PENYELESAIAN NUMERIS MODEL KONTINU ARUS LALU LINTAS

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PENYELESAIAN NUMERIS MODEL KONTINU ARUS LALU LINTAS Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

Oleh : Bernadetta Ambar Sulistiyawati NIM: 133114011

PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2017

i


NUMERICAL SOLUTION TO A CONTINUOUS MODEL OF TRAFFIC FLOWS Thesis Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains in Mathematics

By : Bernadetta Ambar Sulistiyawati Student Number: 133114011

MATHEMATICS STUDY PROGRAM, DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2017

ii


SKRIPSI

PEi\YELESAIAI\ I\{UMERIS MODEL KOI\TINU ARUS LALU LII\TAS

Oleh: Bernadetta Ambar Sulistiyawati

NIM: 133i14011

Telah disetujui oleh:

Pembimbing

rfux/-4., Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc.,

Ph.D.

111

Tanggal 2l Februari 2017


SKRIPSI

PEI\YELESAIAN NUMERIS UNTUK MODEL KONTINU ARUS LALU LINTAS

Dipersiapkan dan ditulis oleh: Bernadetta Ambar Sulistiyawati

NIM: 13311401I Telah dipertahankan di depan Panitia Penguji Pada tanggal 28 Februari 2017 dan dinyatakan telah memenuhi symat

Susunan Panitia Penguji

Tanda Tangan

Nama Lengkap

Ketua

Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D.

........4W..

Sekretaris Febi Sanjay4 M.Sc.

Anggota

Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D.

da-fu&",

Yogyakart4 28 Februari 2017 Fakultas Sains dan Teknologi i' -

ti,!\.r i:,;',:.'-: :;'-.

nbf*, inl ..**" &t rtr '; ii

l! fJ;

YrWtffi$L/-, 5\ lbL" a't)

i.,

Mungkasi, S.Si., M.Math. Sc., Ph.D.)


PERNYATAAN KEASLIAN KARYA Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis

ini

tidak memuatkarya atau bagian orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan atau daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 28 Februai 2Al7

B

ernadetta Ambar Sulistiyawati


MOTTO

“Segala perkara dapat kutanggung didalam Dia yang memberi kekuatan kepadaku” (Filipi 4:13) “Visi tanpa tindakan hanyalah sebuah mimpi. Tindakan tanpa visi hanyalah membuang waktu. Visi dengan tindakan akan mengubah dunia!” (Joel Arthur Barker) “Sesuatu mungkin mendatangi mereka yang mau menunggu, namun hanya didapatkan oleh mereka yang bersemangat mengejarnya” (Abraham Lincoln)

vi


HALAMAN PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk: Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang senantiasa menyertaiku Mama, Papa dan Adik tercinta yang selalu mendukungku

vii


ABSTRAK Arus lalu lintas dimodelkan dan diteliti dalam skripsi ini. Kemacetan menjadi masalah lalu lintas yang sering terjadi di kota. Oleh karena itu, penulis membahas model matematika yang berhubungan dengan arus lalu lintas. Pembahasan mencakup bagaimana kondisi kepadatan lalu lintas yang dilihat dari pergerakan kendaraan secara makro, bukan pegerakan setiap kendaraan. Model matematika masalah arus lalu lintas berbentuk persamaan diferensial parsial yang dapat ditulis dalam bentuk hukum konservasi. Model tersebut diselesaikan dengan menggunakan teori linearisasi persamaan diferensial untuk mencari solusi analitisnya. Selain itu, penulis akan menggunakan metode volume hingga Lax-Friedrichs dan sistem relaksasi Jin-Xin untuk menyelesaikan model tersebut secara numeris Solusi analitis dan numeris akan disimulasikan dengan menggunakan perangkat lunak MATLAB. Penelitian ini akan menguji metode mana yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah arus lalu lintas jika dibandingkan dengan solusi analitisnya. Analisis hasilnya dengan melihat simulasi yang dihasilkan dan seberapa besar erornya. Semakin kecil nilai erornya maka semakin baik metode numeris yang digunakan. Kata kunci: arus lalu lintas, persamaan diferensial parsial, hukum kekekalan, volume hingga, metode Lax-Friedrichs, sistem relaksasi Jin-Xin

viii


ABSTRACT A traffic flow is modeled and studied in this thesis. A traffic jam becomes the problem that often occurs in a city. Therefore, the author discusses about the mathematical models that is related to the traffic flow. It explores on traffic density conditions seen from the macro movement of the vehicles, not each vehicles. Mathematical model of traffic flow problem is in the form of partial differential equations that could be written in the form of conservation laws. The model is solved using linearization theory of differential equations to find analytical solutions. In addition, the author uses Lax-Friedrichs finite volume method and JinXin relaxation system to solve the model numerically. Analytical and numerical solutions to the model are simulated using MATLAB software. This study examines the methods which could be used to solve the traffic flow problem if it is compared with the analytical solution as the previous solution. The results are analyzed by viewing the simulation outcomes along with the errors. The smaller the errors, the better the numerical method that is used. Keywords: traffic flow, partial differential equations, conservation laws, finite volume, Lax-Friedrichs method, Jin-Xin relaxation system

ix


KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang telah mencurahkan rahmat dan roh kudusNya sehingga penulis dapat mengerjakan dan menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi ini dibuat dengan tujuan memenuhi syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Univesitas Sanata Dharma. Penulis menyadari bahwa penulis melibatkan banyak pihak untuk membantu dalam menghadapi berbagai macam tantangan, kesulitan, dan hambatan. Oleh karena itu pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dekan Fakultas Sains dan Teknologi dan dosen pembimbing skripsi. 2. Bapak Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Kaprodi Matematika. 3. Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku Dosen Pembimbing Akademik. 4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si., M.Si., dan Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku dosen-dosen Prodi Matematika yang telah memberikan banyak pengetahuan kepada penulis selama proses perkuliahan. 5. Bapak/Ibu dosen/karyawan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah berdinamika bersama selama penulis berkuliah. 6. Kedua orang tua dan adik yang telah membantu dan mendukung saya selama proses pengerjaan skripsi. 7. Teman-teman Matematika 2013: Inge, Yui, Sorta, Melisa, Agung, Laras, Ezra, Yuni, Rey, Dion, Wahyu, Indra, Bintang, Tia, Lya, Andre, Sisca, Natali, Yola, Sari, Dita, dan Kristo yang selalu memotivasi, memberi masukan dan keceriaan, dan masih banyak yang tidak bisa disebutkan satu persatu. Terima kasih atas kebersamaan dan kekompakan ini. 8. Kakak-kakak, teman-teman dan adik-adik: Vincent, Kak Chandra, Kak Happy, Arka, Monic, Kak Lia, Tessa, Vania, Cicil, Kak Arum, Kak Yohan,

x


Kak Tika, Kak Kristin, dan yang lainnya, terimakasih untuk semangat dan dukungannya selama penulis berkuliah dan menulis skripsi ini.

9.

Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu

per satu dalam proses

penulisan skripsi ini. Semoga segala perhatian, dukungan, bantuan dan cinta yang telah diberikan mendapatkan balasan dari Tuhan Yesus Kristus. Penulis menyadari bahwa masih

banyak kekurangan dalam penulisan skripsi

ini. Oleh karena itu,

penulis

mengharapkan

kritik dan saran demi penyempurnaan skripsi ini. Harapan penulis,

semoga skripsi

ini bermanfaat bagi pembaca dan menjadi referensi belajar yang

baik.

Yogyakarta, 28 Februai 2017

Bernadetta Ambar Sulistiawati

x1


LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH TINTUK KEPENTINGAN AKADEMIS Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:

Nama

: Bernadetta Ambar Sulistiyawati

Nomor Mahasiswa : 133114011

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:

PENYELESAIAN NUMERIS MODEL KONTINU ARUS LALU LINTAS beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan

kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di Intemet atau media

lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta izin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencatumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenamya.

Dibuat di Yogyakarta Pada tanggal: 28 Februari2017

Yang menyatakan

cM (Bemadetta Ambar Sulistiyawati)

x1.l


DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ............................................................................................ i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING................................................... iii HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................. iv HALAMAN KEASLIAN KARYA ...................................................................... v MOTTO ............................................................................................................. vi HALAMAN PERSEMBAHAN ......................................................................... vii ABSTRAK ....................................................................................................... viii ABSTRACT ....................................................................................................... ix KATA PENGANTAR ......................................................................................... x LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ............................... xii DAFTAR ISI .................................................................................................... xiii BAB I PENDAHULUAN ............................................................................................... 1 A. Latar Belakang .......................................................................................... 1 B. Rumusan Masalah ..................................................................................... 4 D. Tujuan Penulisan ....................................................................................... 5 E. Manfaat penulisan ..................................................................................... 5 F.

Metode Penulisan ...................................................................................... 5

G. Sistematika Penulisan ................................................................................ 6 BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL....................................................................... 8 A. Turunan..................................................................................................... 8 B. Integral .................................................................................................... 12 C. Penurunan Numeris ................................................................................. 15 D. Klasifikasi Persamaan Diferensial ........................................................... 17 E. Metode Karakteristik ............................................................................... 19

xiii


F.

Metode Volume Hingga .......................................................................... 21

G. Metode Garis........................................................................................... 23 H. Matriks Jacobian ..................................................................................... 24 I.

Nilai Eigen dan Vektor Eigen .................................................................. 25

BAB III PENYELESAIAN MODEL ARUS LALU LINTAS ................................ 28 A. Hubungan Kecepatan, Kepadatan, dan Arus Lalu Lintas.......................... 28 B. Model Deterministik Arus Lalu Lintas .................................................... 30 C. Linearisasi Model Lalu Lintas ................................................................. 38 D. Gelombang Kepadatan Lalu Lintas .......................................................... 49 E. Interpretasi Gelombang Lalu Lintas......................................................... 53 F.

Contoh Arus Lalu Lintas yang Hampir Seragam ...................................... 54

G. Metode Karakteristik Lalu Lintas Tidak Seragam .................................... 58 H. Lalu Lintas dari Lampu Merah ke Hijau .................................................. 64 I.

Hubungan Linear Antara Kecepatan dan Kepadatan ................................ 74

J.

Nilai Kepadatan Awal Tidak Konstan ..................................................... 79

K. Solusi Analitis ......................................................................................... 85 BAB IV SIMULASI NUMERIS ARUS LALU LINTAS ........................................ 89 A. Metode Volume Hingga Lax–Friedrichs .................................................. 89 B. Sistem Relaksasi Jin–Xin ........................................................................ 93 C. Eror Solusi Numeris ................................................................................ 99 D. Simulasi Solusi Analitis dan Numeris .................................................... 100 BAB V KESIMPULAN DAN SARAN .................................................................... 106 A. Kesimpulan ........................................................................................... 106 B. Saran ..................................................................................................... 106 DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................. 107 LAMPIRAN .................................................................................................................. 109

xiv


BAB I PENDAHULUAN

Dalam bab ini akan dibahas tentang latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode penulisan, dan sistematika penulisan skripsi ini.

A. Latar Belakang Dalam kehidupan sehari–hari, kita sering menjumpai suatu model matematika yang berbentuk persamaan, baik linear ataupun nonlinear, serta sistem persamaan linear maupun nonlinear yang memuat diferensial, integral, dan persamaan diferensial biasa ataupun persamaan diferensial parsial. Model matematika tersebut dapat diselesaikan dengan dua cara, yaitu penyelesaian analitis dan penyelesaian bukan analitis. Penyelesaian analitis adalah penyelesaian model matematika dengan menggunakan teori atau metode analisis matematika yang telah ada sedemikian sehingga hasil yang diperoleh merupakan penyelesaian eksak. Penyelesaian bukan analitis adalah penyelesaian model matematika dengan metode pendekatan diskret sehingga penyelesaian yang diperoleh merupakan penyelesaian pendekatan, dan bukan penyelesaian eksak. Penyelesaian pendekatan diskret itu disebut penyelesaian numeris. Penyelesaian

numeris

adalah

penyelesaian

yang

dicari

dengan

menggunakan metode numeris. Metode numeris merupakan salah satu bagian dari matematika dengan cara masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa

1

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 2

sehingga dapat diselesaikan dengan pengoperasian aritmetika (Chapra dan Chanale, 2010). Perkembangan komputer digital yang pesat menyebabkan metode numeris banyak digunakan untuk menyelesaikan masalah nyata, yang penyelesaian eksaknya sangat sulit diperoleh, khususnya model matematika dalam bentuk persamaan diferensial. Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan turunan dari satu atau lebih variabel terikat yang berhubungan dengan satu atau lebih variabel bebas. Ada dua jenis persamaan diferensial berdasarkan banyaknya variabel bebas, yaitu persamaan diferensial biasa yang hanya melibatkan turunan biasa dan persamaan diferensial parsial yang melibatkan turunan parsial. Ada dua jenis persamaan diferensial parsial, yaitu persamaan diferensial parsial linear dan nonlinear. Beberapa contoh model dari persamaan diferensial parsial adalah model arus lalu lintas di jalan yang ramai, aliran darah yang melalui dinding tabung elastis, dan gelombang kejut sebagai kasus khusus dari teori umum dinamika gas dan hidrolika (Wazwaz, 2009). Dalam skripsi ini akan dibahas mengenai persamaan diferensial parsial untuk model kontinu arus lalu lintas. Undang – Undang No. 22 Tahun 2009 mengatur tentang Lalu Lintas dan Angkutan Jalan. Lalu lintas adalah gerak kendaraan dan orang di ruang lalu lintas jalan, sedangkan rambu lalu lintas adalah bagian perlengkapan jalan yang berupa lambang, huruf, angka, kalimat dan/atau panduan yang berfungsi sebagai peringatan, larangan, perintah, atau petunjuk bagi pengguna jalan. Lampu lalu lintas adalah lampu yang mengendalikan arus lalu lintas bagi pengguna jalan raya di persimpangan jalan, tempat penyeberangan bagi pejalan kaki, dan tempat lalu lintas lainnya.


Adanya lampu lalu lintas diharapkan dapat mengurangi kemacetan dan memperlancar aliran lalu lintas. Walaupun demikian, tidak bisa dijamin bahwa kemacetan dapat teratasi dengan adanya lampu lalu lintas. Masalah transportasi yang paling sering terjadi beberapa tahun terakhir ini adalah kemacetan lalu lintas. Dalam skripsi ini tidak akan dibahas bagaimana cara mengatasi kemacetan lalu lintas, namun bagaimana cara merumuskan model deterministik untuk arus lalu lintas secara kontinu. Model kontinu arus lalu lintas secara umum adalah 𝜕𝜌 𝜕 (𝜌𝑢) = 0 + 𝜕𝑡 𝜕𝑥 dengan 𝜌(𝑥, 𝑡) adalah kepadatan lalu lintas dan 𝑢(𝜌(𝑥, 𝑡)) adalah kecepatan kendaraan yang bergantung pada variabel waktu (𝑡) dan panjang ruas jalan (𝑥) serta domain ruangnya merupakan interval tertutup [𝑎, 𝑏]. Pada skripsi ini kita akan menemukan kepadatan kendaraan setelah lampu menyala merah menjadi hijau dalam satu dimensi yang diilustrasikan oleh Gambar 1.

Gambar 1 Ilustrasi masalah lalu lintas pada perempatan jalan. Persamaan di atas disebut persamaan diferensial parsial yang berhubungan dengan kepadatan lalu lintas dan kecepatan kendaraan. Kepadatan lalu lintas adalah jumlah


kendaraan yang menempati jalur lalu lintas setiap satuan waktu dan panjang ruas jalan. Kecepatan kendaraan adalah jarak yang ditempuh kendaraan setiap satuan waktu. Penyelesaian persamaan diferensial parsial tersebut memiliki dua komponen penting yang tidak diketahui, yaitu kepadatan lalu lintas dan kecepatan kendaraan. Secara umum, penyelesaian model kontinu arus lalu lintas tersebut cukup sulit diselesaikan secara analitis, sehingga diperlukan penyelesaian numeris untuk memecahkannya. Banyak metode numeris yang dapat digunakan untuk memecahkannya, antara lain metode volume hingga Lax-Friedrichs dan sistem relaksasi Jin-Xin. Pada skripsi ini akan dibandingkan antara metode volume hingga Lax-Friedrichs dan sistem relaksasi Jin-Xin untuk melihat metode mana yang paling baik dengan eror sekecil mungkin. Referensi utama tentang masalah arus lalu lintas dalam skripsi ini adalah Haberman (1998). Sedangkan untuk metode volume hingga Lax-Friedrichs merujuk pada LeVeque (1992, 2002) dan sistem relaksasi Jin-Xin merujuk pada Yohana (2012).

B. Rumusan Masalah Perumusan masalah yang akan dibicarakan pada tugas akhir ini adalah: 1. Bagaimana memodelkan secara kontinu arus lalu lintas dalam bentuk persamaan diferensial parsial? 2. Bagaimana menyelesaikan model kontinu arus lalu lintas secara numeris? 3. Bagaimana perbandingan tingkat eror antara metode volume hingga LaxFriedrichs dan sistem relaksasi Jin-Xin?


C. Batasan Masalah Pembahasan masalah dalam skripsi ini dibatasi pada penyelesaian persamaan diferensial parsial untuk model kontinu arus lalu lintas yang pergerakan kendaraannya hanya satu arah pada ruas jalan, dengan asumsi kendaraan tidak saling mendahului.

D. Tujuan Penulisan Tujuan dari penulisan skripsi ini, yaitu 1. Memodelkan dan menyelesaikan persamaan arus lintas yang kontinu. 2. Membandingkan eror antara metode volume hingga Lax-Friedrichs dan sistem relaksasi Jin-Xin, jika diterapkan pada model kontinu arus lalu lintas.

E. Manfaat penulisan Dengan memodelkan persamaan arus lalu lintas secara kontinu, kita dapat menyimulasikan pergerakan kendaraan satu arah pada ruas jalan yang bergantung pada waktu dan panjang ruas jalan.

F. Metode Penulisan Metode yang digunakan penulis dalam penulisan skripsi ini adalah metode studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku-buku atau jurnaljurnal yang berkaitan dengan persamaan diferensial parsial untuk model kontinu arus lalu lintas satu arah serta praktek simulasi numeris.


G. Sistematika Penulisan BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang B. Rumusan Masalah C. Batasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisan BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL A. Turunan B. Integral C. Penurunan Numeris D. Klasifikasi Persamaan Diferensial E. Metode Karakteristik F. Metode Volume Hingga G. Metode Garis H. Matriks Jacobian I. Nilai Eigen dan Vektor Eigen BAB III PENYELESAIAN NUMERIS ARUS LALU LINTAS A. Hubungan Kecepatan, Kepadatan, dan Arus Lalu Lintas B. Model Deterministik Arus Lalu Lintas C. Linearisasi Model Arus Lalu Lintas


D. Gelombang Kepadatan Lalu Lintas E. Interpretasi Gelombang Lalu Lintas F. Contoh Arus Lalu Lintas yang Hampir Seragam G. Metode Karakteristik Lalu Lintas Tidak Seragam H. Lalu Lintas dari Lampu Merah ke Hijau I. Hubungan Linear antara Kecepatan dan Kepadatan J. Nilai Kepadatan Awal Tidak Konstan K. Solusi Analitis BAB IV SIMULASI NUMERIS ARUS LALU LINTAS A. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs B. Sistem Relaksasi Jin-Xin C. Eror Solusi Numeris D. Simulasi Solusi Analitis dan Numeris BAB V PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN


BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL

Pada bab ini akan dipaparkan landasan teori yang digunakan dalam skripsi ini, yaitu turunan, integral, penurunan numeris, klasifikasi persamaan diferensial, metode karakteristik, metode garis, matriks Jacobian, dan nilai eigen serta vektor eigen.

A. Turunan Dalam subbab ini akan dijelaskan definisi dan contoh dari turunan, hubungan turunan dan fungsi kontinu, serta aturan Leibniz. Definsi 2.1.1 Diberikan fungsi 𝑓: 𝐷𝑓 ⊆ ℝ → ℝ dan 𝑎 ∈ 𝐷𝑓 . Turunan / derivatif dari fungsi 𝑓 di titik 𝑎 didefinisikan sebagai 𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎) ℎ→0 ℎ

𝑓 ′ (𝑎) = lim

dengan syarat bahwa nilai limit tersebut ada. Definisi 2.1.2 Definisi lain untuk turunan, jika diambil subtitusi 𝑥 = 𝑎 + ℎ dan ℎ = 𝑥 − 𝑎 maka ℎ → 0 jika dan hanya jika 𝑥 → 𝑎, sehingga 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) 𝑥→𝑎 𝑥−𝑎

𝑓 ′ (𝑎) = lim

Jika nilai 𝑓 ′ (𝑎) ada, maka fungsi 𝑓 dikatakan mempunyai turunan atau derivatif di titik 𝑎. 8


Contoh 2.1.1 Tentukan turunan fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 3𝑥 di 𝑥 = 2. Penyelesaian: 𝑓(2 + ℎ) − 𝑓(2) ℎ→0 ℎ

𝑓 ′ (2) = lim

(2 + ℎ)2 − 3(2 + ℎ) − (22 − 3 ∙ 2) ℎ→0 ℎ

= lim

4 + 4ℎ + ℎ2 − 6 − 3ℎ + 2 ℎ→0 ℎ

= lim

ℎ2 + ℎ = lim ℎ→0 ℎ = lim ℎ + 1 = 1. ℎ→0

Definisi 2.1.3 Diberikan fungsi 𝑓: 𝐷𝑓 ⊆ ℝ → ℝ , maka turunan atau derivatif dari fungsi 𝑓 untuk setiap titik 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 adalah 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ→0 ℎ

𝑓 ′ (𝑥) = lim atau

𝑓(𝑦) − 𝑓(𝑥) 𝑦→𝑥 𝑦−𝑥

𝑓 ′ (𝑥) = lim

dengan syarat bahwa nilai limit tersebut ada. Contoh 2.1.2 Tentukan turunan fungsi 𝑓 ′ (𝑥) jika diketahui 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 . Penyelesaian: 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ→0 ℎ

𝑓 ′ (𝑥) = lim


(𝑥 + ℎ)3 − 𝑥 3 ℎ→0 ℎ

= lim

𝑥 3 + 3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 − 𝑥 3 = lim ℎ→0 ℎ 3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 ℎ→0 ℎ

= lim

= lim 3𝑥 2 + 3𝑥ℎ + ℎ2 = 3𝑥 2 . ℎ→0

Contoh 2.1.3 𝑥+1

Tentukan turunan pertama fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥+2. Penyelesaian: 𝑓(𝑦) − 𝑓(𝑥) 𝑦→𝑥 𝑦−𝑥

𝑓 ′ (𝑥) = lim

𝑦+1 𝑥+1 𝑦+2−𝑥+2 = lim 𝑦→𝑥 𝑦−𝑥 (𝑦 + 1)(𝑥 + 2) − (𝑥 + 1)(𝑦 + 2) (𝑥 + 2)(𝑦 + 2) = lim 𝑦→𝑥 𝑦−𝑥 𝑥𝑦 + 2𝑦 + 𝑥 + 2 − 𝑥𝑦 − 2𝑥 − 𝑦 − 2 (𝑥 + 2)(𝑦 + 2) = lim 𝑦→𝑥 𝑦−𝑥 𝑦−𝑥 (𝑥 + 2)(𝑦 + 2) = lim 𝑦→𝑥 𝑦−𝑥 1 𝑦→𝑥 (𝑥 + 2)(𝑦 + 2)

= lim

=

1 . (𝑥 + 2)2


Teorema 2.1.1 Jika 𝑓(𝑥) mempunyai turunan atau terdiferensial di 𝑥 = 𝑎, maka 𝑓(𝑥) kontinu di 𝑥 = 𝑎. Bukti dapat dilihat pada buku karangan Hallet. H, Gleason, McCallum, dkk yang berjudul Calculus (Single and Multi Variable). Teorema 2.1.2 Jika 𝑓 dan 𝑔 kedua fungsi yang mempunyai turunan, maka fungsi komposisi 𝑓 ∘ 𝑔 juga mempunyai turunan yaitu (𝑓 ∘ 𝑔)′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑔(𝑥))𝑔′ (𝑥) dengan menggunakan notasi Leibniz, rumus di atas dapat dibagi menjadi dua kasus yaitu: Kasus 1. Jika 𝑦 = 𝑓(𝑢) fungsi terhadap 𝑢 dan 𝑢 = 𝑔(𝑥) fungsi terhadap 𝑥 yang keduanya terdiferensial, maka 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = ∙ . 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Kasus 2. Jika 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) fungsi terhadap 𝑥 dan 𝑦 yang terdiferensial dengan 𝑥 = 𝑔(𝑡) dan 𝑦 = ℎ(𝑡) fungsi terhadap 𝑡 yang juga terdiferensial maka 𝑑𝑧 𝜕𝑧 𝑑𝑥 𝜕𝑧 𝑑𝑦 = ∙ + ∙ . 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑦 𝑑𝑡 Bukti dapat dilihat pada buku karangan Hallet. H, Gleason, McCallum, dkk yang berjudul Calculus (Single and Multi Variable). Contoh 2.1.1 𝑑𝑦

Tentukan turunan (𝑑𝑥 ) jika diketahui 𝑦 = 𝑢2 + 3𝑢 dan 𝑢 = 3𝑥 2 + 5𝑥 − 1. Penyelesaian:


Dipandang 𝑑𝑦 𝑑(𝑢2 + 3𝑢) 𝑑(3𝑥 2 + 5𝑥 − 1) = ∙ , 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = (2𝑢 + 3) ∙ (6𝑥 + 5). 𝑑𝑥 𝑑𝑦

Karena 𝑢 = 3𝑥 2 + 5𝑥 − 1, maka didapat 𝑑𝑥 = (2(3𝑥 2 + 5𝑥 − 1) + 3) ∙ (6𝑥 + 5). Contoh 2.1.2 𝑑𝑧

Diketahui 𝑧 = 𝑥 3 + 3𝑥𝑦, dengan 𝑥 = 5𝑡 2 dan 𝑦 = 𝑡 2 + 7𝑡. Tentukan 𝑑𝑡 . Penyelesaian: 𝑑𝑧 𝜕(𝑥 3 + 3𝑥𝑦) 𝑑(5𝑡 2 ) 𝜕(𝑥 3 + 3𝑥𝑦) 𝑑(𝑡 2 + 7𝑡) = ∙ + ∙ , 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑧 = (3𝑥 2 + 3𝑦) ∙ 10𝑡 + 3𝑥 ∙ (2𝑡 + 7), 𝑑𝑡 𝑑𝑧 = 30𝑥 2 𝑡 + 30𝑦𝑡 + 6𝑥𝑡 + 21𝑥. 𝑑𝑡

B. Integral Dalam subbab ini akan dijelaskan definisi dan contoh dari integral tak tentu dan integral tertentu. Definisi 2.2.1 Integral suatu fungsi dapat didefinisikan sebagai invers/anti turunan fungsi yang dinotasikan oleh ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥), yang artinya integral fungsi 𝑓(𝑥) terhadap 𝑥. Contoh 2.2.1 Tentukan integral dari fungsi 𝑓(𝑥) = 2𝑥. Penyelesaian:


∫ 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 2 + 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ. Definsi 2.2.2 Misalkan 𝑔 adalah fungsi bernilai real yang terdefinisi pada interval [𝑎, 𝑏] dan {𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛 }

dengan

𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛−1 = 𝑏

yang

merupakan partisi pada [𝑎, 𝑏], 𝑓 dikatakan terintegral Riemann pada interval [𝑎, 𝑏] jika limit berikut ada 𝑛

𝑏

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim ∑ 𝑓(𝑥𝑗∗ )(𝑥𝑗 − 𝑥𝑗−1 ) ‖∆𝑥‖→0

𝑎

𝑗=1

dengan ‖∆𝑥‖ = max1≤𝑗≤𝑛 (𝑥𝑗 − 𝑥𝑗−1 ) dan 𝑥𝑗∗ ∈ [𝑥𝑗−1 , 𝑥𝑗 ] disebut titik evaluasi (𝑡𝑎𝑔). Jumlahan Riemann didefinisikan sebagai 𝑛

∑ 𝑓(𝑥𝑗∗ )(𝑥𝑗 − 𝑥𝑗−1 ). 𝑗=1

Definisi 2.2.3 Jika 𝑓 merupakan fungsi kontinu pada interval tertutup [𝑎, 𝑏], kita dapat membagi interval tertutup [𝑎, 𝑏] menjadi 𝑛 sub interval yang lebarnya sama yaitu ∆𝑥𝑖 = (𝑏 − 𝑎)⁄𝑛 dengan 𝑖 = 1,2,3 … , 𝑛. Diambil 𝑥0 (= 𝑎), 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 (= 𝑏) menjadi titik sampel dari subinterval dan 𝑥1∗ , 𝑥2∗ , … , 𝑥𝑛∗ sembarang titik sampel dari subinterval sehingga 𝑥𝑖∗ yang terletak pada subinterval ke-𝑖 [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ]. Maka integral tertentu dari fungsi 𝑓 pada interval tertutup [𝑎, 𝑏] didefinisikan sebagai 𝑛

𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∑ 𝑓(𝑥𝑖∗ )∆𝑥𝑖 . 𝑎

𝑛→∞

𝑖=1


Contoh 2.2.2 Tentukan integral fungsi 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3 pada interval tertutup [0,3] dengan menggunakan definisi. Penyelesaian: Bagi interval [0,3] kedalam 𝑛 subinterval yang sama panjang dengan ∆𝑥𝑖 =

𝑏−𝑎 3 = . 𝑛 𝑛 3

3𝑖

Ambil titik sampel 𝑥𝑖∗ = 𝑎 + ∆𝑥𝑖 𝑖 = 0 + 𝑛 𝑖 = 𝑛 . 3𝑖

Jadi, 𝑓(𝑥𝑖∗ ) = 𝑓(𝑥𝑖 ) = 2 ( 𝑛 ) − 1 =

6𝑖 𝑛

− 1.

Kemudian, jumlahan Riemman didapat 𝑛

∑ 𝑓(𝑥𝑖∗ )∆𝑥𝑖 𝑖=1

𝑛

6𝑖 3 = ∑ ( − 1) 𝑛 𝑛 𝑖=1

𝑛

𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

3 6𝑖 3 6𝑖 = ∑ ( − 1) = (∑ − ∑ 1) 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑖=1

3 6 3 61 = ( ∑ 𝑖 − ∑ 1) = ( 𝑛(𝑛 + 1) − 𝑛) 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛2 =

9(𝑛 + 1) 9 −3= 6+ . 𝑛 𝑛

Jadi, 3 9 ∫ (2𝑥 + 1)𝑑𝑥 = lim (6 + ) = 6. 𝑛→∞ 𝑛 0


C. Penurunan Numeris Dalam subbab ini akan dijelaskan definisi deret Taylor dan hampiran metode numeris. Teorema 3.3.1 Misalkan 𝑓 fungsi kontinu dan terdiferensial takhingga kali. Fungsi 𝑓 dapat dideretkan secara Taylor di sekitar titik 𝑥 = 𝑐 dengan 𝑐 ∈ ℝ, yaitu 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐) +

𝑓 ′ (𝑐) 𝑓 ′ (𝑐) 𝑓 ′ (𝑐) (𝑥 − 𝑐) + (𝑥 − 𝑐)2 + (𝑥 − 𝑐)3 + ⋯. 1! 2! 3!

Kasus khusus untuk nilai 𝑐 = 0, deret Taylor disebut deret Maclaurin. Bukti dapat dilihat pada buku karangan Dale Varberg, dkk yang berjudul Kalkulus Edisi Kesembilan Jilid 2. Teorema 3.3.2 (Teorema Taylor dengan suku sisa Lagrange) Jika 𝑓, 𝑓 ′ , 𝑓 ′′ , … , 𝑓 (𝑛) kontinu pada interval [𝑎, 𝑏] dan 𝑓 (𝑛+1) kontinu pada interval (𝑎, 𝑏) maka untuk setiap 𝑥 dan 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏] terdapat bilangan 𝜉 di antara 𝑥 dan 𝑐 sehingga berlaku 𝑛

𝑓(𝑥) = ∑ 𝑘=0

dengan 𝐸𝑛 =

𝑓 (𝑛+1) (𝜉) (𝑥 (𝑛+1)!

𝑓 𝑘 (𝑐) (𝑥 − 𝑐)𝑘 + 𝐸𝑛 𝑘!

− 𝑐)𝑛+1 .

Bukti dapat dilihat pada buku karangan Dale Varberg, dkk yang berjudul Kalkulus Edisi Kesembilan Jilid 2. Definisi 3.3.2 Dipandang fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥). Turunan fungsi 𝑦 terhadap variabel 𝑥 didefinisikan oleh


𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) . ∆𝑥→0 ∆𝑥

𝑓 ′ (𝑥) = lim

Tidak semua fungsi dapat diturunkan secara langsung karena sering kali hanya diketahui beberapa titik pada data awal, fungsi tidak diketahui secara eksplisit atau fungsi mempunyai bentuk yang sangat rumit. Oleh karena itu, dalam perhitungan turunan fungsi dapat diselesaikan dengan metode numeris yang hasilnya berupa hampiran mendekati nilai turunan sebenarnya tetapi dengan eror yang sekecil mungkin. Contoh-contoh di bawah ini merupakan fungsi yang sulit untuk diturunkan secara langsung, antara lain cos 𝑥+𝑒 −𝑥 −

3𝑥 sin 𝑥

(1)

𝑓(𝑥) =

(2)

𝑓(𝑥) = 𝑥 2 ln(8𝑥 3 )𝑒 (5𝑥

√sin(4𝑥 3 )+𝑥 2 tan(5𝑥) 2 +3𝑥+2)

Tiga hampiran metode numeris yaitu 1. Hampiran beda maju Dipandang fungsi 𝑓 = 𝑓(𝑥). Turunan 𝑦 terhadap variabel 𝑥 didefinisikan oleh 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) , ∆𝑥→0 ∆𝑥

𝑓 ′ (𝑥) = lim atau untuk ∆𝑥 tertentu menjadi 𝑓 ′ (𝑥) ≈

𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) . ∆𝑥

2. Hampiran beda mundur Dipandang fungsi 𝑓 = 𝑓(𝑥). Turunan 𝑦 terhadap variabel 𝑥 didefinisikan oleh 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥 − ∆𝑥) , ∆𝑥→0 ∆𝑥

𝑓 ′ (𝑥) = lim


atau untuk ∆𝑥 tertentu menjadi 𝑓 ′ (𝑥) ≈

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥 − ∆𝑥) . ∆𝑥

3. Hampiran beda pusat Dipandang fungsi 𝑓 = 𝑓(𝑥). Turunan 𝑦 terhadap variabel 𝑥 didefinisikan oleh 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥 − ∆𝑥) , ∆𝑥→0 2∆𝑥

𝑓 ′ (𝑥) = lim atau untuk ∆𝑥 tertentu menjadi 𝑓 ′ (𝑥) ≈

𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥 − ∆𝑥) . 2∆𝑥

D. Klasifikasi Persamaan Diferensial Dalam subbab ini akan dijelaskan definisi dan contoh dari persamaan diferensial, persamaan diferensial biasa, dan persamaan diferensial parsial. Definisi 2.4.1 Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan turunan satu atau lebih variabel terikat yang berhubungan dengan satu atau lebih variabel bebas. Contoh 2.4.1 Beberapa contoh di bawah ini merupakan persamaan diferensial: 𝑑𝑦 = 𝑦 + 2, 𝑑𝑡

(2.4.1)

𝜕𝑢 𝜕𝑢 + = 𝑓(𝑢), 𝜕𝑡 𝜕𝑥

(2.4.2)

𝑑2𝑦 𝑑𝑦 2 + 2𝑦 ( ) = 0, 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥

(2.4.3)


𝜕 2𝑣 𝜕 2𝑣 𝜕 2𝑣 − − = 0. 𝜕𝑦 2 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥𝜕𝑦

(2.4.4)

Definisi 2.4.2 Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang hanya melibatkan turunan biasa terhadap satu variabel bebas. Contoh 2.4.2 Contoh dari persamaan diferensial biasa terdapat pada persamaan (2.4.1) dan (2.4.3). Persamaan (2.4.1) adalah persamaan diferensial biasa order satu dengan 𝑡 merupakan variabel bebas, sedangkan 𝑦 merupakan variabel terikat. Persamaan (2.4.3) adalah persamaan diferensial biasa tingkat dua dengan 𝑥 merupakan variabel bebas sedangkan 𝑦 merupakan variabel terikat. Definisi 2.4.3 Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang menyatakan hubungan antara turunan/derivatif parsial dengan variabel-variabel bebasnya. Contoh 2.4.3 Contoh dari persamaan diferensial biasa terdapat pada persamaan (2.4.2) dan (2.4.4). Persamaan (2.4.2) adalah persamaan diferensial parsial order satu dengan 𝑡 dan 𝑥 merupakan variabel bebas, sedangkan 𝑢 merupakan variabel terikat. Persamaan (2.4.4) adalah persamaan diferensial biasa tingkat dua dengan 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 merupakan variabel bebas, sedangkan 𝑣 merupakan variabel terikat.


E. Metode Karakteristik Definisi 2.5.1 Persamaan diferensial parsial dikatakan linear jika: a) tidak ada perkalian antara variabel-variabel tak bebas dengan dirinya sendiri atau dengan turunan-turunannya, b) tidak ada fungsi transendental (trigonometri, logaritma, eksponensial, siklometri, hiperbolik) yang terlibat dari fungsi dalam variabel-variabel tak bebas. Definisi 2.5.2 Tingkat atau order dalam persamaan diferensial parsial didefinisikan sebagai tingkat dari turunan tertinggi yang muncul pada persamaan diferensial parsial. Definisi 2.5.3 Dipandang persamaan diferensial parsial linear order satu berikut 𝑎(𝑥, 𝑦)𝑢𝑥 + 𝑏(𝑥, 𝑦)𝑢𝑦 + 𝑐(𝑥, 𝑦)𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦). Kurva-kurva yang memenuhi persamaan diferensial biasa yaitu 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑎(𝑥, 𝑦) 𝑏(𝑥, 𝑦) disebut kurva karakteristik persamaan diferensial tersebut. Catatan: notasi 𝑢𝑥 bermakna 𝜕𝑢(𝑥, 𝑦)⁄𝜕𝑥. Penurunan persamaan diatas dapat dilihat pada buku karangan Lokenath Debnath yang berjudul Nonlinear Partial Differential Equations for Scientists and Engineers. Misalkan persamaan diferensial biasa diatas mempunyai penyelesaian ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑘, dengan membuat transformasi 𝜉 = 𝑥,


𝜂 = ℎ(𝑥, 𝑦), maka 𝑢𝑥 =

𝜕𝑢(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑢 𝜕𝜉 𝜕𝑢 𝜕𝜂 = + , 𝜕𝑥 𝜕𝜉 𝜕𝑥 𝜕𝜂 𝜕𝑥

atau 𝑢𝑥 = 𝑢𝜉 . 1 + 𝑢𝜂 ℎ𝑥 , atau 𝑢𝑥 = 𝑢𝜉 + 𝑢𝜂 ℎ𝑥 , dan 𝑢𝑦 =

𝜕𝑢(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑢 𝜕𝜉 𝜕𝑢 𝜕𝜂 = + , 𝜕𝑦 𝜕𝜉 𝜕𝑦 𝜕𝜂 𝜕𝑦

atau 𝑢𝑥 = 𝑢𝜉 . 0 + 𝑢𝜂 𝜂𝑦 , atau 𝑢𝑥 = 𝑢𝜂 𝜂𝑦 , atau 𝑢𝑥 = 𝑢𝜂 ℎ𝑦 . Contoh 2.5.1 Tentukan penyelesaian dari persamaan 𝑢𝑥 + 𝑦𝑢𝑦 = 𝑥 dengan 𝑢(1, 𝑦) = cos 𝑦. Penyelesaian: Karakteristik dari persamaan tersebut diberikan oleh 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = , 1 𝑦


∫ 𝑑𝑥 = ∫

𝑑𝑦 , 𝑦

𝑥 + 𝑘 = ln 𝑦, 𝑒 𝑥 𝑒 𝑘 = 𝑦, 𝑦 = 𝑐𝑒 𝑥 atau c = 𝑦𝑒 −𝑥 . Kemudian, ditransformasi menjadi 𝜉 = 𝑥 atau 𝑥 = 𝜉, 𝜂 = 𝑦𝑒 −𝑥 atau 𝑦 = 𝜂𝑒 𝑥 . Persamaan diferensial parsial tersebut menjadi 𝑢𝜉 = 𝜉, sehingga, 𝜕𝑢 = 𝜉, 𝜕𝜉 ∫ 𝜕𝑢 = ∫ 𝜉𝜕𝜉, 𝜉2 𝑥2 𝑢 = + 𝑔(𝜂) = + 𝑔(𝑦𝑒 −𝑥 ), 2 2 1

dan u(1, 𝑦) = cos 𝑦 = 2 + 𝑔(𝑦𝑒 −1 ). Misal 𝑧 =

𝑦 𝑒

1

maka 𝑦 = 𝑒𝑧 didapat 𝑔(𝑧) = cos 𝑒𝑧 − 2.

Jadi, penyelesaiannya 𝑢 =

𝑥2 2

1

+ 𝑐𝑜𝑠(𝑦𝑒 −𝑥 ) − 2.

F. Metode Volume Hingga Pada subbab ini akan dijelaskan skema upwind dan skema volume hingga secara numeris untuk model persamaan diferensial parsial hiperbolik order satu.


1. Skema Upwind Dipandang persamaan diferensial hiperbolik order satu yaitu 𝑞𝑡 + 𝑐𝑞𝑥 = 0 dengan 𝑐 ∈ ℝ+ (arah rambatannya ke kanan). Skema upwind untuk persamaan diatas adalah 𝑄𝐼𝑛+1 = 𝑄𝐼𝑛 −

∆𝑡 𝑛 𝑛 (𝐹 − 𝐹𝑖−1 ⁄2 ). ∆𝑥 𝑖+1⁄2

𝑛 𝑛 Fluks upwind untuk 𝐹𝑖−1 ⁄2 dan 𝐹𝑖+1⁄2 didefinisikan sebagai 𝑛 𝑛 𝐹𝑖+1 ⁄2 ≈ 𝑓(𝑞(𝑥𝑖 , 𝑡 )), 𝑛 𝑛 𝐹𝑖+1 ⁄2 ≈ 𝑐𝑞(𝑥𝑖 , 𝑡 ), 𝑛 𝑛 𝐹𝑖+1 ⁄2 ≈ 𝑐𝑄𝑖 ,

dan 𝑛 𝑛 𝐹𝑖−1 ⁄2 ≈ 𝑓(𝑞(𝑥𝑖−1 , 𝑡 )), 𝑛 𝑛 𝐹𝑖−1 ⁄2 ≈ 𝑐𝑞(𝑥𝑖−1 , 𝑡 ), 𝑛 𝑛 𝐹𝑖−1 ⁄2 ≈ 𝑐𝑄𝑖−1 .

2. Skema Volume Hingga Dipandang persamaan diferensial parsial berbentuk hukum kekekalan hiperbolik 𝑞𝑡 + 𝑓(𝑞)𝑥 = 0 Diambil nilai 𝑄𝑖𝑛 sebagai pendekatan nilai rata-rata interval ke-𝑖 pada waktu ke 𝑡 𝑛 sebagai berikut 𝑄𝑖𝑛

1 𝑥𝑖+1⁄2 = ∫ 𝑞(𝑥, 𝑡 𝑛 )𝑑𝑥 ∆𝑥 𝑥𝑖−1⁄2


dengan ∆𝑥 = 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖−1 , yang fluks volume hingganya pada 𝑥 = 𝑥𝑖+1 2

2

2

diberikan oleh 𝑛+1

𝐹𝑛 1 𝑖+ 2

1 𝑡 = ∫ ∆𝑡 𝑡 𝑛

𝑓(𝑞(𝑥𝑖 , 𝑡))𝑑𝑡

maka 𝑄𝑖𝑛+1 − 𝑄𝑖𝑛 + ∆𝑡

𝐹𝑛 1 − 𝐹𝑛 1 𝑖+

𝑖−

2

2

∆𝑥

= 0,

atau 𝑄𝑖𝑛+1 − 𝑄𝑖𝑛 =− ∆𝑡

𝐹𝑛 1 − 𝐹𝑛 1 𝑖+

𝑖−

2

∆𝑥

2

,

atau 𝑄𝑖𝑛+1 − 𝑄𝑖𝑛 = −∆𝑡

𝐹𝑛 1 − 𝐹𝑛 1 𝑖+

𝑖−

2

∆𝑥

2

,

atau 𝑄𝑖𝑛+1 = 𝑄𝑖𝑛 −

∆𝑡 𝑛 (𝐹 1 − 𝐹 𝑛 1 ). 𝑖− ∆𝑥 𝑖+2 2

G. Metode Garis Metode garis merupakan teknik secara umum untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial dengan menggunakan beda hingga yang berhubungan dengan turunan pada ruang dan persamaan diferensial biasa pada turunan waktu. Definisi 2.6.1 Persamaan diferensial parsial order satu dikatakan hiperbolik jika matriks Jacobian dari fungsi fluks dapat didiagonalkan dan semua nilai eigennya bernilai real.


Definisi 2.6.2 Dipandang persamaan diferensial parsial hiperbolik order satu dalam domain ruang 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 dan domain waktu 𝑡 > 0 𝑢𝑡 + 𝑣𝑢𝑥 = 0

(2.6.1)

Persamaan di atas disebut persamaan adveksi linear dengan 𝑣 adalah konstanta yang menyatakan kecepatan arus. Aproksimasi metode garis pada persamaan (2.6.1) yaitu: 𝑑𝑢𝑖 𝑢𝑖 − 𝑢𝑖−1 = −𝑣 𝑑𝑡 ∆𝑥

1≤𝑖≤𝑛

𝐿

dengan ∆𝑥 = 𝑛. Catatan: Persamaan dapat ditulis sebagai persamaan diferensial biasa jika persamaan hanya bergantung pada satu variabel bebas (𝑡).

H. Matriks Jacobian Diketahui 𝑦̅ = 𝑓(𝑥̅ ) yang terdiri dari 𝑛 buah persamaan dengan 𝑥̅ = (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑛 ) yaitu 𝑓1 (𝑥̅ ) 𝑓2 (𝑥̅ ) .. , 𝑦̅ = . [𝑓𝑛 (𝑥̅ )] atau dapat ditulis sebagai

(2.7.1)


𝑦1 = 𝑓1 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ), 𝑦2 = 𝑓2 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ), . . . {𝑦𝑛 = 𝑓𝑛 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ).

(2.7.2)

Matriks Jacobian didefinisikan sebagai 𝜕𝑦1 𝜕𝑥1 𝐽(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = ⋮ 𝜕𝑦𝑛 [𝜕𝑥1

⋯ ⋱ ⋯

𝜕𝑦1 𝜕𝑥𝑛 ⋮ . 𝜕𝑦𝑛 𝜕𝑥𝑛 ]

(2.7.3)

Determinan Jacobian didefiniskan sebagai |𝐽| = |

𝜕(𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 ) |. 𝜕(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 )

(2.7.4)

I. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Definisi 2.8.1 (Leon, 2001) Misalkan 𝑨 adalah suatu matriks 𝑛 × 𝑛. Skalar 𝜆 disebut sebagai suatu nilai eigen atau nilai karakteristik (characteristic value) dari 𝑨 jika dan hanya jika terdapat suatu vektor tak nol x, sehingga 𝑨x = 𝜆x. Vektor x disebut vektor eigen atau vektor karakteristik yang berkorespondensi dengan 𝜆. Contoh 2.8.1 Tentukan nilai eigen jika diketahui 4 1

𝑨=( Penyelesaian:

−2 2 ) dan x= ( ). 1 1


Karena 𝑨x= (

6 4 −2 2 2 ) ( ) = ( ) = 3 ( ) = 3x. 3 1 1 1 1

Dari persamaan ini terlihat bahwa 𝜆 = 3 adalah nilai eigen dari 𝑨 dan x merupakan vektor eigen dari 𝜆. Sesungguhnya, sembarang kelipatan taknol dari vektor eigen x akan menjadi vektor eigen, karena 𝑨(𝛼𝐱) = 𝑨𝛼𝐱 = 𝛼𝑨𝐱 = α𝜆𝐱 = 𝜆(𝛼𝐱) Jadi, sebagai contoh (4,2)𝑇 juga vektor eigen milik 𝜆 = 3. Hal ini dapat di lihat dari 4 1

(

12 4 −2 4 ) ( ) = ( ) = 3 ( ). 6 1 2 2

Contoh 2.8.2 Carilah nilai-nilai eigen dan vektor eigen yang bersesuaian dengan matriks 3 2 𝑨=( ) 3 −2 Penyelesaian: Persamaan karakteristiknya adalah 3−𝜆 | 3

2 | = 0, −2 − 𝜆

atau 𝜆2 − 𝜆 − 12 = 0. Jadi, nilai-nilai eigen dari 𝑨 adalah 𝜆1 = 4 dan 𝜆2 = −3. Untuk mencari vektor eigen yang dimiliki oleh 𝜆1 = 4, kita harus menentukan ruang nol dari 𝑨 − 4𝑰. 𝑨 − 4𝑰 = (

−1 2 ) 3 −6

Dengan menyelesaikan (𝑨 − 4𝑰)𝐱 = 𝟎, kita mendapatkan 𝐱 = (2𝑥2 , 𝑥2 )𝑇 = 𝑥2 (2,1)𝑇


Jadi semua kelipatan tak nol (2,1)𝑇 adalah vektor eigen milik 𝜆1 dan {(2,1)𝑇 } adalah suatu vektor eigen untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan 𝜆1 . Dengan cara yang sama, untuk mendapatkan vektor eigen bagi 𝜆2 , kita harus menyelesaikan Pada kasus ini, {(−1,3)𝑇 } adalah basis untuk 𝑁(𝑨 + 3𝑰) dan sembarang kelipatan taknol dari {(−1,3)𝑇 } adalah vektor eigen milik 𝜆2 . Di sini, 𝑁 melambangkan ruang nol.


BAB III PENYELESAIAN MODEL ARUS LALU LINTAS

A. Hubungan Kecepatan, Kepadatan, dan Arus Lalu Lintas Dalam masalah arus lalu lintas, ada tiga variabel dasar lalu lintas yaitu kecepatan kendaraan, kepadatan lalu lintas, dan arus lalu lintas. Untuk menunjukkan ketiga hubungan variabel tersebut, ada salah satu kemungkinan yang terjadi yaitu situasi lalu lintas yang sederhama. Misalkan, lalu lintas pada jalan yang sama bergerak dengan kecepatan konstan 𝑢0 dan kepadatan lalu lintas konstan 𝜌0 . Ilustrasi ditunjukan oleh Gambar 3.1. Pengamat

Gambar 3.1 Lalu lintas kendaraan konstan. Karena kecepatan setiap kendaraan konstan maka jarak antar kendaraan akan tetap konstan. Oleh karena itu, kepadatan lalu lintas tidak akan berubah seperti jumlah kendaraan yang diamati oleh pengamat per jamnya. Setelah waktu 𝜏 jam, setiap kendaraan bergerak sejauh 𝜏𝑢0 , yaitu pergerakan pengemudi dalam kendaraan akan sama dengan kecepatan kendaraan dikalikan dengan waktu. Jadi, jumlah kendaraan dalam jarak 𝜏𝑢0 adalah banyaknya kendaraan yang diamati oleh pengamat yang melewati posisi pengamat setelah waktu 𝜏 jam (lihat Gambar 3.2).

28


Pengamat

𝑢𝑜 𝜏

Gambar 3.2 Jarak kendaraan yang bergerak dengan kecepatan konstan dalam waktu 𝜏 jam. Misalkan 𝜌0 adalah banyaknya kendaraan per mil dan 𝜏𝑢0 adalah jarak pergerakan kendaraan, maka 𝜌0 𝜏𝑢0 adalah banyaknya kendaraan yang melewati pengamat setelah waktu 𝜏 jam. Jumlah kendaraan per jam disebut arus lalu lintas. Secara matematis arus lalu lintas didefinisikan oleh (3.1.1)

𝑞 = 𝜌0 𝑢0 . Persamaan

tersebut

telah

diturunkan

dari

masalah

yang

telah

disederhanakan. Hal ini digunakan untuk menunjukkan hukum dasar dari masalah lalu lintas bahwa arus lalu lintas sama dengan kepadatan lalu lintas dikalikan dengan kecepatan kendaraan. Jika variabel pada lalu lintas bergantung pada 𝑥 dan 𝑡 seperti 𝑞(𝑥, 𝑡), 𝜌(𝑥, 𝑡), 𝑢(𝑥, 𝑡) maka dapat ditunjukkan bahwa 𝑞(𝑥, 𝑡) = 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑢(𝑥, 𝑡).

(3.1.2)

Persamaan (3.1.2) dapat ditunjukkan dengan memisalkan jumlah kendaraan yang melewati 𝑥 = 𝑥0 dengan perbedaan waktu ∆𝑡 yang sangat kecil seperti waktu antara 𝑡0 dan 𝑡0 + ∆𝑡. Jika ∆𝑡 sangat kecil, maka kendaraan bergerak lambat. 𝜌 dan 𝑢 adalah fungsi kontinu yang bergantung pada 𝑥 dan 𝑡, sehingga 𝜌(𝑥, 𝑡) dan 𝑢(𝑥, 𝑡) dapat didekati sebagai fungsi konstan dengan nilai 𝑥 = 𝑥0 dan 𝑡 = 𝑡0. Perbedaan


waktu ∆𝑡 yang sangat kecil dan kendaraan melewati ruas jalan yang sempit maka arus lalu lintas dapat diaproksimasi dengan 𝑢(𝑥, 𝑡)∆𝑡 yang melalui pengamat, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.3. Oleh karena itu, banyaknya kendaraan yang melewati ruas jalan dapat diaproksimasi dengan 𝑢(𝑥, 𝑡)∆𝑡𝜌(𝑥, 𝑡) sehingga arus lalu lintas diberikan oleh persamaan (3.1.2). Fungsi konstan 𝑢0 dan 𝜌0 tidak membutuhkan modifikasi seperti fungsi 𝑢(𝑥, 𝑡) dan 𝜌(𝑥, 𝑡). Akibatnya, ada tiga variabel dasar dalam masalah lalu lintas yaitu kepadatan lalu lintas 𝜌(𝑥, 𝑡), kecepatan kendaraan 𝑢(𝑥, 𝑡), dan arus lalu lintas 𝑞(𝑥, 𝑡) yang sesuai pada persamaan (3.1.2).

𝑢∆𝑡

Gambar 3.3 Aproksimasi perbedaan pergerakan kendaraan dalam waktu ∆𝑡.

B. Model Deterministik Arus Lalu Lintas Misalkan kondisi awal untuk kepadatan arus lalu lintas (𝜌(𝑥, 𝑡)) dan kecepatan kendaraan (𝑢(𝑥, 𝑡)) diketahui pada panjang jalannya yang tak terhingga. Pergerakan setiap kendaraan didefinisikan dengan persamaan diferensial biasa order satu, yaitu: 𝑑𝑥 = 𝑢(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑡 dengan 𝑥(0) = 𝑥0 .

(3.2.1)


Persamaan (3.2.1) menyatakan persamaan yang bergantung pada posisi setiap kendaraan pada waktu tertentu. Penyelesaian dari persamaan tersebut berupa fungsi kepadatan lalu lintas (𝜌(𝑥, 𝑡)). Akibatnya, kecepatan kendaraan mempengaruhi kepadatan lalu lintas. Diketahui interval panjang ruas jalan dari 𝑥 = 𝑎 sampai 𝑥 = 𝑏 seperti pada Gambar 3.4.

Gambar 3.4 Kendaraan yang masuk dan keluar dari ruas jalan. Jadi, jumlah kendaraan (𝑁) pada interval 𝑥 = 𝑎 sampai 𝑥 = 𝑏 adalah 𝑏

(3.2.2)

𝑁 = ∫ 𝜌(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑥. 𝑎

Jika tidak ada ruas jalan lain yang digunakan untuk masuk dan keluarnya kendaraan, maka jumlah kendaraan dari 𝑥 = 𝑎 sampai 𝑥 = 𝑏 akan berubah yang perubahannya hanya dipengaruhi oleh posisi di 𝑥 = 𝑎 dan 𝑥 = 𝑏. Jumlah kendaraan akan berkurang jika kendaraan-kendaraan keluar dari daerah melalui 𝑥 = 𝑏, tetapi jumlah kendaraan akan bertambah jika kendaraan-kendaraan masuk ke dalam 𝑑𝑁

daerah melalui 𝑥 = 𝑎. Perubahan jumlah kendaraan ( 𝑑𝑡 ) yaitu jumalhkendaraan dalam waktu tertentu yang masuk ke daerah melalui 𝑥 = 𝑎 dikurangi dengan


jumlah kendaraan dalam waktu tertentu yang keluar dari daerah melalui 𝑥 = 𝑏 dirumuskan dengan 𝑑 𝑑 𝑏 𝑁 = ∫ 𝜌(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑥, 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑎 𝑑𝑁 = 𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑏, 𝑡), 𝑑𝑡

(3.2.3)

dengan 𝑞(𝑥, 𝑡) adalah perubahan jumlah kendaraan tiap satuan waktu. Penyelesaian persamaan (3.2.3) tersebut sulit untuk dicari dengan cara langsung sehingga diselesaikan sebagai berikut 𝑁(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑁(𝑡) ≈ 𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑏, 𝑡) , ∆𝑡 𝑁(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑁(𝑡) ≈ 𝑞(𝑎, 𝑡)∆𝑡 − 𝑞(𝑏, 𝑡)∆𝑡 ,

(3.2.4)

dengan 𝑁(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑁(𝑡) adalah perubahan jumlah kendaraan antara waktu 𝑡 dan 𝑡 + ∆𝑡. Jika 𝑞(𝑥, 𝑡) adalah perubahan jumlah kendaraan yang melewati ruas jalan 𝑡

pada waktu tertentu, maka ∫𝑡 1 𝑞(𝑥, 𝑡)𝑑𝑡 adalah jumlah kendaraan yang melewati 0

ruas jalan pada waktu tertentu antara 𝑡 = 𝑡0 dan 𝑡 = 𝑡1. Pada penurunan pendekatan nya, 𝑡 + ∆𝑡 = 𝑡1 dan 𝑡 = 𝑡0 yang integralnya mendekati 𝑞(𝑥, 𝑡)∆𝑡, sehingga 𝑡1

𝑡1

𝑁(𝑡1 ) − 𝑁(𝑡0 ) = ∫ 𝑞(𝑎, 𝑡)𝑑𝑡 − ∫ 𝑞(𝑏, 𝑡)𝑑𝑡 𝑡0

𝑡1

𝑡0

= ∫ (𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑏, 𝑡)) 𝑑𝑡.

(3.2.5)

𝑡0

Persamaan (3.2.5) dibagi dengan 𝑡1 − 𝑡0 dan diambil limit 𝑡1 mendekati 𝑡0 didapat


𝑡1

𝑁(𝑡1 ) − 𝑁(𝑡0 ) = ∫ (𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑏, 𝑡)) 𝑑𝑡, 𝑡0

𝑡1

𝑁(𝑡1 ) − 𝑁(𝑡0 ) ∫𝑡0 (𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑏, 𝑡)) 𝑑𝑡 = , 𝑡1 − 𝑡0 𝑡1 − 𝑡0 𝑡1

∫𝑡 (𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑏, 𝑡)) 𝑑𝑡 𝑁(𝑡1 ) − 𝑁(𝑡0 ) lim = lim 0 , 𝑡1 →𝑡0 𝑡1 →𝑡0 𝑡1 − 𝑡0 𝑡1 − 𝑡0 𝑑𝑁(𝑡1 ) 𝑑 𝑡1 = ∫ (𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑏, 𝑡)) 𝑑𝑡. 𝑑𝑡1 𝑑𝑡1 𝑡0

(3.2.6)

Menurut Teorema Fundamental Kalkulus, persaman (3.2.6) menghasilkan 𝑑𝑁(𝑡1 ) = 𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑏, 𝑡). 𝑑𝑡1

(3.2.7)

Di sini 𝑡1 dapat berada di sembarang waktu 𝑡 sehingga notasi 𝑡1 dapat digantikan dengan notasi 𝑡 jadi diperoleh 𝑑𝑁(𝑡) = 𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑏, 𝑡). 𝑑𝑡

(3.2.8)

Dengan mengkombinasikan antara persamaan (3.2.1) dan (3.2.8) diperoleh 𝑑 𝑏 ∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 = 𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑏, 𝑡) . 𝑑𝑡 𝑎

(3.2.9)

Persamaan di atas menunjukkan bahwa tidak ada kendaraan yang masuk atau keluar tanpa melalui batas dan perubahan banyaknya kendaraan hanya terjadi pada batas lalu lintas. Hal ini bukan berarti bahwa banyaknya kendaraan antara 𝑥 = 𝑎 dan 𝑥 = 𝑏 konstan. Jadi, persamaan (3.2.9) disebut hukum konservasi berbentuk integral yang menunjukkan panjang lalu lintasnya berhingga di antara 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.


Contoh: Misalkan 𝑥 menuju ±∞ sehingga aliran kendaraan menuju nol pada jalan layang yang takhingga panjangnya yaitu lim 𝑞(𝑥, 𝑡) = 0

𝑥→±∞

Dengan menggunakan persamaan (3.2.9) didapat 𝑑 ∞ ∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 = 0, 𝑑𝑡 −∞ ∞

atau ∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 = 𝑐, −∞

dengan 𝑐 adalah konstan. Persamaan tersebut menunjukkan bahwa jumlah kendaraan akan tetap konstan pada sepanjang waktu, tetapi hanya bisa diselesaikan jika kondisi awal jumlah kendaraan adalah 𝑁0 atau kondisi awal kepadatan lalu lintas 𝜌(𝑥, 0) diketahui, sehingga: ∞

∞

∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 = 𝑁0 = ∫ 𝜌(𝑥, 0)𝑑𝑥. −∞

−∞

Hukum konservasi berbentuk integral pada persamaan (3.2.9) disebut hukum konservasi lokal pada posisi setiap jalan. Permasalahan yang diselesaikan dengan tiga cara itu, titik akhir pada ruas jalan adalah 𝑥 = 𝑎 dan 𝑥 = 𝑏 yang merupakan kondisi (variabel terikat) tambahan. Dari keterangan di atas, persamaan (3.2.9) harus diganti dengan turunan parsial yaitu 𝜕 𝑏 ∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 = 𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑏, 𝑡). 𝜕𝑡 𝑎

(3.2.10)

Diasumsikan 𝑥 = 𝑎 dan 𝑥 = 𝑏 adalah posisi yang tetap pada setiap waktu (lihat persamaan 3.2.9).


(1) Perhatikan integral konservasi dari kendaraan dalam interval yang kecil pada jalan layang dari 𝑥 = 𝑎 sampai 𝑥 = 𝑎 + ∆𝑎. Persamaan (3.2.10) menjadi 𝜕 𝑎+∆𝑎 ∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 = 𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑎 + ∆𝑎, 𝑡) 𝜕𝑡 𝑎 1 𝜕 𝑎+∆𝑎 1 ∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 = (𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑎 + ∆𝑎, 𝑡)) −∆𝑎 𝜕𝑡 𝑎 −∆𝑎 1 𝜕 𝑎+∆𝑎 ∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 ∆𝑎→0 −∆𝑎 𝜕𝑡 𝑎 lim

1 (𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑎 + ∆𝑎, 𝑡)) ∆𝑎→0 −∆𝑎

= lim

𝑎+∆𝑎 𝜕 1 𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑎 + ∆𝑎, 𝑡) ∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 = lim ∆𝑎→0 𝜕𝑡 −∆𝑎 𝑎 ∆𝑎→0 −∆𝑎

lim

(3.2.11)

Pada persamaan (3.2.10), ruas kanan adalah definisi turunan dari 𝑞(𝑎, 𝑡) terhadap 𝑎 yaitu

𝜕 𝜕𝑎

𝑞(𝑎, 𝑡). Sedangkan, ruas kiri adalah limitnya yang

ditunjukkan dengan dua cara, yaitu: a. Integral adalah luas daerah di bawah kurva 𝜌(𝑥, 𝑡) antara 𝑥 = 𝑎 dan 𝑥 = 𝑎 + ∆𝑎. Dengan ∆𝑎 yang cukup kecil, maka jumlah kendaraan antara 𝑥 = 𝑎 dan 𝑥 = 𝑎 + ∆𝑎 adalah 𝑎+∆𝑎 1 ∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 ≈ − 𝜌(𝑎, 𝑡) −∆𝑎 𝑎

(3.2.12)

Oleh karena itu, persamaan (3.2.11) dapat diturunkan menjadi 𝜕 𝜕 𝜌(𝑎, 𝑡) + 𝑞(𝑎, 𝑡) = 0. 𝜕𝑡 𝜕𝑎

(3.2.13)


b. Fungsi 𝑁(𝑥̅ , 𝑡), jumlah kendaraan di jalan raya di antara sembarang posisi tetap 𝑥0 dan variabel posisi 𝑥 yaitu: 𝑥̅

𝑁(𝑥̅ , 𝑡) ≡ ∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥.

(3.2.14)

𝑥0

Kelajuan rata-rata kendaraan antara 𝑎 dan 𝑎 + ∆𝑎 setiap mil adalah 𝑎+∆𝑎 1 𝑁(𝑎 + ∆𝑎, 𝑡) − 𝑁(𝑎) ∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 = , −∆𝑎 𝑎 −∆𝑎 𝑎+∆𝑎 1 𝑁(𝑎 + ∆𝑎, 𝑡) − 𝑁(𝑎) ∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 = lim . ∆𝑎→0 −∆𝑎 𝑎 ∆𝑎→0 −∆𝑎

lim

Dengan menggunakan Teorema Fundamental Kalkulus didapat 𝜕𝑁(𝑎, 𝑡) = 𝜌(𝑎, 𝑡). 𝜕𝑎

(3.2.15)

Persamaan (3.2.10) dapat diselesaikan juga dengan menggunakan metode (a) atau (b). Karena persamaan (3.2.10) mengandung semua nilai 𝑎, maka 𝑎 dapat digantikan dengan 𝑥 yaitu 𝜕 𝜕 [𝑞(𝑥, 𝑡)] = 0, 𝜌(𝑥, 𝑡) + 𝜕𝑡 𝜕𝑥

(3.2.16)

𝜕𝜌 𝜕𝑞 + = 0. 𝜕𝑡 𝜕𝑥

(3.2.17)

atau

Persamaan ini disebut persamaan diferensial parsial yang menunjukkan hubungan antara kepadatan lalu lintas dan arus lalu lintas yang diasumsikan bahwa jumlah kendaraan tetap pada waktu tertentu yang disebut hukum konservasi. (2) Penurunan persamaan yang berbentuk hukum konservasi


Perhatikan hukum konservasi berbentuk integral pada persamaan (3.2.10) untuk berhingga ruas garis pada jalan layang antara 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏. Diambil turunan parsial terhadap 𝑏, yaitu 𝑏 = 𝑎 + ∆𝑎 yang dibagi dengan ∆𝑎 dan diambil limit ∆𝑎 → 0, didapat 𝜕𝜌(𝑏, 𝑡) 𝜕 = − (𝑞(𝑏, 𝑡)). 𝜕𝑡 𝜕𝑏

(3.2.18)

Karena 𝑏 merepresentasikan sembarang posisi di jalan raya sehingga 𝑏 dapat digantikan dengan 𝑥. Jadi, persamaan tersebut memenuhi persamaan hukum konservasi seperti pada persamaan (3.2.16). (3) Penurunan hukum konservasi pada ruas jalan yang panjangnya berhingga antara 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 yang hubungannya dengan ruas kanan pada persamaan (3.2.16) . 𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑏, 𝑡) = −

𝜕 𝑏 ∫ [𝑞(𝑥, 𝑡)]𝑑𝑥. 𝜕𝑡 𝑎

(3.2.19)

Dari persamaan (3.2.16) didapat 𝑏 𝜕𝜌(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑞(𝑥, 𝑡) ∫ [ + ] 𝑑𝑥 = 0. 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝑎

(3.2.20)

Persamaan di atas dapat diturunkan terhadap 𝑏 seperti pada persamaan (3.2.16), yang akan didapat seperti pada kasus (1) dan (2). Persamaan (3.2.20) adalah definisi dari beberapa kuantitas integral yang hasilnya selalu nol untuk setiap nilai yang bebas yang diambil limitnya. Fungsi yang diintegralkan yang hasilnya nol untuk sembarang interval adalah fungsi nol. Oleh karana itu, didapat persamaan (3.2.10). Dari ketiga metode tersebut terbukti bahwa


𝜕𝜌 𝜕𝑞 + = 0. 𝜕𝑡 𝜕𝑥

(3.2.21)

Persamaan (3.2.21) sesuai jika tidak ada jalan yang masuk ataupun keluar yang menginterpretasikan hukum konservasi dalam berbagai situasi dengan tidak adanya lalu lintas. Secara umum, jika 𝜌 adalah kepadatan dari kuantitas lokal dan 𝑞 adalah arus dari kuantitas batas persimpangan maka persamaannya seperti pada persamaan (3.2.21). Namun masalah arus lalu lintas didefinisikan sebagai 𝑞 = 𝜌𝑢. Oleh karena itu, hukum konservasi dapat ditulis sebagai 𝜕𝜌 𝜕 (𝜌𝑢) = 0. + 𝜕𝑡 𝜕𝑥

(3.2.22)

Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial parsial untuk masalah lalu lintas yang berhubungan dengan kepadatan lalu lintas dan kecepatan kendaraan.

C. Linearisasi Model Lalu Lintas Dipandang model deterministik arus lalu lintas berbentuk persamaan diferensial parsial 𝜕𝜌 𝜕 (𝜌𝑢) = 0, + 𝜕𝑡 𝜕𝑥

(3.3.1)

𝜕𝜌 𝜕𝑞 + = 0. 𝜕𝑡 𝜕𝑥

(3.3.2)

atau

Persamaan (3.3.2) dapat diturunkan menjadi


𝜕𝜌 𝜕𝑞 𝜕𝜌 + = 0. 𝜕𝑡 𝜕𝜌 𝜕𝑥 Karena 𝑞 merupakan fungsi yang hanya bergantung pada 𝜌 maka 𝜕𝜌 𝑑𝑞 𝜕𝜌 + = 0, 𝜕𝑡 𝑑𝜌 𝜕𝑥

(3.3.3)

dengan 𝜌 adalah fungsi kontinu non linear. Diketahui nilai awal kepadatan lalu lintas 𝜌(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥). Persamaan diferensial parsial untuk arus lalu lintas tersebut tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan integral seperti contoh di bawah ini apabila diketahui nilai awal 𝜌(0) = 𝜌0 yang dapat diselesaikan mirip dengan cara menyelesaikan persamaan diferensial biasa. Contoh 1 Akan diselesaikan 𝜕𝜌 = 0. 𝜕𝑡 Persamaan diferensial tersebut dapat langsung diintegralkan, yaitu ∫ 𝜕𝜌 = 0 ∫ 𝜕𝑡, 𝜌 = c, dengan 𝑐 ∈ ℝ. Diketahui 𝜌(0) = 𝜌0 maka penyelesaian pada Contoh 1 adalah 𝜌 = 𝜌0 . Contoh 2 Akan diselesaikan


𝜕𝜌 = −𝜌 + 2𝑒 𝑡 . 𝜕𝑡 Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan variabel terpisah 𝜕𝜌 + 𝜌 = 2𝑒 𝑡 . 𝜕𝑡 Faktor integralnya 𝜇(𝑡) = 𝑒 ∫ 𝑑𝑡 = 𝑒 𝑡 . Persamaan tersebut dikali dengan 𝑒 𝑡 menjadi 𝑒𝑡

𝜕𝜌 + 𝑒 𝑡 𝜌 = 2𝑒 2𝑡 , 𝜕𝑡

𝜕 𝑡 (𝑒 𝜌) = 2𝑒 2𝑡 , 𝜕𝑡 ∫ 𝜕(𝑒 𝑡 𝜌) = 2 ∫ 𝑒 2𝑡 𝜕𝑡, 𝑒 𝑡 𝜌 = 𝑒 2𝑡 + 𝑐, 𝜌 = 𝑒 𝑡 + 𝑐𝑒 −𝑡 . Diketahui 𝜌(0) = 𝜌0 maka 𝑒 0 + 𝑐𝑒 0 = 𝜌0 , 1 + 𝑐 = 𝜌0 , 𝑐 = 𝜌0 − 1. Penyelesaian pada Contoh 2 adalah 𝜌 = 𝑒 𝑡 + (𝜌0 − 1)𝑒 −𝑡 . Contoh 3 Akan dicari penyelesaian persamaan diferensial


𝜕𝜌 = −𝑥𝜌. 𝜕𝑡 Karena 𝜌 adalah fungsi yang bergantung pada 𝑥 dan 𝑡 maka persamaan diferensial parsial tersebut dapat diselesaikan dengan metode variabel terpisah yaitu 𝜕𝜌 = −𝑥 𝜕𝑡, 𝜌 ∫

𝜕𝜌 = ∫ −𝑥 𝜕𝑡, 𝜌

ln|𝜌| = −𝑥𝑡 + 𝑐, 𝑒 ln|𝜌| = 𝑒 −𝑥𝑡+𝑐 , 𝑒 ln|𝜌| = 𝑒 −𝑥𝑡 𝑒 𝑐 . Dimisalkan 𝑒 𝑐 = 𝑐3 maka 𝑒 ln|𝜌| = 𝑐3 𝑒 −𝑥𝑡 , 𝜌 = 𝑐3 𝑒 −𝑥𝑡 . Untuk nilai 𝑥 konstan yang lain mungkin bervariasi, oleh karena itu penyelesaian persamaan diferensial parsial tersebut adalah 𝜌(𝑥, 𝑡) = 𝑐3 (𝑥)𝑒 −𝑥𝑡 . Diketahui kondisi awal 𝜌(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) berarti 𝑐3 (𝑥)𝑒 0 = 𝑓(𝑥), 𝑐3 (𝑥) = 𝑓(𝑥). Jadi, didapat penyelesaiannya yaitu 𝜌(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥)𝑒 −𝑥𝑡 . Misalkan diketahui nilai awal dari kepadatan lalu lintas konstan yang tidak bergantung pada variabel 𝑥 yaitu


𝜌(𝑥, 0) = 𝜌0 . Dengan kata lain, kepadatan lalu lintas tetap konstan karena semua kendaraan bergerak dengan kecepatan yang sama. Akibatnya, nilai akhir kepadatan lalu lintas akan tetap konstan seperti nilai awalnya 𝜌(𝑥, 𝑡) = 𝜌0 . Kepadatan lalu lintas yang konstan tersebut merupakan kepadatan di titik ekuilibrium. Jika kepadatan lalu lintas relatif konstan, persamaan diferensial tersebut dapat diselesaikan dengan perturbasi atau usikan, misalkan 𝜌(𝑥, 𝑡) = 𝜌0 + 𝜀𝜌1 (𝑥, 𝑡),

(3.3.4)

dengan 𝜀 adalah konstan yang cukup kecil dan |𝜀𝜌1 | ≪ 𝜌0 yang disebut perturbasi kepadatan lalu lintas. Asumsikan nilai awal kepadatan lalu lintas adalah fungsi terhadap 𝑥 diketahui dan mendekati konstan 𝜌0 , sehingga 𝜌(𝑥, 0) = 𝜌0 + 𝜀𝑓(𝑥).

(3.3.5)

Persamaan (3.3.5) juga merupakan perturbasi kepadatan lalu lintas yang nilai awalnya diketahui yaitu 𝜌(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) sehingga persamaan (3.3.4) dapat disubstitusikan ke dalam persamaan (3.3.3) menjadi 𝜕 𝑑𝑞 𝜕 (𝜌0 + 𝜀𝜌1 ) + (𝜌0 + 𝜀𝜌1 ) (𝜌0 + 𝜀𝜌1 ) = 0, 𝜕𝑡 𝑑𝜌 𝜕𝑥 𝜀

𝜕𝜌1 𝑑𝑞 𝜕𝜌1 (𝜌0 + 𝜀𝜌1 )𝜀 + = 0, 𝜕𝑡 𝑑𝜌 𝜕𝑥 𝜕𝜌1 𝑑𝑞 𝜕𝜌1 (𝜌0 + 𝜀𝜌1 ) + = 0. 𝜕𝑡 𝑑𝜌 𝜕𝑥

Dengan ekspansi deret Taylor diperoleh

(3.3.6)


(𝜀𝜌1 )2 𝑑 3 𝑞 (𝜀𝜌1 )3 𝑑 4 𝑞 𝑑𝑞 𝑑𝑞 𝑑2𝑞 (𝜌0 + 𝜀𝜌1 ) = (𝜌0 ) + 𝜀𝜌1 2 (𝜌0 ) + (𝜌 ) (𝜌 ) + 𝑑𝜌 𝑑𝜌 𝑑𝜌 2! 𝑑𝜌3 0 2! 𝑑𝜌4 0 + ⋯. Order tingkat tinggi dalam ekspansi deret Taylor diabaikan. Oleh karena itu, didapat 𝑑𝑞 𝑑𝑞 (𝜌0 + 𝜀𝜌1 ) = (𝜌 ). 𝑑𝜌 𝑑𝜌 0 Dari ekspansi deret Taylor maka persamaan (3.3.6) menjadi 𝜕𝜌1 𝑑𝑞 𝜕𝜌1 (𝜌0 ) + = 0, 𝜕𝑡 𝑑𝜌 𝜕𝑥

(3.3.7)

𝜕𝜌1 𝜕𝜌1 +𝑐 =0 𝜕𝑡 𝜕𝑥

(3.3.8)

atau

dengan 𝑐 = 𝑑𝑞 ⁄𝑑𝜌 (𝜌0 ). Selanjutnya, kita akan menyelesaikan persamaan (3.3.8) yang terkait dengan linearisasi masalah lalu lintas. Kondisi awal kepadatan lalu lintas adalah usikan awal kepadatan lalu lintas yang diketahui 𝜌1 (𝑥, 0) = 𝑓(𝑥). Didefinisikan koordinat ruang lain yaitu 𝑥 ′ yang bergerak dengan kecepatan konstan 𝑐. Diasumsikan dua sistem koordinat 𝑥 dan 𝑥 ′ yang asalnya sama di 𝑡 = 0 (lihat Gambar 3.5)


𝑥=0

𝑡=0

Bergerak dengan kecepatan 𝑐 𝑐 𝑥′ = 0

Gambar 3.5 Kendaraan bergerak dengan kecepatan 𝑐 Setelah waktu 𝑡, sistem koordinat berpindah pada jarak 𝑐𝑡 karena kendaraan bergerak dengan kecepatan konstan 𝑐 yang diilustrasikan oleh Gambar 3.6.

𝑥=0

𝑥

𝑡=0 𝑥′

𝑐𝑡 𝑥′ = 0

𝑥′

Gambar 3.6 Ilustrasi 𝑥′ yang bergerak dengan kecepatan 𝑐. Oleh karena itu, jika 𝑥 ′ = 0 maka 𝑥 = 𝑐𝑡. Di sisi lain pada 𝑥 ′ , 𝑥 = 𝑥 ′ + 𝑐𝑡 atau 𝑥 ′ = 𝑥 − 𝑐𝑡. Persamaan diferensial parsial yang dihasilkan dari linearisasi arus lalu lintas yang bergerak pada sistem koordinat akan diselidiki apa yang terjadi. Sebagai gantinya, penyelesaiannya bergantung pada 𝑥 dan 𝑡 atau 𝑥′ dan 𝑡. Pengubahan variabel yang melibatkan turunan parsial dilakukan untuk memudahkan dalam menjelaskan perbedaan notasi setiap variabel yang digunakan. Variabel 𝑥′ dan 𝑡′


dengan 𝑡 ′ = 𝑡 digunakan untuk bergeraknya sistem koordinat. Akibatnya, pengubahan variabel yang digunakan adalah 𝑥 ′ = 𝑥 − 𝑐𝑡, 𝑡 ′ = 𝑡. Aturan rantai turunan parsial dilakukan untuk menyatakan persamaan diferensial parsial dalam bentuk variabel baru yaitu 𝜕 𝜕 𝜕𝑥′ 𝜕 𝜕𝑡′ = + , 𝜕𝑥 𝜕𝑥′ 𝜕𝑥 𝜕𝑡′ 𝜕𝑥 𝜕 𝜕 𝜕 = 1+ 0, 𝜕𝑥 𝜕𝑥′ 𝜕𝑡′ 𝜕 𝜕 = . 𝜕𝑥 𝜕𝑥′ dan 𝜕 𝜕 𝜕𝑥′ 𝜕 𝜕𝑡′ = + , 𝜕𝑡 𝜕𝑥′ 𝜕𝑡 𝜕𝑡′ 𝜕𝑡 𝜕 𝜕 𝜕 = ′ (−𝑐) + ′ 1, 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑡 𝜕 𝜕 𝜕 = −𝑐 ′ + ′ . 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑡 Walaupun 𝑡 = 𝑡′ tetapi

𝜕 𝜕𝑡

𝜕

≠ 𝜕𝑡 ′ karena hasil tersebut diperoleh dari definisi dua

𝜕

turunan parsial. 𝜕𝑡 merupakan turunan terhadap waktu pada titik 𝑥 = 0, sedangkan 𝜕 𝜕𝑡 ′

merupakan turunan terhadap waktu terhadap titik 𝑥 ′ yang bergerak dengan

kecepatan 𝑐. Perubahan waktu mungkin berbeda pada kedua sistem tersebut. Hal itu menekankan pada pentingnya memaparkan variabel waktu yang baru 𝑡 ′ , yang menyatakan perbedaan notasi antara titik 𝑥 dan titik 𝑥 ′ .


Oleh karena itu, persamaan (3.3.8) pada sistem koordinat yang bergerak dengan kecepatan 𝑐 menjadi −𝑐

𝜕𝜌1 𝜕𝜌1 𝜕𝜌1 + + 𝑐 = 0, 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑡 ′ 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝜌1 = 0. 𝜕𝑡 ′

Persamaan diferensial parsial tersebut mempunyai penyelesaian 𝜕𝜌1 = 0𝜕𝑡 ′ , ∫ 𝜕𝜌1 = ∫ 0𝜕𝑡 ′ , 𝜌1 = konstan. Untuk nilai 𝑥 yang berbeda, nilai 𝜌1 juga kemungkinan tidak konstan tetapi 𝜌1 adalah fungsi terhadap 𝑥 ′ , 𝜌1 = 𝑔(𝑥 ′ ) dengan 𝑔(𝑥 ′ ) merupakan fungsi yang berubah–ubah terhadap 𝑥 ′ . Variabel aslinya adalah 𝜌1 = 𝑔(𝑥 − 𝑐𝑡).

(3.3.9)

Subtitusikan persamaan (3.3.9) ke persamaan (3.3.8). Dengan menggunakan aturan rantai diperoleh 𝜕𝜌1 𝑑𝑔 𝜕(𝑥 − 𝑐𝑡) = , 𝜕𝑥 𝑑(𝑥 − 𝑐𝑡) 𝜕𝑥 𝜕𝜌1 𝑑𝑔 = , 𝜕𝑥 𝑑(𝑥 − 𝑐𝑡) dan 𝜕𝜌1 𝑑𝑔 𝜕(𝑥 − 𝑐𝑡) = , 𝜕𝑡 𝑑(𝑥 − 𝑐𝑡) 𝜕𝑡


𝜕𝜌1 𝑑𝑔 = −𝑐 . 𝜕𝑡 𝑑(𝑥 − 𝑐𝑡) Sehingga terbukti bahwa persamaan (3.3.8) dipenuhi oleh persamaan (3.3.9). Walaupun demikian, persamaan (3.3.8) melibatkan turunan parsial yang bergantung terhadap 𝑥 dan 𝑡 yang dapat diintegralkan pada sistem koordinat yang bergerak dengan kecepatan 𝑐. Penyelesaian secara umum persamaan (3.3.8) mengandung fungsi yang berubah-ubah, seperti pada Contoh 3. Penyelesaian umumnya adalah 𝜌1 (𝑥, 𝑡) = 𝑔(𝑥 − 𝑐𝑡). Tetapi 𝜌1 (𝑥, 0) = 𝑓(𝑥), sehingga 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). Akibatnya, penyelesaian dari persamaan diferensial parsial dipenuhi dengan kondisi awal 𝜌1 (𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥 − 𝑐𝑡), 𝜌(𝑥, 𝑡) = 𝜌0 + 𝜖𝑓(𝑥 − 𝑐𝑡).

(3.3.10)

Jika kendaraan bergerak dengan kecepatan konstan, maka kepadatan lalu lintas tetap sama. Kepadatan lalu lintas tersebut menyebar seperti gelombang yang disebut gelombang kepadatan lalu lintas dengan kecepatan gelombang 𝑐. Perlu dingat bahwa kecepatan kendaraan mungkin berbeda dari kecepatan saat kendaraan tersebut bergerak. Sepanjang kurva yang 𝑥 − 𝑐𝑡 = konstan, maka kepadatan lalu lintas akan tetap sama. Garis tersebut disebut karakteristik dari persamaan diferensial parsial 𝜕𝜌1 𝜕𝜌1 +𝑐 = 0. 𝜕𝑡 𝜕𝑥


Dalam kasus ini, karakteristik adalah semua garis lurus dengan kecepatan 𝑐, dengan 𝑐 = 𝑑𝑥 ⁄𝑑𝑡 . Ilustrasi karakteristik yang bermacam-macam pada diagram ruang dan waktu ditunjukkan pada Gambar 3.7. Masing–masing karakteristik, kepadatan lalu lintas sama dengan nilai kepadatan lalu lintas itu sendiri saat 𝑡 = 0. Perlu diingat bahwa 𝜌1 akan tetap konstan sepanjang karakteristik, tetapi 𝜕𝜌1 ⁄𝜕𝑡 dan 𝜕𝜌1⁄𝜕𝑥 mungkin tidak sama dengan nol yang diilustrasikan pada Gambar 3.8. 𝑡

𝑥 = 𝑐𝑡

𝑥

Gambar 3.7 Karakteristik dari 𝜕𝜌1 ⁄𝜕𝑡 + 𝑐 𝜕𝜌1 ⁄𝜕𝑥 = 0.

𝜌0 = 𝑓(𝑥0 ) 𝜌1 = 𝑓(𝑥1 ) 𝑡 tertentu

𝑥 tertentu 𝑥0

𝑥1

Gambar 3.8 Variasi kepadatan lalu lintas. Berdasarkan ilustrasi di atas 𝜕𝜌1 ⁄𝜕𝑡 mungkin tidak sama dengan nol karena nilai dari 𝜌1 mungkin bervariasi dengan nilai 𝑥 tertentu. Demikian pula, 𝜕𝜌1 ⁄𝜕𝑥 tidak


mungkin nol karena nilai dari 𝜌1 mungkin berubah dengan nilai 𝑡 tertentu. Dalam Gambar 3.7 dan 3.8 diasumsikan 𝑐 > 0 yaitu 𝑐=

𝑑𝑞 (𝜌 ). 𝑑𝜌 0

(3.3.11)

Diagram Dasar Lalu Lintas Jalan diperlihatkan pada gambar 3.9. Kemungkinan, gradien yang positif berarti kepadatan lalu lintas lebih kecil daripada kapasitas jalan yang bersesuaian, dan gradien yang negatif berarti kepadatan lalu lintas lebih besar daripada kapasitas jalan yang bersesuaian. Gradien dikatakan signifikan jika usikan yang diberikan cukup kecil pada kepadatan lalu lintas yang seragam yang bergerak dengan kecepatan konstan yang sama dengan gradiennya seperti pada persamaan (3.3.11). Gelombang kecepatan kendaraan dapat bernilai positif atau negatif. 𝑞 kapasitas jalan

𝜌𝑚𝑎𝑥

𝜌

Gambar 3.9 Kurva kepadatan lalu lintas : kapasitas jalan.

D. Gelombang Kepadatan Lalu Lintas Sebuah lalu lintas dikatakan padat jika nilai kepadatannya lebih besar daripada nilai kepadatan optimal pada kapasitas jalan. Sedangkan, lalu lintas dikatakan tidak padat adalah jika nilai kepadatannya lebih kecil daripada nilai


kepadatan optimal (lihat Gambar 3.10). Hal tersebut dapat disimpulkan bahwa lalu lintas padat dimana usikan kepadatan bergerak dengan kecepatan yang bernilai negatif ketika berlawanan arah dengan lalu lintas yang tidak padat, sesuai dengan definisi dan Diagram Dasar Lalu Lintas Jalan pada Gambar 3.9.

𝑞

Tidak padat

padat

𝜌

Gambar 3.10 Lalu lintas yang padat dan tidak padat Diasumsikan kepadatan lalu lintas hampir seragam pada situasi lalu lintas yang padat. Kondisi awal kepadatannya diilustrasikan oleh Gambar 3.11 dimana garis putus-putus mengilustrasikan kondisi awal kepadatan yang mendekati konstan dan titik pada grafik mengilustrasikan minimum relatif atau maksimum relatif dari kepadatannya. Pada kasus sebelumnya, menunjukkan bahwa kepadatan akan tetap konstan jika pengamat bergerak dengan kecepatan 𝑐 bernilai negatif. Akibatnya, kepadatannya konstan sepanjang karakteristik, yang diilustrasikan oleh diagram ruang dan waktu pada Gambar 3.12.


𝜌(𝑥, 0)

𝑥=0

𝑥

Gambar 3.11 Lalu lintas padat yang hampir seragam.

𝑡

𝑥=0

𝑥

Gambar 3.12 Karakteristik 𝜕𝜌1 ⁄𝜕𝑡 + 𝑐 𝜕𝜌1 ⁄𝜕𝑥 = 0. Posisi dari maksimum relatif ditandai dengan garis tebal dan minimumnya ditandai dengan garus putus–putus. Misalkan kepadatan awalnya ditunjukkan oleh Gambar 3.13a, yang kemudian setelah waktu 𝜏 kepadatan bergerak mundur dengan jarak |𝑐𝜏|, dengan 𝑐 = (𝜕𝑞 ⁄𝜕𝜌)(𝜌0 ) yang ditunjukkan oleh Gambar 3.14b.

𝜌(𝑥, 0) 𝑥=0

Gambar 3.13a Kondisi awal kepadatan lalu lintas.

𝑥


𝜌(𝑥, 0) 𝑥

𝑥=0

Gambar 3.14b Gelombang kepadatan bergerak mundur. Kepadatan bergerak mundur dengan kecepatan konstan 𝑐 akan meningkat dalam waktu yang kontinu. Gelombang kepadatan pengendara tanpa mengubah bentuknya. Untuk membuat sketsa kepadatan 𝜌 yang bergantung pada fungsi 𝑥 dan 𝑡 membutuhkan sketsa berdimensi tiga dan hal tersebut tidak selalu mudah untuk digambar. Sebagai contohnya, 𝑥 sumbu horizontal, 𝜌 sumbu vertikal, dan 𝑡 sumbu yang arahnya ke kertas yang diperoleh dari Gambar 3.14. Kepadatan akan tetap sama pada sepanjang lintasan dengan kecepatan 𝑐, dengan 𝑐 < 0. Variasi dari kepadatan lalu lintas tampak bergerak mundur walaupun sebenarnya tidak ada kendaraan yang bergerak mundur.

𝜌

𝑡

𝑥 Gambar 3.14. Sketsa tiga dimensi (𝜌, 𝑥, 𝑡).


E. Interpretasi Gelombang Lalu Lintas Dipandang persamaan diferensial parsial untuk masalah arus lalu lintas setelah perturbasi 𝜕𝜌1 𝜕𝜌1 +𝑐 = 0, 𝜕𝑡 𝜕𝑥

(3.5.1)

Misalkan kepadatan lalu lintas diukur dari pengamat yang bergerak bukan dari kendaraan yang bergerak di lalu lintas. Posisi dari pengamat ditentukan oleh 𝑥 = 𝑥(𝑡). Kepadatan lalu lintas diukur dari pengamat yang bergantung pada waktu yaitu 𝜌1 (𝑥(𝑡), 𝑡). Laju perubahan kepadatan bergantung dari variasi lalu lintas dan pengamat yang bergerak, dengan turunan rantai pada persamaan diferensial parsial maka berlaku 𝑑 𝜕𝜌1 𝑑𝑥 𝜕𝜌1 𝜌1 (𝑥(𝑡), 𝑡) = + . 𝑑𝑡 𝜕𝑡 𝑑𝑡 𝜕𝑥 Suku pertama pada ruas kanan

𝜕𝜌1

lintas pada posisi yang tetap dan

𝜕𝑡

(3.5.2)

merepresentasikan perubahan kepadatan lalu

𝑑𝑥 𝜕𝜌1 𝑑𝑡 𝜕𝑥

merepresentasikan perubahan yang sesuai

fakta bahwa pengamat bergerak pada daerah dengan kemungkinan kepadatan yang berbeda. Dengan membandingkan antara perubahan kepadatan yang bergerak bersama pengamat seperti pada persamaan (3.5.2) dengan persamaan diferensial parsial untuk perturbasi kepadatan lalu lintas seperti pada persamaan (3.5.1). Hal tersebut akan terlihat jelas jika pengamat bergerak dengan kecepatan 𝑐, yang berarti jika 𝑑𝑥 =𝑐 𝑑𝑡 maka,

(3.5.2)


𝑑𝜌1 = 0. 𝑑𝑡

(3.5.3)

Jadi, 𝜌1 adalah fungsi yang konstan. Pengamat yang bergerak dengan kecepatan 𝑐 tidak akan mempengaruhi pengukuran pada kepadatannya, seperti pada kseimpulan subbab 3.3. Dengan kata lain, konsep yang sama dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah lalu lintas nonlinear, yaitu 𝜕𝜌 𝑑𝑞 𝜕𝜌 + = 0. 𝜕𝑡 𝑑𝜌 𝜕𝑥 Persamaan (3.5.3) dapat diperoleh penyelesaian secara aljabar dengan mudah yaitu dengan cara mengintegralkan yang diperoleh 𝜌1 = 𝑐, dimana 𝑐 konstan. Dari persamaan (3.5.3) didapat 𝜌1 = 𝛽 pada sepanjang 𝑥 = 𝑐𝑡 + 𝛼, dimana 𝛼 dan 𝛽 konstan. Untuk garis lurus yang berbeda misalkan 𝛼 konstan, maka 𝜌1 dapat pula nilai konstan yang berbeda. Jadi, 𝛽 konstan bergantung pada 𝛼 konstan, yaitu 𝛽 = 𝑓(𝛼), yang mana 𝛽 adalah fungsi yang berubah–ubah terhadap 𝛼 atau 𝜌1 = 𝑓(𝑥 − 𝑐𝑡) Penyelesaian tersebut identik dengan penyelesaian pada persamaan (3.3.10) yang diperoleh dari transformasi persamaan diferensial parsial untuk sistem koordinat yang bergerak dengan kecepatan 𝑐.

F. Contoh Arus Lalu Lintas yang Hampir Seragam Misalkan kondisi awal dari kepadatan lalu lintas bernilai konstan untuk jalan tol yang hampir takterbatas yang diilustrasikan pada Gambar 3.15. Arus lalu lintas yang masuk harus bernilai 𝜌0 𝑢(𝜌0 ), arusnya bersesuaian dengan kepadatan


yang seragam 𝜌0 sehingga banyaknya kendaraan per jam yang masuk lalu lintas akan tetap seragam.

Kendaraan masuk

Gambar 3.15 Jalan raya yang lebar hampir takterbatas (hanya kendaraan yang masuk saat 𝑥 = 0). Perhatikan interval dari jalan raya antara jalan masuk dan titik 𝑥 = 𝑎 untuk membuktikan pernyataan tersebut dengan menggunakan integral hukum konservasi 𝑑 𝑎 ∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 = −𝑞(𝑎, 𝑡) + 𝑞(0, 𝑡). 𝑑𝑡 0 Karena nilai kepadatan lalu lintas konstan, dan sisi kiri bernilai nol maka arusnya di 𝑥 = 𝑎 harus sama dengan arus saat masuk 𝑞(𝑎, 𝑡) = 𝑞(0, 𝑡). Tetapi, arus di 𝑥 = 𝑎 adalah 𝜌0 𝑢(𝜌0 ) maka 𝑞(0, 𝑡) = 𝜌0 𝑢(𝜌0 ). Dengan kata lain, arus yang masuk sama dengan arus yang keluar, sehingga jumlah kendaraan akan tetap sama dengan asumsi bahwa kepadatannya konstan. Disisi lain, misalkan arus dalam dari kendaraan ditentukan untuk kepadatan yang seragam 𝑞(0, 𝑡) = 𝜌0 𝑢(𝜌0 ) + 𝜖𝑞1 (𝑡),

(3.6.1)

dengan 𝑞1 (𝑡) diketahui. Sehingga, penyelesaian kepadatan lalu lintas dengan menggunakan persamaan diferensial yang sama dengan subab sebelumnya.


𝜕𝜌1 𝜕𝜌1 +𝑐 = 0. 𝜕𝑡 𝜕𝑥 Persamaan di atas diturunkan dari 𝜌(𝑥, 𝑡) = 𝜌0 + 𝜖𝜌1 (𝑥, 𝑡).

(3.6.2)

Lalu lintas awal diasumsikan seragam, sehingga kondisi awalnya adalah 𝜌1 (𝑥, 0) = 0. Kasus ini dapat digeneralisasikan juga dalam kepadatan awal yang sedikit berbeda dengan kasus yang serupa. Perlu diingat bahwa kondisi awal tersebut valid untuk 𝑥 > 0. Kondisi awal tersebut harus dilengkapi dengan kondisi arusnya seperti pada persamaan (3.6.1), yang disebut kondisi batas karena hal tersebut terjadi pada batas jalan yang melewati jalur cepat saat 𝑥 = 0. Penyelesaian umum untuk persamaan diferensial parsial tersebut telah didapat yaitu 𝜌1 (𝑥, 𝑡) = 𝑔(𝑥 − 𝑐𝑡), 𝜌1 (𝑥, 𝑡) = 𝜌0 + 𝜖𝑔(𝑥 − 𝑐𝑡).

(3.6.3)

Dengan menggunakan konsep karakteristik dengan asumsi lampu lalu lintas, misalnya 𝑐 > 0. Karakteristik tersebut adalah garis 𝑥 − 𝑐𝑡 = konstan yang diilustrasikan pada Gambar 3.16.


Gambar 3.16 Karakteristik yang kepadatannya konstan. 𝜌1 merupakan kepadatan yang konstan pada sepanjang garis. Hal tersebut dapat dilihat dari Gambar 3.16 yang menunjukkan bahwa daerah yang diarsir adalah nilai kepadatan 𝜌1 = 0 atau total kepadatannya 𝜌 = 𝜌0 saat 𝑡 = 0, sedangkan daerah yang tidak diarsir adalah keadaan kendaraan yang masuk dalam tingkat yang tidak seragam. Pada daerah tersebut, kepadatan lalu lintas hanya sedikit berbeda dengan kepadatan yang seragam, seperti pada persamaan (3.6.3). Kepadatan lalu lintas saat (𝑥, 𝑡) sama dengan kepadatan lalu lintas pada jalan masuk saat waktu 𝑥⁄𝑡 , 𝑥 𝑥 − 𝑐𝑡 = 0 − 𝑐 (𝑡 − ). 𝑐 𝑥⁄𝑐 adalah waktu yang diperlukan gelombang untuk bergerak yang berjarak 𝑥 dengan kecepatan 𝑐. Oleh karena itu, kepadatan jalan masuk dalam waktu 𝑥 − (𝑥⁄𝑐 ) adalah kepadatan dengan jarak 𝑥 mil pada jalan raya dalam waktu 𝑡. Kepadatan lalu lintas yang masuk dapat ditentukan dari arus lalu lintasnya, dengan menggunakan persamaan (3.6.1) dan mengasumsikan 𝜌 mendekati 𝜌0 . Arus lalu lintas atau 𝑞(𝜌) = 𝑞(𝜌0 + 𝜖𝑔) dapat dinyatakan dengan menggunakan metode deret Taylor yaitu 𝑞(𝜌) = 𝑞(𝜌0 ) + 𝜖𝑔(𝑥′𝑐𝑡)𝑞 ′ (𝜌0 ) + 𝑂(𝜖 2 ).


Karena 𝑐 = 𝑞 ′ (𝜌0 ), maka arus lalu lintas diatas diaproksimasi menjadi 𝑞(𝜌) = 𝑞(𝜌0 ) + 𝜖𝑔(𝑥′𝑐𝑡). Jadi, perturbasi arus lalu lintas secara sederhana adalah perturbasi kepadatan dengan kecepatan 𝑐 dalam waktu tertentu. Dalam kasus ini, perturbasi arus lalu lintas diketahui saat jalan masuk 𝑞1 (𝑡). Sehingga, 𝑡>0

𝑞1 (𝑡) = 𝑐𝑔(−𝑐𝑡), Jika dimisalkan 𝑧 = −𝑐𝑡, maka 𝑞1 (

−𝑧 ) = 𝑐𝑔(𝑧), 𝑐

1 −𝑧 𝑔(𝑧) = 𝑞1 ( ). 𝑐 𝑐

∀𝑧 < 0

Akibatnya, total kepadatan kendaraan yang diberikan oleh persamaan (3.6.3) adalah 𝜌(𝑥, 𝑡) = 𝜌0 + 𝜖

𝑥 𝑞1 (𝑡 − 𝑐 ) 𝑐

jika 𝑥 − 𝑐𝑡 < 0.

,

Atau dapat disimpulkan menjadi 𝑥 𝑞1 (𝑡 − ) 𝑐 , 𝜌(𝑥, 𝑡) = {𝜌0 + 𝜖 𝑐 𝜌0 ,

𝑥 − 𝑐𝑡 < 0. 𝑥 − 𝑐𝑡 > 0.

Penyelesaian ini menunjukkan bahwa lalu lintas masuk saat 𝑡 = 0 yang menyebar dengan kecepatan 𝑐 dan posisi 𝑥 dengan menempuh waktu 𝑥⁄𝑐 .

G. Metode Karakteristik Lalu Lintas Tidak Seragam Konservasi kendaraan dan Diagram Dasar Lalu Lintas Jalan pada Gambar 3.9 menghasilkan persamaan diferensial parsial nonlinear order pertama pada lalu lintas adalah


𝜕𝜌 𝜕𝑞(𝜌) 𝜕𝜌 + = 0. 𝜕𝑡 𝜕𝜌 𝜕𝑥

(3.7.1)

Penyelesaian dalam subbab sebelumnya dianggap mendekati persamaan persamaan di atas yang kepadatannya hampir seragam. Lalu lintas ditunjukkan secara bervariasi melalui gelombang kepadatan. Dalam subbab ini akan dijelaskan bagaimana menemukan teknik untuk menyelesaikan kepadatan lalu lintas yang hampir seragam. Diperhatikan kembali pengamat yang bergerak dari beberapa model yang ditetapkan yaitu 𝑥(𝑡). Kepadatan lalu lintas yang dilihat dari posisi pengamat akan berubah setiap waktu bergantung pada perubahan posisi pengamat, yaitu 𝜕𝜌 𝜕𝜌 𝑑𝑥 𝜕𝜌 = + . 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝑑𝑡 𝜕𝑥

(3.7.2)

Dari persamaan (3.7.1) dan (3.72) dapat dilihat bahwa kepadatan akan tetap konstan dari sudut pandang posisi pengamat, sehingga 𝜕𝜌 = 0. 𝜕𝑡

(3.7.3)

Persamaan (3.7.3) menghasilkan 𝜌 yang bernilai konstan jika 𝑑𝑥 𝑑𝑞(𝜌) = ≡ 𝑞 ′ (𝜌). 𝑑𝑡 𝑑𝜌

(3.7.4)

Pengamat harus bergerak dengan kecepatan 𝑞 ′ (𝜌) sehingga kecepatan gelombang kepadatan lalu lintas mendekati seragam akan menyebar. Karena kecepatan bergantung pada kepadatan yang mana sangat bervariasi antara bagian yang satu dengan lainnya, maka kecepatan tersebut disebut gelombang kecepatan lokal. Jika pengamat bergerak pada gelombang kecepatan lokal, maka kepadatan lalu lintas dari sisi pengamat akan terlihat konstan. Oleh karena itu, pasti ada


gerakan yang keluar dari pengamat yang mana pengamat akan mengukur kepadatan lalu lintas tersebut konstan, yang diilustrasikan oleh Gambar 3.17. 𝑡 Kepadatan konstan

𝑥

Gambar 3.17 Garis sepanjang kepadatan lalu lintas tetap sama. Persaman (3.7.3) dan (3.7.4) merupakan persamaan diferensial biasa, yang kurvanya disebut karakteristik. Sepanjang karakteristik menunjukkan bahwa 𝜌 konstan; kepadatan akan tetap sama dengan posisi karakteristik yang berpotongan pada data awal. Dalam kasus ini, arus hampir seragam yaitu 𝑑𝑥 = 𝑐. 𝑑𝑡 Jadi, untuk semua kurva dalam karakteristik tersebut segaris lurus secara paralel. Pada arus lalu lintas yang tidak seragam, pengamat bergerak pada gelombang kecepatan lokal. Kepadatan lalu lintas akan tetap jika dilihat dari posisi pengamat, sehingga gelombang kepadatan lokal dari sudut pengamat juga akan tetap. Kecepatan yang dilihat dari sudut pandang setiap pengamat bergerak konstan. Setiap pengamat bergerak dengan kecepatan konstan, tetapi pengamat yang lain mungkin bergerak dengan kecepatan konstan yang berbeda, dikarenakan perbedaan kepadatan lalu lintas awalnya. Setiap pergerakannya merupakan gelombang


kecepatan lokal masing–masing pengamat. Setiap karakteristik bergaris lurus pada kasus ini merupakan arus yang hampir seragam. Akan tetapi, jalan miring yang terkait dengan pengaturan kecepatannya belum tentu sama dengan karakteristik yang berbeda dan karakteristik tersebut juga belum tentu merupakan garis lurus yang paralel. Dimisalkan sebuah karakteristik yang berawal di posisi 𝑥 = 𝛼 pada jalan raya, yang ditunjukkan oleh Gambar 3.18 dimana sepanjang kurva 𝑑𝑥 ⁄𝑑𝑡 = 𝑞 ′ (𝜌) dan 𝑑𝜌⁄𝑑𝑡 = 0 atau 𝜌 bernilai konstan. 𝜌 awal bernilai sama saat 𝑥 = 𝑎 misalnya saat 𝑡 = 0. Jadi, salah satu jenis karakteristiknya adalah 𝜌 = 𝜌(𝛼, 0) ≡ 𝜌𝛼 . 𝜌𝛼 adalah konstan yang diketahui. Gelombang kecepatan lalu lintas didefinisikan sebagai karakteristik yang bernilai konstan, yaitu 𝑑𝑥⁄𝑑𝑡 = 𝑞 ′ (𝜌𝛼 ). 𝑡

𝑥=𝛼

𝑥

Gambar 3.18 Karakteristik awal saat 𝑥 = 𝛼. Akibatnya, karakteristik tersebut merupakan garis lurus yaitu ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑞 ′ (𝜌𝛼 )𝑑𝑡, 𝑥 = 𝑞 ′ (𝜌𝛼 )𝑡 + 𝑘, dengan 𝑘 merupakan perpotongan 𝑥 dalam karakteristik, yang sama dengan 𝛼 saat 𝑡 = 0 dan 𝑥 = 𝑎. Akibatnya, persamaan di atas berubah menjadi


𝑥 = 𝑞 ′ (𝜌𝛼 )𝑡 + 𝛼. Persamaan diatas meruapakan salah satu jenis karakteristik. Kepadatan lalu lintas 𝜌 bernilai konstan sepanjang garis lurus, yaitu 𝜌 = 𝜌𝛼 . Apabila karakteristik awal berasal dari 𝑥 = 𝛽 maka persamaannya akan mirip untuk 𝑥 = 𝛼 dan juga disebut karakteristik garis lurus, yaitu 𝑥 = 𝑞 ′ (𝜌𝛼 )𝑡 + 𝛼. Walaupun demikian, jalan miring yang berbeda menyebabkan kecepatan juga berbeda jika 𝑞 ′ (𝜌𝛼 ) ≠ 𝑞 ′ (𝜌𝛽 ). Sebagai contohnya diilustrasikan oleh Gambar 3.19. 𝜌 = 𝜌𝛽

𝑡

𝜌 = 𝜌𝛼

𝛽

𝛼

𝑥

Gambar 3.19 Kemungkinan karakteristik garis lurus nonparalel. Melalui cara ini kepadatan kendaraan di waktu yang akan datang dapat diprediksi saat 𝑡 = 𝑡 ∗ pada posisi 𝑥 = 𝑥 ∗ , dengan karakteristik dari ruang dan waktu harus diperoleh (lihat Gambar 3.20).


𝑡

(𝑥. , 𝑡. )

𝛽 𝛾 𝛼

𝑥

Gambar 3.20 Menentukan kepadatan lalu lintas yang akan datang dengan mengunnakan karakteristik. Jika karakteristiknya sudah ditentukan dan sepanjang karakteristik tersebut mempunyai kepadatan yang konstan maka kepadatan pada titik (𝑥∗ , 𝑡∗ ) yang kepadatan dapat aproksimasi dengan perpotongan 𝑥, yaitu 𝜌(𝑥∗ , 𝑡∗ ) = 𝜌(𝛾, 0). Teknik tersebut dinamakan metode karakteristik. Kecepatan gelombang kepadatan atau 𝑑𝑞 ⁄𝑑𝜌 menyatakan bahwa pada kecepatan tertentu kepadatan lalu lintas akan tetap sama. Kita akan mendeskripsikan sifat-sifat dari kecepatan gelombang kepadatan. Asumsikan 𝑑𝑞 ⁄𝑑𝜌 menurun ketika 𝜌 meningkat atau kecepatan gelombang kepadatan menurun ketika kepadatan lalu lintas meningkat. Selain itu, akan ditunjukkan hubungan antara dua kecepatan yaitu kecepatan gelombang kepadatan dan kecepatan kendaraan. Karakteristik kecepatan dapat ditentukan dari kecepatan dan kepadatan lalu lintas. Karena diketahui 𝑞 = 𝜌𝑢(𝜌) maka 𝑑𝑞 𝑑𝑢 =𝜌 + 𝑢. 𝑑𝜌 𝑑𝜌 Hipotesis awal diketahui bahwa kendaraan bergerak lambat saat kepadatan lalu lintas meningkat atau 𝑑𝑢⁄𝑑𝜌 ≤ 0, yang diilustrasikan oleh Gambar 3.21.


𝑢

𝜌

Gambar 3.21 Hubungan 𝑢 dan 𝜌 𝑑𝑢⁄𝑑𝜌 ≤ 0.

H. Lalu Lintas dari Lampu Merah ke Hijau Misalkan kendaraan–kendaraan berhenti pada lalu lintas saat menyala merah. Posisi tersebut berada pada 𝑥 = 0. Karena kendaraan berdempetan maka 𝜌 = 𝜌𝑚𝑎𝑥 untuk 𝑥 < 0. Asumsikan bahwa kendaraan takberhingga banyaknya dan tidak bergerak walaupun sebenarnya barisannya berhingga dan mungkin bisa jadi sangat panjang kemacetannya. Jika lampu lalu lintas tersebut mengehentikan kendaraan yang cukup panjang, asumsikan pula bahwa 𝜌 = 0 untuk 𝑥 > 0, yang kondisi awal kepadatannya diilustrasikan oleh Gambar 3.22. 𝜌𝑚𝑎𝑥 𝜌(𝑥, 0) 𝑥=0

𝑥

Gambar 3.22 Distribusi kepatan awal lalu lintas. Misalkan lampu lalu lintas menyala dari merah menjadi hijau saat 𝑡 = 0. Persamaan diferensial parsial diturunkan dari konservasi kendaraan, yaitu


𝜕𝜌 𝑑𝑞 𝜕𝜌 + = 0. 𝜕𝑡 𝑑𝜌 𝜕𝑥

(3.8.1)

Diketahui kondisi awalnya yang merupakn fungsi yang diskontinu jika 𝑥 < 0 𝜌 𝜌(𝑥, 0) = { max 0 jika 𝑥 lainnya Saat lampu lalu lintas berubah dari merah menjadi hijau maka kendaran akan bergerak tetapi kendaraan yang berada cukup jauh dari lalu lintas juga akan mulai bergerak sampai kembali berubah menjadi warna merah yang diilustrasikan pada Gambar 3.23. Lalu lintas yang jarang dapat lebih jauh bebas bergerak; kepadatannya menjadi lebih kecil dan berhubungan dengan penyelesaiannya yang disebut gelombang rarefactive.

𝜌(𝑥, 𝑡) 𝑥=0

Gambar 3.23 Kepadatan lalu lintas setelah lampu merah (Gelombang rarefactive). Persamaan (3.8.1) dapat diselesaikan dengan metode karakteristik yang telah dibahas pada subbab sebelumnya. Perlu diingat bahwa jika 𝑑𝑥⁄𝑑𝑡 = 𝑑𝑞 ⁄𝑑𝜌 maka 𝑑𝜌⁄𝑑𝑡 = (𝜕𝜌⁄𝜕𝑡) + (𝑑𝑥⁄𝑑𝑡)(𝜕𝜌⁄𝜕𝑥) = 0. Jadi, kepadatan lalu lintas 𝜌(𝑥, 𝑡) konstan sepanjang karakteristik, yang diberikan oleh 𝑑𝑥 𝑑𝑞(𝜌) 𝑑𝑢 = =𝜌 + 𝑢. 𝑑𝑡 𝑑𝜌 𝑑𝜌

(3.8.2)


Kepadatan akan menyebar saat kecepatan 𝑑𝑞 ⁄𝑑𝜌. Karena 𝜌 konstan maka kepadatan juga akan bergerak dengan kecepatan konstan. Karakteristiknya berbentuk suatu garis lurus pada bidang 𝑥 − 𝑡 𝑥=

𝑑𝑞 (𝜌) + 𝑘, 𝑑𝜌

(3.8.3)

dengan setiap karakteristik yang mungkin mempunyai perbedaan integrasi 𝑘 konstan. Akan dianalisis bahwa perpotongan data awal saat 𝑥 > 0. Terdapat 𝜌(𝑥, 0) = 0, jadi 𝜌 = 0 sepanjang setiap garis sehingga 𝑑𝑥 𝑑𝑞 = | = 𝑢(𝜌) + 𝜌𝑢′(𝜌)|𝜌=0 = 𝑢(0) = 𝑢max 𝑑𝑡 𝑑𝜌 𝜌=0 Kurva karakteristik yang berpotongan pada sumbu 𝑥 > 0 pada setiap garis lurus dengan kecepatan 𝑢max . Karena karakteristiknya muncul dari 𝑥 = 𝑥0 dengan 𝑥0 > 0 saat 𝑡 = 0 yaitu 𝑥 = 𝑢max 𝑡 + 𝑥0 (𝑥0 > 0) Karakteristik pertama pada daerah tersebut diawali saat 𝑥 = 0 yang karenanya 𝑥 = 𝑢max 𝑡. Jadi, di bawah daerah kurva (𝑥 > 𝑢𝑚𝑎𝑥 𝑡) kepadatannya bernilai nol; sehingga tidak ada kendaraan yang melewati daerah tersebut. Pada waktu yang bersamaan jika kendaraan berada cukup jauh dari lalu lintas, maka tidak ada kendaraan

yang

melewatinya

karena

kepadatannya

bernilai

nol.

Pada

kenyataannya, andaikan kendaraan seseorang berada pada posisi yang pertama dan setelah lampu merah berubah menjadi hijau serta kepadatannya bernilai nol maka seseorang tersebut akan bergerak dengan kecepatan 𝑢max . Seseorang tidak akan mencapai titik 𝑥 dengan 𝑡 = 𝑥⁄𝑢max . Akibatnya, tidak ada kendaraan pada posisi 𝑥 saat 𝑡 = 𝑥⁄𝑢max .


Kemudian, akan dianalisis karakteristik pada perpotongan data awal untuk 𝑥 < 0 dengan kendaraan tetap berada pada posisi kepadatan yang maksimum 𝜌 = 𝜌max , yang sepanjang karakteristiknya ditentukan oleh persamaan (3.8.2), 𝑑𝑥 𝑑𝑞 = | 𝑑𝑡 𝑑𝜌 𝜌=𝜌

= 𝑢(𝜌) + 𝜌𝑢′ (𝜌)|𝜌=𝜌max = 𝜌max 𝑢′ (𝜌max ) < 0,

max

dengan 𝑢(𝜌max ) = 0 sehingga 𝑢′(𝜌max ) = 0, yang berarti kecepatannya bernilai negatif. Kepadatan menjadi maksimum berarti lalu lintas berada pada keadaan “berat”. Jadi, karakteristik ini berupa garis lurus paralel dengan kecepatan yang bernilai negatif pada perpotongan dengan sumbu 𝑥 negatif, 𝑥 = 𝜌max 𝑢′ (𝜌max )𝑡 + 𝑥0 (𝑥0 < 0). Kondisi tersebut diilustrasikan pada Gambar 3.24 yang menyatakan bahwa kendaraan masih berdempetan pada daerah yang diindikasikan pada bagian kiri gambar, 𝑥 < 𝜌max 𝑢′ (𝜌max )𝑡. 𝑥 = 𝜌max

𝑑𝑢 | 𝑑𝜌 𝜌

𝑡

max

𝑡

𝜌 = 𝜌max

𝜌 = 𝜌max

𝑥 = 𝑢max 𝑡

𝜌=0 𝑥=0

𝜌=0

𝑥

Gambar 3.24 Konsidi lalu lintas sebelum dan sesudah lampu merah menjadi hijau.


Kendaraan mulai bergerak dengan beberapa waktu yang berhingga sebelum mulai bergerak sesudah lampu merah menjadi hijau. Teori ini juga dapat digunakan untuk kendaraan ke-𝑛 dengan sejumlah waktu yang sama dengan 𝑡=

(𝑛 − 1)𝐿 −𝜌max 𝑢′(𝜌max )

dengan 𝐿 jarak antar kendaraan. Misalkan reaksi pengendara dan waktu percepatan tidak diperhitungkan yang akan menjadi menarik untuk mengukur berapa lama waktu tunggu pada lampu lalu lintas sebagai posisi kendaraan. Kemudian, akan diuji apakah waktu tunggu bergantung linear pada posisi kendaraan. Dari data yang ada didapat 𝑢′(𝜌max ) 𝑢′ (𝜌max )

∆𝑢 −6 m. p. h km2 ≈ = = −0.1 . ∆𝜌 60 kendaraan kendaraan. jam km

Hasil tersebut merupakan data yang diramalkan dari percobaan Lincoln Tunnel dengan mengasumsikan 𝜌max = 225 kendaraan per kilometer diperoleh 𝑡=

𝐿 1 1 = = . 2 −𝜌max 𝑢′(𝜌max ) −𝜌max 𝑢′(𝜌max ) 0.1(225)2

Waktu tunggu yang diprediksi untuk setiap kendaaraan yang berada di belakang lalu lintas adalah 𝑡=

602 = 0.71 detik. 0.1(225)2

Permasalahan yang dapat dihitung sejauh ini hanya daerah antara 𝜌 = 0 dan 𝜌 = 𝜌max . Untuk memperluas secara total dapat menggunakan metode karakteristik karena hanya ada dua nilai kepadatan (lihat Gambar 3.25) yaitu 𝜌 = 𝜌max untuk 𝑥 < 𝜌max 𝑢′ (𝜌max )𝑡,


dan 𝜌 = 0 untuk 𝑥 > 𝑢max 𝑡.

𝜌(𝑥, 𝑡), 𝑡 > 0 𝑥 = 𝜌max

𝑑𝑢 | 𝑑𝜌 𝜌

𝑡

𝑥=0

𝑥 = 𝑢max 𝑡

max

Gambar 3.25 Kepadatan lalu lintas saat lampu menyala merah. Gambar 3.25 belum cukup kuat menjelaskan bahwa kepadatannya belum tentu berada pada daerah ini yang merupakan daerah dengan kendaraan benar–benar melalui lampu hijau, yaitu 𝜌max 𝑢′ (𝜌max )𝑡 < 𝑥 < 𝑢max 𝑡. Andaikan kepadatan lalu lintas awalnya bukan merupakan fungsi yang diskontinu tetapi fungsi yang mulus antara 𝜌 = 0 dan 𝜌 = 𝜌𝑚𝑎𝑥 dengan nilai jarak ∆𝑥 yang cukup kecil yang dekat dengan lalu lintas (lihat Gambar 3.26). Dengan ∆𝑥 yang cukup kecil diharapkan solusi dari permasalah ini akan sama saat ∆𝑥 = 0. 𝜌max

∆𝑥 0

𝑥

Gambar 3.26 Kepadatan lalu lintas awal yang kontinu Untuk ∆𝑥 ≠ 0 karakteristik dari 𝜌 = 0 dan 𝜌 = 𝜌max pada diagram ruang diilustrasikan pada Gambarr 3.27 yang menjelaskan bahwa pasti terdapat


karakteristik yang dekat dengan daerah asal. 𝜌 pada sepanjang garis akan bernilai konstan 𝑥=

𝑑𝑞 𝑡 + 𝑥0 . 𝑑𝜌

𝑥0 nilainya sangat kecil yang merupakan posisi dari karakteristik saat 𝑡 = 0 sehingga dapat diabaikan. Kecepatan 𝑑𝑞 ⁄𝑑𝜌 akan selalu berada pada nilai– nilai yang bersesuaian antara 𝜌 = 0 dan 𝜌 = 𝜌max karena rentang 𝜌 kontinu antara 𝜌 = 0 dan 𝜌 = 𝜌max . Dengan kata lain, kecepatan 𝑑𝑞 ⁄𝑑𝜌 lebih besar daripada kepadatannya. Kecepatan gelombangnya akan berkurang jika kepadatannya ditingkatkan. Terdapat nilai dengan kecepatan gelombang nol dan negatif, yang sebagian karakteristiknya ditunjukkan oleh Gambar 3.29. Kemiringan garis lurus akan berbeda dikarenakan jarak lalu lintas yang berbeda mulai tidak adanya kendaraan yang berdempetan sampai meningkat sesuai perubahan waktu. Lampu yang berubah dari merah menjadi hiaju menyebabkan lalu lintasnya “menyebar keluar” atau “meluas”. 𝑡

|∆𝑥|

𝑥

Gambar 3.27 Diagram ruang dan waktu dengan transisi cepat dari tidak ada lalu lintas sampai lalu lintas berdempetan.


Jika kepadatan lalu lintas awalnya merupakan fungsi yang diskontinu, sesuai dengan kenyataannya pasti akan didapat kepadatan di daerah yang tidak diketahui dengan mengasumsikan limit dari masalah kondisi awal kontinu tersebut adalah ∆𝑥 → 0. Sepanjang karakteristiknya 𝜌 bernilai konstan, 𝑑𝑥 𝑑𝑞 = , 𝑑𝑡 𝑑𝜌 dengan

karakteristik

yang

merupakan

garis

lurus

𝑥 = (𝑑𝑞 ⁄𝑑𝜌) + 𝑥0 .

Karakteristiknya tidak bersesuaian dengan 𝜌 = 0 dan 𝜌 = 𝜌max yang melalui 𝑥 = 0 dan 𝑡 = 0, disebut karakteristik fanlike pada daerah yang diilustrasikan oleh Gambar 3.28.

𝑡

𝑥

Gambar 3.28 Karaktersitik fanlike Setiap karakteristik kepadatannya bernilai konstan pada domain ruang dan waktu. Gelombang kepadatan pada titik (𝑥, 𝑡) diketahui 𝑑𝑞 𝑥 = . 𝑑𝜌 𝑡

(3.8.4)

𝑑𝑞

𝜌 harus diperoleh dengan menyelesaikan persamaan (3.8.4). 𝑑𝜌 merupakan fungsi yang bergatung pada 𝜌 dengan 𝜌 fungsi terhadap 𝑥 dan 𝑡, walaupun dalam kasus


ini sebenarnya fungsi terhadap 𝑥⁄𝑡 di daerah karakteristik fanlike. Kadang–kadang dalam suatu permasalahan hanya diketahui 𝑑𝑞 ⁄𝑑𝜌 seperti yang diilustrasikan oleh Gambar 3.29.

𝑢ma𝑥 𝑑𝑞 𝑑𝜌 𝜌max 𝑑𝑢 −𝜌max | 𝑑𝜌 𝜌

𝜌

max

Gambar 3.29 Diagram dasar lalu lintas di jalan. Asumsikan bahwa 𝜌 meningkat tetapi 𝑑𝑞 ⁄𝑑𝜌 menurun. Kepadatan dapat didefinisikan secara grafis pada posisi di daerah karaktersitik fanlike sebagai berikut, diberikan 𝑥 dan 𝑡. Persamaan (3.8.4) dapat digunakan untuk menghitung 𝑑𝑞 ⁄𝑑𝜌, yang diposisikan melawan gambar 𝜌 dengan nilai yang bersesuaian seperti pada Gambar 3.29. Diagram dasar lalu lintas di jalan dapat digunakan sebagai cara alternatif untuk menentukan kepadatan suatu grafik pada jalan tertentu di daerah karakteristik fanlike. Diberikan 𝑡 dan 𝑥. Garis lurus dari titik origin ke titik (𝑡, 𝑥) mempunyai kemiringan yang sama dengan 𝑑𝑞 ⁄𝑑𝜌. Jadi, garis lurus harus mempunyai kemiringan yang sama dengan kurva arus–kepadatan (𝑞 − 𝑝). Kepadatan dari


kurva 𝑞 − 𝑝 yang kemiringannya sama dengan 𝑥⁄𝑡 dapat digunakan untuk memperkirakan kepadatan lalu lintas, seperti yang diilustrasikan pada Gambar 3.30. 𝑥

(𝑡, 𝑥)

𝑞 𝑡

𝜌

Gambar 3.30 Karateristik kepadatan lalu lintas pada daerah fanlike. Ketika 𝑑𝑞 ⁄𝑑𝜌 = 0, terjadi arus yang maksimum. Jadi, posisi dengan kepadatan maksimum dapat diindikasikan dari gelombang kepadatan yang stasioner atau kecepatan gelombang kepadatannya sama dengan nol. Setelah lampu menyala merah menjadi hijau, arus maksimum terjadi saat 𝑥 = 0 seperti permasalahan yang baru saja dibahas. Posisi pengamat pada lalu lintas menunjukkan bahwa hal ini merupakan sebuah percobaan yang sederhana untuk mengukur arus lalu lintas yang sampai akhirnya kendaraan akan berbaris ketika lampu kembali menyala merah. Akibatnya, ketika lampu menyala hijau, dengan cara yang mudah dapat dihitung arus lalu lintas di jalan. Perhitungan arus lalu lintas dari kendaraan akan konstan dan sama dengan kemungkinan kapasitas maksimum jalan jika teori ini benar yaitu 𝑢 = 𝑢(𝜌).


I. Hubungan Linear Antara Kecepatan dan Kepadatan Asumsikan hubungan kurva kecepatan dan kepadatan linear, maka 𝑢(𝜌) =

𝑢max 𝜌 (𝜌max − 𝜌) = 𝑢max (1 − ), 𝜌max 𝜌max

(3.9.1)

Hubungan tersebut memiliki empat sifat yang diilustrasikan pada Gambar 3.31 yaitu (1) 𝑢(𝜌max ) = 0, (2) 𝑢(0) = 𝜌max , (3)

𝑑𝑢 𝑑𝜌

≤ 0,

(4) 𝑑𝑞 ⁄𝑑𝜌 menurun ketika 𝜌 meningkat (karena 𝑑2 𝑞 ⁄𝑑𝜌2 < 0).

𝑢max 𝑢(𝜌) Kecepatan

𝑢 = 𝑢max (1 − 𝜌⁄𝜌max ) 𝜌 kepadatan

𝜌max

Gambar 3.31 Kurva kepadatan–kecepatan linear Arus lalu lintas dapat dihitung pada kasus ini yaitu 𝑞 = 𝜌𝑢 = 𝑢max 𝜌 (1 −

𝜌 𝜌max

).

(3.9.2)

Diagram dasar parabola pada lalu lintas jalan merupakan hasil dari persamaan (3.9.2) yang diilustrasikan pada Gambar 3.31 yang mempunyai kecepatan gelombang kepadatan, yaitu


𝑑𝑞 2𝜌 = 𝑢max (1 − ). 𝑑𝜌 𝜌max

(3.9.3)

Hasil dari persamaan (3.9.3) merupakan gelombang kecepatan yang positif dan negatif. Gelombang kecepatan akan berkurang jika kepadatan meningkat, misalnya 𝑑2 𝑞 ⁄𝑑𝜌2 < 0. Gelombang kepadatan stasioner akan menyebabkan aliran menjadi maksimum karena kecepatan gelombang kepadatan sama dengan nol. Pada kurva kecepatan–kepadatan yang linear ini, kepadatan arus lalu lintas akan menjadi maksimal jika tepat setengah dari kepadatan maksimal, 𝜌 = 𝜌max ⁄2 dan kecepatannya setengah dari kecepatan maksimum, 𝑢(𝜌max ⁄2) = 𝑢max ⁄2. Oleh karena itu, arus lalu lintas maksimumnya adalah 𝜌max 𝜌max 𝑢max )= . 2 4

𝑞(

Andaikan kecepatan diberikan oleh persamaan (3.9.1). Akan diselesaikan kepadatan lalu lintas setelah lampu menyala merah menjadi hijau dengan kepadatan awalnya sebagai berikut jika 𝑥 < 0, 𝜌 𝜌(𝑥, 0) = { max 0 jika 𝑥 > 0. Karakteristik sepanjang 𝜌 = 0 dan 𝜌 = 𝜌max dalam diagram ruang dan waktu diilustrasikan pada Gambar 3.33. Dalam kasus ini akan dihitung kepadatan dalam daerah fanlike, −𝑢max 𝑡 < 𝑥 < 𝑢max 𝑡 yang karakteristiknya diberikan oleh 𝑑𝑞 𝑥 = , 𝑑𝜌 𝑡 yang dimulai dari 𝑥 = 0 dan 𝑡 = 0. Kecepatan gelombang kepadatan diberikan oleh persamaan (3.9.3) untuk menyatakan hubungan kepadatan dan kecepatan yang linear, yaitu


𝑥 2𝜌 = 𝑢max (1 − ), 𝑡 𝜌max didapat 𝜌=

𝜌max 𝑥 (1 − ). 2 𝑡𝑢max

(3.9.4)

Kepadatan secara linear bergantung pada 𝑥 dan 𝑡 di daerah karakteristik fanlike saat waktu tertentu. Kepadatan saat 𝑡 = 0 dan waktu setelahnya dengan posisi yang diketahui batas-batasnya pada kepadatan lalu lintas maksimum dan minimum yang ditunjukkan pada Gambar 3.32 yang berarti bahwa kepadatan kendaraan akan menyebar keluar. 𝜌(𝑥, 0)

𝜌max

𝑥

0

𝜌𝑚𝑎𝑥 𝑥 = −𝑢max 𝑡 0

𝜌(𝑥, 𝑡)

𝑡>0

𝑥 = 𝑢max 𝑡

𝑥

Gambar 3.32 Kepadatan lalu lintas sebelum dan sesudah lampu menjadi hijau. Misalkan pengamat yang tetap berada pada kepadatan konstan 𝜌max , 3𝜌max ⁄4, 𝜌max ⁄2, 𝜌max ⁄4, dan 0. Setiap pengamat bergerak dengan kecepatan konstan yang berbeda. Gelombang kecepatan bergantung linear dengan kepadatan yang ditunjukkan oleh Gambar 3.33.


𝜌(𝑥, 0)

𝜌max

𝑥

0 𝜌(𝑥, 𝑡)

𝜌max

𝑡>0

0

𝑥

Gambar 3.33 Perbedaan kecepatan gelombang kepadatan lalu lintas. Kecepatan kendaraan diberikan oleh 𝑑𝑥 = 𝑢(𝑥, 𝑡). 𝑑𝑡 Ketika 𝑡 = 𝑥0 ⁄𝑢max kendaraan bergerak dengan kecepatan pada daerah fanlike yaitu 𝑑𝑥 𝜌 = 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑢max (1 − ). 𝑑𝑡 𝜌max Kendaraan yang berada di belakang lalu lintas akan mulai bergerak yang kecepatan awalnya nol dan perlahan-lahan akan meningkat. Kecepatan kendaraan bergantung pada posisi dan waktu karena kepadatannya ditentukan oleh persamaan (3.9.4), 𝜌=

𝑢max 𝑥 + . 2 2𝑡

(3.9.5)

Persamaan (3.9.4) merupakan persamaan diferensial biasa tak homegen tingkat satu yang dapat diselesaikan dengan kondisi awal sebagai berikut 𝑡=

𝑥0 , 𝑥 = −𝑥0 . 𝑢max

(3.9.6)

Salah satu metode untuk menyelesaikannya dengan cara memperhatikan persamaan equidimensional tak homogen,


𝑡

𝑑𝑥 1 𝑢max − 𝑥= 𝑡. 𝑑𝑡 2 2

Metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan ini sama dengan metode yang digunakan untuk persamaan equidimensional tingkat dua yang penyelesaian homogennya dalam bentuk 𝑥 = 𝑡 𝑟 adalah 𝑥 = 𝐵𝑡 1⁄2 . dengan 𝐵 sembarang konstan. Penyelesaian akan proposional terhadap 𝑡 𝑟 jika sisi 1

kanannya juga proposional terhadap 𝑡 𝑟 (𝑟 ≠ 2). Penyelesaian yang didapat dengan menggunakan metode substitusi adalah 𝐴=

𝑢max 1 + 𝐴. 2 2

Penyelesaian umumnya adalah 𝑥 = 𝑢max 𝑡 + 𝐵𝑡 1⁄2 . Kondisi awal pada persamaan (3.9.6) untuk menentukan 𝐵 yaitu 𝑥0 1⁄2 −𝑥0 = 𝑥0 + 𝐵 ( ) , 𝑢max 𝐵 = −2𝑥0 (

𝑢max 1⁄2 ) = −2(𝑥0 𝑢max )1⁄2 . 𝑥0

Jadi, posisi kendaraan tersebut ditentukan oleh 𝑥 = 𝑢max 𝑡 − 2(𝑥0 𝑢max 𝑡)1⁄2

(3.9.7)

Kecepatan kendaraannya adalah 𝑑𝑥 𝑢max 1⁄2 = 𝑢max − ( ) 𝑑𝑡 𝑡

(3.9.8)


J. Nilai Kepadatan Awal Tidak Konstan Misalkan kondisi awal kepadatan 𝜌(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥). Kepadatan awal yang tidak konstan tersebut dapat juga diselesaikan dengan menggunakan metode karakteristik seperti cara untuk menyelesaikan permasalahan lalu lintas dengan kepadatan awal konstan. Asumsikan bahwa 𝑢(𝜌) = 𝑢max (1 − 𝜌 𝜌max

) dengan kecepatan gelombang kepadatan menentukan karakteristik sebagai

berikut 𝑑𝑥 𝑑𝑞 2𝜌 = = 𝑢max (1 − ). 𝑑𝑡 𝑑𝜌 𝜌max Karakteristik pada posisi 𝑥 = 𝑥0 adalah 𝑥 = 𝑢max (1 −

2𝜌 ) 𝑡 + 𝑥0 . 𝜌max

(3.10.1)

Sepanjang kepadatannya konstan maka nilainya akan sama saat 𝑡 = 0, (3.10.2)

𝜌(𝑥, 𝑡) = 𝜌(𝑥0 , 0) = 𝑓(𝑥0 ).

Diasumsikan karakteristiknya tidak berpotongan seperti yang diilustrasikan oleh Gambar 3.34.

𝑥

=x

Gambar 3.34 Karakteristik nonpararel yang tidak berpotongan.


Ada dua cara yang ekivalen dengan menggunakan metode karakteristik untuk menentukan kepadatan lalu lintas terhadap fungsi 𝑥 dan 𝑡 yaitu: a. Parameterisasi posisi awal sebagai fungsi terhadap 𝑥 dan 𝑡 Setiap karakteristik ditandai pada setiap posisinya, 𝑥0 . Diberikan 𝑥 dan 𝑡, akan dicoba untuk menemukan 𝑥0 yang merupakan contoh karakteristik melalui titik (𝑥, 𝑡). Fungsi 𝜌 digantikan oleh 𝑥0 seperti pada persamaan (3.10.2) dengan menjadi persamaan (3.10.1) yang hasil 𝑥0 merupakan fungsi terhadap 𝑥 dan 𝑡, yaitu (3.10.3)

𝑥0 = 𝑥0 (𝑥, 𝑡). Secara eksplisit, langkah ini tidak dapat diselesaikan untuk 𝑥0 , misalnya 𝜌(𝑥, 0) =

𝜌max . 1 + 𝑒 𝑥⁄𝐿

Maka karakteristiknya juga sama diperoleh seperti pada persamaan (3.10.1) yaitu 𝑥 = 𝑢max (1 −

2 ) 𝑡 + 𝑥0 . 1 + 𝑒 𝑥0⁄𝐿

Masalah tersebut tidak dapat diselesaikan secara eksplisit dikarenakan kepadatan suatu titiknya bergantung terhadap 𝑥0 , 𝜌(𝑥, 𝑡) = 𝜌(𝑥0 , 0) = 𝑓(𝑥0 ) = 𝑓(𝑥0 (𝑥, 𝑡)).

(3.10.4)

Dengan menyubstitusikan persamaan (3.10.3) ke persamaan (3.10.2) menunjukkan bahwa adanya ketergantungan posisi dan waktu terhadap kepadatan lalu lintas, seperti pada persamaan (3.10.4). a) Parameterisasi posisi awal sebagai fungsi kepadatan awal


𝑥0 sebagai fungsi terhadap 𝜌 dengan menggunakan persamaan (3.10.2), yaitu (3.10.5)

𝑥0 = 𝑥0 (𝜌).

Persamaan (3.10.5) belum tentu dapat diselesaikan secara eksplisit untuk mendapatkan 𝑥0 . Namun, persamaan (3.10.5) dapat disubstitusikan ke persamaan (3.10.1) yang hasilnya bergantung 𝑥, 𝑡, dan 𝜌, hal ini menunjukkan bahwa 𝜌 merupakan fungsi terhadap 𝑥 dan 𝑡, seperti yang diilustrasikan oleh Gambar 3.35. Misalkan 𝑢(𝜌) = 𝑢max (1 − 𝜌

𝜌

max

) dan

𝜌max (𝑥 − 𝐿)2 𝜌(𝑥, 0) = {𝜌max 𝐿2 0

jika 𝑥 < 0, jika 0 < 𝑥 < 𝐿, jika 𝐿 > 0.

𝜌max 𝑥=0

𝑥=𝐿

𝑥

Gambar 3.35 Kepadatan awal lalu lintas. Karakteristik sesuai persamaan (3.10.1) yang mulai dari kepadatan konstan jika 𝑥0 > 𝐿 atau 𝑥0 < 0, karena kecepatan gelombang kepadatan mudah untuk dihitung 𝑑𝑞

|

𝑑𝜌 𝜌=0

= 𝑢max dan

𝑑𝑞

|

𝑑𝜌 𝜌=𝜌 max

= −𝑢max .

Sehingga didapat dua kepadatan yang konstan yaitu 0 𝜌={ 𝜌max

jika 𝑥 > 𝑢max 𝑡 + 𝐿, jika 𝑥 < −𝑢max 𝑡.


Gambar 3.36 menunjukkan bahwa kepadatan lalu lintas belum ditentukan pada domain ruang dan waktu. 𝑥 = −𝑢max 𝑡

𝑥 = 𝑢max 𝑡 + 𝐿

𝜌 = 𝜌max

𝜌=0 𝑥=0

𝑥=𝐿

𝑥

Gambar 3.36 Karakteristik Oleh karena itu, harus digunakan metode karakteristik yang dijelaskan oleh cara (1) dan (2): (1) 𝑥0 (𝑥, 𝑡) Persamaan (3.10.1) dipenuhi oleh karakteristik antara 0 < 𝑥0 < 𝐿 dengan 𝜌=

𝜌max (𝑥0 − 𝐿)2 . 𝐿2

(3.10.6)

Jadi, persamaan karakteristiknya adalah 𝑥 = 𝑢𝑚𝑎𝑥 (1 −

2 (𝑥 − 𝐿)2 ) 𝑡 + 𝑥0 . 𝐿2 0

(3.10.7)

Persamaan (3.10.7) menentukan 𝑥0 sebagai fungsi terhadap 𝑥 dan 𝑡 dan akan valid untuk semua 𝑥0 asalkan 0 < 𝑥0 < 𝐿, karena persamaannya termasuk persamaan kuadratik yang lebih mudah menunjukkan 𝑥0 − 𝐿 dengan 𝑥0 = 𝑥0 − 𝐿 + 𝐿 menjadi (𝑥0 − 𝐿)2

2𝑢max 𝑡 − (𝑥0 − 𝐿) + 𝑥 − 𝐿 − 𝑢max 𝑡 = 0. 𝐿2

Penyelesaian persamaan kuadratik ini dengan rumus ABC didapat


𝑥0 − 𝐿 =

1 ± √1 −

8𝑢max 𝑡 (𝑥 − 𝐿 − 𝑢max 𝑡) 𝐿2 . 4𝑢max 𝑡⁄𝐿2

(3.10.8)

Dengan menggunakan interval 𝑢max 𝑡 < 𝑥 < 𝑢max 𝑡 + 𝐿 maka tanda negatif harus dipilih untuk kepadatan lalu lintas sebagai fungsi terhadap 𝑥 dan 𝑡 dalam daerah yang bersesuaian dengan 0 < 𝑥0 < 𝐿, yang menyubstitusikan persamaan (3.10.8) ke persamaan (3.10.6). 𝜌(𝑥, 𝑡) 2

8𝑢 𝑡 (𝑥 − 𝐿 − 𝑢max 𝑡)) (1 ± √1 − max 𝐿2 𝜌max = 2 . 𝐿 16𝑢max 2 𝑡 2 ⁄𝐿4

(3.10.9)

Perlu dicatat bahwa 𝑥 mendekati ujung dari variasi daerah kepadatan, kepadatan diketahui mendekati konstan. Secara khusus dari persamaan (3.10.9) didapat Ketika 𝑥 → 𝑢max 𝑡, 𝜌 → 0. Ketika 𝑥 → −𝑢max 𝑡, 𝜌 →

2 𝜌max (1−√(1+4𝑢max 𝑡 ⁄𝐿) ) 2 2 2 4 𝐿 16𝑢max 𝑡 ⁄𝐿

2

= 𝜌max .

Perlu diperiksa bahwa persamaan (3.10.9) memenuhi kondisi awal yang diketahui. Hal tersebut tidak jelas penyelesaiannya karena saat 𝑡 → 0 baik pembilang maupun penyebutnya akan cenderung nol. Teknik yang paling sederhana untuk menentukan limit 𝑡 → 0 pada persamaan (3.10.9) dengan didekati limitnya pada pembilangnya 1

karena √1 − 𝑡 ≈ 1 − 2 𝑡 jika didekati 𝑡 → 0, sehingga untuk interval awal antara 0 < 𝑥0 < 𝐿 didapat


2

𝜌(𝑥, 𝑡) →

𝜌max 𝐿2

4𝑢 𝑡 (𝑥 − 𝐿))] [1 − (1 − max 𝐿2 16𝑢max 2 𝑡 2 𝐿4

.

(2) 𝑥0 (𝜌) Dengan menggunakan persamaan (3.10.6) sebagai cara alternatif untuk menentukan 𝑥0 merupakan fungsi terhadap 𝜌 yaitu (𝑥0 − 𝐿)2 = 𝐿2 𝜌⁄𝜌max atau 𝑥0 = 𝐿 ± 𝐿√𝜌⁄𝜌max . Tanda kurang harus digunakan karena 0 < 𝑥0 < 𝐿 sehingga 𝑥0 = 𝐿 − 𝐿√𝜌⁄𝜌max = 𝐿 (1 − √𝜌⁄𝜌max ).

(3.10.10)

Perlu dicatat bahwa besar 𝜌 bervariasi antara 0 dan 𝜌max sedangkan besar 𝑥0 bervariasi antara 0 dan 𝐿. Persamaan (3.10.10) disubstitusikan ke persamaan (3.10.1) sehingga didapat 𝑥 = 𝑢max (1 − 2𝜌⁄𝜌max )𝑡 + 𝐿 (1 − √𝜌⁄𝜌max ). Dapat dibentuk sebagai persamaan kudratik untuk √𝜌⁄𝜌max yaitu 2

(√𝜌⁄𝜌max ) 2𝑢max 𝑡 + 𝐿 √𝜌⁄𝜌max + 𝑥 − 𝐿 − 𝑢max 𝑡 = 0, didapat √𝜌⁄𝜌max =

−𝐿 + √𝐿2 − 8𝑢max 𝑡(𝑥 − 𝐿 − 𝑢max 𝑡) , 4𝑢max 𝑡

dengan memilih tanda positif pada rumus ABC tersebut karena √𝜌⁄𝜌max > 0 yang kemudian persamaan diperoleh


𝜌(𝑥, 𝑡) =

𝜌max [𝐿2 − 2√𝐿2 − 8𝑢max 𝑡(𝑥 − 𝐿 − 𝑢max 𝑡) 𝑢max 2 𝑡 2 2

+ (√𝐿2 − 8𝑢max 𝑡(𝑥 − 𝐿 − 𝑢max 𝑡)) ].

K. Solusi Analitis Dipandang persamaan masalah arus lalu lintas 𝜕𝜌 𝜕(𝜌𝑢) + =0 𝜕𝑡 𝜕𝑥

(3.11.1)

dengan 𝜌(𝑥, 𝑡) adalah kepadatan lalu lintas dan 𝑢(𝜌) adalah kecepatan kendaraan. Kepadatan lalu lintas bergantung pada panjang ruas jalan (𝑥) dan waktu (𝑡), sedangkan kecepatan kendaraan bergantung pada kepadatan lalu lintas (𝜌). Dalam kasus ini, kecepatan kendaraan diberikan oleh fungsi 𝑢(𝜌) = 𝑢max (1 −

𝜌 𝜌max

)

(3.11.2)

dengan 𝑢max adalah kecepatan maksimum dan 𝜌max adalah kepadatan maksimum. Jika kecepatan kendaraan mendekati nol maka kepadatan lalu lintas akan mencapai maksimum. Sebaliknya, jika kepadatan lalu lintas mendekati nol maka kecepatan kendaraan akan mencapai maksimum. Misalkan persamaan (3.11.1) diubah menjadi 𝜕𝜌 𝜕𝑞 + =0 𝜕𝑡 𝜕𝑥

(3.11.3)

dengan 𝑞 = 𝜌𝑢(𝜌). Karena 𝑞 = 𝜌𝑢(𝜌), turunan pertama dari 𝑞 adalah 𝜕𝑞 2𝜌 = 𝑢max (1 − ). 𝜕𝜌 𝜌max

(3.11.4)


Persamaan (3.11.3) dapat ditulis sebagai 𝜕𝜌 𝜕𝑞 𝜕𝜌 + = 0, 𝜕𝑡 𝜕𝜌 𝜕𝑥 𝜕𝜌 𝑑𝑞 𝜕𝜌 + = 0, 𝜕𝑡 𝑑𝜌 𝜕𝑥

(3.11.5)

dan 𝑑𝜌 𝜕𝜌 𝜕𝜌 𝜕𝑥 = + , 𝑑𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑡 𝑑𝜌 𝜕𝜌 𝑑𝑥 𝜕𝜌 = + . 𝑑𝑡 𝜕𝑡 𝑑𝑡 𝜕𝑥

(3.11.6)

Dari persamaan (3.11.5) dan (3.11.6) didapat 𝑑𝜌 =0 𝑑𝑡

(3.11.7)

𝑑𝑥 𝑑𝑞 = . 𝑑𝑡 𝑑𝜌

(3.11.8)

maka diperoleh

Akan dicari nilai dari 𝑞𝜌 ketika 𝜌 = 0 dan 𝜌 = 𝜌max 𝑑𝑞 0 | = 𝑢max (1 − ) = 𝑢max , 𝑑𝜌 𝜌=0 𝜌max 𝑑𝑞 | 𝑑𝜌 𝜌=𝜌

max

= 𝑢max (1 −

𝜌max ) = −𝑢max . 𝜌max

(3.11.9)

(3.11.10)

Dari persamaan (3.11.8) dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan (3.11.9) dan (3.11.10) yaitu 𝑑𝑥 = 𝑢max , 𝑑𝑡


𝑑𝑥 = 𝑢max 𝑑𝑡, ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢max 𝑑𝑡, 𝑥 = 𝑢max 𝑡, 𝑥 = 𝑢max , 𝑡

(3.11.11)

and 𝑑𝑥 = −𝑢max , 𝑑𝑡 𝑑𝑥 = −𝑢max 𝑑𝑡, ∫ 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑢max 𝑑𝑡, 𝑥 = −𝑢max 𝑡, 𝑥 = −𝑢max . 𝑡 Dari penjabaran persamaan (3.11.11) dan (3.11.12) diperoleh 𝑑𝑥 𝑑𝑞 𝑥 = = , 𝑑𝑡 𝑑𝜌 𝑡 𝑑𝑞 𝑥 = , 𝑑𝜌 𝑡

𝑢max (1 −

2𝜌 𝑥 )= , 𝜌max 𝑡

(3.11.12)


𝜌max − 2𝜌 𝑥 𝑢max ( )= , 𝜌max 𝑡 𝜌max − 2𝜌 =

𝑥𝜌max , 𝑡𝑢max

𝜌max 𝑡𝑢max − 2𝜌𝑡𝑢max = 𝑥𝜌max , −2𝜌𝑡𝑢max = 𝑥𝜌max − 𝜌max 𝑡𝑢max , 𝜌=

𝑥𝜌max − 𝜌max 𝑡𝑢max , −2𝑡𝑢max

𝜌=

𝜌max 𝑥 (1 − ). 2 𝑡𝑢max

(3.11.13)

Jadi, penyelesaian analitis dari persamaan (3.11.1) adalah 𝑢max 𝑥 1 (1− ) 𝜌 2 max 𝑢max 𝑡

𝜌(𝑥, 𝑡) = {

0

𝑥 ≤ 𝑞 ′ (𝑢max ), 𝑡 𝑥 jika 𝑞 ′ (𝑢max ) ≤ < 𝑞 ′ (0), 𝑡 𝑥 ′ (0). jika ≥ 𝑞 𝑡 jika

(3.11.14)


BAB IV SIMULASI NUMERIS ARUS LALU LINTAS

Dalam bab ini akan disimulasikan secara analitis dan numeris model deterministik arus lalu lintas dengan menggunakan metode volume hingga LaxFriedrichs dan sistem relaksasi Jin-Xin.

A. Metode Volume Hingga Lax–Friedrichs Dalam subbab ini, akan diselesaikan masalah lalu lintas dengan menggunakan metode volume hingga Lax–Friedrichs. Model lalu lintas berbentuk persamaan diferensial parsial hukum kekalan yang bersifat hiperbolik, yaitu 𝜕𝜌 𝜕𝑓(𝜌) + = 0. 𝜕𝑡 𝜕𝑥

(4.1.1)

Misalkan domain waktu didiskretkan menjadi 𝑡 𝑛 = 𝑛. ∆𝑡, 𝑛 = 0,1,2,3, … . Kemudian, domain ruang didiskretkan sebanyak berhingga sel menjadi {… , [𝑥𝑖−3⁄2 , 𝑥𝑖−1⁄2 ], [𝑥𝑖−1⁄2 , 𝑥𝑖+1⁄2 ], [𝑥𝑖+1⁄2 , 𝑥𝑖+3⁄2 ], … } seperti ditunjukkan pada Gambar 4.1. 𝑥𝑖−3⁄2 𝑥𝑖−2

𝑥𝑖−1

𝑥𝑖−1⁄2

𝑥𝑖+3⁄2

𝑥𝑖+1⁄2 𝑥𝑖

𝑥𝑖+1

Gambar 4.1 Diskretisasi domain ruang. dengan ∆𝑥 = 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖−1 atau ∆𝑥 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1. 2

2

89

𝑥𝑖+2


Skema volume hingga dari persamaan (4.1.1) adalah 𝜌𝑖𝑛+1 = 𝜌𝑖𝑛 −

∆𝑡 𝑛 (𝐹 1 − 𝐹 𝑛 1 ) 𝑖− ∆𝑥 𝑖+2 2

(4.1.2)

dengan 𝜌𝑖𝑛 ≈ 𝜌(𝑥𝑖 , 𝑡 𝑛 ) adalah pendekatan dari fungsi kepadatan lalu lintas dan 𝑛 𝐹𝑖+1/2 ≈ 𝑓 (𝜌(𝑥𝑖+1/2 , 𝑡 𝑛 )) adalah fluks Lax–Friedrich yang digunakan dalam

perhitungan volume hingga. Selanjutnya, akan dicari fluks dari persamaan (4.1.2) yaitu 1 ∆𝑥 𝑛 𝑛 ) + 𝑓(𝜌𝑖𝑛 )) − (𝜌𝑖+1 − 𝜌𝑖𝑛 ) 𝐹 𝑛 1 = (𝑓(𝜌𝑖+1 𝑖+ 2 2∆𝑡 2 𝑛 1 𝑛 𝜌𝑖+1 𝜌𝑖𝑛 𝑛 = (𝜌𝑖+1 𝑢max (1 − ) + 𝜌𝑖 𝑢max (1 − )) 2 𝜌max 𝜌max

−

(4.1.3)

∆𝑥 𝑛 (𝜌 − 𝜌𝑖𝑛 ), 2∆𝑡 𝑖+1

dan 1 ∆𝑥 𝑛 𝑛 𝑛 )) − (𝜌𝑖 − 𝜌𝑖−1 ) 𝐹 𝑛 1 = (𝑓(𝜌𝑖𝑛 ) + 𝑓(𝜌𝑖−1 𝑖− 2 2∆𝑡 2 =

𝑛 1 𝑛 𝜌𝑖𝑛 𝜌𝑖−1 𝑛 (𝜌𝑖 𝑢max (1 − ) + 𝜌𝑖−1 𝑢max (1 − )) 2 𝜌max 𝜌max

−

(4.1.4)

∆𝑥 𝑛 𝑛 (𝜌 − 𝜌𝑖−1 ). 2∆𝑡 𝑖

Jadi, metode volume hingga untuk persamaan masalah arus lalu lintas didapat dengan cara menyubstitusikan persamaan (4.1.3) dan (4.1.4) ke dalam persamaan (4.1.2):


𝜌𝑖𝑛+1

=

𝜌𝑖𝑛

𝑛 ∆𝑡 1 𝑛 𝜌𝑖+1 − [( (𝜌 𝑢 (1 − ) ∆𝑥 2 𝑖+1 max 𝜌max

+

𝜌𝑖𝑛 𝑢max (1

𝜌𝑖𝑛 ∆𝑥 𝑛 (𝜌 − 𝜌𝑖𝑛 )) − )) − 𝜌max 2∆𝑡 𝑖+1

𝑛 1 𝑛 𝜌𝑖𝑛 𝜌𝑖−1 𝑛 − ( (𝜌𝑖 𝑢max (1 − ) + 𝜌𝑖−1 𝑢max (1 − )) 2 𝜌max 𝜌max

−

∆𝑥 𝑛 𝑛 (𝜌 − 𝜌𝑖−1 ))], 2∆𝑡 𝑖

atau 𝑛 1 ∆𝑡 𝑛 𝜌𝑖+1 𝜌𝑖𝑛+1 = 𝜌𝑖𝑛 − [( (𝜌𝑖+1 𝑢max (1 − ) 2 ∆𝑥 𝜌max

+ 𝜌𝑖𝑛 𝑢max (1 −

𝜌𝑖𝑛 ∆𝑡 ∆𝑥 𝑛 (𝜌 − 𝜌𝑖𝑛 )) )) − 𝜌max ∆𝑥 2∆𝑡 𝑖+1

1 ∆𝑡 𝑛 𝜌𝑖𝑛 −( (𝜌𝑖 𝑢max (1 − ) 2 ∆𝑥 𝜌max

𝑛 + 𝜌𝑖−1 𝑢max (1 −

atau

𝑛 𝜌𝑖−1 ∆𝑥 ∆𝑡 𝑛 𝑛 (𝜌 − 𝜌𝑖−1 ))], )) − 𝜌max 2∆𝑡 ∆𝑥 𝑖


𝜌𝑖𝑛+1

=

𝜌𝑖𝑛

𝑛 ∆𝑡 𝜌𝑖+1 𝜌𝑖𝑛 𝑛 𝑛 − (𝜌 𝑢 (1 − ) + 𝜌𝑖 𝑢max (1 − )) 2∆𝑥 𝑖+1 max 𝜌max 𝜌max

+

1 𝑛 (𝜌 − 𝜌𝑖𝑛 ) ∆𝑡 𝑖+1

∆𝑡 𝜌𝑖𝑛 𝑛 + (𝜌 𝑢 (1 − ) 2∆𝑥 𝑖 max 𝜌max +

𝑛 𝜌𝑖−1 𝑢max (1

𝑛 𝜌𝑖−1 1 𝑛 ), − )) + (𝜌𝑖𝑛 − 𝜌𝑖−1 𝜌max ∆𝑡

atau 𝜌𝑖𝑛+1

=

𝜌𝑖𝑛

𝑛 ∆𝑡 𝑛 𝜌𝑖+1 ∆𝑡 𝑛 𝜌𝑖𝑛 − 𝜌 𝑢 (1 − )− 𝜌 𝑢 (1 − ) 2∆𝑥 𝑖+1 max 𝜌max 2∆𝑥 𝑖 max 𝜌max

1 𝑛 ∆𝑡 𝑛 𝜌𝑖𝑛 + (𝜌𝑖+1 − 𝜌𝑖𝑛 ) + 𝜌𝑖 𝑢max (1 − ) 2 2∆𝑥 𝜌max +

𝑛 ∆𝑡 𝑛 𝜌𝑖−1 1 𝑛 ), 𝜌𝑖−1 𝑢max (1 − ) − (𝜌𝑖𝑛 − 𝜌𝑖−1 2∆𝑥 𝜌max 2

atau 𝜌𝑖𝑛+1

=

𝜌𝑖𝑛

𝑛 ∆𝑡 𝑛 ∆𝑡 𝑛 𝜌𝑖+1 ∆𝑡 𝑛 − 𝜌𝑖+1 𝑢max + 𝜌𝑖+1 𝑢max − 𝜌 𝑢 2∆𝑥 2∆𝑥 𝜌max 2∆𝑥 𝑖 max

∆𝑡 𝑛 𝜌𝑖𝑛 1 𝑛 1 ∆𝑡 𝑛 + 𝜌𝑖 𝑢max + 𝜌𝑖+1 − 𝜌𝑖𝑛 + 𝜌 𝑢 2∆𝑥 𝜌max 2 2 2∆𝑥 𝑖 max ∆𝑡 𝑛 𝜌𝑖𝑛 ∆𝑡 𝑛 − 𝜌𝑖 𝑢max + 𝜌 𝑢 2∆𝑥 𝜌max 2∆𝑥 𝑖−1 max 𝑛 ∆𝑡 𝑛 𝜌𝑖−1 1 1 𝑛 − 𝜌𝑖−1 𝑢max − 𝜌𝑖𝑛 + 𝜌𝑖−1 , 2∆𝑥 𝜌max 2 2

atau


𝜌𝑖𝑛+1 = 𝜌𝑖𝑛 −

𝑛 ∆𝑡 𝑛 ∆𝑡 𝑛 𝜌𝑖+1 1 𝑛 1 𝜌𝑖+1 𝑢max + 𝜌𝑖+1 𝑢max + 𝜌𝑖+1 − 𝜌𝑖𝑛 2∆𝑥 2∆𝑥 𝜌max 2 2

+

𝑛 ∆𝑡 𝑛 ∆𝑡 𝑛 𝜌𝑖−1 1 𝜌𝑖−1 𝑢max − 𝜌𝑖−1 𝑢max − 𝜌𝑖𝑛 2∆𝑥 2∆𝑥 𝜌max 2

1 𝑛 + 𝜌𝑖−1 , 2 atau

𝜌𝑖𝑛+1 = −

𝑛 ∆𝑡 𝑛 ∆𝑡 𝑛 𝜌𝑖+1 1 𝑛 𝜌𝑖+1 𝑢max + 𝜌𝑖+1 𝑢max + 𝜌𝑖+1 2∆𝑥 2∆𝑥 𝜌max 2

+

(4.1.5)

𝑛 𝜌𝑖−1

∆𝑡 𝑛 ∆𝑡 𝑛 1 𝑛 𝜌𝑖−1 𝑢max − 𝜌𝑖−1 𝑢max + 𝜌𝑖−1 . 2∆𝑥 2∆𝑥 𝜌max 2

B. Sistem Relaksasi Jin–Xin Persamaan (4.1.1) dapat dimodifikasi menjadi 𝜕𝜌 𝜕𝑣 + =0 𝜕𝑡 𝜕𝑥

(4.2.1)

dengan tambahan satu persamaan lain. Persamaan (4.2.1) mempunyai sistem relaksasi Jin–Xin, yaitu 𝜕𝜌 𝜕𝑣 + =0, 𝜕𝑡 𝜕𝑥 { 𝜕𝑣 𝜕𝜌 1 +𝑎 = − (𝑣 − 𝑓(𝜌)) , 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜀

(4.2.2)

dengan 𝜀 bilangan positif yang cukup kecil yang merupakan parameter dari relaksasi, 𝑣 adalah variabel yang sengaja dibuat untuk perhitungan dari sistem


relaksasi, dan 𝑎 bilangan positif konstan yang merupakan karakteristik kecepatan 2

dari sistem relaksasi dengan syarat 𝑎 − (𝑓 ′ (𝜌)) ≥ 0. Untuk 𝜀 → 0, maka 𝑣 = 𝑓(𝑢) mengakibatkan sistem relaksasi (4.2.2) dapat diaproksimasi menjadi 𝜕𝜌 𝜕𝑓(𝜌) + = 0. 𝜕𝑡 𝜕𝑥

(4.2.3)

Misalkan domain ruang didiskretisasikan sebanyak berhingga sel, dengan ∆𝑥 = 1

𝑥𝑗+1 − 𝑥𝑗−1 , dimana 𝑥𝑗+1 = 𝑗∆𝑥 + 2 ∆𝑥 dan domain waktu didiskretisasikan 2

2

2

sebanyak berhingga langkah waktu, dengan ∆𝑥 = 𝑡 𝑛+1 − 𝑡 𝑛 untuk 𝑛 = 0,1,2, …. 𝑛 𝑛 Selanjutnya, dengan pendekatan dapat dibentuk 𝑤𝑗+ dan 1 = 𝑤 (𝑥 1 , 𝑡 ) 𝑗+ 2

2

didefinisikan menjadi 𝐷𝑥 𝑤𝑗 =

𝑤𝑗+1 + 𝑤𝑗−1 2

2

∆𝑥

.

(4.2.4)

Pendiskretan hukum konservasi persamaan (4.2.2) terhadap domain ruang dan langkah waktu dengan menggunakan metode garis adalah 𝜕𝜌𝑗 1 + (𝑣 1 − 𝑣𝑗−1 ) = 0, 𝜕𝑡 ∆𝑥 𝑗+2 2 𝜕𝑣𝑗 1 1 + 𝑎 (𝜌𝑗+1 − 𝜌𝑗−1 ) = − (𝑣𝑗 − 𝑓𝑗 ) , { 𝜕𝑡 ∆𝑥 𝜀 2 2 dengan, 𝑓𝑗 =

1 𝑥𝑗+12 ∫ 𝑓(𝜌) 𝑑𝑥 ∆𝑥 𝑥 1 𝑗− 2

1 𝑥𝑗+12 = 𝑓( ∫ 𝜌 𝑑𝑥) + 𝑂(ℎ2 ) ∆𝑥 𝑥 1 𝑗− 2

(4.2.5)


(4.2.6)

= 𝑓(𝜌𝑗 ) + 𝑂(ℎ2 )

Persamaan (4.2.6) merupakan kuantitas rata–rata dengan tingkat keakuratan 𝑂(ℎ2 ), sehinggan sistem persamaan (4.2.5) dapat ditulis menjadi 𝜕𝜌𝑗 1 + (𝑣 1 − 𝑣𝑗−1 ) = 0, 𝜕𝑡 ∆𝑥 𝑗+2 2 𝜕𝑣𝑗 1 1 + 𝑎 (𝜌𝑗+1 − 𝜌𝑗−1 ) = − (𝑣𝑗 − 𝑓(𝜌𝑗 )) , { 𝜕𝑡 ∆𝑥 𝜀 2 2

(4.2.7)

Sistem relaksasi pada persamaan (4.2.2) mempuyai dua variabel karakteristik, yang dapat diselesaikan dengan menggunakan penyelesaian metode karakteristik yaitu 1

(4.2.8)

𝑣 ± 𝑎2 𝜌. Dengan mengaplikasikan skema upwind order satu didapat 1

1

(𝑣 + 𝑎2 𝜌)

𝑗+

(𝑣 − {

1 𝑎2 𝜌) 1 𝑗+ 2

1 2

= (𝑣 + 𝑎2 𝜌) , 𝑗

= (𝑣 −

1 𝑎2 𝜌) 𝑗+1

(4.2.9) .

Penyelesaian 𝜌𝑗+1 dan 𝑣𝑗+1 adalah variabel yang tidak diketahui pada persamaan 2

2

(4.2.2) didapat 1

{

1

𝑣𝑗+1 + 𝑎2 𝜌𝑗+1 = 𝑣𝑗 + 𝑎2 𝜌𝑗 2

𝑣𝑗+1 − 2

1 𝑎2 𝜌𝑗+1 2

2

= 𝑣𝑗+1 −

1 𝑎2 𝜌𝑗+1

sehingga 1

1

1

2𝑎2 𝜌𝑗+1 = 𝑣𝑗 + 𝑎2 𝜌𝑗 − 𝑣𝑗+1 + 𝑎2 𝜌𝑗+1 , 2

1

1

1

2𝑎2 𝜌𝑗+1 = 𝑎2 𝜌𝑗 + 𝑎2 𝜌𝑗+1 + 𝑣𝑗 − 𝑣𝑗+1 , 2

(4.2.10)


1

1

2𝑎2 𝜌𝑗+1 = 𝑎2 (𝜌𝑗 + 𝜌𝑗+1 ) + (𝑣𝑗 − 𝑣𝑗+1 ), 2

1

𝜌𝑗+1 =

𝑎 2 (𝜌𝑗 + 𝜌𝑗+1 ) + (𝑣𝑗 − 𝑣𝑗+1 ) 1 2𝑎2

2

,

1 1 1 (𝜌𝑗 + 𝜌𝑗+1 ) + 𝑎−2 (𝑣𝑗 − 𝑣𝑗+1 ), 2 2

𝜌𝑗+1 = 2

(4.2.11)

dan 1

1

2𝑣𝑗+1 = 𝑣𝑗 + 𝑎2 𝜌𝑗 + 𝑣𝑗+1 − 𝑎2 𝜌𝑗+1 , 2

1

1

2𝑣𝑗+1 = 𝑣𝑗+1 + 𝑣𝑗 − 𝑎2 𝜌𝑗+1 + 𝑎2 𝜌𝑗 , 2

1

2𝑣𝑗+1 = (𝑣𝑗+1 + 𝑣𝑗 ) − 𝑎2 (𝜌𝑗+1 − 𝜌𝑗 ), 2

1

𝑣𝑗+1 2

(𝑣𝑗+1 + 𝑣𝑗 ) − 𝑎2 (𝜌𝑗+1 − 𝜌𝑗 ) = , 2

1 1 1 𝑣𝑗+1 = (𝑣𝑗+1 + 𝑣𝑗 ) − 𝑎2 (𝜌𝑗+1 − 𝜌𝑗 ). 2 2 2

(4.2.12)

Dengan menyubstitusikan persamaan (4.2.1) dan (4.2.2) ke persamaan (4.2.7) menggunakan pendekatan upwind semi diskret order pertama pada persamaan (4.2.2) yaitu 𝜕 1 𝜌𝑗 + (𝑣 1 − 𝑣𝑗−1 ) = 0, 𝜕𝑡 ∆𝑥 𝑗+2 2 𝜕 1 1 1 1 𝜌𝑗 + ([ (𝑣𝑗+1 + 𝑣𝑗 ) − 𝑎2 (𝜌𝑗+1 − 𝜌𝑗 )] 𝜕𝑡 ∆𝑥 2 2 1 1 1 − [ (𝑣𝑗−1 + 𝑣𝑗 ) − 𝑎2 (𝜌𝑗−1 − 𝜌𝑗 )]) = 0, 2 2


𝜕 1 1 1 1 1 1 1 1 1 𝜌𝑗 + ( 𝑣𝑗+1 + 𝑣𝑗 − 𝑎 2 𝜌𝑗+1 + 𝑎2 𝜌𝑗 − 𝑣𝑗−1 − 𝑣𝑗 𝜕𝑡 ∆𝑥 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 + 𝑎2 𝜌𝑗−1 − 𝑎2 𝜌𝑗 ) = 0, 2 2 𝜕 1 1 1 1 𝜌𝑗 + ( (𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗−1 ) − 𝑎2 (𝜌𝑗+1 − 2𝜌𝑗 + 𝜌𝑗−1 )) = 0, 𝜕𝑡 ∆𝑥 2 2 𝜕 1 1 1 𝜌𝑗 + (𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗−1 ) − 𝑎2 (𝜌𝑗+1 − 2𝜌𝑗 + 𝜌𝑗−1 ) = 0, 𝜕𝑡 2∆𝑥 2∆𝑥 𝜌𝑗+1 − 𝜌𝑗 1 1 1 + (𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗−1 ) − 𝑎 2 (𝜌𝑗+1 − 2𝜌𝑗 + 𝜌𝑗−1 ) = 0, ∆𝑡 2∆𝑥 2∆𝑥 dan 𝜕 1 1 𝑣𝑗 + (𝜌𝑗+1 − 𝜌𝑗−1 ) = − (𝑣𝑗 − 𝑓(𝜌𝑗 )), 𝜕𝑡 ∆𝑥 𝜀 2 2 𝜕 1 1 1 1 𝑣𝑗 + ([ (𝜌𝑗+1 + 𝜌𝑗 ) − 𝑎−2 (𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗 )] 𝜕𝑡 ∆𝑥 2 2 1 1 1 − [ (𝜌𝑗−1 + 𝜌𝑗 ) − 𝑎−2 (𝑣𝑗−1 − 𝑣𝑗 )]) 2 2 1 = − (𝑣𝑗 − 𝑓(𝜌𝑗 )), 𝜀 𝜕 1 1 1 1 1 1 1 1 1 𝑣𝑗 + ( 𝜌𝑗+1 + 𝜌𝑗 − 𝑎−2 𝑣𝑗+1 + 𝑎−2 𝑣𝑗 − 𝜌𝑗−1 − 𝜌𝑗 𝜕𝑡 ∆𝑥 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 + 𝑎 −2 𝑣𝑗−1 − 𝑎−2 𝑣𝑗 ) = − (𝑣𝑗 − 𝑓(𝜌𝑗 )), 2 2 𝜀 𝜕 1 1 1 1 𝑣𝑗 + ( (𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗−1 ) − 𝑎 −2 (𝜌𝑗+1 − 2𝜌𝑗 + 𝜌𝑗−1 )) 𝜕𝑡 ∆𝑥 2 2 1 = − (𝑣𝑗 − 𝑓(𝜌𝑗 )), 𝜀

(4.2.13)


𝜕 1 1 −1 𝑣𝑗 + (𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗−1 ) − 𝑎 2 (𝜌𝑗+1 − 2𝜌𝑗 + 𝜌𝑗−1 ) 𝜕𝑡 2∆𝑥 2∆𝑥 1 = − (𝑣𝑗 − 𝑓(𝜌𝑗 )), 𝜀 𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗 1 1 −1 + (𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗−1 ) − 𝑎 2 (𝜌𝑗+1 − 2𝜌𝑗 + 𝜌𝑗−1 ) ∆𝑡 2∆𝑥 2∆𝑥

(4.2.14)

1 = − (𝑣𝑗 − 𝑓(𝜌𝑗 )). 𝜀 Jadi, skema sistem relaksasi Jin–Xin pada sistem persamaan (4.2.7) adalah 𝜌𝑗+1 = 𝜌𝑗 −

∆𝑡 ∆𝑡 1 (𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗−1 ) + 𝑎2 (𝜌𝑗+1 − 2𝜌𝑗 + 𝜌𝑗−1 ), 2∆𝑥 2∆𝑥

atau 𝜌𝑗+1 = 𝜌𝑗 −

∆𝑡 ∆𝑡 ∆𝑡 1 ∆𝑡 1 𝑣𝑗+1 + 𝑣𝑗−1 + 𝑎2 𝜌𝑗+1 − 𝑎2 𝜌𝑗 2∆𝑥 2∆𝑥 2∆𝑥 ∆𝑥 +

∆𝑡 1 𝑎 2 𝜌𝑗−1 , 2∆𝑥

atau 𝜌𝑗+1 = (1 −

∆𝑡 1 ∆𝑡 ∆𝑡 ∆𝑡 1 𝑎2 ) 𝜌𝑗 − 𝑣𝑗+1 + 𝑣𝑗−1 + 𝑎2 𝜌𝑗+1 ∆𝑥 2∆𝑥 2∆𝑥 2∆𝑥 +

∆𝑡 2∆𝑥

(4.2.15) 1 𝑎2 𝜌𝑗−1 ,

dan 𝑣𝑗+1 = 𝑣𝑗 −

∆𝑡 ∆𝑡 −1 (𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗−1 ) + 𝑎 2 (𝜌𝑗+1 − 2𝜌𝑗 + 𝜌𝑗−1 ) 2∆𝑥 2∆𝑥 1 − (𝑣𝑗 − 𝑓(𝜌𝑗 )), 𝜀

atau


𝑣𝑗+1 = 𝑣𝑗 −

∆𝑡 ∆𝑡 ∆𝑡 −1 ∆𝑡 −1 𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗−1 + 𝑎 2 𝜌𝑗+1 − 𝑎 2 𝜌𝑗 2∆𝑥 2∆𝑥 2∆𝑥 ∆𝑥 +

∆𝑡 −1 1 1 𝑎 2 𝜌𝑗−1 − 𝑣𝑗 + 𝑓(𝜌𝑗 ), 2∆𝑥 𝜀 𝜀

atau 1 ∆𝑡 ∆𝑡 ∆𝑡 −1 𝑣𝑗+1 = (1 − ) 𝑣𝑗 − 𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗−1 + 𝑎 2 𝜌𝑗+1 𝜀 2∆𝑥 2∆𝑥 2∆𝑥 ∆𝑡 −1 ∆𝑡 −1 1 − 𝑎 2 𝜌𝑗 + 𝑎 2 𝜌𝑗−1 + 𝑓(𝜌𝑗 ). ∆𝑥 2∆𝑥 𝜀

(4.2.16)

Dalam skripsi ini, penentuan epsilon masih open problem. Penulis membatasi 𝜖 = 10−2.

C. Eror Solusi Numeris Untuk sembarang fungsi 𝑓analitik yang didekati oleh 𝑓numeris dalam domain ruang dan waktu mengahasilkan eror absolut yang didefinisikan sebagai eror absolute = ∫Ω |𝑓analitis − 𝑓numeris |𝑑𝑥 dengan Ω adalah domain ruang yang diketahui. Tidak semua model yang kontinu dapat selesaikan dengan mudah secara analitis ataupun numeris sehingga perlu didiskretisasi terhadap domain ruang atau waktu. Dalam perhitungan secara diskret, eror absolut pada kasus ini didefinisikan sebagai eror absolute =

1 ∑|𝜌analitis − 𝜌numeris | 𝑁

dengan 𝜌analitis dan 𝜌𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖𝑠 dalam bentuk vektor. Disini 𝑁 adalah length(𝜌analitis ) yaitu banyaknya komponen pada 𝜌analitis .


D. Simulasi Solusi Analitis dan Numeris Dipandang model deterministik arus lalu lintas secara kontinu dalam domain ruang −10 ≤ 𝑥 ≤ 10 dan domain waktu 𝑡 > 0 𝜕𝜌 𝜕(𝜌𝑢(𝜌)) + =0 𝜕𝑡 𝜕𝑥 dengan nilai awal kepadatannya adalah 𝜌(𝑥, 0) = {

2 jika 𝑥 < 0, 0 jika 𝑥 lainnya.

Nilai batas kepadatannya yaitu 𝜌(−10, 𝑡) = 2 dan 𝜌(10, 𝑡) = 0 untuk setiap 𝑡. Kecepatan kendaraan didefinisikan sebagai 𝑢(𝜌) = 𝑢max (1 −

𝜌 𝜌max

).

Diasumsikan 𝜌max = 2 and 𝑢max = 2. 1. Simulasi Solusi Analitis Pada bagian ini akan ditunjukkan simulasi dari solusi analitis yang didapat dari skema persamaan (3.11.14). Pada simulasi ini diambil ∆𝑥 = 0.05 dan ∆𝑡 = 0.01∆𝑥 dan 𝑡final = 1. Gambar 4.2 menunjukkan solusi analitis untuk masalah arus lalu lintas yang kepadatan di sebelah kiri lalu lintas semakin lama akan menurun seiring berjalannya waktu.


Gambar 4.2 Solusi analitis kepadatan lalu lintas dengan ∆𝑥 = 0.05 dan ∆𝑡 = 0.01∆𝑥 setelah 1 detik saat lampu menyala merah menjadi hijau. 2. Simulasi Solusi Volume Hingga Lax-Friedrichs dan Erornya Pada bagian ini akan ditunjukkan simulasi untuk solusi model arus lalu lintas dengan menggunakan metode volume hingga Lax-Friedrichs yang didapat dari skema persamaan (4.1.5). Pada simulasi ini diambil ∆𝑥 = 0.05 dan ∆𝑡 = 0.01∆𝑥 dengan 𝑡final = 1 yang ditunjukkan oleh Gambar 4.3 untuk masalah arus lalu lintas yang kepadatan disebelah kiri lalu lintas semakin lama akan menurun seiring berjalannya waktu. Gambar 4.4 menunjukkan eror dari metode volume hingga Lax-Friedrichs yang dibandingkan dengan solusi analitisnya. Hasil Eror yang dihasilkan oleh metode volume hingga LaxFriedrichs paling besar mencapai 0.4.


Gambar 4.3 Solusi volume hingga Lax-Friedrichs kepadatan lalu lintas dengan ∆𝑥 = 0.05 dan ∆𝑡 = 0.01∆𝑥 setelah 1 detik saat lampu menyala merah menjadi hijau.

Gambar 4.4 Eror dari solusi volume hingga Lax-Friedrichs kepadatan lalu lintas.


3. Simulasi Solusi Sistem Relaksasi Jin-Xin dan Erornya Pada bagian ini akan ditunjukkan simulasi untul solusi model arus lalu lintas dengan menggunakan sistem relaksasi Jin-Xin yang didapat dari skema persamaan (4.2.15) dan (4.2.15). Pada simulasi ini diambil 𝜀 = 10−2 , ∆𝑥 = 0.05 dan ∆𝑡 = 0.01∆𝑥 dengan 𝑡final = 1 yang ditunjukkan oleh Gambar 4.5 untuk masalah arus lalu lintas yang kepadatan di sebelah kiri lalu lintas semakin lama akan menurun seiring berjalannya waktu. Gambar 4.6 menunjukkan eror dari sistem relaksasi Jin-Xin yang dibandingkan dengan solusi analitiknya. Hasil eror yang dihasilkan sistem relaksasi Jin-Xin paling besar mencapai 0.1.

Gambar 4.5 Solusi relaksasi Jin-Xin kepadatan lalu lintas dengan ∆𝑥 = 0.05 dan ∆𝑡 = 0.01∆𝑥 setelah 1 detik saat lampu menyala merah menjadi hijau.


Gambar 4.6 Eror dari solusi relaksasi Jin-Xin kepadatan lalu lintas. Kombinasi solusi analitis dan numerisnya ditunjukkan oleh Gambar 4.7. Dari hasil simulasi tersebut, dapat dilihat bahwa sistem relaksasi Jin-Xin merupakan metode yang lebih akurat untuk menyelesaikan masalah arus lalu lintas yang berbentuk persamaan diferensial parsial. Metode volume hingga LaxFriedrichs menghasilkan solusi yang grafiknya agak jauh dari grafik solusi analatisnya dan eror yang dihasilkan relatif cukup besar hingga mencapai 0.4, sedangkan sistem relaksasi Jin-Xin menghasilkan solusi yang grafiknya cukup dekat dari grafik solusi analitiknya dan eror yang dihasilkan lebih kecil daripada metode volume hingga Lax-Friedrichs yaitu hanya sebesar 0.1.


Gambar 4.7 Solusi analitik dan numeris kepadatan lalu lintas dengan ∆𝑥 = 0.05 dan ∆𝑡 = 0.01∆𝑥 setelah 1 detik saat lampu menyala merah menjadi hijau.


BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan Model deterministik arus lalu lintas berbentuk persamaan diferensial parsial hiperbolik order satu yang lampu lalu lintasnya menyala dari merah menjadi hijau. Dalam kasus ini, model arus lalu lintas tersebut didapatkan solusi analitis dan solusi numerisnya dengan menggunakan metode volume hingga Lax-Friedrichs. Hasil numeris yang diperoleh menunjukkan kesesuaian perilaku secara nyata pada arus lalu lintas yang menyala dari merah menjadi hijau. Lebih lanjut lagi, kepadatan kendaraan di belakang lampu merah lalu lintas semakin lama akan menurun seiring berjalannya waktu. Dalam kondisi ini, solusi sistem relaksasi Jin-Xin lebih akurat daripada solusi volume hingga Lax-Friedrichs karena eror dari metode sistem relaksasi Jin-Xin lebih kecil daripada eror dari metode volume hingga Lax-Friedrichs.

B. Saran Masih banyak permasalahan lalu lintas yang belum diselesaikan hingga saat ini, misalnya saat lampu lalu lintas dari hijau ke kuning atau kuning ke merah, dan lain-lain. Saran dari penulis bagi pembaca dan adik-adik tingkat yang ingin mengerjakan tugas akhir adalah dengan dasar teori yang mirip dapat menyelesaikan permasalahan arus lalu lintas yang lainnya.

106


DAFTAR PUSTAKA Banda, M. K. dan Seaid, M. (2005). Higher-order relaxation schemes for hyperbolic systems of conservation laws. J. Numer. Math.13 171. Bober, W., Tsai. C., dan Masory, O. (2009). Numerical and Analytical Methods with MATLAB. New York: Taylor and Francis Group, LLC. Chapra, S. C. dan Canale, R. P. (2010). Numerical Methods for Engineers. Sixth Edition. New York: McGraw-Hill Companies, Inc. Chartier, T.P. dan Greenbaum. A. (2012). Numerical Methods: Design, Analysis, and Computer Implementations of Algorithms. New Jersey: Princeton University Press. Coleman, M. P. (2013). An Introduction to Partial Differential Equations with MATLAB. 2nd. Edition. New York: Taylor and Francis Group, LLC. Gunawan, P. H. (2014). The conservative upwind scheme for simple traffic flow model. Prosiding Seminar Nasional Matematika Haberman, R. (1998). Mathematical Models: Mechanical Vibrations, Population Dynamics, Traffic Flow. Englewood Cliff: Prentice – Hal, Inc. Hallet, H., Gleason, A. M., McCallum, W. G, dkk. (2005). Calculus (Fourth Edition). USA: John Wiley & Son, Inc. Jin, S. dan Xin, Z. (1995). The relaxation schemes for systems of conservation laws in arbitrary space dimensions Comm. Pure Appl. Math. 48 235 Kreiss, H. O. dan Scherer, G. (1992). Method of lines for hyperbolic differential equations. SIAM Journal on Numerical Analysis, 29 (3): 640-646 LeVeque, R. J. (2002). Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems. Cambridge: Cambridge University Press. LeVeque, R. J. (1992). Numerical Methods for Conservation Laws. Basel: Birkhauser.

107


Leon, S. J. (2001). Aljabar Linear dan Aplikasinya. Jakarta: Erlangga. Mattheij, R. M. M., Rienstra, S. W. dan Boonkkamp, J. H. M. t. T. (2005). Partial Differential Equation: Modeling, Analysis, Computation. Philadelphia: SIAM. Raharjo, R. (2014). Model Matematika untuk Masalah Arus Lalu Lintas. Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma. Schiesser, W. E. dan Griffiths, G. W. (2009). A Compendium of Partial Differential Equation Models: Method of Lines Analysis with Matlab. Cambridge: Cambridge University Press. Sulistiyawati, B. A. dan Mungkasi, S. (2017). Jin-Xin relaxation method for solving a traffic flow problem in one dimension. Jurnal of Physics: Conference Series 795(1): 012041. Toro, E. F. (1999). Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Berlin: Springer. Varberg, D., Purcel, E. J., dan Rigdon, S. E., Kalkulus Edisi Kesembilan Jilid 2. Jakarta: Erlangga. Wazwaz, A. M. (2009). Partial Differential Equations and Solitary Waves Theory. Berlin: Springer. Yohana, E. (2012). Adjoint-based optimization for optimal control problems governed by nonlinear hyperbolic conservation laws. MSc Thesis (Johannesburg: University of the Witwatersrand).


LAMPIRAN Berikut ini merupakan code pada program MATLAB untuk solusi analitis dan solusi numeris beserta erornya dengan setiap metode yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan diferensial parsial untuk model deterministik arus lalu lintas. 1. Solusi Analitis clc close all clear all tf=1; %waktu final L=10; dx=0.05; %lebar sel dt=0.01*dx; %langkah waktu t=0:dt:tf; %disktritasisasi waktu x=-L:dx:L; %disktritasisasi ruang nt=length(t); %Banyaknya elemen dalam waktu diskrit nx=length(x); %Banyaknya elemen dalam ruang diskrit rho=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk rho umax=2; % Nilai kecepatan di rho=rho maksimum rhomax=2; % Nilai kepadatan di u= u maksimum % Nilai awal for i=1:nx if x(i)<0 rho(1,i)=2; else rho(1,i)=0; end end % Nilai batas rho(:,1)=2; rho(:,nx)=0; for n=1:nt-1 for i=1:nx-1 rho(n,i)=x(i)./t(n); %Nilai dari x/t % Hasil nilai rho dengan syarat tertentu if rho(n,i) < -umax; rho(n,i)=2; elseif rho(n,i) >= umax; rho(n,i)=0; else rho(n,i)=rhomax/2*(1-rho(n,i)/umax); end end plot(x,rho(n,:))

109


ylim([-0.1 2.5]) pause(0.000001) %hold on xlabel('x') ylabel('rho') %title('Grafik antara x dan rho') end

2. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs dan Erornya clc close all clear all tf=1; L=10; dx=0.05; %lebar sel dt=0.01*dx; %langkah waktu t=0:dt:tf; %diskritisasi waktu x=-L:dx:L; %diskritisasi ruang nt=length(t); %Banyaknya elemen dalam waktu diskrit nx=length(x); %Banyaknya elemen dalam ruang diskrit rho=zeros(nt,nx);%Membentuk matriks awal untuk kepadatan solusi Lax-Friedrichs p=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk kepadatan solusi analitik u=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk kecepatan error_mv=zeros(nt,nx); %error dari solusi Lax-Friedrichs umax=2; %Nilai kecepatan maksimum rhomax=2; %Nilai kepadatan maksimum % Nilai awal for i=1:nx if x(i)<0 rho(1,i)=2; p(1,i)=2; u(1,i)=umax*(1-rho(1,i)/rhomax); else rho(1,i)=0; p(1,i)=0; u(1,i)=umax*(1-rho(1,i)/rhomax); end end % Nilai batas rho(:,1)=2; p(:,1)=2; rho(:,nx)=0; p(:,nx)=0; hold on for n=1:nt-1 for i=2:nx-1 rho(n+1,i)=x(i)./t(n+1); if rho(n+1,i) < -umax; rho(n+1,i)=2; elseif rho(n+1,i) >= umax;


rho(n+1,i)=0; else rho(n+1,i)=rhomax/2*(1-rho(n+1,i)/umax); end %F Kiri untuk p Fkip=((u(n,i)*p(n,i)+u(n,i-1)*p(n,i-1))/2)((dx/(2*dt))*(p(n,i)-p(n,i-1))); %F Kanan untuk p Fkap=((u(n,i+1)*p(n,i+1)+u(n,i)*p(n,i))/2)((dx/(2*dt))*(p(n,i+1)-p(n,i))); p(n+1,i)=p(n,i)-(dt/dx)*(Fkap-Fkip); error_mv(n+1,i)=norm(rho(n+1,i)-p(n+1,i)); end end for k=1:2 if k==1 plot(x,p(nt,:),'k--') %legend('Lax-Friedrichs Method') ylim([-0.1 2.5]) else figure plot(x,error_mv(nt,:),'m') %legend( 'error') ylim([min(min(error_mv))-0.1 max(max(error_mv))+0.1]) end pause(1) end

3. Sistem Relaksasi Jin-Xin dan Erornya clc close all clear all tf=1; %Waktu Final L=10; dx=0.05; %lebar sel dt=0.01*dx; %Langka Waktu t=0:dt:tf; %disktritasisasi wakktu x=-L:dx:L; %disktritasisasi ruang nt=length(t); %Banyaknya elemen dalam waktu diskrit nx=length(x); %Banyaknya elemen dalam ruang diskrit rho=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk kepadatan solusi Jin-Xin rhoa=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk kepadatan solusi analitik v=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk v umax=2; %Nilai kecepatan maksimum rhomax=2; %Nilai kepadatan maksimum epsilon=10e-2; %Usikan yang diberikan a=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk a error_jx=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk error Relaksasi Jin-Xin figure % Nilai awal


for i=1:nx if x(i)<0 rho(1,i)=2; rhoa(1,i)=2; v(1,i)=rho(1,i)*umax*(1-rho(1,i)/rhomax); else rho(1,i)=0; rhoa(1,i)=0; v(1,i)=rho(1,i)*umax*(1-rho(1,i)/rhomax); end end % Nilai batas rho(:,1)=2; rho(:,nx)=0;

%Nilai dari v = f(rho) dan nilai a=(f'(rho))^2 for n=2:nt-1 for i=2:nx-1 rhoa(n,i)=x(i)./t(n); %Nilai dari x/t % Hasil nilai rho dengan syarat tertentu if rhoa(n,i) < -umax; rhoa(n,i)=2; elseif rhoa(n,i) >= umax; rhoa(n,i)=0; else rhoa(n,i)=rhomax/2*(1-rhoa(n,i)/umax); end a=(umax*(1-2*rho(n-1,i)/rhomax)).^2; rho(n,i)=rho(n-1,i) - dt/(2*dx)*(v(n-1,i+1)-v(n-1,i-1)) + sqrt(a)*dt/(2*dx)*(rho(n-1,i+1)-2*rho(n-1,i)+rho(n-1,i-1)); v(n,i)=v(n-1,i) - a*dt/(2*dx)*(rho(n-1,i+1)-rho(n-1,i-1)) + sqrt(a)*dt/(2*dx)*(v(n-1,i+1)-2*v(n-1,i)+v(n-1,i-1))dt/epsilon*(v(n-1,i)-rho(n-1,i)*umax*(1-rho(n-1,i)/rhomax)); error_jx(n,i)=norm(rho(n,i)-rhoa(n,i)); end rhoa(n,1)=2; %Nilai batas rho analitik untuk t=tn dan x=0 rhoa(n,nx)=0; %Nilai batas rho analitik untuk t=tn dan x=L rho(n,1)=2; %Nilai batas rho untuk t=tn dan x=0 rho(n,nx)=0; %Nilai batas rho untuk t=tn dan x=L v(n,1)= rho(n,1)*umax*(1-rho(n,1)/rhomax);%Nilai batas v untuk t=tn dan x=0 v(n,nx)= rho(n,nx)*umax*(1-rho(n,nx)/rhomax); %Nilai batas v untuk t=tn dan x=L end for k=1:2 if k==1 plot(x,rho(nt-1,:),'k--') %legend('Jin-Xin solution') ylim([-0.1 2.5]) else figure plot(x,error_jx(nt-1,:),'m') %legend('error')


ylim([min(min(error_jx))-0.1 max(max(error_jx))+0.1]) end pause(1) end

4. Kombinasi Solusi Analitis dan Numeris clc close all clear all tf=1; %Waktu Final L=10; dx=0.05; %lebar sel dt=0.01*dx; %Langka Waktu t=0:dt:tf; %disktritasisasi wakktu x=-L:dx:L; %disktritasisasi ruang nt=length(t); %Banyaknya elemen dalam waktu diskrit nx=length(x); %Banyaknya elemen dalam ruang diskrit rho=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk kepadatan solusi Jin-Xin rhoa=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk kepadatan solusi analitik v=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk v p=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk p u=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk u umax=2; %Nilai kecepatan maksimum rhomax=2; %Nilai kepadatan maksimum epsilon=10e-2; %Usikan yang diberikan a=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk a error_jx=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk error Relaksasi Jin-Xin error_mv=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk error LaxFrierichs % Nilai awal for i=1:nx if x(i)<0 rho(1,i)=2; rhoa(1,i)=2; p(1,i)=2; u(1,i)=umax*(1-rho(1,i)/rhomax); v(1,i)=rho(1,i)*umax*(1-p(1,i)/rhomax); else rho(1,i)=0; rhoa(1,i)=0; p(1,i)=0; u(1,i)=umax*(1-p(1,i)/rhomax); v(1,i)=rho(1,i)*umax*(1-rho(1,i)/rhomax); end end % Nilai batas rhoa(:,1)=2; rhoa(:,nx)=0; rho(:,1)=2; p(:,1)=2;


rho(:,nx)=0; p(:,nx)=0; %Nilai dari v = f(rho) dan nilai a=(f'(rho))^2 for n=2:nt-1 for i=2:nx-1 rhoa(n,i)=x(i)./t(n); %Nilai dari x/t % Hasil nilai rho dengan syarat tertentu if rhoa(n,i) < -umax; rhoa(n,i)=2; elseif rhoa(n,i) >= umax; rhoa(n,i)=0; else rhoa(n,i)=rhomax/2*(1-rhoa(n,i)/umax); end a=(umax*(1-2*rho(n-1,i)/rhomax)).^2; rho(n,i)=rho(n-1,i) - dt/(2*dx)*(v(n-1,i+1)-v(n-1,i-1)) + sqrt(a)*dt/(2*dx)*(rho(n-1,i+1)-2*rho(n-1,i)+rho(n-1,i-1)); v(n,i)=v(n-1,i) - a*dt/(2*dx)*(rho(n-1,i+1)-rho(n-1,i-1)) + sqrt(a)*dt/(2*dx)*(v(n-1,i+1)-2*v(n-1,i)+v(n-1,i-1))dt/epsilon*(v(n-1,i)-rho(n-1,i)*umax*(1-rho(n-1,i)/rhomax)); Fkip=((u(n-1,i)*p(n-1,i)+u(n-1,i-1)*p(n-1,i-1))/2)((dx/(2*dt))*(p(n-1,i)-p(n-1,i-1))); %F Kanan untuk p Fkap=((u(n-1,i+1)*p(n-1,i+1)+u(n-1,i)*p(n-1,i))/2)((dx/(2*dt))*(p(n-1,i+1)-p(n-1,i))); p(n,i)=p(n-1,i)-(dt/dx)*(Fkap-Fkip); error_jx(n,i)=norm(rho(n,i)-rhoa(n,i)); error_mv(n,i)=norm(rhoa(n,i)-p(n,i)); end rhoa(n,1)=2; %Nilai batas rho analitik untuk t=tn dan x=0 rhoa(n,nx)=0; %Nilai batas rho analitik untuk t=tn dan x=L rho(n,1)=2; %Nilai batas rho untuk t=tn dan x=0 rho(n,nx)=0; %Nilai batas rho untuk t=tn dan x=L v(n,1)= rho(n,1)*umax*(1-rho(n,1)/rhomax);%Nilai batas v untuk t=tn dan x=0 v(n,nx)= rho(n,nx)*umax*(1-rho(n,nx)/rhomax); %Nilai batas v untuk t=tn dan x=L end % Grafik kombinasi solusi analitik dan numeris beserta erornya plot(x,rhoa(nt-1,:),'k-', x,p(nt-1,:),'b.-', x,rho(nt-1,:),'r*-') legend('Solusi analitik', 'Solusi Lax-Friedrichs', 'Solusi Jin-Xin') ylim([-0.1 2.5]) xlabel('x') ylabel('rho')

PENYELESAIAN NUMERIS MODEL KONTINU ARUS LALU LINTAS

Recommend Documents