TE Sistem Linier. Sistem Waktu Kontinu

TE 226 - Sistem Linier Jimmy Hasugian Electrical Engineering - Maranatha Christian University [email protected] - http://wp.me/p4sCVe-g

Sistem Waktu Kontinu

Jimmy Hasugian (MCU)


1 / 29

Pendahuluan

Metode matematika yang digunakan untuk menganalisis sebuah sistem liner yang tak-ubah-waktu (linear time invariant system - LTIS) dapat dilakukan secara time/sequence domain atau secara transform domain. Pada bagian ini akan dipaparkan 3 (tiga) metode secara time domain untuk sistem waktu-kontinu (continuous-time system), yaitu: 1

persamaan diferensial linier (linear differential equation)

2

fungsi respons impuls (impulse-response function)

3

formuliasi variabel-keadaan (state-variable formulation)



3 / 29

Persamaan Diferensial Linier

Persamaan Diferensial Linier Secara dasar, sistem dapat direpresentasikan melalui persamaan diferensial linier biasa/PDB (ordinary linear differential equation). Theorem (Linear Differential Equation) Secara umum, sistem dapat dinyatakan melalui Persamaan Diferensial Biasa: bn

d n−1 y (t) dy (t) d n y (t) + bn−1 + . . . + b1 + y (t) = x(t) n dt dt n−1 dt

(1)

atau dapat juga ditulis sebagai: (bn D n + bn−1 D n−1 + . . . + b1 D + 1)[y (t)] = x(t) dengan D ≡

d dt

(2)

(differential operator )



4 / 29


Persamaan Diferensial Linier Diperkenalkan linear operator L yang digunakan untuk menyatakan sistem dalam persamaan diferensial: L{y (t)} = x(t)

(3)

L = bn D n + bn−1 D n−1 + . . . + b1 D + 1

(4)

dengan

Solusi Umum dari persamaan (1) dibagi menjadi dua komponen, yaitu: 1

solusi homogen → yh (t) disebut juga solusi transien, natural, tanpa-sumber

2

solusi khusus (karena adanya sumber x(t)) → yp (t) disebut juga solusi non-homogen, tunak (steady-state) Jimmy Hasugian (MCU)


5 / 29


Solusi Homogen

Solusi Homogen Solusi homogen dari persamaan (1) diperoleh jika sistem tidak memiliki input, atau x(t) = 0, sehingga menjadi: bn

d n y (t) d n−1 y (t) dy (t) + y (t) = 0 + b + . . . + b1 n−1 dt n dt n−1 dt

Solusi persamaan di atas diperoleh dengan mencari akar-akar dari persamaan (4) L = bn D n + bn−1 D n−1 + . . . + b1 D + 1 = 0 atau dapat juga ditulis: f (r ) = bn r n + bn−1 r n−1 + . . . + b1 r + 1 = 0



(5)

6 / 29


Solusi Homogen

Solusi Homogen Persamaan (5) adalah bentuk polinomial, dan akar-akar dari persamaan tersebut dibagi menjadi dua kondisi: 1

akar-akar beda (distinct roots) solusinya memiliki bentuk: e rt

2

akar-akar sama (multiple roots) misalkan ada sebanyak p kali akar-akar r , maka solusinya memiliki bentuk: e rt , te rt , t 2 e rt , . . . , t p−1 e rt

Akar-akar r dapat berupa bilangan ril ataupun kompleks. Khusus untuk bilangan pasangan-kompleks (complex-pair ) r = a ± jb, maka solusi dapat juga ditulis: e rt → e (a±jb)t → e (a+jb)t , e (a−jb)t at

at

→ e cos(bt) + e sin(bt)



eksponensial

(6)

trigonometri

7 / 29


Solusi Homogen

Solusi Homogen Solusi homogen dari persamaan L{y } = 0 dapat dituliskan sebagai: yh (t) = y1 (t) + y2 (t) + . . . + yk (t)

(7)

dengan y1 (t), y2 (t), . . . , yk (t) dapat memiliki bentuk seperti yang dijelaskan pada slide sebelumnya Sebagai contoh: Carilah solusi homogen untuk persamaan diferensial y 000 − y 00 + y 0 − y = 0 Ubah ke dalam operator D menjadi: (D 3 − D 2 + D − 1)[y ] = 0 Sehingga persamaan untuk mencari akar-akar: f (r ) = r 3 − r 2 + r − 1 = 0 diperoleh: r1 = 1, r2 = j, r3 = −j Maka solusi homogen: yh (t) = c1 e t + c2 e jt + c3 e −jt atau yh (t) = c1 e t + c20 cos(t) + c30 sin(t) Jimmy Hasugian (MCU)


8 / 29


Solusi Khusus (Non-Homogen)

Solusi Khusus (Non-Homogen) Solusi khusus ataupun non-homogen dicari apabila persamaan (1) memiliki input, atau x(t) 6= 0. Untuk mengatasi hal ini, dapat menggunakan operator pemusnah (annihilates operator ) LA sehingga memenuhi: LA {x(t)} = 0

(8)

Beberapa operator pemusnah dapat dilihat pada tabel berikut: Table: Operator Pemusnah

x(t)

LA

tk e at α cos(bt) + β sin(bt) Jimmy Hasugian (MCU)


D k+1 (D − a) (D 2 + b 2 ) 9 / 29



Solusi Khusus (Non-Homogen) Sifat Operator Pemusnah Jika LA1 adalah operator pemusnah untuk x1 (t) dan LA2 adalah operator pemusnah untuk x2 (t), maka LA1 LA2 dapat “memusnahkan” αx1 (t) + βx2 (t). Apabila operator pemusnah untuk semua jenis input telah ditemukan, maka tinggal diterapkan untuk kedua sisi dalam persamaan diferensial untuk mendapatkan solusi homogen dan solusi non-homogen (khusus). Sehingga Solusi Umum (lengkap) dari persamaan diferensial seperti pada (1) adalah: y (t) = yh (t) + yp (t)

(9)

= c1 y1 (t) + c2 y2 (t) + . . . + cn yn (t)+ cp1 yp1 (t) + cp2 yp2 (t) + . . . + cpm ypm (t) Jimmy Hasugian (MCU)


(10) 10 / 29



Contoh Soal Carilah solusi persamaan diferensial berikut ini: 1

y 00 (t) + y (t) = e t

2

L{y (t)} = (D 2 + 1)[y (t)] = sin(t),

y (0) = 1, y 0 (0) = 0

Jawaban: Soal 1 Ubah dulu ke dalam operator D, sehingga menjadi: (D 2 + 1)[y (t)] = e t Karena memiliki input x(t) = e t , maka operator pemusnahnya: (D − 1) Sehingga secara lengkap dapat dituliskan: L{y (t)} = x(t) LA L{y (t)} = LA x(t) (D − 1)(D 2 + 1)[y (t)] = (D − 1)e t (D − 1)(D 2 + 1)[y (t)] = 0 Jimmy Hasugian (MCU)


11 / 29



Contoh Soal Nyatakan dalam bentuk polinomial: f (r ) = (r − 1)(r 2 + 1) = 0 Ingat, bahwa bentuk (r − 1) diperoleh dari operator pemusnah karena ada input x(t) = e t , sehingga bagian ini akan memberikan solusi khusus (non-homogen). Akar-akar dari persamaan di atas: (r 2 + 1) → r1 = j, r2 = −j (r − 1) → r3 = 1 Sehingga solusi dari persamaa diferensial tersebut adalah: y (t) = yh (t) + yp (t) = c1 e jt + c2 e −jt + c3 e t PENTING! Bagaimana mencari nilai dari koefisien c1 , c2 , c3 ? Jimmy Hasugian (MCU)


12 / 29



Contoh Soal y (t) = yh (t) + yp (t) = c1 e jt + c2 e −jt + c3 e t Dalam soal ini, koefisien c1 , c2 adalah berasal dari solusi homogen. Untuk mencari nilai koefisien dari Solusi Homogen, diperoleh dengan memasukkan syarat batas ataupun kondisi awal (initial condition). Biasanya hal ini diketahui dalam soal. Dalam soal ini, koefisien c3 adalah berasal dari solusi khusus (non-homogen). Untuk mencari nilai koefisien dari Solusi Khusus, diperoleh dengan men-substitusi bentuk solusi khusus ke dalam persamaan diferensial yang ditanya. Dalam kasus ini, kita hanya bisa mencari koefisien dari solusi khusus (c3 ) Jimmy Hasugian (MCU)


13 / 29



Contoh Soal Substitusikan solusi khusus yp (t) = c3 e t ke dalam persamaan diferensial yang ditanya. y 00 (t) + y (t) = e t → yp00 (t) + yp (t) = e t Sehingga menjadi: c3 e t + c3 e t = e t 2c3 e t = e t Dengan demikian: 2c3 = 1 → c3 = 12 Sehingga solusi dari persamaan diferensial tersebut adalah: 1 y (t) = c1 e jt + c2−jt + e t 2 Jimmy Hasugian (MCU)


14 / 29


Bentuk Umum

Bentuk Umum Persamaan Diferensial Persamaan diferensial dalam (1) dapat diperluas lagi sehingga memiliki bentuk umum menjadi: d n y (t) d n−1 y (t) dy (t) + y (t) + b + . . . + b1 n−1 n n−1 dt dt dt d m−1 x(t) dx(t) d m x(t) + a + . . . + a1 + a0 x(t) = am m−1 m m−1 dt dt dt bn

(11)

atau dapat juga ditulis dengan menggunakan operator diferensial: (bn D n + bn−1 D n−1 + . . . + b1 D + 1)[y (t)] = (am D m + am−1 D m−1 + . . . + a1 D + a0 )[x(t)]

(12)

atau dengan menggunakan operator L: L{y (t)} = LD {x(t)} Jimmy Hasugian (MCU)


(13) 15 / 29


Bentuk Umum

Bentuk Umum Persamaan Diferensial Misalkan: xˆ(t) = LD {x(t)}

(14)

sehingga persamaan (13) dapat ditulis sebagai: L{y (t)} = xˆ(t)

(15)

yang memiliki bentuk yang identik dengan persamaan (3). Apabila sistem memiliki input x(t) 6= 0, maka operator pemusnah LA yang berlaku untuk x(t) juga berlaku untuk xˆ(t), persamaan (12) dan (13) dapat dikerjakan dengan: LA .L{y (t)} = LA .LD {x(t)}

(16)

LA .L{y (t)} = LA .ˆ x (t) Jimmy Hasugian (MCU)


16 / 29


Diagram Blok

Diagram Blok Salah satu kasus yang dihadapi adalah menurunkan model persamaan diferensial suatu sistem dari suatu diagram blok yang diberikan. Misalkan diketahui diagram blok sistem seperti berikut:

dimisalkan sinyal a sebelum blok integrasi pertama, dan sinyal b setelah blok R integrasi kedua0 R y0 = x − y R a=y →a=y y =b y 00 = x 0 − y → y 00 + y = x 00 2 Dapat diturunkan: d 2 y (t) + y (t) = d dtx(t) 2 2 dt a=x −b Jimmy Hasugian (MCU)


17 / 29

Respons Frekuensi

Respons Frekuensi

Respons (tanggapan) frekuensi dari sebuah sistem waktu-kontinu ditentukan dari respons (tanggapan) tunak (steady state) terhadap input e jωt . Output dari sistem yang linier dan time-invariant akan selalu memiliki bentuk H(jω)e jωt . Dengan kata lain, output dari sistem memiliki bentuk eksponensial kompleks yang sama dengan input, namun memiliki amplitudo dan fase yang termodifikasi oleh fungsi sistem H(jω). Nilai |H(jω)| disebut sebagai respons amplitudo atau respons magnitude, sementara arg[H(jω)] disebut sebagai respons fasa.



18 / 29

Respons Frekuensi

Respons Frekuensi Misalkan diketahui sebuah sistem yang dapat dinyatakan seperti persamaan (11) atau dapat dinyatakan seperti persamaan (12). Maka sesuai dengan penjelasan sebelumnya: y (t) = H(jω)e jωt a0 + a1 jω + . . . + am (jω)m dengan H(jω) = 1 + b1 jω + . . . + bn (jω)n

(17) (18)

Persamaan (17) adalah satu-satunya solusi khusus (non-homogen). Dengan demikian, H(jω)e jωt adalah solusi tunak (steady-state) yang unik untuk input x(t) = e jωt . Persamaan (18) adalah persamaan yang penting. Ternyata kita dapat menghitung H(jω) secara langsung dari model persamaan diferensial suatu sistem. Namun perlu diingat, hal ini hanya berlaku untuk sistem yang linier dan time-invariant (LTIS) Jimmy Hasugian (MCU)


19 / 29

Respons Frekuensi

Contoh Soal

Diketahui suatu sistem rangkaian RC sederhana seperti gambar di atas. Misalkan input x(t) = ei (t) (sumber tegangan) dan output y (t) = eo (t) (tegangan pada kapasitor C ). Tentukanlah respons frekuensi dari sistem tersebut!



20 / 29

Respons Frekuensi

Contoh Soal Jawaban Gunakan Hukum II Kirchoff, sehingga diperoleh: −ei (t) + Ri(t) + eo (t) = 0 ei (t) = Ri(t) + eo (t) dengan 1 eo (t) = C

Z

t

i(τ )dτ −∞

Maka model persamaan diferensial untuk sistem di atas menjadi: x(t) = Ri(t) + y (t) Z 1 t x(t) = Ri(t) + i(τ )dτ C −∞ Jimmy Hasugian (MCU)


(19) (20)

21 / 29

Respons Frekuensi

Contoh Soal Dari persamaan (19) dapat diperoleh: i(t) =

x(t) − y (t) R

(21)

Kita diferensialkan kedua sisi dari persamaan (20) untuk meniadakan unsur integral pada i(τ ), sehingga menjadi: di(t) 1 dx(t) =R + i(t) dt dt C

(22)

Lalu substitusikan persamaan (21) ke dalam (22) sehingga diperoleh: dx(t) d x(t) − y (t) 1 x(t) − y (t) =R + (23) dt dt R C R



22 / 29

Respons Frekuensi

Contoh Soal Sederhanakan hasil yang diperoleh pada persamaan (23), sehingga membentuk model persamaan diferensial: 1 1 dy (t) + y (t) = x(t) dt RC RC

(24)

Respons frekuensi sistem, sesuai persamaan (18) H(jω) =

1 RC 1 RC

+ jω 1 = 1 + jωRC 1 − jωRC = 1 + (ωRC )2



(25)

23 / 29

Respons Frekuensi

Contoh Soal

Respons amplitudo: 1 + (ωRC )2 |H(jω)| = [1 + (ωRC )2 ]2 1 2 1 = 2 1 + (ωRC )

12

(26)

Respons Fasa: arg[H(jω)] = − tan−1 (ωRC )



(27)

24 / 29

TE Sistem Linier. Sistem Waktu Kontinu

Recommend Documents