TE Sistem Linier. Sistem Waktu Kontinu

TE 226 - Sistem Linier Jimmy Hasugian Electrical Engineering - Maranatha Christian University [email protected] - http://wp.me/p4sCVe-g

Sistem Waktu Kontinu

Jimmy Hasugian (MCU)


1 / 38

Response Impuls

Respons Impuls Salah satu hal yang sangat penting dalam menganalisis suatu sistem adalah mengetahui respons impuls suatu sistem. Pada bagian sebelumnya telah dibahas, bahwa respons frekuensi adalah output suatu sistem jika diberikan input x(t) = e jωt . Respons impuls adalah output suatu sistem jika diberikan input sinyal impuls x(t) = δ(t), dan diberi notasi h(t). Telah dibahas pada bagian sebelumnya bahwa sinyal (fungsi) impuls memiliki karakteristik sebagai berikut: 1

δ(t) = 0 untuk t 6= 0

2

δ(t) tidak terdefinisi pada t = 0, dan R∞ −∞ δ(t)dt = 1

3



25 / 38

Response Impuls

Konvolusi

Konvolusi Kita dapat menentukan karakteristik hubungan input-output dari suatu sitem linier, time-invariant (LTIS) dengan operasi konvolusi antara input dan respons impuls. Respons impuls h(t) didefinisikan sebagai output suatu sistem jika diberikan input impuls δ(t), sehingga: δ(t) → h(t)

(28)

Karena sistem bersifat linier, dengan k suatu konstanta, maka berlaku: kδ(t) → kh(t)

(29)

Karena sistem bersifat time-invariant, maka berlaku: δ(t − t0 ) → h(t − t0 ) Jimmy Hasugian (MCU)


(30) 26 / 38

Response Impuls

Konvolusi

Konvolusi Secara sederhana, implikasi dari persamaan (28), (29), dan (30) dapat dilihat pada gambar berikut



27 / 38

Response Impuls

Konvolusi

Konvolusi Konsep konvolusi di atas, memberikan implikasi bahwa, semua sinyal dapat direkonstruksi dari konvolusi sinyal tersebut dengan fungsi (sinyal) impuls. Misalnya sinyal x(t) dapat diperoleh dari: Z ∞ x(t) = x(τ )δ(t − τ )dτ (31) −∞

x(t) = x(t) ∗ δ(t)

(32)

Respons dari sebuah sistem yang diberikan sebarang input x(t) dapat diperoleh dari konvolusi input dengan respons impuls h(t) sistem tersebut. Hal ini dapat dituliskan: y (t) = x(t) ∗ h(t) Z ∞ y (t) = x(τ )h(t − τ )dτ

(33) (34)

−∞

Rumus (33) dan (34) disebut juga sebagai integral konvolusi. Jimmy Hasugian (MCU)


28 / 38

Response Impuls

Konvolusi

Konvolusi Seperti yang ditegaskan dalam persamaan (32), bahwa konvolusi suatu sinyal dengan sinyal impuls, δ(t) menghasilkan sinyal itu sendiri. Secara grafik dapat diilustrasikan sebagai berikut:

Z

∞

f (t) ∗ δ(t) =

f (τ )δ(t − τ )dτ −∞

= f (t)



29 / 38

Response Impuls

Konvolusi

Contoh Soal Diketahui fungsi f (t) dan g (t) sebagai berikut. Hitunglah konvolusi f ∗ g ( ( e −t , t ≥ 0 αe −αt , t ≥ 0 f (t) = g (t) = 0, t<0 0, t<0 Jawaban

Jika α 6= 1, maka Z

∞

f ∗g =

f (τ )g (t − τ )dτ −∞ Z t

e −τ αe −α(t−τ ) dτ 0 Z t −αt = αe e τ (α−1) dτ =

0

t αe −αt τ (α−1) e f ∗g = α−1 τ =0 α −t = e − e −αt α−1 Jika α = 1 Z t −t f ∗g =e 1 dτ 0

= t e −t Jimmy Hasugian (MCU)


30 / 38

Response Impuls

Konvolusi

Sifat Konvolusi Proses integrasi konvolusi memiliki sifat: 1

Komutatif

Z

∞

−∞ 2

3

f (t) ∗ g (t) = g (t) ∗ f (t) Z ∞ f (τ )g (t − τ )dτ = g (τ )f (t − τ )dτ

(35)

−∞

Asosiatif f (t) ∗ [g (t) ∗ h(t)] = [f (t) ∗ g (t)] ∗ h(t)

(36)

f (t) ∗ g (t) + f (t) ∗ h(t)] = f (t) ∗ [g (t) + h(t)]

(37)

Distributif



31 / 38

Response Impuls

Konvolusi

Prosedur Menghitung Integral Konvolusi IntegrasiR konvolusi dinyatakan sebagai y (t) = x(t) ∗ h(t), ∞ y (t) = −∞ x(τ )h(t − τ )dτ . Bagian integrannya sebagai ”sinyal antara”: wt (τ ) = x(τ )h(t − τ )



32 / 38

Response Impuls

Hubungan dengan Respons Step

Respons Impuls & Respons Step Respons step dari suatu sistem linier, disimbolkan dengan g (t) adalah output yang dihasilkan sistem jika diberi input step u(t). Dengan kata lain g (t) = H{u(t)}

(38)

Berdasarkan persamaan (33) maka respons step (sebagai output sebuah sistem) dapat dicari dengan: g (t) = u(t) ∗ h(t) Z ∞ = u(τ )h(t − τ )dτ

(39) (40)

−∞

Karena sinyal step u(t) bernilai nol pada t < 0, maka persamaan (40) dapat ditulis sebagai: Z ∞ g (t) = h(t − τ )dτ 0 Z t = h(τ )dτ (41) −∞ Jimmy Hasugian (MCU)


33 / 38

Response Impuls


Respons Impuls & Respons Step Persamaan (41) mengisyaratkan bahwa respons step dari suatu sistem linier adalah integral dari respons impuls. Dan berlaku juga sebaliknya bahwa respons impuls adalah turunan (diferensial) dari respons step. Sebagai contoh, Carilah respons sistem yang diwakili oleh diagram blok berikut, jika diberi input x(t) = a[u(t) − u(t − T )].



34 / 38

Response Impuls


Contoh Soal Penyelesaiannya dapat dilakukan dengan langkah berikut: 1 Cari dulu hubungan antara input-output. Dari diagram blok dapat Rt dinyatakan bahwa y (t) = −∞ [x(τ ) − x(τ − T )]dτ 2 Cari respons impuls, dengan memasukkan x(t) = δ(t), sehingga: Z t h(t) = [δ(τ ) − δ(τ − T )]dτ −∞

Pada bagian sebelumnya, telah ditegaskan hubungan sinyal (fungsi) Rt step dan sinyal (fungsi) impuls, yaitu: u(t) = −∞ δ(τ )dτ . Sehingga pada soal ini: h(t) = u(t) − u(t − T ) 3

Carilah output (respons sistem) dengan menggunakan prinsip konvolusi (34): Z t y (t) = x(τ )h(t − τ )dτ −∞ Jimmy Hasugian (MCU)


35 / 38

Response Impuls


Contoh Soal Dari soal telah diketahui input x(t) = a[u(t) − u(t − T )] dan telah diperoleh bahwa h(t) = [u(t) − u(t − T )], maka Z t y (t) = x(τ )h(t − τ )dτ −∞ Z t = a[u(τ ) − u(τ − T )][u(t − τ ) − u(t − τ − T )]dτ 0

Dari proses integrasi di atas diperoleh:   at y (t) = a(2T − t)   0,


0≤t

36 / 38

TE Sistem Linier. Sistem Waktu Kontinu

Recommend Documents