ffi
ir.d IiB.voL.30,N,*r,
*-
43
Perluasanbatasatas periodecuplik padaimplementasidiskret kontinu suatupengencJali PudjiAstuti JurusanMatamatika,lnstitutTeknologiBandungJln Ganesha 10 Bandung 40132; E-mail:
[email protected] Masuk: Saptember Januari 1999;dilerima: Januari1999 1998;revisimasuk:
Sari Tulisanini memperbaikisyaratcukup yang diusulkanoleh Astuti dkl sehinggaimplementasidiskret suatupengendaiikontinu suatusistemtak linier konvergenke suatubola. Sepertijuga dalamAstuti dkk, syaratcukuptersebutdapat tetapmengendalikan digunakan untuk menentukanbatas atas periodecuplik yang akan mcnghasilkansistem kendali data tercuplik yang bersifat Lebih dari itu, batasatasyang dihasilkandapatlebih baik dibandingkandengatrbatasatasyang dihasilkandengan konvergen. diberikanuntukmcmpertunjuklian hasil tersebut. syaratcukupdi Astuti dkk. Contohsederhana menggunakan kendalidata tercuplik,peiode cuplik, konvergeneksponensial Katakunci: sistemtak linier denganparanrctertak tentu, si.stem a-rimptolik. secafttseragamdanglobal, konverg,en
Abstract Extentionof upper bound samplingtinresfor discreteimplementationof a continuouscontroller the discreteimplementation of a continuous Thisnoteimprovesthe sufficientconditionsproposedby Astuti er.o/. u'hichguarantee of a nonlinearsystem.As in Astuti et. al. the proposedsuflicientconditionscanbe controlter remainsresultingin the cnrnvergencc of the closedloop sampleddatacontrolsystem. usedto determinean upperboundof samplingtimesresultingin the convergence Further,the obtainedupp-r borurdof samplingtime canbe betterthantlre upperboundobtainedusingthe conditionsin Astuti ef. the result. o/.A simpleexampleis givcn to den'lonstrate Kqntotds:nonlinear rr-stemwith paran,eter uncertainties,sampleddata control system,sampling time, globally undormly ptoticalIy convergence. glabally asTnr convergence, exponentially
Hasil ini kemudiandipe6aiki dalam[8J diperkenalkan. untuk memperolehbatasatas yang lebih baik dengan komputer untuk mengimplementasikan rnelnperhatikan Penggunaan nonnadari statussistemnya. Kemudian, pengendalitak linier sangatlahdiperlukan pengernbangan rancangan dilanjutkandalam[9] untuk sistemtak karenakompleksnyarancangan.Karena itu, seiring parameter linieryangmengandung tak tentu. metoderancanganpengendali denganberkernbangnya Dalam tulisan ini dikembangkanhasil akhir yang taklinier akhir-akhirini, perhatianparapenelitipada tersebutdi atasuntuk dapatmemperolehperiodecuplik topikpengaruhperiodecuplik padasistemdatatercuplik yang letrih baik. Periode cuplik ini akan meningkat.Hal ini terlihat dalantkepustakaan sernakin memper[ahankan sifat konvergenasimptotik ke bola saatini. Misalnya,Sontag[] and [2] mengidentifikasi ' yang dihasilkan oleh suatu pengendalikontinu untuk sifat keteramatan untuk mernpertahattkan syarat-syarat kontinu dan mengandung tak linier, suatu sistern . dan keterkendaliansuatu sistetn data tercuplik. parameter itu, pertama-tamaakan tak tentu. Untuk danSontag[3], GizzledanKokotovic[4], dan Iakubzyk kendali tercuplik, diikuti dengan dibahas sistem data juga syaratdkk t6l menelaah Arapostathis Leedkk [5], yang meninjau hasil sudah dikembangkan dalam fututi linier sifat ekuivalensi syaratuntuk mernpertahankan perbaikan Bagian berikutnya mengetengahkan dkk I9l. (feedback dan dapatdilinierkan denganumpan balik hasil [9]. Selanjutnya, contohsederhana diberikanuntuk Dalamareakestabilan,Astuti dkk dalam linearizable). perbaikan Akhirnya, tulisan rnernperlihatkan tersebut. sifat mempertahankan syarat-syarat untuk [7] menelaah ini dengan kesimpulan. ditutup kestabilanasirnptotik.Cara menentukanbatas atas juga di atas periode yang memenuhi s)'arat-syarat cuplik I
Pendahuluan
PROC.ITB. tr/OL.30,NO. 3, 1998
4,1
2
Sistem kendali data tercuPlik
Pandang srtatu sistem tak linier yang tnengandtrng parantetertak tentu yang lnenrenuhipersatlraan
u(0,s(/,x(r))) x (r)= F(x(r),
(l)
waktu. x e IR' menyatakan Di sini / e IR men)'atakan stalussistetn,dan u e IR'rnenyatakan pcubahtnasukan pengendali. Sementara itu, pararneter tak tentunya dinyatakandalarn peubah 6 yang diasumsikanterletak dalamsuatuhirnpunanyang diketahuidengannotasiA. Sebagaicontoh, A merupakansuatu selangtertutup dan terbatas;L = l-p,pl ttutuk suatttbilangan positif p. Asunrsi pertama yang digunakan adalah F kontinu sehingga keberadaan penyelesaian persamaan (l) terjanrinuntuk setiapsyaratawal padawaktu t6, ditulis xe, dan untuk sebarang masukan pengendali yang kontinu u. (Lihat Vidyasagar[10]). Kemudian, untuk rnenrpennudahpengkajian, juga diasumsikan bahrva rvaktuarvaladalahto = 0. N{isalkansuatupengendalikontinu untuk (l) diberikan oleh pcrsatnaan (2)
u(/) = p(x(f))
dcngan p kontinu terhadapx. Maka, diperoleltsuatu sisternlingkar terlutup yang dapat dinyatakandalatn bcnluk persalnaan x (r) = F(x(r),p(r(r)), d(/, x(0))
(3)
Asunrsibcrikutnl'aadalahbahrvasisternlingkar terlutup (3) bersifatkonvergeneksponensialsecaraseraganldan global @lobally uniformly exponentially convergent disingkatGUEC) ke suatubola.Hal ini dinyataandalam asurnsiberikut. Asumsi I Terclapatuatu fungsi yang terdiferensialkan secarakontinu
l= = .,1; r. dan dengan [2]). GtttutCorless P ^lb I wr V tr', Jadi, suatu pengendali kontinu (2) yang dernikian rnenghasilkansisternlingkar tertutup (3) bersifat GTIEC ke bola denganjari-jarir.,
B(r")= {x e IR' I ll x ll < r"} denganlaju penurunano. Dengan kata lain, pengendali kontinu (2) rnengendalikanstatussistern(1) bergerakke bola B(r") secaraeksponensialsejalan dengan waktu t nrcnujut* terlringga. Dalam Astuti dkk [9] telalt diturunkan suatu syarat cukup agar implernentasi diskret dari pengendali kontinu (2) akan mengendalikanstatus sistem (l) konvergen asirnptotik (Asymptotically convergent disingkat AC) ke suatu bola. Syarat cukup ini dapat digunakanuntuk menentukanbatas atas periode cuplik pada irnplernentasidiskret pengendali kontinu yang akan rnenghasilkansistetttlingkar tertutup yang bersifat AC. Dalam tulisan ini hasil itu diperbaiki.Khususnl'a diturunkan suatu syarat cukup yang lebih lunak daripadayang sudalt dihasilkan [9]. Syarat cukup ini juga dapat digunakan untuk tnenentukan batas atas periodecuplik yang lebih baik; artinya, batas atas yang dihasilkan dengan tnenggunakan syarat cukup perbaikan ini akan lebih besar atau setidaknya salna denganbatasatasyang dihasilkan denganmenggunakan syarat cukup di t9l Dengan dernikian, periode cuplik yang digunakandalam intplementasidiskretpengendali kontinudapatlcbih larnbat. Untuk itu, berikut ini dikemukakan pengertian sislern kendali data lercuplik yang merupakan sistern lingkar tertutup hasil irnplementasi diskret suatu pengendali kontinu. Misalkan 7 rnenyatakanperiode cuplik yang diskret.Definisikan digunakandalarnimplernentasi /o=0 'f t 1 = t P 1+
I/: IR' -+ IR, clonbeberapabilongan riil positif v'v,rrz,cx,I'' sehingga unluk setiapx e lR" dan I e lR berlaku'.
i. wrll x ll2< lzlx;< w2ll x ll2 ii. < VI,(x), F(x, p(x), 6(t, x)) > < -2a(I/(x) - V') untuk semua V(x) > y' . I'lotasi YI/(x) menyatakonvektor gradien clari I/ di x dan <.,.> ntenyolokan hasil koli ritik. Perhatikan bahrva setiap pcnyelesaiandari sistenl lingkar tertutup (3) yang ttretnenultiAstrrnsi I akart rnernenultiketaksantaan > ll x(r) ll < / ll x(0) ll r-* +"r" untuk sernuaI 0
(4)
untuk
k = l, 2' ...
Jadi. tr= kT
untuk
k = 0, 1,2, ..-
hnplementasidiskret pengendalikontinu (2) diperolelt dengan cara tnenahan tnasukan pengendali tetap pada setiap selang Ltr,,tr,*). Jadi, irnplernentasidiskretnya akanmernenuhipersamaan u ( t ) = f ) ( r ( / k ) ) u r t t t t k t p3 l < t p 1
(s)
sislemkendalidata tercupliksebagaihasil Selarlutnya, dari (l) dan (5) adalahsisternlingkar tertutupyang oleltpersatnaan dinl'atakan unluk 11I t I t*+t d1i,x1r1;1 x (r) = F(x(r),p(x(rr)),
(6)
45
TTB,t',OL.30,NO. 3, l9e8 PROC.
penulisan,notasix1 menya(akan Asumsi 3 Terdapatbilangan ar dan bilanganpositif Untukrnempermudah r(rr). 9o,9t, danp7 sehinggauntuksetiapx, y e IR' dan t e IR berlaku: i . < x , F ( x + y , p ( y ) {, t , x + y ) ) > < a r l l x l l ' ? + B o l llxl 3
Syarat cukup untuk konvergen ke bola
Sudahdisebutkanbahwa tulisan ini Inemperbaikisyarat cukup yang ada dalam t91 Asumsi berikut merangkumkan syaratcukup tersebut. Asumsi2 Terdopatbilangan positif p1, 82, p3 dan Ba sehinggauntuk setiap x. y e IR' dan t e lR berlaktr'.
i. llF(x,p(x),{t, x))ll< A ll*ll+ k ii. llF(x,p(y),4t, x))- F(x,p(x),4r, x)) ll < B3ll x - y ll iii ll vz(x)ll 5 /. ll x Il Hasilyangdiperkenalkan dalamTeoreuraI di t9l adalahsebagaiberikut: Perhatikan sistem kendali dota tercuplik Teorema I (6\ dan misalkan sistent tersebut nrcmenuhiAsumsi l dan 2. A{aka, setiap penyelesaian dari (6) adalah global. Lebih dari ilu, rnisalkan x{T) menyotakan penyelesaiandari (A untuk periode cuplik T > 0 dan x,(0) menyatakan penyelesaian (j). IuIaka, terdapat suatu bilangan positif T" dan suatu -fungsfiak turun
ra; 10,7')-+ IR dengattrl0) : rc
,lL
,un,reyo
Yilr untuk setiap periode cuplik T e [0,I'), penyelesaian x,(I) ntenujubola B(rlT)) jika t mentliu tak terhingga. Sebelumdibicarakan perbaikan syarat cukut di atas, yang akan bcrikut dikutipkan suatu lerna dari Il] digunakandalam pernbuktian.Bukti lerna dapat dililtat diIl]. Lcma 1 lulisalkan x : [0,7) -+ [0,a) suatu fungsi vang untuk semuax(t) > 0 dan menrenuhi terdiferensialkan x s 4(x(t)) + b(t)
untuk senrua x(t) > 0
dengona: IR -+ IR suatu fungsi yang kontinu don tak turun dengan o(0) = 0 clon b i [0,7) --r [0, oo)fitngsi kontinu.Misalkan pula i: [0,7")-+ [0, o) penyelesaian doripersomaan d iferensia I
i(t) = -o1;1r))+b(t) F (0) = x(0). AIoko,
+4 llxllllvll
ii. < VIl (x), F(x, p(y), {r, x)) - F(x, p(x), {1t,x)) > < k
llv-xll. Sebagai catatan, mudah ditunjukkan bahrva sistem kendali data tercuplik (6) yang memenuhiAsumsi I dan Asumsi 2 akan nremenuhiAsumsi I dan Asumsi 3. Perbaikan yang dilakukan dinyatakan dalam teorema bcrikut. Teorcma 2 Misolkan sistem kendali data tercuplik (6) ntemenuhi Asuntsi I dan 3. h[aka, setiap penyelesaian dari (6) adalah global. Lebih dari itu, misalkan x,(T) ntenyatakanpenyelesaian dari (Q untuk periode cuplik 7" > 0 dan x,(0) nrenyatakan penyelesaian (3). Maka, terdapat suatu bilangan positif f don suatu.fungsW
-
turun rd:[0, ?") -+ IR ctengan rlA) = rc =
lV'
1l;
sehinggauntuk setiop periode cuplik T e [0, I'), penyelesaian x,(T) nenuju bola B(rlT)) jika t menuju tak terhingga. induksimatematikapada Bukti : Denganmenggunakan x(/) /, akan ditunjukkanbahwa seliap penyelesaian adalahglobal dan ditentukanbatasatas untuk norm llx(r)- x/l unluk semua/ e [/l, ft*1],& = 0, l, ..., Misalkan x(r) suatu penyelesaiandari (6) yang terdefinisipadaselang[0, 11)untuk suatulc e { 0, l, 2, ...). Jelaslahhal ini berlakuuntuk k = 0. Akan x(r) dapat diperluas ditunjukkanbahwa penyelesaian induksi padaselang[0, lpr]. Jadi,denganmenggunakan matematika pada & dapat disirnpulkan bahwa padaselang[0, co). penyelesaian x(r) dapatdiperluas x(/) dapat diperluas Perhatikanbalrrvapenyelesaian padaselang[0,1p+tp] untuksuatubilanganpositif0 < tp < L Sekarang definisikan i (t) = x(r)- xs
uutuksetiap ltp,ft + rpl
Diperolelr
r ( / ) =i ( t ) = F(x(r),p(xi), 4r, x(r))) = F(T (l) + xr, p(xr),4/, i (t) + xr)) Asumsi3.i diperoleh denganmenerapkan sehingga
x(r)< r(r) f e [0,?"). untuksemua Perbaikandilakukan dengan memperlunakAsurnsi2 menjadisebagaiberikut.
= < a,lli (t)ll'+ Bolli (r) ll +
F' lli (r)llllxr.ll
Untuklnelihatbatasatasdari i (/), didefinisikan
46
PROC.ITB, VOL.30,NO. 3, 1998
€(/)=lli (r)lj="t untuksetiapt e [ty,t1,+rl Dalarnhal ini €(4) = 0 dan untuksetiapt e (t6 tp+ r) dengan€(r)> Odiperoleh((t) diferensiabel dengan
llx(r)- xell < q,(r - tr, &) dengan
lat
6()-'..r(r),i(> r) ia.di, €(r) adhlah suatu fungsi tak negatif yang kontinu pada [4, tt + rr], diferensiabelpadd setiap / dengan (D > O dan mernenuhiketaksarnaan
4 0 < c ' f t ( t ) +F o + g t l l x r l l 4t)= o K:tsus l: Jika crl = 0. Dalarn hal ini (r) rnernenuhi hipotesisdari Lema I untuk fungsi o(r) = 0 sehingga(r) dibatdsi oleh suatu fi.rngsi.Fungsi batas atas tersebut merupakanpenyelesaian dari persamaandiferensiaI (7)
Dapat ditunjukkan bahrva penyelesaian persalnaan diferensial(7) berbentuk
{ ro = (Fo+ 0,ll xr llx/ - /o) unruk / e lt;, t]+ 4l karenai frrl=0. Jadi,untukcr1= 0 diperoleh 6@< @o+$ ll* ll)(/- r*) untuk r e [4.,t1+11] Kasus2: A * 0. Dalamhal ini.jika ditulis $(t)
=
(8)
jika ar = I j(A +A llxll))t o r Q , x=)l A t + A I I ' l l ) , - . - 1 ) j i k a a l *0 l-\c
€ ( t )= < r ( r ) , i ( r ) t - i . . l ( r ) , t ( r ) t
1(,) = Bo+ Btllxl,ll I e [t4.tr+ r*l € <,rl=o
untuk t e Ith, tp + rll
Karena ruas kanan dari ketaksarnaan(8) terbataspada selang [re, h, + 71, dan dengan mernanfaatkansifat kekontinuan dari penyelesaianx(/), dapat disirnpulkan balnva penyelesaianx(l) dapat diperluassampai dengan selang [0,rs1]. Sebagairnanasudah dibahas di atas, dengan menggunakan rnetode induksi matematika selanjutnyadapat disirnpulkan bahwa penyelesaianx(/) dapat diperluas pada selang [0, co). Lebih dari itu, penyelesaian tersebutjuga rnemenuhiketaksarnaan(8). Untuk rnenunjukkan teorerna didefinisikan kandidat fungsi Lyapunovsebagaiberikut: I
r7$)= v(x(r))1 dcngan Z adalah fungsi Lyapunov untuk sisternlingkar tertutup (3) yang rnernenuhi Asurnsi l. Tulis I
bahwauntuksetiapI dengan7(/) f = 1tt7J Diperoleh + 0 uraka4 diferensiabel dengannilai ' I
t1() = -y1111-'(Vll(x(/)),x(/))
(9)
Sebelurnnya, untuk rnernperrnudahpembahasan,bentuk . ylz (x(r)), x (r) > diamati terlebihdahulu.Untuk / e Ut,tprl, < VZ(x(l)),x (r) > = < VZ(x(/)),F(x(l),p(x),d(r,x(r)))>
\1t) e-atl
akan diperoleh6r(r) suatu fungsi tak negatif yang padasetiapr dengan4,(D> 0 kontinudandiferensiabel danrnerttenuhi
,
+ < VZ(x.(r)),AF(x(/),x1) >^
dcngan AF(x(r),x1)=F(r(r),p(x), {r, x(r)))-F(x(r),P(x(r)), {r,x(r)))
6{t)=(E.l)-a1(Q))e-arl
< (Fu+ /, llx*ll),"', = 6(/r) o Jadi,serupadengankasusa1= 0, fungsif1(l) rnernenuhi hipotesisdari Lerna l. Karenaitu, untuk kasusas * 0 diperolch A,+F,llxtll, ---(e-,(t-'r) E(r)s ctl
- l) untuk t e [r^., t1,+rl
Dari pernbahasan di atas diperoleh fungsi batas atas untuk
- x*ll 1(/)=lli(/)ll=llx(r) sebagaiberikut
Selarrjutnya,dengan menggunakanAsurnsi l.ii dan Asurnsi3.ii diperoleh
- V'1+B=v1x14; i 11x14-xo1 <-2a(V(x1t11 I untuksetiap x(r)yangmernenuhi Z(x(r))2 tr^.Dengan pendefinisianfungsi q dan.7- lral ini rnernperhatikan juga berarti - (,t')2)+ p,a(r)llx(r)-x1ll < VL(x(r)), x (,) > < -2u1t71r)2 rrntuksernuat c [tk,tk-tldenganq(t) > ,t' . Sekarang, dengan rnen'substitusikanbatas atas dari q y1u(x(r)), x (l) > yang diperolehini pada persarnaan (9) diperoleh
4'l
PROC. ITB,VOL.s0, NO.3. l9e8
aa
- rt tl s - q(i(t).-;\ + ,nit) !tlr{L)
(l+ffoz@ or(r)= :-^)r'
(10)
dengan,ilt) > q'. selanjutnya, .untukgemuaI a [t1,1611 batas atas llr(l). -rrll' yang dengan.mensubstitusikan (8) diperoleh. . diperoleh dalarnketaksarnaan n
\(t)<-q@(t)- 4')+4orrt - ty,ry).
Perhatikan bahrva: L
(tl)
&
Selariutnya, denganmendefinisikan r7,O= t7(\ - tt'
t+o+ l'
. .
tt&) - rt*
sehingga dapat didefinisikan fungsi jari-jari ra: [o,f) -+ IR dengan ltl lfl "
= --
roU)=1
i tG)= -afi1tl + o{t - ty,4) ir$)= nlr)- q' Dapatditunjukkanbahwafr berbentuk - q' \e-a(t-'.'. 4/6{/-J!/id.o;l fi1t1=141tr1
-Q
(13)
unfirksetiap,€ [rr,tb]rldengan a +(ed -l)
7(t)
(t
(12)
Serupadengan pernbahasandi atas, 4t mcmenuhi hipotesisLema I selringgaterdapatsuatufungsi fr(t) yangmerupakanbatasatas dari 4. Lebih lanjut, I penyelesaian persamaan diferensial merupakan
o2G)=
-ot 0)- = n' 11n,
untuk setiap r i [11,[*11
,tt$ S-aq{t) + o{t - tp,r)
al d(e-t +(o-d
: . Fungsi X. bersifat l"(0) = I dan l"'(0)' = -q, ( 0. Karena itu, terdapat suatu bilangan positif Ir I(t) < I untuksemua,e (0, fi). Tulis sehingga 7t = sup{I> 0ll(l) < I untuksemuar e (0,7)}.
2.
diperolehbahwa setiap t e [f1,f;a1ldenpn 4r(l) > 0, ?r diferensiabeldengan nilai memenuhi ketaksamaan
rh(i=
.
=cl =0
l=0
./w.
['
or(r)
' t . t ' ' t t - t ( r ) ) lr efO,rlj t e ( 0 , 7 ' ) lsup'l-|.
Sebagaicatatan,rd merupakanfungsi kontinu yang tak lurunpadaselang[0,/). fungsijari-jari Dari hasilpengamatan dan pembentukan di atas,leorernaakan teftukti jika dapat ditunjukkan balrwa untuk setiap I e [0,7") penyelesaianx,(?") konvergenke bolaB(rlT)) jika r menujutak terhingga. Pertama,hal ini benaruntuk I = 0 karenadiketahui lingkar tertutup (3) konvergenke bahrvapenyelesaian bolaB(r"). SekarangmisalkanI e (0,?') suatuperiode cuplik untuk sistem lingkar tertutup (6). Dengan induksi dan persatnaan(15) diperoleh menggunakan /i = 1,2,... untrrksetiap bahrva t-l
-l)
sat -l)+ar(e-d a,(eort
= Q*dl
,t& ) < ttQ)x(r|k+ o,Q
=0
i=0
-l)
aa1(a1+ a)
a * a 1 * o , a y* 0
t e [tr.tprlberlaku untuksetiap Jadi, {0-ry's({rr)-4"1;a(t-+).Aryor(r-rrt
(14)
r1Q)=tz(xr)ir Jflltrll,
7(t) = s'a *
-,1* * )"(t s,tert(r)r ffi^U-,rt ffi
(l- t(r-,r))
- tr!+.{l(l -i(, -,r) snq)r{t' ru - rr7+,{f,rn1T)L(t Jadi,untukseti:rpt e [/i,/r*rl
q(t) < nq)1(7)k).( - trl+,t{ro1T)
(14)rnenjadi ketaksamaan qos tt&)},(t- rt)+ Or( - tr)
Untuksetiapt ezltp,taal ttb <,t(tt)L(r- ti) + Ot(t - tk) r 1(t-r11+ Q 1'ryfts 4r l 4r -rr ) + q (r- rr) <,t@)A(T)t
Asumsil.i, khususnya Dengan mempertimbang&an
dengan
|(rf
(t5)
(16)
/c+ o. Karena Perhatikan bah.va,+ € mengakibatkan = (16) lirnr-, nQ) 0, rnakaketaksamaan rnenghasilkan lirn 4(r) <,t{roQ)
PROC,ITB, VOL.30,I'IO,3, ]998
18
'i i;
Karena itu, n(tJ
J::1 , l i r r r l l X, l r)l l< 7;
- l 2 e r x l - r u n t r r k s e t i a px * 0 . F(x)l> I
Selain,itu, p(r) diferensiabcldi setiap r dengan fungsi dilcrcnsialbcrbentuk
s r.,('r)
Artinya, penyelesaiaux,('f) konvergen ke bola B(rl7)) jika t rncnujutak tcrhingga. Catatan: Scpintas hasil Teoretna 2 sama dengan TeorernaI dalam [9]. Nantun,perlu diperhatikanbahu'a hipotesisyang digunakart dalam kedua teorcttta itu berbeda.Khususny'a,hipotesisyang digunakandalau.t Tcorcrna 2 lebih lunak daripada hipolesis )'rlng digrruakandi [9]. Artiny'asistenlkendali data tercuplik (6) y,angrnemenuhihipotesisTeorernaI di [9] dapat diturlukkanakanrnemenuhihipotesisTeorerna2. yang dibahasdalant [9], dari Lebih lanjut,sebagairnana bukti Teorernadi atasdapatditurunkansuatucarauntuk mencntukanbatasatasuntuk periodecuplik yang akan rurcnjarnin sistenr kendal data' tercuplik yang dihasilkannva konvergen ke suatu bola secara asirnptolik.Khususnl'a,batas alas terscbut,sebut 7", persalnaarl nrernenuhi "l ),(T)=l
dp(x)
=
dx
2t-' l+l2e-txl
Untuk nenurlukkan bahu'a (19) bersifat GUEC, didcfinisikankandidatfi.urgsiLyapunovsebagaiberikut: .
,.v(x)=x2
Asurnsi1.i denganw1= Jelasbahrvafi.rngsiuH'tnernenuhi = rvz l. Unluk menunjukkan baht'a sistem lingkar tertutup(19) bcrsifat CUEC, perlu ditunjukkanbahrva Asurnsil.ii berlaku.Perhatikanbahwa
lt.
clx
t
Karcna,itu, ( .t-t\ tl t, + atrl l = Zxl- x l+l2e-'xl ) \
Untuk sistcnrkendali yang tencnlu, batas atas yang dihasilkan derrgan rncrnanfaatkanT'eorcrna2 disini dapatlebih baik (lebihbesar)jika dibandingkandengan batas atas yang dihasilkan dengan ntemanfaatkan Teorerna I di [91. I{at ini dibcrikan dalant contoh berikut. Jadi, Teorerna 2 menrpakan perbaikan dari TcorernaI di [9].
Berdasarkansifat fungsi p(x), unluk setiap r * dipcrolclr
Contoh Pandangsuatu sislclltscdcrhanasalu oeubalr 1'angberbenluk
< VI,(x), F(x,p(x),{r)) > 3 -21'(x) + a' -lxl + x{/)
(l7)
r(t)=-r+r/+d(/)
dengant, r, a elR, r urcn)'atrkanpeubaltstalusdan tr menyatakanpeubahnrasukan.Ftrngsi {l) rnenvalakan nrasukangangguan1'ang tak diketahui, kecuali batas Khususul'a,dikcllrhni atasn)'a. lfir)l
u r r l r r k s c t i r t pr e I R
lr4isalkans suatu bilangan positif 1'ang cukup kccil. Dengannrenggunakan rnetodeyang dibicarakandalatu Corless [I2l diperolelt pengcndlli kontinu )rng bcrbcntuk
0
< -Zx? -12x11 I -l 2e?rl-rI + 2x qr) Khususnya,untuk setiap I(x) :
rz t
+ dengan 2 rnerlgalurkenrbalibcntukkclaksarnaan di atasdiperoleh
< - z r t i x ) -9 )
2 -lrl karena16(0l< I rnenghasilkan + rd(r) < 0. Jadi, sisternlingkar tertutup(19) memenuhiAsurnsi Lii dcngancr = I dan Il = 9. Kor.no rtu, dapat 2 disirnpulkan bahu,asisternlingkartertutup(19)bersifat GUECke bolaB(r")dengan," =
r;
. Sckarang akan ,l; ditunjukkan bahu'asisterndatatercuplikyangberbenluk l ^ -l-
i(r;=-"1,1--
tllt€
+d(r) xLl
(20)
(lti) 14< l1l1y1
Pcrrgcndali ini urenglusilkansistenrlirrgkartertutup l ^-l :[I
-r(/)= -.r - -::-j- ' + J1r) l+;2r-ri
(19)
yang bersifatGUEC ke trola /i(r") clenganr" = J;z p(r) bcrsiftrt Scbagai catatan, frrngsi
j I
I
)' T p(
menrcnuhiAsuursi3 sertaakan ditenlukanskalar-skalar yang rncrnenuhi asunrsitersebut. dc
x(
49
ITB, I OL. 30,NO. 3, 1998 PROC.
Sebagaicontoh, jika diambil e = 0,1 akan diperoleh ?- = 0,000025.Tarnpak bahwa hasilnyajauh lebih kccil dari batas atas yang ditentukan dengan menggunakan Teorerna2.
Perhatikan bahl'a i Untuksetiapx, y, t e IR berlaku: <x, F(x + Y, P(v), qtD > = x { - ( x+ . r ' t - # - + d 1 r ; } l+l2e-'.vl .
Jadi, dari contoh rni dapat disirnpulkanbahwa Teorema 2 merupakanperbaikandari hasil di [9].
2e-txt, Jfl . -- -'-------;- + fc)(r)
t+l2e-'yl -xt < + (l + 2€'r)lx,vl + lxl
Untuksetiapx, y, t t IR berl:rktt < V(x),F(x,p(v),4t)) - r(r, p(x), &.t))> = Zx(p(v)- p(r))
ii.
rlnr
a\
< 2 l x l l - Y l l . x - . r1 1 dx
untuk suatuc di antarar dan y. Jadi. I
I <,le- L' 1x1z 1x-y1 karena
4
Kesimpulan
Tulisan ini telah berhasil rnernperbaiki syarat cukup vang diusulkanoleh Astuti dkk di [9] agar irnplernentasi diskret suatu pengendali kontinu tetap mengendalikan sisterntak linier konvergen ke suatu bola. Khususnya, syarat cukup yang diusulkan merupakansyarat'perlu bagi syarat cukup yang diusulkan di t9l Karena itu, syaratcukupyang diusulkanlebih lunak. Lcbih dari itu, syaratcukup yang diusulkan dapat menghasilkanbatas atas yang lebih baik. Contoh sederhanadikaji untuk r n c r n p e r l i h a t kh aa nl i n i .
2 e t. ,' d P ( c ), - ', ' x l l' < 2 t - l dx l+l2c Dari i. dan ii" dapatdisimpulkanbalttva(i9) rnetnenuhi Asuntsi3 denganc(r = -1, Fo= t. /Jr "( | + 2'-r;. dart 0z = "t{t . Karena itu, Teorerna2 berlaku untrrk sisteur kendali data tercuplik ( I 9) Khususnya. setiap (19) adalah global. Juga, terdapatsuatu penyelcsaian bilangan posirif I sehingga jika periode cuplik ?", dengan0 < Z < 7", maka sistemkendali data tercuplik (19) bersifatkonvergensecaraasilnptotik ke suatu bola B(r).
5
Daftar Pustaka
l.
E.D. Sontag, A concept of local observability. Syslemand ControlLetters,5:41-47,1984.
2.
E.D. Sontag,An eigenvalueconditionfor sarnpled n'eak controllability of bilinear systems. Systems and ControlLetters,7'.313-316,1986.
3.
B. Jacubciryk dan E.D. Sontag, The effect of sanrplirrgon feedback linearization. Proc. of the 26lh IEEE conferenceon Decision and Control,ltal l3'74-1379. Los angeles,CA, 1987.
dari Batasatasf'dapat ditentukansebagaipenyelesaian
)" (D =t Dalarnhal ini frrngsi2(D bcrbentuk t){7"-' + e-r - l}. 7(D = e-r- (l + 26 \(2€
;1. J.W. Grizzle dan P.V. Kokotovic.' Feedback linearization of sampled data systerns. IEEE Transoctiotrson Automatic Cbnlrol, 33:857-859, l 988. 5.
H.-G. Lee, A. Arapotathis, dan S.I. Marcus, Remarkson discretization and linear equivalence of conlinuous tirne nonlinear systelns.Proc, of the 26th IEEE Conference on Decision and Control. h a l 1 7 8 3 - 1 7 8 5L,o s A n g e l e sC , A, 1987.
6.
Arapostatltis, B. Jacubczyk, H.-G. Lee, S.I. Marcus, and E.D. Sontag,The effect of sarnplingon linear ancl cquivalenceand fcedbacklinearization.Systenr ControI Letters,l3 :373-38l, 1989.
Sebagaicontoh.jika diarnbil e = 0,1 akan dipcrolelt I'= 0,0048. Dengan cara yang serupa dapat ditunjukkan baltrva sisteurkendali data tercuplik (19) nernenuhi Asuntsi I d a n2 d e n g a nf i = ( l + 2 € t ) , F r = I , B 3 = 2 e t , d a l fa = 2. Dengan dernikian,batas atas periode cuplik, yaitu f, dapat juga ditentukandengan menggunakan TeorernaI di [9], 1'aitu penyelesaiantak nol dari persamaan
Kn=r bukli TeorernaI di [9] adalah denganfungsi). me.nunrt T
^-l
i1V ' = s-ra-J!--11 I + -la-'
u(r*aa-r)r- l) +( I + 4e-r)(e-r- l)
'7.
P. Astuti,D. Willianuons,dan M. Corless,Indirect digital controlof nonlinearsysterns with application lo robotics. Proc. of the European Control Conference, Groningen, hal 438-443, the N c t h e r l a n d s1.9 9 3 .
50
8 . P. Astuti, D. Williarnsons,dan M. Corless,Digital control of nonlinear systemswith state dependent sarnpling tirnes. //re third IFAC Syntposium on Nonlinear Control SystentsDesigtr, hal 859-864, California,1995. 9 . P. Astuti, M. Corless,dan D. Williarnsons,On tlte convergenceof sarnpled data nonlinear s)'stelns, Differential Equations, Theory, Numerics and .4pplicatious, editor: E. van Groesen dan E. Soewono,Klun'er, 201-210, 1991.
PROC.ITB, t'OL. 30, NO. 3, 1998
l 0 M. Vidyasagar. Nonlinear Systems Analysis. Prentice-Hall, NewJersey, 2ndendition,1993. l l . M. Corlessdan L. Gliehno, A new converse Lyapunov result on exponentialstability. Proc. IFAC Symposiumon Design Methodsfor Control .!vs/ens,Zurich,1991. t2 M. Corless,Control of Uncertain Nonlinear Trans.of the ASluIE,Vol ll5, hal 362 Systerns. 3',72, t993.
