SIMULASI NUMERIK MODEL ARUS LALU LINTAS SATU ARAH BERBASIS FUNGSI VELOSITAS UNDERWOOD MUH ISBAR PRATAMA

SIMULASI NUMERIK MODEL ARUS LALU LINTAS SATU ARAH BERBASIS FUNGSI VELOSITAS UNDERWOOD

MUH ISBAR PRATAMA

SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA* Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul “Simulasi numerik model arus lalu lintas satu arah berbasis fungsi velositas Underwood” adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Maret 2016

Muh. Isbar Pratama G551130161

RINGKASAN MUH ISBAR PRATAMA. Simulasi Numerik Model Arus Lalu Lintas Satu Arah Berbasis Fungsi Velositas Underwood. Dibimbing oleh FAHREN BUKHARI dan BIB PARUHUM SILALAHI. Mobilitas masyarakat yang meningkat beberapa tahun terakhir memberikan dampak yang linier terhadap jumlah kendaraan pribadi dan angkutan umum. Jumlah kendaraan yang meningkat seringkali tidak seiring dengan penambahan kapasitas jalan raya. Jumlah kendaraan yang melebihi kapasitas jalan raya pada waktu-waktu tertentu adalah salah satu penyebab kemacetan. Beberapa matematikawan menggambarkan fenomena kepadatan lalu lintas dalam bentuk model matematika untuk membantu mengurangi masalah kemacetan yang disebabkan oleh jumlah kendaraan yang melebihi kapasitas jalan. Model matematika arus lalu lintas pertama kali dikembangkan pada tahun 1955 oleh James Lighthill, Gerald B. Whitham dan Richard P. yang dikenal sebagai model LWR. Model ini menggambarkan fenomena lalu lintas yang dihasilkan dari interaksi banyak kendaraan dengan variabel dasar lalu lintas seperti kepadatan, kecepatan dan aliran kendaraan dan dapat digunakan untuk memprediksi fenomena kepadatan arus lalu lintas kedepannya. Dalam model LWR, fungsi velositas ( rata-rata kecepatan yg diukur dalam satuan jarak persatuan waktu) merupakan elemen yang paling penting dalam menentukan kecocokan model. Penelitian ini menggunakan fungsi velositas Underwood yang berbentuk fungsi ekponensial. Model LWR berbasis fungsi velositas Underwood diselesaikan secara numerik karena nilai awal dari kepadatan kendaraan tidak berbentuk fungsi sederhana, sehingga solusi analitik dari model LWR berbasis fungsi velositas Underwood sulit ditemukan. Penyelesaian secara numerik menggunakan metode beda hingga skema implisit yang telah terbukti konvergen. Simulasi numerik dilakukan untuk menggambarkan fenomena kepadatan arus lalu lintas. Simulasi numerik pada penelitian ini dilakukan dengan 2 parameter yang berbeda. Hasil simulasi numerik menunjukkan kecenderungan perubahan arus lalu lintas jika data diubah-ubah.

Kata kunci: Model LWR, Fungsi Velositas Underwood, Metode beda hingga Implisit, Simulasi Numerik.

SUMMARY MUH ISBAR PRATAMA. Numerical Simulation of One Way Traffic Flow Based on Underwood Velocity Function. Supervised by FAHREN BUKHARI and BIB PARUHUM SILALAHI. Increasing mobility of people in recent years causes a linear impact on the number of private vehicles and public transport. Increasing vehicles amount that often due with the additional highway capacity. The vehicle amount that exceed capacity of the road at certain times is one causes of congestion. Some mathematicians describe the phenomenon of the traffic density in the form of mathematical models to calculate the supply and demand of traffic flow. The mathematical Traffic flow model was first developed in 1955 by James Lighthill, Whitham and Richard B. Gerald P. known as LWR model. This model describes the phenomenon of traffic generated from the interaction of many vehicles with basic traffic variables such as density, velocity and flow of vehicles and can used to predict the phenomenon of traffic density in the future. In LWR models, a function of velocity (average velocity measured in units of distance per time unit) is the most important element to determining the suitability of the model. This study uses Underwood velocity function in the form exponential function. LWR models based on Underwood velocity function solved numerically because the initial value of vehicle density is not a simple function, so the analytic solution of the model-based LWR velocity function Underwood difficult to find. LWR models based on Underwood velocity function solved numerically using an implicit finite difference schemes which have proven converged. Numerical simulations performed to illustrate the phenomenon of traffic density. Numerical simulation in this study conducted with two different parameters. Numerical simulation results showed a trend change in the flow of traffic if data is changed.

Keywords: LWR model, Underwood velocity model, Implicit finite difference method, Numerical simulation.

© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2016 Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB

SIMULASI NUMERIK MODEL ARUS LALU LINTAS SATU ARAH BERBASIS FUNGSI VELOSITAS UNDERWOOD

MUH ISBAR PRATAMA

Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan

SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016

Penguji Luar Komisi Pada Ujian Tesis: Dr Jaharuddin, MS

**!- ((- - "*!(- *"' - %!- '*(- !*- $)(- )*- '- '(( *$(- !%()(-$',%%"-

- *- ('-')"-






()**-%! %"(-""$-

'-'- '$-

-

)*-

 )*-%!-

)*-'%'#-)*)") -'&-

'- '*$- -

$!- $-  '+'- 


 
 


$!-*!*(-

PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan November 2014 ini ialah analisis numerik, dengan judul Simulasi Numerik Model Arus Lalu Lintas Satu Arah Berbasis Fungsi Velositas Underwood. Penulisan tesis ini merupakan salah satu syarat memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Magister Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor. Penulis juga menyampaikan terima kasih kepada: 1. Bapak Muh Basri P dan Ibu Islamiah B selaku orang tua penulis. 2. Dr Ir Fahren Bukhari, MSc selaku ketua komisi pembimbing. 3. Dr Ir Bib Paruhum Silalahi, MKom anggota komisi pembimbing. 4. Dr Jaharuddin, MS selaku penguji luar komisi pembimbing dan Ketua Program Studi Matematika Terapan. 5. Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi (DIKTI) sebagai sponsor Beasiswa Pendidikan Pascasarjana dalam Negeri (BPP-DN). 6. Seluruh keluarga yang selalu memberi dorongan dan doa untuk keberhasilan studi penulis. 7. Seluruh mahasiswa Departemen Matematika khususnya teman-teman angkatan tahun 2013 di program studi S2 Matematika Terapan. 8. Sahabat-sahabat yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah banyak membantu penulis dalam penyelesaian tesis ini. Semoga semua bantuan, bimbingan dan motivasi yang telah diberikan kepada penulis senantiasa mendapatkan balasan dari Allah subhanahu wa ta’ala. Akhirnya, semoga penulisan tesis ini dapat memperkaya pengalaman belajar dan wawasan kita semua.

Bogor, Maret 2016 Muh Isbar Pratama

DAFTAR ISI DAFTAR TABEL

vi

DAFTAR GAMBAR

vi

DAFTAR LAMPIRAN

vi

1 PENDAHULUAN Latar Belakang Tujuan Penelitian

1 1 1

2 TINJAUAN PUSTAKA Model LWR Fungsi Velositas Fungsi Velositas Greenshield Fungsi Velositas Greenberg Fungsi Velositas Drake Fungsi Velositas Polynomial Fungsi Velositas Kuadratik Fungsi Velositas Underwood Model LWR dengan Fungsi Velositas Linear Koefisien Determinasi Perbandingan Fungsi Velositas Solusi Analitik Model LWR dengan Velositas Underwood Skema Metode Beda Hingga Implisit Sistem Persamaan taklinear Metode Iterasi Newton-Raphson Kestabilan Teorema Ekuivalensi Lax

2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 7 7 7 8 8

3 METODE PENELITIAN Data Metode

8 8 8

4 HASIL DAN PEMBAHASAN Solusi Numerik dengan Metode Beda Hingga Skema Implisit Kekonvergenan dari Skema Numerik Simulasi Numerik

9 9 10 11

5 KESIMPULAN DAN SARAN Simpulan Saran

17 17 18

DAFTAR PUSTAKA

18

LAMPIRAN

23

RIWAYAT HIDUP

25

DAFTAR TABEL 1 Tabel Perbandingan nilai R2 Ardekani et al

5

DAFTAR GAMBAR 1 2 3 4

Gambar 1 Grafik kepadatan awal kendaraan pada t = 0 Gambar 2 Profil Kepadatan kendaraan selama 60 menit (∆t = 1 menit). Gambar 3 Profil Kecepatan kendaraan selama 60 menit (∆t = 1 menit). Gambar 4 Grafik kepadatan lalu lintas pada t = 20 menit, 40 menit dan 60 menit 5 Gambar 5 Grafik kecepatan lalu lintas pada t = 20 menit, 40 menit dan 60 menit. 6 Gambar 6 Profil fluks kendaraan selama 60 menit (∆t = 1 menit). 7 Gambar 7 Profil Kepadatan kendaraan selama 60 menit (∆t = 1 menit). 8 Gambar 8 Profil Kecepatan kendaraan selama 60 menit (∆t = 1 menit). 9 Gambar 9 (a) Grafik kepadatan lalu lintas pada t = 20 menit, 40 menit dan 60 menit, (b) Grafik kecepatan lalu lintas pada t = 20 menit, 40 menit dan 60 menit. 10 Gambar 10 Profil fluks kendaraan selama 60 menit (∆t=1 menit).

12 12 13 13 14 14 15 15

16 17

DAFTAR LAMPIRAN 1 Sintaks algoritma metode beda hingga skema implisit

23

1 PENDAHULUAN Latar Belakang Mobilitas masyarakat yang meningkat beberapa tahun terakhir memberikan dampak terhadap jumlah kendaraan pribadi dan angkutan umum. Jumlah kendaraan yang meningkat seringkali tidak seimbang dengan penambahan kapasitas jalan raya. Jumlah kendaraan yang melebihi kapasitas jalan raya pada waktu-waktu tertentu adalah salah satu penyebab kemacetan. Beberapa matematikawan menggambarkan fenomena kepadatan lalu lintas dalam bentuk model matematika untuk membantu mengurangi masalah kemacetan yang disebabkan oleh jumlah kendaraan yang melebihi kapasitas jalan. Model matematika arus lalu lintas pertama kali dikembangkan pada tahun 1955 oleh James Lighthill, Gerald B Whitham dan Richard P yang dikenal sebagai model LWR. Model ini menggambarkan fenomena lalu lintas yang dihasilkan dari interaksi banyak kendaraan dengan variabel dasar lalu lintas seperti kepadatan, kecepatan, dan aliran kendaraan dan dapat digunakan untuk memprediksi fenomena kepadatan arus lalu lintas kedepannya. Dalam model LWR, fungsi velositas (rata-rata kecepatan yg diukur dalam satuan jarak persatuan waktu) merupakan elemen yang paling penting dalam menentukan kecocokan model. Pada model LWR konvesional fungsi velositas yang digunakan adalah fungsi velositas Greenshield yang merupakan fungsi linear. model ini kemudian mendapat banyak bantahan dari beberapa peneliti karena velositas yang linear dalam prakteknya tidak relevan karena memungkinkan terjadinya kepadatan maksimum jalan (Sultana et al. 2011). Beberapa model yang diusulkan oleh beberapa peneliti untuk memodelkan velositas antara lain fungsi velositas Greenberg, fungsi velositas Underwood, fungsi velositas Drake, fungsi velositas polinomial, dan fungsi velositas kuadratik. Di antara beberapa fungsi tersebut, fungsi velositas Underwood adalah fungsi yang paling mendekati keadaan sebenarnya (Ardekani et al. 2011). Tujuan penelitian ini adalah menggambarkan pola pergerakan lalu lintas menggunakan model LWR dengan fungsi velositas Underwood yang merupakan fungsi eksponensial. Karena nilai awal dari kepadatan lalu lintas tidak berbentuk fungsi yang sederhana sehingga diperlukan suatu metode numerik untuk menentukan solusinya. Salah satu pendekatan secara numerik dapat dilakukan untuk menentukan solusi model LWR yaitu dengan metode beda hingga skema implisit (Implicit finite difference method). Metode beda hingga skema implisit menjamin solusi dari persamaan diferensial bernilai positif. Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah melakukan simulasi numerik untuk menggambarkan fenomena arus lalu lintas dengan metode beda hingga implisit (implicit finite difference method) terhadap model LWR dengan fungsi velositas Underwood.

2

2 TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan dipaparkan materi-materi terkait yang digunakan dalam penelitian ini yang terdiri dari pengenalan model LWR dan solusi analitiknya, fungsi-fungsi velositas, ringkasan penelitian sebelumnya, dan metode yang digunakan untuk penyelesaian model dalam penelitian ini.

Model LWR Model LWR yang dikembangkan oleh Lighthill dan William (1955), Richard (1956) bertujuan untuk memodelkan kepadatan lalu lintas secara makroskopik. Pada model ini, kondisi lalu lintas dianalogikan sebagai aliran fluida dengan mengasumsikan kendaraan sebagai partikel yang berada pada aliran tersebut. Lebih jauh lagi, pola arus lalu lintas dimodelkan melalui metode dinamika fluida. Melalui hukum konservasi massa, diperoleh bahwa model LWR dirumuskan secara matematis oleh persamaan diferensial parsial hiperbolik sebagai berikut: 𝜕𝜌(𝑥,𝑡) 𝜕𝑡

+

𝜕𝑞(𝜌) 𝜕𝑥

=0

(2.1)

dengan 𝜌(𝑥, 𝑡) merepresentasikan kepadatan kendaraan (jumlah kendaraan per satuan jarak) lalu lintas pada suatu titik x dan waktu t, sedangkan q( 𝜌 ) merepresentasikan fluks (jumlah kendaraan per satuan waktu) lalu lintas pada suatu titik x dan waktu t tertentu. Fluks lalu lintas merupakan fungsi yang diberikan oleh 𝑞(𝜌) = 𝜌𝑉(𝜌)

(2.2)

dengan V(ρ) adalah fungsi velositas (rata-rata kecepatan yang diukur dalam satuan jarak persatuan waktu). Dalam model LWR dengan velositas Underwood terdapat dua asumsi yang harus dipenuhi yaitu, 1. tidak ada jalur masuk atau keluar di pertengahan ruas jalan yang diamati. 2. tidak ada kendaraan roda dua atau pejalan kaki.

Fungsi Velositas Fungsi velositas adalah model yang menggambarkan rata-rata kecepatan yang diukur dalam satuan jarak persatuan waktu. Fungsi velositas menggambarkan hubungan antara kecepatan dan kepadatan kendaraan. Fungsi velositas arus lalu lintas pertama kali diperkenalkan oleh Greenshield pada tahun 1939 yang menggambarkan fungsi velositas arus lalu lintas sebagai fungsi linear. Seiring dengan berkembangnya ilmu pengetahuan, banyak peneliti yang mengajukan fungsi velositas arus lalu lintas.

3

Fungsi Velositas Greenshield Fungsi velositas arus lalu lintas pertama kali diperkenalkan oleh Greenshield pada tahun 1939 yang menggambarkan fungsi velositas arus lalu lintas sebagai fungsi linear sebagai berikut:

𝑉(𝜌) = 𝑉𝑚𝑎𝑥 (1 −

𝜌(𝑥,𝑡) 𝜌max

)

(2.3)

dengan 𝜌𝑚𝑎𝑥 dan 𝑉𝑚𝑎𝑥 berturut-turut adalah kepadatan maksimum dan kecepatan maksimum lalu lintas pada waktu 𝑡.

Fungsi Velositas Greenberg Diperkenalkan oleh Greenberg pada tahun 1959, model menggunakan analogi aliran fluida dan data dari Terowongan Lincoln di New York untuk membangun logaritmik hubungan antara kecepatan dan kepadatan, yaitu 𝜌(𝑥,𝑡)

𝑉(𝜌) = 𝑉𝑚𝑎𝑥 (𝑙𝑛 (

𝜌max

))

(2.4)

dengan 𝜌𝑚𝑎𝑥 dan 𝑉𝑚𝑎𝑥 berturut-turut adalah kepadatan maksimum dan kecepatan maksimum lalu lintas pada waktu 𝑡.

Fungsi Velositas Drake Fungsi ini dikembangkan oleh Drake pada tahun 1961. Dalam mengembangkan fungsi velositas, Drake memperkirakan kecepatan berdasarkan kepadatan dan aliran kendaraan. Drake mengusulkan fungsi velositas berbentuk fungsi eksponensial sebagai berikut: 𝑉(𝜌) = 𝑉𝑚𝑎𝑥 𝑒𝑥𝑝 (−

1 𝜌(𝑥,𝑡) 2 2( ) 𝜌𝑚𝑎𝑥

).

(2.5)

dengan 𝜌𝑚𝑎𝑥 dan 𝑉𝑚𝑎𝑥 berturut-turut adalah kepadatan maksimum dan kecepatan maksimum lalu lintas pada waktu 𝑡.

Fungsi Velositas Polynomial Beberapa peneliti mengusulkan rata-rata kecepatan kendaraan berbentuk fungsi polynomial berderajat dua sebagai berikut: 𝑉(𝜌) = 𝑉𝑚𝑎𝑥 + 𝑏𝜌(𝑥, 𝑡) + 𝑐𝜌(𝑥, 𝑡)2 dengan 𝑏 dan 𝑐 adalah parameter tambahan tertentu.

(2.6)

4 Fungsi Velositas Kuadratik Rata-rata kecepatan kendaraan dapat pula dituliskan dalam fungsi kuadrat sebagai berikut: 𝑉(𝜌) = 𝑉𝑚𝑎𝑥 (1 −

𝜌2 (𝑥,𝑡) 2 𝜌𝑚𝑎𝑥

).

(2.7)

dengan 𝜌𝑚𝑎𝑥 dan 𝑉𝑚𝑎𝑥 berturut-turut adalah kepadatan maksimum dan kecepatan maksimum lalu lintas pada waktu 𝑡.

Fungsi Velositas Underwood Fungsi velositas Underwood dikembangkan oleh Underwood pada tahun 1961 merupakan fungsi hipotesis hubungan eksponensial antara kepadatan dan kecepatan. Fungsi ini umumnya lebih realistis daripada fungsi Greenshields dan Greenberg karena memiliki nilai koefisien determinasi terbesar diantara fungsi velositas lainnya(Ardekani et al, 2011). Fungsi Underwood diberikan sebagai berikut: 𝜌(𝑥,𝑡)

𝑉(𝜌) = 𝑉𝑚𝑎𝑥 exp (− 𝜌

𝑚𝑎𝑥

).

(2.8)

Model LWR dengan Fungsi Velositas Linear Kabir et al. (2010) telah mengajukan dan menganalisis model LWR dengan fungsi velositas Greenshield untuk menggambarkan kepadatan arus lalu lintas. Model LWR dengan fungsi velositas Greenshield dituliskan dalam persamaan berikut: 𝜕𝜌(𝑥,𝑡) 𝜕𝑡

𝜕

𝜌(𝑥,𝑡)

+ 𝜕𝑥 (𝑉𝑚𝑎𝑥 (1 − 𝜌 )) = 0 } max

(2.9)

𝜌(𝑥, 0) = 𝜌0 (𝑥). Model LWR (2.9) yang telah dianalisis oleh Kabir et al. (2010) dapat menghitung kepadatan kendaraan pada kondisi jalan yang tidak padat. Sedangkan untuk kondisi padat di mana rata-rata kecepatan kendaraan mendekati nol, model (2.9) sulit digunakan untuk menghitung kepadatan kendaraan.

Koefisien Determinasi Koefisien determinasi ( 𝑅 2 ) adalah satu ukuran yang digunakan untuk mengukur pengaruh variabel independen terhadap variansi variabel tak bebas, dengan 0 < 𝑅 2 < 1. Koefisien determinasi sering digunakan sebagai alat untuk menguji kelayakan suatu model. Semakin besar nilai dari 𝑅 2 , maka model semakin mendekati kodisi yang sebenarnya.

5 Perbandingan Fungsi Velositas Ardekani et al (2011) membandingkan fungsi velositas untuk mengetahui fungsi velositas yang paling mendekati keadaan yang sebenarnya. Berdasarkan nilai koefisien 𝑅 2 , fungsi velositas Underwood adalah model terbaik dengan nilai 𝑅 2 sebesar 0.96 yang artinya kemampuan variabel bebas model Underwood dalam menjelaskan varians dari variabel terikatnya sebesar 0.96. Tabel 1. Perbandingan nilai 𝑅 2 Ardekani et al. 𝑹𝟐 0.86 0.43 0.96 0.94 0.91 0.90

Fungsi velositas GreenShield Greenberg Underwood Drake Polynomial Kuadrat

Berdasarkan Tabel 1 diperoleh fungsi velositas Underwood yang paling mendekati dengan keadaan sebenarnya karena memiliki koefisien determinasi terbesar.

Model LWR dengan Velositas Underwood Persamaan (2.1) direkonstruksi dengan mensubstitusikan fungsi velositas Underwood pada persamaan (2.8): 𝜕𝜌(𝑥,𝑡) 𝜕 𝜌(𝑥,𝑡) + 𝜕𝑥 (𝜌(𝑥, 𝑡)𝑉𝑚𝑎𝑥 exp (− 𝜌 )) = 0, (2.10) 𝜕𝑡 𝑚𝑎𝑥

dengan asumsi bahwa kepadatan lalu lintas pada saat awal pengamatan yaitu pada saat 𝑡 = 0 adalah 𝜌(𝑥, 0) = 𝜌0 (𝑥). Model LWR dengan masalah nilai awal yang diberikan dapat dituliskan sebagai: 𝜕𝜌(𝑥,𝑡) 𝜕𝑡

𝜕

𝜌(𝑥,𝑡)

+ 𝜕𝑥 (𝜌(𝑥, 𝑡)𝑉𝑚𝑎𝑥 exp (− 𝜌

𝑚𝑎𝑥

)) = 0

𝜌(𝑥, 0) = 𝜌0 (𝑥).

(2.11)

Solusi Analitik Model LWR dengan Velositas Underwood Pada bagian ini, masalah nilai awal persamaan (2.11) akan diselesaikan. dengan metode karakteristik. Karena 𝜕(𝜌.𝑉(𝜌)) 𝜕𝑥

= 𝑉(𝜌)

𝑑𝜌

= 𝑉(𝜌) 𝑑𝑥 + 𝜌

𝑑𝜌 𝑑𝑥

+𝜌

𝑑𝑉 𝜕𝜌

𝑑𝜌 𝜕𝑥 𝑑𝑉 𝜕𝜌

= (𝑉(𝜌) + 𝜌 𝑑𝜌) 𝜕𝑥 ,

𝜕(𝑉(𝜌)) 𝜕𝑥

(2.12)

6

dan 𝜌

𝑉(𝜌) = 𝑉𝑚𝑎𝑥 exp (− 𝜌

𝑚𝑎𝑥

),

(2.13)

maka 𝑑𝑉

(𝑉(𝜌) + 𝜌 𝑑𝜌) = 𝑉𝑚𝑎𝑥 . exp (− 𝜌

𝜌

𝑉

𝑚𝑎𝑥

= (𝑉𝑚𝑎𝑘𝑠 −

𝜌.𝑉𝑚𝑎𝑥 𝜌𝑚𝑎𝑥

) + 𝜌 (− 𝜌𝑚𝑎𝑥 exp (− 𝜌 𝑚𝑎𝑥

𝜌

) exp (− 𝜌

𝑚𝑎𝑥

𝜌

𝑚𝑎𝑥

))

).

(2.14)

Dengan demikian persamaan (2.1) menjadi 𝜕𝜌(𝑥,𝑡) 𝜕𝑡

𝜕𝜌

+ 𝜕𝑥 ((𝑉𝑚𝑎𝑥 −

𝜌𝑉𝑚𝑎𝑥 𝜌𝑚𝑎𝑥

) exp (− 𝜌

𝜌

𝑚𝑎𝑥

)) = 0.

(2.15)

Selanjutnya persamaan (2.15) akan diselesaikan dengan metode karakteristik. Asumsikan 𝑥 dan 𝑡 adalah fungsi dari 𝑠 sembarang. Sehingga turunan total dari 𝜌(𝑥(𝑠), 𝑡(𝑠)) terhadap 𝑠 adalah 𝑑 𝑑𝑠

dengan 𝑥(𝑠) dan 𝑡(𝑠) diperoleh 𝑑 𝑑𝑠 𝑑𝑡

Jika 𝑑𝑠 = 1 dan

𝑑𝑥 𝑑𝑠

𝜌(𝑥 (𝑠), 𝑡(𝑠)) = 𝐹(𝜌, 𝑥 (𝑠), 𝑡(𝑠)),

(2.16)

adalah garis karakteritik. Berdasarkan aturan rantai

𝜌(𝑥(𝑠), 𝑡(𝑠)) =

= (𝑉𝑚𝑎𝑥 −

𝜌𝑉𝑚𝑎𝑥 𝜌𝑚𝑎𝑥

𝜕𝜌 𝑑𝑥 𝜕𝑥 𝑑𝑠

) exp (− 𝜌

+ 𝜌

𝑚𝑎𝑥

𝜕𝜌 𝑑𝑡

.

(2.17)

𝜕𝑡 𝑑𝑠

) maka persamaan (2.17) akan

sama dengan persamaan (2.15). Sehingga, 𝑑

𝜌(𝑥(𝑠), 𝑡(𝑠)) = 𝑑𝑠

𝜕𝜌(𝑥,𝑡) 𝜕𝑡

+

𝜕𝜌

((𝑉𝑚𝑎𝑥 − 𝜕𝑥

𝜌𝑉𝑚𝑎𝑥 𝜌𝑚𝑎𝑥

) exp (− 𝜌

𝜌

)) = 0

(2.18)

𝑚𝑎𝑥

Nilai awal pada persamaan (2.11) dapat dituliskan 𝜌(𝑥𝑠 , 𝑡𝑠 ) = 𝜌(𝑥0 , 0). Karena 𝑑𝑡 = 1, 𝑡(0) = 0, 𝑑𝑠 maka 𝑡 = 𝑠. (2.19) Selanjutnya, karena 𝑑𝑥 𝜌𝑉𝑚𝑎𝑥 𝜌 = (𝑉 − ) exp (− ) , 𝑥(0) = 𝑥0 𝑚𝑎𝑥 𝑑𝑠 𝜌 𝜌 𝑚𝑎𝑥

𝑚𝑎𝑥

maka 𝑥 = ((𝑉𝑚𝑎𝑥 −

𝜌𝑉𝑚𝑎𝑥 𝜌𝑚𝑎𝑥

) exp (− 𝜌

𝜌

𝑚𝑎𝑥

)) 𝑠 + 𝑥0 ,

atau 𝑥(𝑡) = ((𝑉𝑚𝑎𝑥 − sehingga

𝜌𝑉𝑚𝑎𝑥 𝜌𝑚𝑎𝑥

) exp (− 𝜌

𝜌

𝑚𝑎𝑥

)) 𝑡 + 𝑥0 ,

(2.20)

7 𝑥0 = 𝑥(𝑡) − ((𝑉𝑚𝑎𝑥 − Berdasarkan persamaan (2.18) maka adalah

𝑑𝜌 𝑑𝑠

𝜌𝑉𝑚𝑎𝑥 𝜌𝑚𝑎𝑥

) exp (− 𝜌

𝜌

𝑚𝑎𝑥

) 𝑡).

(2.21)

= 0 sehingga solusi dari persamaan (2.15)

𝜌(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥0 ) = 𝑓 (𝑥(𝑡) − ((𝑉𝑚𝑎𝑥 −

𝜌.𝑉𝑚𝑎𝑥 𝜌 ) 𝑒𝑥𝑝 (− )) 𝑡) 𝜌𝑚𝑎𝑥 𝜌𝑚𝑎𝑥

(2.22)

untuk sembarang fungsi 𝑓. Karena kepadatan lalu lintas pada umumnya tidak berbentuk fungsi yang sederhana, maka untuk memudahkan pencarian solusi dari model LWR dilakukan bantuan metode numerik.

Skema Metode Beda Hingga Implisit Pada skema implisit variabel pada waktu 𝑛 + 1 dihitung berdasarkan variabel pada waktu n yang sudah diketahui serta variavel pada waktu 𝑛 + 1 yang belum diketahui. Sehingga, operator beda hingga yang di gunakan adalah sebagai berikut 𝜕𝜌(𝑡 𝑛 ,𝑥𝑖 ) 𝜕𝑡 𝜕𝜌(𝑡 𝑛 ,𝑥𝑖 ) 𝜕𝑥

=

=

𝜌(𝑡𝑖𝑛+1 )−𝜌(𝑡𝑖𝑛 )

∆𝑡 𝑛+1 𝑛+1 )+𝜌(𝑡𝑖−1 𝜌(𝑡𝑖+1 ) 2∆𝑥

(2.23) .

Sistem Persamaan taklinear Sistem persamaan nonlinear adalah kumpulan dari beberapa persamaan nonlinear yang saling berhubungan untuk mencapai tujuan tertentu. Untuk menyelesaikan permasalahan persamaan nonlinier terdapat banyak metode dan algoritma yang bisa digunakan, tetapi setiap metode dan algoritma yang ada mempunyai kelebihan dan kekurangan masing-masing. Salah satunya metode numerik digunakan untuk menyelesaikan persoalan dimana perhitungan secara analitik tidak dapat digunakan. Ada banyak macam metode numerik untuk menyelesaikan sistem persamaan linear maupun sistem persamaan nonlinear diantaranya metode Newton-Raphson dan metode Jacobian. Metode Iterasi Newton-Raphson Metode Newton-Raphson (umumnya disebut dengan metode Newton) merupakan metode pencarian solusi persamaan taklinear yang sering digunakan diantara metode lainnnya, karena metode ini memberikan konvergensi yang lebih cepat dibandingkan dengan metode lainnya. Metode Newton sering konvergen dengan cepat, terutama bila iterasi dimulai "cukup dekat" dengan solusi yang diinginkan. Namun bila iterasi dimulai jauh dari solusi yang dicari, metode ini dapat

8 meleset tanpa peringatan. Implementasi metode ini biasanya mendeteksi dan mengatasi kegagalan konvergensi. Metode Newton Raphson merupakan metode yang paling dikenal untuk mencari hampiran terhadap akar fungsi riil dan dapat memecahkan persamaan 𝑓(𝑥) = 0 , dengan 𝑓 diasumsikan mempunyai turunan kontinu 𝑓’ . Metode ini menggunakan suatu garis lurus sebagai hampiran fungsi. Garis tersebut adalah garis singgung pada kurva. Dengan menggunakan suatu nilai awal 𝑥0 dan ditetapkan 𝑥𝑖 adalah titik potong sumbu 𝑥 dengan garis singgung pada kurva 𝑓 di titik 𝑥0 . Dalam setiap iterasi akan terbentuk 𝑥𝑖 secara berulang-ulang hingga manghasilkan nilai 𝑥 yang membuat 𝑓(𝑥) = 0.

Kestabilan Kestabilan adalah syarat solusi dari suatu persamaan diferensial stabil. Persamaan diferensial akan stabil jika solusinya terbatas. Misal 𝑤(𝑧) adalah solusi suatu persamaan diferensial, 𝑤(𝑧) dikatakan terbatas jika terdapat konstanta 𝑘 > 0 sedemikian sehingga ‖𝑤(𝑧)‖ < 𝑘 untuk setiap 𝑧 ∈ ℝ.

Teorema Ekuivalensi Lax Untuk sebuah persamaan diferensial dan masalah nilai awal yang well-possed, jika suatu persamaan beda konsisten dan stabil, maka persamaan beda tersebut konvergen.

3 METODE PENELITIAN Data Penelitian ini menggunakan data kepadatan kendaraan pada gerbang tol Cikarang utara sampai 10 km ke arah Jakarta yang terdiri dari 4 lajur dan dapat menampung 12500 kendaraan. Kepadatan kendaraan dihitung dengan melihat rekaman video kepadatan arus lalu lintas dari sebuah stasiun televisi swasta di Indonesia. Data kepadatan kendaraan digunakan sebagai nilai awal untuk melakukan simulasi numerik kepadatan arus lalu lintas.

Metode Pada penelitian ini, difokuskan pada solusi numerik dari model arus lalu lintas LWR untuk menggambarkan fenomena kepadatan arus lalu lintas pada sebuah ruas jalan. Solusi numerik diperoleh dengan menggunakan metode beda hingga skema implisit. Model LWR diselesaikan secara numerik dengan melalui tiga tahapan. Pertama, model LWR dengan velositas underwood di diskretisasi menggunakan

9 metode beda hingga skema implisit. Kedua, memeriksa kekonvergenan skema numerik metode beda hingga implisit menggunakan teorema ekuivalensi Lax. Ketiga, dilakukan simulasi numerik dari model LWR untuk menggambarkan fenomena dari kepadatan lalu lintas yang sebenarnya menggunakan data awal kepadatan kendaraan dan parameter yang berbeda-beda.

4 HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bagian ini, akan dilakukan penyelesaian model LWR dengan velositas Underwood diselesaikan secara numerik dengan mendiskritisasi model LWR menggunakan skema diskretisasi metode beda hingga implisit. Selanjutnya, diperiksa kekonvergenan skema diskretisasi beda hingga implisit dengan membuktikan kestabilan dan kekonsistenannya. Terakhir dilakukan simulasi numerik untuk menggambarkan fenomena dari kepadatan lalu lintas yang sebenarnya menggunakan parameter yang berbeda-beda.

Solusi Numerik dengan Metode Beda Hingga Skema Implisit Pada bagian ini, model LWR diselesaikan secara numerik dengan melalui tiga tahapan. Pertama, model LWR dengan velositas underwood di diskretisasi menggunakan metode beda hingga skema implisit. Kedua, memeriksa kekonvergenan skema numerik metode beda hingga implisit menggunakan teorema ekuivalensi Lax. Ketiga, dilakukan simulasi numerik dari model LWR untuk menggambarkan fenomena dari kepadatan lalu lintas yang sebenarnya menggunakan parameter yang berbeda-beda.

Diskretisasi Dengan menggunakan diskretisasi skema Implisit terhadap ruang dan waktu model LWR (2.15) diaproksimasi menggunakan operator (2.23) beda hingga implisit menjadi seperti berikut: 𝜌𝑖𝑛+1 −𝜌𝑖𝑛 ∆𝑡

+𝑊

𝑛+1 𝑛+1 𝜌𝑖+1 +𝜌𝑖−1

2∆𝑥

=0

(4.1)

dengan 𝑊 = (𝑉𝑚𝑎𝑥 −

𝜌𝑖𝑛 .𝑉𝑚𝑎𝑥 𝜌𝑚𝑎𝑥

𝜌𝑖𝑛

) . exp (− 𝜌

𝑚𝑎𝑥

).

(4.2)

Dari persamaan (4.1) diperoleh: 𝑊 𝑛+1 1 𝑛+1 𝑊 𝑛+1 1 𝑛 𝜌 + 𝜌 + 𝜌 = 𝜌 . (4.3) 𝑖+1 𝑖 𝑖−1 2∆𝑥 ∆𝑡 2∆𝑥 ∆𝑡 𝑖 Untuk penyederhanaan, persamaan (4.3) dapat dituliskan menjadi bentuk berikut 1

𝑛+1 𝑛+1 𝛼𝑖𝑛+1 𝜌𝑖+1 + 𝛽𝑖𝑛+1 𝜌𝑖𝑛+1 + 𝛾𝑖𝑛+1 𝜌𝑖−1 = ∆t 𝜌𝑖𝑛 ,

untuk 𝑖 = 1, … . , 𝑀 − 1 dan 𝑛 = 1, … . , 𝑁 − 1, di mana

(4.4)

10 𝑊 2∆𝑥 1 (4.5) 𝛽𝑖𝑛+1 = ∆𝑡 𝑊 𝛾𝑖𝑛+1 = . 2∆𝑥 Didefinisikan syarat awal dan syarat batas untuk persamaan (4.4) sebagai berikut: 𝛼𝑖𝑛+1 =

𝜌𝑖0 = ρ(𝑥0 )

𝜌0𝑛 = 𝜌(𝑡𝑎 )

𝑛 𝜌𝑀 = ρ(𝑡𝑏 )

(4.6)

dengan 𝜌(𝑥0 ) adalah kepadatan jalan pada saat 𝑡 = 0, 𝜌(𝑡𝑎 ) adalah kepadatan jalan pada saat 𝑥 = 0 dan ρ(𝑡𝑏 ) adalah banyaknya kendaraan yang akan keluar dari ruas jalan yang diteliti. untuk 𝑖 = 1, 2, … . , 𝑀 − 1 dan 𝑛 = 1, … . , 𝑁 , sehingga persamaan (4.4) dapat dituliskan menjadi bentuk matriks berikut ̂ 𝑛+1 = 𝐴𝑛+1 (𝑈 𝑛+1 ) 𝑈

1 ∆𝜏𝑛

̂ 𝑛 + 𝐵 𝑛+1 , 𝑈

untuk 𝑛 = 1, … . , 𝑁 − 1, di mana 𝛽1𝑛+1 𝛾1𝑛+1 𝛼2𝑛+1 𝛽2𝑛+1 0 𝛼3𝑛+1 𝐴𝑛+1 (𝑈 𝑛+1 ) = ⋮ ⋮ 0 0 0 0 0 0 [

0 𝛾2𝑛+1 𝛽3𝑛+1 ⋮ 0 0 0

(4.7)

… … … ⋱ ⋯ … …

0 0 0 ⋮

𝑛+1 𝛽𝑀−3 𝑛+1 𝛼𝑀−2 0

0 0 0 ⋮

𝑛+1 𝛾𝑀−3 𝑛+1 𝛽𝑀−2 𝑛+1 𝛼𝑀−1

0 0 0 ⋮ 0 𝑛+1 𝛾𝑀−2 𝑛+1 𝛽𝑀−1 ]

′ 𝑘 ̂ 𝑘 = (𝑈1𝑘 , 𝑈2𝑘 , … , 𝑈𝑀−1 𝑈 ) untuk 𝑘 = 𝑛, 𝑛 + 1 𝑛+1 𝑛+1 )′ 𝐵 𝑛+1 = (−𝛼1𝑛+1 𝑈0𝑛+1 , 0, … ,0, −𝛾𝑀−1 𝑈𝑁 .

Kekonvergenan dari Skema Numerik Pada bagian ini akan ditunjukkan skema diskretisasi (4.1) memenuhi syarat kekonvergenan yang sesuai dengan teorema ekuivalensi Lax. Kestabilan Kestabilan skema diskritisasi (4.1) dianalisis menggunakan analisis kestabilan Von Neumann. Skema diskritisasi (4.4) stabil, jika 𝜌𝑖𝑛 = 𝐾 𝑛 𝑒 𝑎𝑖 , ∀ 𝑎 ∈ ℝ , memenuhi |𝐾| ≤ 1 untuk ruang i dan waktu n. Persamaan (4.4) dapat dituliskan sebagai berikut: 𝑛+1 𝑛+1 𝐺𝜌𝑖+1 + 𝜌𝑖𝑛+1 + 𝐺𝜌𝑖−1 = 𝜌𝑖𝑛

(4.8)

11 untuk 𝑖 = 1, … . , 𝑀 − 1 dan 𝑛 = 1, … . , 𝑁 − 1, dengan 𝐺=

𝑊∆𝑡 2∆𝑥

.

(4.9)

Jika 𝜌𝑖𝑛 = 𝐾 𝑛 𝑒 𝑎𝑖 , ∀ 𝑎 ∈ ℝ, disubstitusikan ke dalam persamaan (4.8) diperoleh 𝐺𝐾 𝑛+1 𝑒 𝑎(𝑖+1) + 𝐾 𝑛+1 𝑒 𝑎𝑖 + 𝐺𝐾 𝑛+1 𝑒 𝑎(𝑖−1) = 𝐾 𝑛 𝑒 𝑎𝑖 .

(4.10)

Jika kedua ruas pada persamaan (4.10) dibagi 𝐾 𝑛+1 𝑒 𝑎𝑖 , diperoleh 𝐺𝑒 𝑎 + 1 + 𝐺𝑒 −𝑎 = 𝐾 −1

(4.11)

dengan 1

𝐾 = 1+𝐺(𝑒 𝑎+𝑒 −𝑎) .

(4.12)

Selanjutnya akan dibuktikan 1 + 𝐺(𝑒 𝑎 + 𝑒 −𝑎 ) ≥ 1. Karena 𝜌𝑖𝑛 . 𝑉𝑚𝑎𝑥 𝜌𝑖𝑛 ∆𝑡 𝐺 = (𝑉𝑚𝑎𝑥 − ) . exp (− ) 𝜌𝑚𝑎𝑥 𝜌𝑚𝑎𝑥 2∆𝑥 exp (− 𝜌 (𝑉𝑚𝑎𝑥 −

𝜌𝑖𝑛

) > 0,

𝑚𝑎𝑘𝑠 𝜌𝑖𝑛 .𝑉𝑚𝑎𝑥

𝜌𝑚𝑎𝑥

∆𝑡 2∆𝑥

> 0 , (𝑒 𝑎 + 𝑒 −𝑎 ) > 0, ∀ 𝑎 ∈ ℝ, dan 𝜌𝑖𝑛 < 𝜌𝑚𝑎𝑥 , maka

) > 0, sehingga 1 + 𝐺(𝑒 𝑎 + 𝑒 −𝑎 ) ≥ 1. Jadi 𝐾=

1 ≤ 1. ∎ 1 + 𝐺(𝑒 𝑎 + 𝑒 −𝑎 )

Kekonsistenan Teorema ekuivalensi Lax menyatakan bahwa metode beda hingga konsisten untuk masalah nilai awal yang diberikan (Strikwerda, 1989). Sesuai dengan teorema ekuvalensi Lax, untuk sebuah persamaan diferensial dan masalah nilai awal yang well-possed, jika suatu persamaan beda konsisten dan stabil, maka persamaan beda tersebut konvergen.

Simulasi Numerik Pada bagian ini akan diberikan beberapa contoh kasus untuk disimulasikan. Simulasi ini dilakukan untuk menggambarkan fenomena arus lalu lintas yang sebenarnya. Simulasi dilakukan dengan bantuan software MATLAB R2010a. Simulasi dilakukan pada gerbang tol Cikarang utara sampai 10 Km kearah Jakarta. Berikut grafik kepadatan kendaraan awal pada gerbang tol Cikarang utara sampai 10 Km kearah Jakarta.

12

Gambar 1 Grafik kepadatan awal kendaraan pada t = 0 Berdasarkan Gambar 1 dapat dilihat bahwa kepadatan kendaraan dari jarak 0 km - 5 km pada ruas jalan yang telah dipartisi berfluktuasi pada angka 180 – 210 kendaraan, sedangkan pada jarak 5 km – 10 km kepadatan kendaraan berfluktuasi antara 210 – 240 kendaraan. Selanjutnya, dilakukan simulasi numerik berdasarkan nilai awal di atas dan diasumsikan banyaknya kendaraan pada jarak 0 km (𝜌(0, 𝑡)) sepanjang waktu sebanyak 210 kendaraan. Simulasi dilakukan dengan parameter yang berbeda selama 60 menit dengan ∆𝑡 = 1 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡. a) Simulasi 1 Pada simulasi ini, kepadatan kendaraan dihitung berdasarkan nilai awal dan nilai batas yang diberikan di atas dan menggunakan parameter 𝜌𝑚𝑎𝑥 = 12500 𝐾𝑚 kendaraan, 𝑉𝑚𝑎𝑥 = 30 𝑗𝑎𝑚, ∆𝑥 = 200 𝑚, ∆𝑡 = 1 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡. Berikut solusi dari model LWR yang divisualisasikan pada Gambar 2.

Gambar 2 Profil Kepadatan kendaraan selama 60 menit (∆t = 1 menit).

13 Berdasarkan Gambar 2 diperoleh data perubahan kepadatan kendaraan setiap menit tidak mengalami perubahan yang signifikan dari waktu ke waktu, dapat dilihat pada grafik yang berwarna kemerah-merahan yang berkurang secara lambat setiap menit. Dengan menggunakan fungsi velositas Underwood pada persamaan (2.4) diperoleh rata-rata kecepatan kendaraan setiap ruas seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.

Gambar 3 Profil Kecepatan kendaraan selama 60 menit (∆t = 1 menit). Berdasarkan Gambar 3 dapat dilihat bahwa rata-rata kecepatan kendaraan 𝑘𝑚 disetiap ruas hanya berada pada angka 15-20 𝑗𝑎𝑚, hal ini yang menyebabkan terurai secara lambat. Dari Gambar 3 juga terlihat hubungan timbal balik antara kepadatan dan kecepatan kendaraan. Semakin tinggi kepadatan kendaraan maka rata-rata kecepatan kendaraan akan berkurang. Perubahan kepadatan kendaraan dapat dilihat pada Gambar 4.

Gambar 4 Grafik kepadatan lalu lintas pada t = 20 menit, 40 menit dan 60 menit,

14

Gambar 5 Grafik kecepatan lalu lintas pada t = 20 menit, 40 menit dan 60 menit. Dari Gambar 4 dan Gambar 5 dapat dilihat perubahan kepadatan dan kecepatan kendaraan setiap 20 menit yang tidak berubah secara signifikan. Dari Gambar 4 dan Gambar 5 juga terlihat hubungan timbal balik antara kecepatan dan kepadatan, semakin padat suatu ruas jalan maka rata-rata kecepatan kendaraan semakin lambat. Selain kepadatan dan kecepatan kendaraan, dari model LWR juga diperoleh data fluks kendaraan yaitu laju banyaknya kendaraan yang melewati suatu ruas jalan berdasarkan kondisi kepadatan dan kecepatan pada ruas jalan tersebut. Fluks kendaraan dapat dilihat pada Gambar 5.

Gambar 6 Profil fluks kendaraan selama 60 menit (∆t = 1 menit). Gambar 5 menujukkan laju banyaknya kendaraan yang melewati setiap 200 meter ruas jalan tol jagorawi pada Km 5- Km 15 bervariasi antara 3500-3680 Kendaraan/jam.

15

b) Simulasi 2 Pada simulasi ini diasumsikan ruas jalan tol Cikarang mengalami penambahan satu lajur yang menyebabkan perubahan parameter kepadatan maksimum kendaraan menjadi 𝜌𝑚𝑎𝑥 = 15000 kendaraan. Simulasi dilakukan berdasarkan nilai awal dan nilai batas yang sama dengan simulasi 1, ∆𝑥 = 200 𝑚, ∆𝑡 = 1 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡. Berikut solusi dari model LWR yang divisualisasikan pada Gambar 6.

Gambar 7 Profil Kepadatan kendaraan selama 60 menit (∆t = 1 menit). Dari Gambar 6 terlihat bahwa kepadatan kendaraan terurai lebih cepat daripada simulasi 1. penambahan 1 lajur memberikan perubahan yang signifikan pada kondisi kepadatan yang sama dengan simulasi 1. Perubahan dapat dilihat pada grafik yang merah dan kuning yang hanya ada sampai menit 45 atau dengan kata lain kepadatan kendaraan diatas angka 210 hanya terjadi sampai menit 45.

Gambar 8 Profil Kecepatan kendaraan selama 60 menit (∆t = 1 menit).

16 Dari Gambar 7 terlihat juga perubahan yang signifikan pada rata-rata kecepatan kendaraan. Hal ini disebabkan karena perubahan kecepatan kendaraan bergantung pada kepadatan suatu ruas jalan. Perubahan kepadatan dan kecepatan setiap 20 menit dapat di lihat lebih detail pada Gambar 7.

(a)

(b) Gambar 9 (a) Grafik kepadatan lalu lintas pada t = 20 menit, 40 menit dan 60 menit, (b) Grafik kecepatan lalu lintas pada t = 20 menit, 40 menit dan 60 menit. Berbeda dengan kasus 1 dimana perubahan kepadatan dan kecepatan kendaraan setiap 20 menit tidak berubah secara drastis, pada kasus 2 kendaraan terurai lebih cepat. Hal ini dapat dilihat pada Gambar 9(a) dimana pada menit ke 60

17 kondisi kepadatan kendaraan menunjukkan kepadatan yang konstan. Hal ini disebabkan karena 𝜌(0, 𝑡) di asumsikan konstan sebanyak 210 kendaraan. Perubahan kepadatan dan kecepatan kendaraan mengakibatkan fluks kendaraan juga mengalami perubahan yang signifikan, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 10

Gambar 10 Profil fluks kendaraan selama 60 menit (∆t=1 menit). Dari Gambar 10 dapat dilihat bahwa penambahan 1 lajur mengakibatkan peningkatan laju kendaraan yang melewati setiap meningkat secara drastis. Pada kasus 1 fluks kendaraan hanya bervariasi pada angka 3500-3680 kendaraan/jam sedangkan pada kasus 2 fluks kendaraan berada pada angka 6000-6800 kendaraan/jam. Kepadatan awal 𝜌(𝑥, 0) memberikan pengaruh yang besar terhadap perubahan kepadatan dan kecepatan lalu lintas di setiap titik.

5 KESIMPULAN DAN SARAN Simpulan Pada penelitian ini kepadatan lalu lintas dimodelkan oleh model LWR berbasis fungsi velositas Underwood dengan syarat awal dan syarat batas diketahui. Solusi dari masalah nilai awal dan batas tersebut dapat memberikan gambaran mengenai kepadatan dan kecepatan lalu lintas pada sebuah ruas jalan dengan kondisi tertentu. Solusi dari model LWR diperoleh secara secara numerik menggunakan metode beda hingga skema implisit dan telah terbukti stabil dan konsisten. Berdasarkan Simulasi numerik diperoleh kecenderungan perubahan arus lalu lintas jika data diubah-ubah.

18 Saran Penelitian model LWR berbasis fungsi velositas underwood ini dapat dilanjutkan dengan mempertimbangkan asumsi adanya arus masuk atau keluar dipertengahan ruas jalan, yang menyebabkan model LWR dengan fungsi velositas underwood pada persamaan (2.10) menjadi 𝜕𝜌(𝑥, 𝑡) 𝜕 𝜌(𝑥, 𝑡) + (𝜌(𝑥, 𝑡)𝑉𝑚𝑎𝑥 exp (− )) = 𝑠(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜌𝑚𝑎𝑥 dengan 𝑠(𝑥, 𝑡) menggambarkan arus masuk dan keluar pada pertengahan ruas jalan.

DAFTAR PUSTAKA Ahsan A, Andallah LS, Hossain Z. 2015. Numerical solution of a fluid dynamic traffic flow model associated with a constant rate inflow. American Journal of Computational and Applied Mathematics. 5:18-26. Ardekani SA, Mostafa G, Shiva M. 2011. Macroscopic speed-flow models for characterization of freeway and managed lanes. Publicat de Universitatea Tehnică. 1: 149-159. Hasan M, Sultana S, Andallah LS, Azam T. 2015. Lax-Friedrich scheme for the numerical simulation of a traffic flow based on a nonlinear velocity density model. 5:186-194. Kabir MH, Gani MO, Andallah LS. 2010. Numerical simulation of a mathematical traffic flow model based on a nonlinear velocity-density function. Journal of Bangladesh Academy of Sciences. 34: 15-22. Kamau KM, Sigey JK, Okelo JA, Okwoyo J. 2014. Inhomogenous LWR traffic flow model and its application to Kisii-Kisumu highway in Kenya. SIJ Transactions on Computer Science Engineering And Its Applications (CSEA). 2: 213-218. Kiselev AB, Kokoreva AV, Nikitin VE, Smirnov NN. 2004. Mathematical modelling of traffic flows on controlled roads. Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 68: 933-939. Lighthil MJ, Witham GB. 1955. On Kinematic Waves: I: Flow Movement in Long Rivers, II: A Theory of Traffic Flow on Long Crowded Roads. In: Proceedings of the Royal Society: A229, London. Mazare PE, Claudel CG, Bayen AM. 2005. Analytical and grid-free solutions to the Lighthill-Whitham-Richards traffic flow model. Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 23: 645-653. Morlock and Edward K. 1978. Introduction to Transportation Engineering and Planing, Tokyo: Kogakusta, LTD. Qiu S, Abdelaziz M, Abdellatif F, Christian G, Claudel. 2013. Exact and grid-free solutions to the Lighthill–Whitham–Richards traffic flow model with bounded acceleration for a class of fundamental diagrams. Transportation Research Part B. 55: 282–306.

19 Spiliopoulou A, Kontorinaki M, Papageorgiou P. 2014. Macroscopic traffic flow model validation at congested freeway off-ramp areas. Transportation Research Part C. 41: 18–29. Stoilova V, Nikolov E, Nikolova N. 2013. Analytical Deriving of Second Order Model of Payne from First Order Lighthil Whitham-Richards Model. Cybernetics And Information Technologies. 13: 4-12. Strikwerda JC. 1989. Finite difference scheme and partial differential Equation (first edition). London (GB): Chapman & Hall Sultana N, Parvin M, Sarker R, Andallah LS. 2013. Simulaion of traffic flow model with traffic controller boundary. International Journal of Science and Engeenering, 5:1-9. Verberg D, Purcell JE, Rigdon SE. 2007. Calculus Ninth Edition. New Jersey (USA): Prentice Hall, Inc. Thomas, T. 2013. An empirical model for trip distribution of commuters in the netherlands: transferability in time and space reconsidered. Journal of transport geography. 26: 158-165.

20

21

LAMPIRAN

22

23

LAMPIRAN 1. Sintaks algoritma metode hingga skema implisit function V=BHimplisit(PX0,PTa,PTb,X_end,T,pmax,vmax) tic; [~,nX1] = size(PX0); nX = nX1-1; hX = X_end/nX1; %% panjang sub-interval X [~,nt1] = size(PTa); nt = nt1-1; ht = T/nt1; %% panjang sub-interval t %%%% Grid untuk variabel X dan t Xvec = hX*(0:nX); %% size = 1x(nX+1) tvec = ht*(0:nt); %% size = 1x(nt+1) P = zeros(nt1,nX1); %% size = (nt+1)x(nX+1) %mendefinisikan nilai awal P(1,:) = PX0; P(:,1) = PTa; P(:,nX) = PTb; for m = 2:nt1 %% iterasi waktu Vtemp = P(m-1,:); Vtemphit = P(m-1,2:nX1-1)'; Un = P(m-1,2:nX1-1); tol = 1; iter = 1; while tol > 1.0e-5 && iter <= 1000 Xvechit = zeros(1, nX1-2); for j=1:(nX1-2) Xvechit(j) = Xvec(j+1); end %%% Nilai W W = zeros(1,nX1); for i = 1:nX1-2 W(i) = (vmax-(Un(i)*vmax/pmax))*exp(-Un(i)/pmax); end A = zeros(nX1-2,3); %%%% Nilai dari A^(i+1) for i = 1:(nX1-2) A(i,2) = 1/ht; end for i = 1:(nX1-2) A(i,1) = W(i)/2*hX; end for i = 1:(nX1-2) A(i,3) = W(i)/2*hX; end %%%% Nilai F = Un/(delta tau) + B(i+1) F = zeros(nX1-2,1); F(1) = A(1,1)*P(m,1) + A(1,2)*Vtemphit(1) +A(1,3)*Vtemphit(2)(1/ht)*Un(1); F(nX1-2) = A(nX1-2,1)*Vtemphit(nX1-3)+A(nX1-2,2)*Vtemphit(nX12)+A(nX1-2,3)*P(m, nX1) - (1/ht)*Un(nX1-2); for i = 2:(nX1-3) F(i)=A(i,1)*Vtemphit(i-1) + A(i,2)*Vtemphit(i) +A(i,3)*Vtemphit(i+1)-(1/ht)*Un(i); end

24 %%%% Matriks Jacobi Ja = zeros(nX1-2,3); for i = 1:(nX1-2) Ja(i,2) = A(i,2); end for i = 2:(nX1-2) Ja(i,1) = A(i,1); end for i = 1:(nX1-3) Ja(i,3) = A(i,3); end %%%% Menyelesaikan Tridiagonal solvers lamb1 = zeros(nX1-2,1); lamb1 (1)=Ja(1,3)/Ja(1,2); d = zeros(nX1-2,1); d(1) = -F(1)/Ja(1,2); for k = 2:(nX1-3) lamb1(k) = Ja(k,3)/(Ja(k,2)-Ja(k,1)*lamb1(k-1)); d(k) = (-F(k)-Ja(k,1)*d(k-1))/(Ja(k,2)-Ja(k,1)*lamb1(k1)); end z = zeros(nX1-2,1); z(nX1-2) = (-F(nX1-2)-Ja(nX1-2,1)*d(nX1-3))/(Ja(nX1-2,2)Ja(nX1-2,1)*lamb1(nX1-3)); for k = (nX1-3):-1:1 z(k) = d(k) - lamb1(k)*z(k+1); end %%%%% Tridiagonal Solvers Selesai Vtemphit = Vtemphit + z; tol = max(z); iter = iter + 1; Vtemp = [P(m,1) Vtemphit' P(m,end)]; end for i = 1:nX1 P(m,i) = Vtemp(i); end end V = zeros(nt1, nX1); for j = 1:nt1 V(j,:) = P((nt1+1)-j,:); end toc;

25

RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Bulukumba, Provinsi Sulawesi Selatan pada tanggal 04 Maret 1990 sebagai anak pertama dari dua bersaudara. Penulis lahir dari pasangan Muh Basri P dan Islamiah B. Penulis menyelesaikan sekolah menengah atas di SMAN 1 Bulukumba pada tahun 2009 dan penulis melanjutkan studi S1 pada Program Studi Matematika FMIPA di Universitas Negeri Makassar (UNM) dan lulus pada tahun 2012. Pada tahun 2013, penulis melanjutkan S2 Program Magister Sains pada Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor (IPB), Program Studi Matematika Terapan dengan sponsor Beasiswa Pendidikan Pascasarjana dalam Negeri Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi (BPP-DN DIKTI).