c. ( 23 ,1, 0)
)
)
d.
( 12
e. (1, –1, 1)
, 0, 1) (Matematika ’97 Rayon A)
Jawab : A ⎯→
PS
PQ
= 1
⎯→
2
⇒
⎯→
PS
⎡1 ⎤ ⎡2⎤ = 1 ⎢ 0 ⎥ = ⎢0 ⎥ 2 ⎢1 ⎥ ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎣2⎦
sedangkan ⎯→
RS
−−→
⎯→
= RP + PS = −
⎯→
PR
+
⎯→
PS
⎡ −1 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ = ⎢ −1 ⎥ + ⎢0⎥ = ⎢ −1⎥ ⎣⎢−2⎦⎥ ⎢⎣ 12 ⎥⎦ ⎢⎣ − 32 ⎥⎦
23. A = (–1,5,4), B = (2,–1,–2), dan C = (3,p,q). Jika titik-titik A, B dan C segaris, maka nilai-nilai p dan q berturut-turut adalah… c. –3 dan 0 e. 3 dan 0 a. –3 dan –4 b. –1 dan –4 d. –1 dan 0 (Matematika ’97 Rayon B) Jawab : A →
→
Titik A, B dan C segaris, Maka haruslah memenuhi AB = k AC ⎧⎪⎡ 3 ⎤ ⎡−1⎤ ⎫⎪ ⎡ 2 ⎤ ⎡−1⎤ ⎢ −1 ⎥ − ⎢ 5 ⎥ = k ⎨⎢p ⎥ − ⎢ 5 ⎥ ⎬ ⎪⎩⎣⎢q ⎦⎥ ⎣⎢ 4 ⎦⎥ ⎪⎭ ⎣⎢−2⎦⎥ ⎣⎢ 4 ⎦⎥ ⎡ 4 ⎤ ⎡3⎤ ⎢−6⎥ = k ⎢ p − 5 ⎥ sehingga 3 = 4 k ⇒ k = 34 ⎣⎢−6⎦⎥ ⎣⎢q − 4⎦⎥ −6 = k (p − 5) ⇒ −6 = 34 (p − 5) ⇒ −8 = p − 5 ⇒ p = −3
−6 = k (q − 4) ⇒ −6 = maka p = −3 dan q = −4
3 4
(q − 4) ⇒ −8 = q − 4 ⇒ q = −4
Vektor
256 →
→
→
→
→
→
24. Vektor a = (4,3) vektor b = ( 1,–2) dan vektor c = (2,7) . Jika c = p a + q b , maka p q = … a. –1 b. –2 c. –3 d. 2 e. 3 (Matematika ’97 Rayon C) Jawab : B → → → 2 4 1 c = p a + q b ⇒ ⎡ ⎤ = p⎡ ⎤ + q⎡ ⎤ ⎢⎣7 ⎥⎦ ⎢⎣3⎥⎦ ⎢⎣−2⎥⎦ 2 = 4 p + q ( x 2) 7 = 3p − 2q ( x1)
⇒
4 = 8p + 2q 7 = 3p − 2 q +
⇒
11 = 11 p ⇒ p = 1 Dan 4(1) + q = 2 ⇒ q = −2. Jadi p ⋅ q = 1 ⋅ (−2) = −2 25. Pada persegi panjang OACB, D adalah titik tengah OA dan P titik potong CD →
dengan diagonal AB. Jika a = a.
→ 1→ a+ 2 b 3 3
b.
→ 1→ a– 2 b 3 3
⎯→
OA
→
dan b =
→ → c. – 1 a − 2 b 3 3 → → 1 d. – a + 2 b 3 3
⎯→
OB ,
maka
⎯→
=…
CP
→ → e. – 2 a – 1 b 3 3
(Matematika ’98 Rayon A) Jawab C
B P O
A
D
Perhatikan : ∆PDA dan ∆PCB sebangun ⇒ DP : DA = PC : BC ⇒ DP : PC = DA : BC = 1 : 2 Sehingga PC = 2 DC 3
Karena
⎯→
CP
−−→
dan CD searah, maka
→ sedangkan d = 1
2
sehingga
⎯→
CP
⎯→
OA
⎯→
CP
→ → = 1 a dan c =
2
→
→
= 2 CD = 2 ( d − c ) 3
⎯→
OB
3
+
⎯→
BC
→
→
= b+ a
→ → → → → → → = 2 [ 1 a − ( b + a )] = 2 (− 1 a − b ) = – 1 a − 2 b
3 2
3
26. ABCD adalah sebuah belah ketupat maka akan selalu … → → 1. u tegak lurus pada v →
→
→
→
→
→
2. | u + v | = 2| u | atau | u + v | = 2 | v |
Jawab : D (4 saja) Sifat dari belah ketupat :
3
2
⎯→
AD
⎯→
→
= u,
AB
3
→
= v dan besar sudut BAD = α, →
→
→
3. proyeksi u pada v adalah u sin α →
→
→
→
4. u + v tegak lurus u – v (Matematika ’98 Rayon B)
1. AD sejajar BC dan DC sejajar AB 2. DT = TB dan AT = TC 3. AC ⊥ DB D
(1) DT belum tentu sama dengan AT , maka → → ∠DAB = ∠( u , v ) belum tentu tegak lurus → → → → → → (2) | u + v |2 = | u |2 + | v |2 + 2 u ⋅ v
C
T
B
A
Vektor
257 →
→
→
→
= | u |2 + | v |2 + 2 | u | ⋅| v | cos α → = 2 | u |2 ( 1 + cosα) Jadi (2) salah
→
→
| u | = | v | karena belah ketupat
→ →
→ → → → (3) proyeksi u pada v = k v ( dengan k = u→⋅ v ) akan sejajar v . Tetapi vektor |v |2
→
→
→
sin α = k u akan sejajar u . Jadi 3 salah ⎯→ ⎯→ → → → → (4) u + v = AC dan u – v = BD . Jadi (4) benar u
→
→
→
27. Jika a = 2 i –
j
→
→
1. | a + b | =
→
j
→
– 6 k , maka …
→
→
3. a ⋅ b = –28
14
→
→
→
→
→
+ 3 k dan b = –4 i + 2 →
2. | a | : | b | = 1 : 2
→
4. a // b
( Matematika ’98 Rayon C) Jawab : E →
→
→
→
1. a + b = –2 i + →
→
2. | a | : | b | =
j
→
→
– 3k ⇒
22 + (−1) 2 + 32
→
| a + b | = (−2)2 + 12 + (−3)2 = 14
: (−4)2 + 22 + (−6)2 = 14 :
56
=1:2
→
→
3. a ⋅ b = 2 ⋅ (−4) + (−1) ⋅ 2 + 3 ⋅ (−6) = −8 –2 −18 = −28 →
→
4. b = −2 ⋅ ( 2 i –
→
j
→
→
→
→
→
+ 3 k ) = −2 a = k a (k konstan tak nol) ⇒ b // a
28. Diketahui persegi panjang OABC dengan panjang OA = 12 dan AB = 5. −−→
−−→
→
→
→
→
Jika OA = u dan OB = v , maka u . v = … (A) 13 (B) 60 (C) 144 (D) 149 (E) 156 ( Matematika ‘99 Rayon A ) Jawab : C Phitagoras : OB2 = OA2 + AB2 = 122 + 52 = 169 ⇒ OB = 13 → → → → u . v = ⏐ u ⏐ ⏐ v ⏐ cosα = 12 ⋅ 13 12 = 144
B
C →
v
→
α
5
u
12
O
A
13
→
→
→
29. Diketahui vector a = 4 i − 5 j + 3 k dan titik P(2,−1,3). Jika panjang →
→
−−→
−−→
PQ
sama
→
dengan panjang a dan PQ berlawanan arah dengan a , maka koordinat Q adalah (A) (2,−4,0) (B) (−2, 4,0) (C) (6,−6,6) (D) (−6,6,−6) (E) (−6,0,0) ( Matematika ’99 Rayon B ) Jawab : B Sifat: −−→
−−→
→
−−→
→
PQ berlawanan dengan a ⇒ PQ = k a , k < 0 →
Karena | PQ | = | a | ⇒ k = −1 ⇒
−−→
PQ
→
= − a = − (4, −5, 3) = (−4, 5, −3 )
−−→
Misalkan koordinat Q(x,y,z) ⇒ PQ = (x − 2, y +1, z − 3) Dengan demikian: x − 2 = −4 ⇒ x = −2; y +1 = 5 ⇒ y = 4; z − 3 = −3 ⇒ z = 0 ∴ Titik Q(−2, 4, 0)
Vektor
258 →
30. Diketahui →
a
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
= 2 i+ x j+ yk, b = y i+ 2 j+ zk,c = x i+ z j+ 2k. →
Jika a + b = c , maka … (A) x = 1, y = 3, z = 3 (C) x = −1, y = 1, z = 1 (B) x = 3, y = 3, z = 1 (D) x = 3, y = −1, z = 1
(E) x = 1, y = −1, z = 3 ( Matematika ‘99 Rayon C)
Jawab : E →
→
→
a + b = c ⇒ (2 + y, x + 2, y + z) = (x , z , 2)
⇒ x = y + 2, z = x + 2 dan y + z = 2 Dengan mensubtitusi ketiga persamaan diatas diperoleh x = 1, y = −1, z = 3
Vektor
