TE Sistem Linier. Sistem Waktu Kontinu

TE 226 - Sistem Linier Jimmy Hasugian Electrical Engineering - Maranatha Christian University [email protected] - http://wp.me/p4sCVe-g

Sistem Waktu Kontinu

Jimmy Hasugian (MCU)


1 / 58

Pokok Bahasan 1

Persamaan Diferensial Linier Solusi Homogen Solusi Khusus (Non-Homogen) Bentuk Umum Diagram Blok

2

Respons Frekuensi

3

Response Impuls Konvolusi Hubungan dengan Respons Step Menentukan Respons Impuls Hubungan dengan Respons Frekuensi

4

Persamaan Ruang Keadaan Solusi Persamaan Ruang Keadaan Respons Frekuensi Jimmy Hasugian (MCU)


2 / 58

Pendahuluan

Metode matematika yang digunakan untuk menganalisis sebuah sistem liner yang tak-ubah-waktu (linear time invariant system - LTIS) dapat dilakukan secara time/sequence domain atau secara transform domain. Pada bagian ini akan dipaparkan 3 (tiga) metode secara time domain untuk sistem waktu-kontinu (continuous-time system), yaitu: 1

persamaan diferensial linier (linear differential equation)

2

fungsi respons impuls (impulse-response function)

3

formuliasi variabel-keadaan (state-variable formulation)



3 / 58

Persamaan Diferensial Linier

Persamaan Diferensial Linier Secara dasar, sistem dapat direpresentasikan melalui persamaan diferensial linier biasa/PDB (ordinary linear differential equation). Theorem (Linear Differential Equation) Secara umum, sistem dapat dinyatakan melalui Persamaan Diferensial Biasa: bn

d n−1 y (t) dy (t) d n y (t) + bn−1 + . . . + b1 + y (t) = x(t) n dt dt n−1 dt

(1)

atau dapat juga ditulis sebagai: (bn D n + bn−1 D n−1 + . . . + b1 D + 1)[y (t)] = x(t) dengan D ≡

d dt

(2)

(differential operator )



4 / 58


Persamaan Diferensial Linier Diperkenalkan linear operator L yang digunakan untuk menyatakan sistem dalam persamaan diferensial: L{y (t)} = x(t)

(3)

L = bn D n + bn−1 D n−1 + . . . + b1 D + 1

(4)

dengan

Solusi Umum dari persamaan (1) dibagi menjadi dua komponen, yaitu: 1

solusi homogen → yh (t) disebut juga solusi transien, natural, tanpa-sumber

2

solusi khusus (karena adanya sumber x(t)) → yp (t) disebut juga solusi non-homogen, tunak (steady-state) Jimmy Hasugian (MCU)


5 / 58


Solusi Homogen

Solusi Homogen Solusi homogen dari persamaan (1) diperoleh jika sistem tidak memiliki input, atau x(t) = 0, sehingga menjadi: bn

d n y (t) d n−1 y (t) dy (t) + y (t) = 0 + b + . . . + b1 n−1 dt n dt n−1 dt

Solusi persamaan di atas diperoleh dengan mencari akar-akar dari persamaan (4) L = bn D n + bn−1 D n−1 + . . . + b1 D + 1 = 0 atau dapat juga ditulis: f (r ) = bn r n + bn−1 r n−1 + . . . + b1 r + 1 = 0



(5)

6 / 58


Solusi Homogen

Solusi Homogen Persamaan (5) adalah bentuk polinomial, dan akar-akar dari persamaan tersebut dibagi menjadi dua kondisi: 1

akar-akar beda (distinct roots) solusinya memiliki bentuk: e rt

2

akar-akar sama (multiple roots) misalkan ada sebanyak p kali akar-akar r , maka solusinya memiliki bentuk: e rt , te rt , t 2 e rt , . . . , t p−1 e rt

Akar-akar r dapat berupa bilangan ril ataupun kompleks. Khusus untuk bilangan pasangan-kompleks (complex-pair ) r = a ± jb, maka solusi dapat juga ditulis: e rt → e (a±jb)t → e (a+jb)t , e (a−jb)t at

at

→ e cos(bt) + e sin(bt)



eksponensial

(6)

trigonometri

7 / 58


Solusi Homogen

Solusi Homogen Solusi homogen dari persamaan L{y } = 0 dapat dituliskan sebagai: yh (t) = y1 (t) + y2 (t) + . . . + yk (t)

(7)

dengan y1 (t), y2 (t), . . . , yk (t) dapat memiliki bentuk seperti yang dijelaskan pada slide sebelumnya Sebagai contoh: Carilah solusi homogen untuk persamaan diferensial y 000 − y 00 + y 0 − y = 0 Ubah ke dalam operator D menjadi: (D 3 − D 2 + D − 1)[y ] = 0 Sehingga persamaan untuk mencari akar-akar: f (r ) = r 3 − r 2 + r − 1 = 0 diperoleh: r1 = 1, r2 = j, r3 = −j Maka solusi homogen: yh (t) = c1 e t + c2 e jt + c3 e −jt atau yh (t) = c1 e t + c20 cos(t) + c30 sin(t) Jimmy Hasugian (MCU)


8 / 58


Solusi Khusus (Non-Homogen)

Solusi Khusus (Non-Homogen) Solusi khusus ataupun non-homogen dicari apabila persamaan (1) memiliki input, atau x(t) 6= 0. Untuk mengatasi hal ini, dapat menggunakan operator pemusnah (annihilates operator ) LA sehingga memenuhi: LA {x(t)} = 0

(8)

Beberapa operator pemusnah dapat dilihat pada tabel berikut: Table: Operator Pemusnah

x(t)

LA

tk e at α cos(bt) + β sin(bt) Jimmy Hasugian (MCU)


D k+1 (D − a) (D 2 + b 2 ) 9 / 58



Solusi Khusus (Non-Homogen) Sifat Operator Pemusnah Jika LA1 adalah operator pemusnah untuk x1 (t) dan LA2 adalah operator pemusnah untuk x2 (t), maka LA1 LA2 dapat “memusnahkan” αx1 (t) + βx2 (t). Apabila operator pemusnah untuk semua jenis input telah ditemukan, maka tinggal diterapkan untuk kedua sisi dalam persamaan diferensial untuk mendapatkan solusi homogen dan solusi non-homogen (khusus). Sehingga Solusi Umum (lengkap) dari persamaan diferensial seperti pada (1) adalah: y (t) = yh (t) + yp (t)

(9)

= c1 y1 (t) + c2 y2 (t) + . . . + cn yn (t)+ cp1 yp1 (t) + cp2 yp2 (t) + . . . + cpm ypm (t) Jimmy Hasugian (MCU)


(10) 10 / 58



Contoh Soal Carilah solusi persamaan diferensial berikut ini: 1

y 00 (t) + y (t) = e t

2

L{y (t)} = (D 2 + 1)[y (t)] = sin(t),

y (0) = 1, y 0 (0) = 0

Jawaban: Soal 1 Ubah dulu ke dalam operator D, sehingga menjadi: (D 2 + 1)[y (t)] = e t Karena memiliki input x(t) = e t , maka operator pemusnahnya: (D − 1) Sehingga secara lengkap dapat dituliskan: L{y (t)} = x(t) LA L{y (t)} = LA x(t) (D − 1)(D 2 + 1)[y (t)] = (D − 1)e t (D − 1)(D 2 + 1)[y (t)] = 0 Jimmy Hasugian (MCU)


11 / 58



Contoh Soal Nyatakan dalam bentuk polinomial: f (r ) = (r − 1)(r 2 + 1) = 0 Ingat, bahwa bentuk (r − 1) diperoleh dari operator pemusnah karena ada input x(t) = e t , sehingga bagian ini akan memberikan solusi khusus (non-homogen). Akar-akar dari persamaan di atas: (r 2 + 1) → r1 = j, r2 = −j (r − 1) → r3 = 1 Sehingga solusi dari persamaa diferensial tersebut adalah: y (t) = yh (t) + yp (t) = c1 e jt + c2 e −jt + c3 e t PENTING! Bagaimana mencari nilai dari koefisien c1 , c2 , c3 ? Jimmy Hasugian (MCU)


12 / 58



Contoh Soal y (t) = yh (t) + yp (t) = c1 e jt + c2 e −jt + c3 e t Dalam soal ini, koefisien c1 , c2 adalah berasal dari solusi homogen. Untuk mencari nilai koefisien dari Solusi Homogen, diperoleh dengan memasukkan syarat batas ataupun kondisi awal (initial condition). Biasanya hal ini diketahui dalam soal. Dalam soal ini, koefisien c3 adalah berasal dari solusi khusus (non-homogen). Untuk mencari nilai koefisien dari Solusi Khusus, diperoleh dengan men-substitusi bentuk solusi khusus ke dalam persamaan diferensial yang ditanya. Dalam kasus ini, kita hanya bisa mencari koefisien dari solusi khusus (c3 ) Jimmy Hasugian (MCU)


13 / 58



Contoh Soal Substitusikan solusi khusus yp (t) = c3 e t ke dalam persamaan diferensial yang ditanya. y 00 (t) + y (t) = e t → yp00 (t) + yp (t) = e t Sehingga menjadi: c3 e t + c3 e t = e t 2c3 e t = e t Dengan demikian: 2c3 = 1 → c3 = 12 Sehingga solusi dari persamaan diferensial tersebut adalah: 1 y (t) = c1 e jt + c2−jt + e t 2 Jimmy Hasugian (MCU)


14 / 58


Bentuk Umum

Bentuk Umum Persamaan Diferensial Persamaan diferensial dalam (1) dapat diperluas lagi sehingga memiliki bentuk umum menjadi: d n y (t) d n−1 y (t) dy (t) + y (t) + b + . . . + b1 n−1 n n−1 dt dt dt d m−1 x(t) dx(t) d m x(t) + a + . . . + a1 + a0 x(t) = am m−1 m m−1 dt dt dt bn

(11)

atau dapat juga ditulis dengan menggunakan operator diferensial: (bn D n + bn−1 D n−1 + . . . + b1 D + 1)[y (t)] = (am D m + am−1 D m−1 + . . . + a1 D + a0 )[x(t)]

(12)

atau dengan menggunakan operator L: L{y (t)} = LD {x(t)} Jimmy Hasugian (MCU)


(13) 15 / 58


Bentuk Umum

Bentuk Umum Persamaan Diferensial Misalkan: xˆ(t) = LD {x(t)}

(14)

sehingga persamaan (13) dapat ditulis sebagai: L{y (t)} = xˆ(t)

(15)

yang memiliki bentuk yang identik dengan persamaan (3). Apabila sistem memiliki input x(t) 6= 0, maka operator pemusnah LA yang berlaku untuk x(t) juga berlaku untuk xˆ(t), persamaan (12) dan (13) dapat dikerjakan dengan: LA .L{y (t)} = LA .LD {x(t)}

(16)

LA .L{y (t)} = LA .ˆ x (t) Jimmy Hasugian (MCU)


16 / 58


Diagram Blok

Diagram Blok Salah satu kasus yang dihadapi adalah menurunkan model persamaan diferensial suatu sistem dari suatu diagram blok yang diberikan. Misalkan diketahui diagram blok sistem seperti berikut:

dimisalkan sinyal a sebelum blok integrasi pertama, dan sinyal b setelah blok R integrasi kedua0 R y0 = x − y R a=y →a=y y =b y 00 = x 0 − y → y 00 + y = x 0 Dapat diturunkan: d 2 y (t) + y (t) = dx(t) dt dt 2 a=x −b Jimmy Hasugian (MCU)


17 / 58

Respons Frekuensi

Respons Frekuensi

Respons (tanggapan) frekuensi dari sebuah sistem waktu-kontinu ditentukan dari respons (tanggapan) tunak (steady state) terhadap input e jωt . Output dari sistem yang linier dan time-invariant akan selalu memiliki bentuk H(jω)e jωt . Dengan kata lain, output dari sistem memiliki bentuk eksponensial kompleks yang sama dengan input, namun memiliki amplitudo dan fase yang termodifikasi oleh fungsi sistem H(jω). Nilai |H(jω)| disebut sebagai respons amplitudo atau respons magnitude, sementara arg[H(jω)] disebut sebagai respons fasa.



18 / 58

Respons Frekuensi

Respons Frekuensi Misalkan diketahui sebuah sistem yang dapat dinyatakan seperti persamaan (11) atau dapat dinyatakan seperti persamaan (12). Maka sesuai dengan penjelasan sebelumnya: y (t) = H(jω)e jωt a0 + a1 jω + . . . + am (jω)m dengan H(jω) = 1 + b1 jω + . . . + bn (jω)n

(17) (18)

Persamaan (17) adalah satu-satunya solusi khusus (non-homogen). Dengan demikian, H(jω)e jωt adalah solusi tunak (steady-state) yang unik untuk input x(t) = e jωt . Persamaan (18) adalah persamaan yang penting. Ternyata kita dapat menghitung H(jω) secara langsung dari model persamaan diferensial suatu sistem. Namun perlu diingat, hal ini hanya berlaku untuk sistem yang linier dan time-invariant (LTIS) Jimmy Hasugian (MCU)


19 / 58

Respons Frekuensi

Contoh Soal

Diketahui suatu sistem rangkaian RC sederhana seperti gambar di atas. Misalkan input x(t) = ei (t) (sumber tegangan) dan output y (t) = eo (t) (tegangan pada kapasitor C ). Tentukanlah respons frekuensi dari sistem tersebut!



20 / 58

Respons Frekuensi

Contoh Soal Jawaban Gunakan Hukum II Kirchoff, sehingga diperoleh: −ei (t) + Ri(t) + eo (t) = 0 ei (t) = Ri(t) + eo (t) dengan 1 eo (t) = C

Z

t

i(τ )dτ −∞

Maka model persamaan diferensial untuk sistem di atas menjadi: x(t) = Ri(t) + y (t) Z 1 t x(t) = Ri(t) + i(τ )dτ C −∞ Jimmy Hasugian (MCU)


(19) (20)

21 / 58

Respons Frekuensi

Contoh Soal Dari persamaan (19) dapat diperoleh: i(t) =

x(t) − y (t) R

(21)

Kita diferensialkan kedua sisi dari persamaan (20) untuk meniadakan unsur integral pada i(τ ), sehingga menjadi: di(t) 1 dx(t) =R + i(t) dt dt C

(22)

Lalu substitusikan persamaan (21) ke dalam (22) sehingga diperoleh: dx(t) d x(t) − y (t) 1 x(t) − y (t) =R + (23) dt dt R C R



22 / 58

Respons Frekuensi

Contoh Soal Sederhanakan hasil yang diperoleh pada persamaan (23), sehingga membentuk model persamaan diferensial: 1 1 dy (t) + y (t) = x(t) dt RC RC

(24)

Respons frekuensi sistem, sesuai persamaan (18) H(jω) =

1 RC 1 RC

+ jω 1 = 1 + jωRC 1 − jωRC = 1 + (ωRC )2



(25)

23 / 58

Respons Frekuensi

Contoh Soal

Respons amplitudo: 1 + (ωRC )2 |H(jω)| = [1 + (ωRC )2 ]2 1 2 1 = 2 1 + (ωRC )

12

(26)

Respons Fasa: arg[H(jω)] = − tan−1 (ωRC )



(27)

24 / 58

Response Impuls

Respons Impuls Salah satu hal yang sangat penting dalam menganalisis suatu sistem adalah mengetahui respons impuls suatu sistem. Pada bagian sebelumnya telah dibahas, bahwa respons frekuensi adalah output suatu sistem jika diberikan input x(t) = e jωt . Respons impuls adalah output suatu sistem jika diberikan input sinyal impuls x(t) = δ(t), dan diberi notasi h(t). Telah dibahas pada bagian sebelumnya bahwa sinyal (fungsi) impuls memiliki karakteristik sebagai berikut: 1

δ(t) = 0 untuk t 6= 0

2

δ(t) tidak terdefinisi pada t = 0, dan R∞ −∞ δ(t)dt = 1

3



25 / 58

Response Impuls

Konvolusi

Konvolusi Kita dapat menentukan karakteristik hubungan input-output dari suatu sitem linier, time-invariant (LTIS) dengan operasi konvolusi antara input dan respons impuls. Respons impuls h(t) didefinisikan sebagai output suatu sistem jika diberikan input impuls δ(t), sehingga: δ(t) → h(t)

(28)

Karena sistem bersifat linier, dengan k suatu konstanta, maka berlaku: kδ(t) → kh(t)

(29)

Karena sistem bersifat time-invariant, maka berlaku: δ(t − t0 ) → h(t − t0 ) Jimmy Hasugian (MCU)


(30) 26 / 58

Response Impuls

Konvolusi

Konvolusi Secara sederhana, implikasi dari persamaan (28), (29), dan (30) dapat dilihat pada gambar berikut



27 / 58

Response Impuls

Konvolusi

Konvolusi Konsep konvolusi di atas, memberikan implikasi bahwa, semua sinyal dapat direkonstruksi dari konvolusi sinyal tersebut dengan fungsi (sinyal) impuls. Misalnya sinyal x(t) dapat diperoleh dari: Z ∞ x(t) = x(τ )δ(t − τ )dτ (31) −∞

x(t) = x(t) ∗ δ(t)

(32)

Respons dari sebuah sistem yang diberikan sebarang input x(t) dapat diperoleh dari konvolusi input dengan respons impuls h(t) sistem tersebut. Hal ini dapat dituliskan: y (t) = x(t) ∗ h(t) Z ∞ y (t) = x(τ )h(t − τ )dτ

(33) (34)

−∞

Rumus (33) dan (34) disebut juga sebagai integral konvolusi. Jimmy Hasugian (MCU)


28 / 58

Response Impuls

Konvolusi

Konvolusi Seperti yang ditegaskan dalam persamaan (32), bahwa konvolusi suatu sinyal dengan sinyal impuls, δ(t) menghasilkan sinyal itu sendiri. Secara grafik dapat diilustrasikan sebagai berikut:

Z

∞

f (t) ∗ δ(t) =

f (τ )δ(t − τ )dτ −∞

= f (t)



29 / 58

Response Impuls

Konvolusi

Contoh Soal Diketahui fungsi f (t) dan g (t) sebagai berikut. Hitunglah konvolusi f ∗ g ( ( e −t , t ≥ 0 αe −αt , t ≥ 0 f (t) = g (t) = 0, t<0 0, t<0 Jawaban

Jika α 6= 1, maka Z

∞

f ∗g =

f (τ )g (t − τ )dτ −∞ Z t

e −τ αe −α(t−τ ) dτ 0 Z t −αt = αe e τ (α−1) dτ =

0

t αe −αt τ (α−1) e f ∗g = α−1 τ =0 α −t = e − e −αt α−1 Jika α = 1 Z t −t f ∗g =e 1 dτ 0

= t e −t Jimmy Hasugian (MCU)


30 / 58

Response Impuls

Konvolusi

Sifat Konvolusi Proses integrasi konvolusi memiliki sifat: 1

Komutatif

Z

∞

−∞ 2

3

f (t) ∗ g (t) = g (t) ∗ f (t) Z ∞ f (τ )g (t − τ )dτ = g (τ )f (t − τ )dτ

(35)

−∞

Asosiatif f (t) ∗ [g (t) ∗ h(t)] = [f (t) ∗ g (t)] ∗ h(t)

(36)

f (t) ∗ g (t) + f (t) ∗ h(t)] = f (t) ∗ [g (t) + h(t)]

(37)

Distributif



31 / 58

Response Impuls

Konvolusi

Prosedur Menghitung Integral Konvolusi IntegrasiR konvolusi dinyatakan sebagai y (t) = x(t) ∗ h(t), ∞ y (t) = −∞ x(τ )h(t − τ )dτ . Bagian integrannya sebagai ”sinyal antara”: wt (τ ) = x(τ )h(t − τ )



32 / 58

Response Impuls

Hubungan dengan Respons Step

Respons Impuls & Respons Step Respons step dari suatu sistem linier, disimbolkan dengan g (t) adalah output yang dihasilkan sistem jika diberi input step u(t). Dengan kata lain g (t) = H{u(t)}

(38)

Berdasarkan persamaan (33) maka respons step (sebagai output sebuah sistem) dapat dicari dengan: g (t) = u(t) ∗ h(t) Z ∞ = u(τ )h(t − τ )dτ

(39) (40)

−∞

Karena sinyal step u(t) bernilai nol pada t < 0, maka persamaan (40) dapat ditulis sebagai: Z ∞ g (t) = h(t − τ )dτ 0 Z t = h(τ )dτ (41) −∞ Jimmy Hasugian (MCU)


33 / 58

Response Impuls


Respons Impuls & Respons Step Persamaan (41) mengisyaratkan bahwa respons step dari suatu sistem linier adalah integral dari respons impuls. Dan berlaku juga sebaliknya bahwa respons impuls adalah turunan (diferensial) dari respons step. Sebagai contoh, Carilah respons sistem yang diwakili oleh diagram blok berikut, jika diberi input x(t) = a[u(t) − u(t − T )].



34 / 58

Response Impuls


Contoh Soal Penyelesaiannya dapat dilakukan dengan langkah berikut: 1 Cari dulu hubungan antara input-output. Dari diagram blok dapat Rt dinyatakan bahwa y (t) = −∞ [x(τ ) − x(τ − T )]dτ 2 Cari respons impuls, dengan memasukkan x(t) = δ(t), sehingga: Z t h(t) = [δ(τ ) − δ(τ − T )]dτ −∞

Pada bagian sebelumnya, telah ditegaskan hubungan sinyal (fungsi) Rt step dan sinyal (fungsi) impuls, yaitu: u(t) = −∞ δ(τ )dτ . Sehingga pada soal ini: h(t) = u(t) − u(t − T ) 3

Carilah output (respons sistem) dengan menggunakan prinsip konvolusi (34): Z t y (t) = x(τ )h(t − τ )dτ −∞ Jimmy Hasugian (MCU)


35 / 58

Response Impuls


Contoh Soal Dari soal telah diketahui input x(t) = a[u(t) − u(t − T )] dan telah diperoleh bahwa h(t) = [u(t) − u(t − T )], maka Z t y (t) = x(τ )h(t − τ )dτ −∞ Z t = a[u(τ ) − u(τ − T )][u(t − τ ) − u(t − τ − T )]dτ 0

Dari proses integrasi di atas diperoleh:   at y (t) = a(2T − t)   0,


0≤t

36 / 58

Response Impuls

Menentukan Respons Impuls


Ada 3 cara yang dapat dilakukan untuk mencari respons impuls suatu sistem: Cara 1 - Melalui Diagram Blok Apabila sistem dimodelkan dalam diagram blok, maka respons impuls dapat dicari secara langsung dari diagram blok. Biasanya metode ini dapat dilakukan untuk sistem yang sangat sederhana, seperti contoh soal sebelumnya.



37 / 58

Response Impuls



Cara 2 - Melalui Respons Step Misalkan sistem dimodelkan dalam persamaan diferensial L{y (t)} = x(t), cari dulu respons step ( 1 t≥0 L{g (t)} = 0, t < 0 Dengan diberikannya syarat/kondisi awal (initial conditions), maka respons impuls diperoleh melalui: h(t) =


d [g (t)] dt


(42)

38 / 58

Response Impuls



Cara 3 - Melalui Solusi Homogen Merupakan pendekatan yang sangat ampuh (powerful) adalah dengan mencari solusi homogen dari L{y (t)} = x(t). Respons Impuls dari sistem persamaan diferensial linier seperti dalam persamaan (2), dapat dicari apabila memenuhi solusi homogen: L{h(t)} = 0

(43)

dengan syarat batas: h(0) = h0 (0) = . . . = h(n−2) (0) = 0,



h(n−1) (0) = 1

(44)

39 / 58

Response Impuls


Contoh Soal

Carilah respons impuls dari sistem berikut: dy (t) 1 + y (t) = x(t) dt 2

y 00 (t) + y (t) = x(t)

3

(D 2 + 2D + 2)[y (t)] = x(t)

4

(D 2 − 1)(D 2 − 1)[y (t)] = x(t)



40 / 58

Response Impuls


Menentukan Respons Impuls Untuk mencari bentuk umum dalam menentukan respons impuls, misalkan suatu sistem linier dimodelkan dengan persamaan diferensial seperti pada (11), (13), yaitu melibatkan turunan dari input, sehingga: L{y (t)} = LD {x(t)} Untuk mengatasi hal ini, kita misalkan ada sebuah sistem dengan model: L{ˆ y (t)} = x(t)

(45)

ˆ yang memiliki respons impuls h(t), sehingga respons impuls untuk sistem semula diperoleh dengan: ˆ h(t) = LD {h(t)}



(46)

41 / 58

Response Impuls

Hubungan dengan Respons Frekuensi

Respons Impuls & Respons Frekuensi Kita dapat mencari hubungan antara respons impuls h(t) degan respons frekuensi H(jω). Secara umum, jika sebuah sistem diberikan input sebarang x(t), maka output sistem: y (t) = x(t) ∗ h(t) Jika diberi input x(t) = e jωt , maka output yang diperoleh adalah H(jω)e jωt , sehingga dengan menghubungkan kedua persamaan tersebut, diperoleh Z ∞ H(jω) = h(τ )e −jωτ dτ (47) −∞

Hal ini berlaku untuk sistem yang dinyatakan dalam persamaan (11) atau (13). Jimmy Hasugian (MCU)


42 / 58

Persamaan Ruang Keadaan

Persamaan Ruang Keadaan Telah disinggung di awal, bahwa salah satu cara merepresentasikan sistem secara time domain adalah melalui persamaan ruang keadaan (state-space). Untuk memahami hal ini, misalkan persaman diferensial sebuah sistem dengan satu input u(t) dimodelkan sebagai berikut (D n + bn−1 D n−1 + . . . + b1 D + 1)[y (t)] = a0 u(t)

(48)

Untuk mendapatkan gambaran mengenai variabel-keadaan (state-variable) pertama sekali ekspresikan sistem dalam sebuah diagram blok:



43 / 58



Didefinisikan vektor keadaan (state vector ) x(t) sebagai: x1 (t) = y (t) x2 (t) = y 0 (t) = x10 (t) x3 (t) = y 00 (t) = x20 (t) x4 (t) = y (3) (t) = x30 (t) .. . 0 xn (t) = y (n−1) (t) = xn−1 (t)



(49)

44 / 58



Dengan menyusun ulang persamaan (49) untuk mendapatkan x˙ (t) sebagai: x10 (t) = x2 (t) x20 (t) = x3 (t) x30 (t) = x4 (t) .. . 0 xn−1 (t) = xn (t)

xn0 (t) = y (n) (t) = a0 u(t) − x1 (t) − . . . − bn−1 xn (t)



(50)

45 / 58


Persamaan Ruang Keadaan Persamaan (50) dapat ditulis kembali dalam bentuk matriks      0 1 0 ... 0 x1 (t) x˙1 (t)    x˙2 (t)   0 0 1 ... 0       x2 (t)    ..   ..  . . . .. ..   ..  x˙ (t) =  .  =  .        x˙n−1 (t)  0  xn−1 (t) 0 0 ... 1 xn (t) x˙n (t) −1 −b1 −b2 . . . −bn−1   0 0     +  ...  u(t)   0 a0

(51)

atau x˙ (t) = Ax(t) + Bu(t) Jimmy Hasugian (MCU)


(52) 46 / 58


Persamaan Ruang Keadaan Persamaan ruang keadaan untuk sistem waktu-kontinu dinyatakan sebagai turunan (derivative) dari vektor keadaan (state vector ). Kita juga dapat mengekspresikan output y (t) dalam x(t). Sehingga secara lengkap sebuah sistem dinyatakan dalam persamaan ruang keadaan: x˙ (t) = Ax(t) + Bu(t) y (t) = Cx(t) + Du(t)

(53)

Apabila sistem memiliki multi-input sehingga berbentuk vektor, maka persamaan ruang keadaan di atas dapat ditulis menjadi: x˙ (t) = Ax(t) + Bu(t) y (t) = Cx(t) + Du(t)



(54)

47 / 58


Contoh Soal Untuk rangkaian listrik berikut ini, tentukanlah persamaan ruang keadaannya, dengan input adalah u1 (t) dan u2 (t) dan output y (t) (tegangan pada R2 )

Jawaban Pada soal ini, kita misalkan variabel keadaan (state variable) x1 (t) dan x2 (t) adalah tegangan pada C1 dan C2 Jimmy Hasugian (MCU)


48 / 58


Contoh Soal Dengan menerapkan Hukum I Kirchhoff (Kirchhoff’s Current Law ) pada simpul (node) antara R1 dan R2 serta antara R2 dan R3 , maka kita akan mendapatkan persamaan: 1 u1 (t) − x1 (t) x2 (t) − x1 (t) + x˙1 (t) = C1 R1 R2 1 u2 (t) − x2 (t) x1 (t) − x2 (t) x˙2 (t) = + C2 R3 R2 dan output y (t) adalah: y (t) = x1 (t) − x2 (t)



49 / 58


Contoh Soal

Dengan demikian persamaan ruang keadaan dari rangkaian listrik tersebut adalah:     1 1 1 1 1 + − 0   C1 R1 R2  R1 C1 R2 C1  x(t) +  x˙ (t) =    1  u(t) 1 1 1  1 0 − + R 3 C2 R 2 C2 C2 R2 R3 dan y (t) = 1 −1 x(t)



50 / 58


Solusi Persamaan Ruang Keadaan

Solusi Persamaan Ruang Keadaan Sekarang kita akan mencari solusi dari persamaan (52) dengan pertama sekali mencari respons alami (solusi homogen); yaitu dengan mengatur u(t) = 0, sehingga persamaan (52) disederhanakan menjadi: x˙ (t) = Ax(t)

(55)

Dengan prinsip yang sama dalam mencari solusi homogen dalam persamaan diferensial, maka solusi persamaan di atas: x(t) = e At x(0)

(56)

Bila kembali meninjau pelajaran mengenai Deret Taylor (atau MacLaurin), maka e At dapat didefiniskan: e At =

∞ k X t k=0


k!

Ak


(57)

51 / 58



Solusi Persamaan Ruang Keadaan Untuk mengevaluasi nilai x(0), gunakan persamaan (56) pada nilai x(t) yang diketahui saat t0 : x(t0 ) = e At0 x(0)

(58)

Sehingga akhirnya, solusi homogennya adalah: x(t) = e A(t−t0 ) x(t0 )

(59)

Untuk mencari solusi khusus (non-homogen), kita asumsikan solusinya memiliki bentuk: xp (t) = e At q(t)

(60)

Nilai q(t) adalah besaran yang akan ditentukan kemudian. Jimmy Hasugian (MCU)


52 / 58



Solusi Persamaan Ruang Keadaan Mirip seperti dalam penyelesaian persamaan diferensial, maka bentuk solusi khusus dalam persamaan (60) disubstitusikan ke persamaan ruang keadaan (54), sehingga akan diperoleh: Z t q(t) = q(t0 ) + e −Aτ Bu(τ )dτ (61) t0

Substitusikan hasil ini ke dalam (60), sehingga akhirnya, solusi khusus adalah: Z t At xp (t) = e q(t0 ) + e A(t−τ ) Bu(τ )dτ (62) t0

Dengan menggabungkan kedua jenis solusi, serta mengevaluasi nilai x(t) pada saat t0 sama dengan x(t0 ), maka diperoleh bahwa q(t0 ) = 0 Jimmy Hasugian (MCU)


53 / 58



Solusi Persamaan Ruang Keadaan Maka solusi lengkap (umum) untuk persamaan ruang keadaan (54) adalah: Z t x(t) = e A(t−t0 ) x(t0 ) + e A(t−τ ) Bu(τ )dτ (63) t0

Dan output-nya adalah: y(t) = Cx(t) + Du(t) = Ce A(t−t0 ) x(t0 ) +

Z

t

[Ce A(t−τ ) B + Dδ(t − τ )]u(τ )dτ

(64)

t0

Dari persamaan (64) di atas diperoleh respons impuls : ( Ce At B + Dδ(t), t ≥ 0 h(t) = 0 t<0 Jimmy Hasugian (MCU)


(65)

54 / 58



Solusi Persamaan Ruang Keadaan Pada rumus respons impuls pada persamaan (65) terdapat unsur e At yang dapat ditentukan dengan menggunakan Teorema Caley-Hamilton, yaitu: e At = β0 I + β1 A + β2 A2 + · · · + βn−1 An−1

(66)

Dengan mencari nilai-eigen (eigenvalue) dari matriks A (λ1 , λ2 , . . . , λn ), maka konstanta β0 , β1 , . . . dapat dievaluasi melalui persamaan: e λ1 t = β0 + λ1 β1 + λ21 β2 + . . . + λn−1 1 βn−1 e λ2 t = β0 + λ2 β1 + λ22 β2 + . . . + λn−1 2 βn−1 .. . e λn t = β0 + λn β1 + λ2n β2 + . . . + λn−1 n βn−1

(67)

CATATAN: Sistem waktu-kontinu disebut stabil, jika dan hanya jika, semua nilai-eigen dari state matrix memiliki komponen ril yang kurang dari nol. Jimmy Hasugian (MCU)


55 / 58



Contoh Soal 1

2

Evaluasilah nilai e At untuk matriks   3 0 0 A = 0 −2 1 0 4 1 Dengan menggunakan metode persamaan ruang keadaan, carilah respons step dan respons impuls dari sistem rangkaian listrik berikut.



56 / 58


Respons Frekuensi

Respons Frekuensi

Kembali ditulis persamaan ruang keadaan (53) untuk input tunggal: x˙ (t) = Ax(t) + Bu(t) y (t) = Cx(t) + Du(t) Untuk mencari respons frekuensi, maka sistem diberi input u(t) = e jωt dan akan menghasilkan output y (t) = H(jω)e jωt . Dengan men-substitusikan e jωt untuk u(t), X(jω)e jωt untuk x(t), dan H(jω)e jωt untuk y (t) maka diperoleh respons frekuensi: H(jω) = C(Ijω − A)−1 B + D



(68)

57 / 58


Respons Frekuensi

Terimakasih



58 / 58

TE Sistem Linier. Sistem Waktu Kontinu

Recommend Documents