TE Sistem Linier. Sistem Waktu Kontinu

TE 226 - Sistem Linier Jimmy Hasugian Electrical Engineering - Maranatha Christian University [email protected] - http://wp.me/p4sCVe-g

Sistem Waktu Kontinu

Jimmy Hasugian (MCU)


1 / 58

Persamaan Ruang Keadaan

Persamaan Ruang Keadaan Telah disinggung di awal, bahwa salah satu cara merepresentasikan sistem secara time domain adalah melalui persamaan ruang keadaan (state-space). Untuk memahami hal ini, misalkan persaman diferensial sebuah sistem dengan satu input u(t) dimodelkan sebagai berikut (D n + bn−1 D n−1 + . . . + b1 D + 1)[y (t)] = a0 u(t)

(48)

Untuk mendapatkan gambaran mengenai variabel-keadaan (state-variable) pertama sekali ekspresikan sistem dalam sebuah diagram blok:



43 / 58



Didefinisikan vektor keadaan (state vector ) x(t) sebagai: x1 (t) = y (t) x2 (t) = y 0 (t) = x10 (t) x3 (t) = y 00 (t) = x20 (t) x4 (t) = y (3) (t) = x30 (t) .. . 0 xn (t) = y (n−1) (t) = xn−1 (t)



(49)

44 / 58



Dengan menyusun ulang persamaan (49) untuk mendapatkan x˙ (t) sebagai: x10 (t) = x2 (t) x20 (t) = x3 (t) x30 (t) = x4 (t) .. . 0 xn−1 (t) = xn (t)

xn0 (t) = y (n) (t) = a0 u(t) − x1 (t) − . . . − bn−1 xn (t)



(50)

45 / 58


Persamaan Ruang Keadaan Persamaan (50) dapat ditulis kembali dalam bentuk matriks      0 1 0 ... 0 x1 (t) x˙1 (t)    x˙2 (t)   0 0 1 ... 0       x2 (t)    ..   ..  . . . .. ..   ..  x˙ (t) =  .  =  .        x˙n−1 (t)  0  xn−1 (t) 0 0 ... 1 xn (t) x˙n (t) −1 −b1 −b2 . . . −bn−1   0 0     +  ...  u(t)   0 a0

(51)

atau x˙ (t) = Ax(t) + Bu(t) Jimmy Hasugian (MCU)


(52) 46 / 58


Persamaan Ruang Keadaan Persamaan ruang keadaan untuk sistem waktu-kontinu dinyatakan sebagai turunan (derivative) dari vektor keadaan (state vector ). Kita juga dapat mengekspresikan output y (t) dalam x(t). Sehingga secara lengkap sebuah sistem dinyatakan dalam persamaan ruang keadaan: x˙ (t) = Ax(t) + Bu(t) y (t) = Cx(t) + Du(t)

(53)

Apabila sistem memiliki multi-input sehingga berbentuk vektor, maka persamaan ruang keadaan di atas dapat ditulis menjadi: x˙ (t) = Ax(t) + Bu(t) y (t) = Cx(t) + Du(t)



(54)

47 / 58


Contoh Soal Untuk rangkaian listrik berikut ini, tentukanlah persamaan ruang keadaannya, dengan input adalah u1 (t) dan u2 (t) dan output y (t) (tegangan pada R2 )

Jawaban Pada soal ini, kita misalkan variabel keadaan (state variable) x1 (t) dan x2 (t) adalah tegangan pada C1 dan C2 Jimmy Hasugian (MCU)


48 / 58


Contoh Soal Dengan menerapkan Hukum I Kirchhoff (Kirchhoff’s Current Law ) pada simpul (node) antara R1 dan R2 serta antara R2 dan R3 , maka kita akan mendapatkan persamaan: 1 u1 (t) − x1 (t) x2 (t) − x1 (t) + x˙1 (t) = C1 R1 R2 1 u2 (t) − x2 (t) x1 (t) − x2 (t) x˙2 (t) = + C2 R3 R2 dan output y (t) adalah: y (t) = x1 (t) − x2 (t)



49 / 58


Contoh Soal

Dengan demikian persamaan ruang keadaan dari rangkaian listrik tersebut adalah:     1 1 1 1 1 + − 0   C1 R1 R2  R1 C1 R2 C1  x(t) +  x˙ (t) =    1  u(t) 1 1 1  1 0 − + R 3 C2 R 2 C2 C2 R2 R3 dan y (t) = 1 −1 x(t)



50 / 58


Solusi Persamaan Ruang Keadaan

Solusi Persamaan Ruang Keadaan Sekarang kita akan mencari solusi dari persamaan (52) dengan pertama sekali mencari respons alami (solusi homogen); yaitu dengan mengatur u(t) = 0, sehingga persamaan (52) disederhanakan menjadi: x˙ (t) = Ax(t)

(55)

Dengan prinsip yang sama dalam mencari solusi homogen dalam persamaan diferensial, maka solusi persamaan di atas: x(t) = e At x(0)

(56)

Bila kembali meninjau pelajaran mengenai Deret Taylor (atau MacLaurin), maka e At dapat didefiniskan: e At =

∞ k X t k=0


k!

Ak


(57)

51 / 58



Solusi Persamaan Ruang Keadaan Untuk mengevaluasi nilai x(0), gunakan persamaan (56) pada nilai x(t) yang diketahui saat t0 : x(t0 ) = e At0 x(0)

(58)

Sehingga akhirnya, solusi homogennya adalah: x(t) = e A(t−t0 ) x(t0 )

(59)

Untuk mencari solusi khusus (non-homogen), kita asumsikan solusinya memiliki bentuk: xp (t) = e At q(t)

(60)

Nilai q(t) adalah besaran yang akan ditentukan kemudian. Jimmy Hasugian (MCU)


52 / 58



Solusi Persamaan Ruang Keadaan Mirip seperti dalam penyelesaian persamaan diferensial, maka bentuk solusi khusus dalam persamaan (60) disubstitusikan ke persamaan ruang keadaan (54), sehingga akan diperoleh: Z t q(t) = q(t0 ) + e −Aτ Bu(τ )dτ (61) t0

Substitusikan hasil ini ke dalam (60), sehingga akhirnya, solusi khusus adalah: Z t At xp (t) = e q(t0 ) + e A(t−τ ) Bu(τ )dτ (62) t0

Dengan menggabungkan kedua jenis solusi, serta mengevaluasi nilai x(t) pada saat t0 sama dengan x(t0 ), maka diperoleh bahwa q(t0 ) = 0 Jimmy Hasugian (MCU)


53 / 58



Solusi Persamaan Ruang Keadaan Maka solusi lengkap (umum) untuk persamaan ruang keadaan (54) adalah: Z t x(t) = e A(t−t0 ) x(t0 ) + e A(t−τ ) Bu(τ )dτ (63) t0

Dan output-nya adalah: y(t) = Cx(t) + Du(t) = Ce A(t−t0 ) x(t0 ) +

Z

t

[Ce A(t−τ ) B + Dδ(t − τ )]u(τ )dτ

(64)

t0

Dari persamaan (64) di atas diperoleh respons impuls : ( Ce At B + Dδ(t), t ≥ 0 h(t) = 0 t<0 Jimmy Hasugian (MCU)


(65)

54 / 58



Solusi Persamaan Ruang Keadaan Pada rumus respons impuls pada persamaan (65) terdapat unsur e At yang dapat ditentukan dengan menggunakan Teorema Caley-Hamilton, yaitu: e At = β0 I + β1 A + β2 A2 + · · · + βn−1 An−1

(66)

Dengan mencari nilai-eigen (eigenvalue) dari matriks A (λ1 , λ2 , . . . , λn ), maka konstanta β0 , β1 , . . . dapat dievaluasi melalui persamaan: e λ1 t = β0 + λ1 β1 + λ21 β2 + . . . + λn−1 1 βn−1 e λ2 t = β0 + λ2 β1 + λ22 β2 + . . . + λn−1 2 βn−1 .. . e λn t = β0 + λn β1 + λ2n β2 + . . . + λn−1 n βn−1

(67)

CATATAN: Sistem waktu-kontinu disebut stabil, jika dan hanya jika, semua nilai-eigen dari state matrix memiliki komponen ril yang kurang dari nol. Jimmy Hasugian (MCU)


55 / 58



Contoh Soal 1

2

Evaluasilah nilai e At untuk matriks   3 0 0 A = 0 −2 1 0 4 1 Dengan menggunakan metode persamaan ruang keadaan, carilah respons step dan respons impuls dari sistem rangkaian listrik berikut.



56 / 58


Respons Frekuensi

Respons Frekuensi

Kembali ditulis persamaan ruang keadaan (53) untuk input tunggal: x˙ (t) = Ax(t) + Bu(t) y (t) = Cx(t) + Du(t) Untuk mencari respons frekuensi, maka sistem diberi input u(t) = e jωt dan akan menghasilkan output y (t) = H(jω)e jωt . Dengan men-substitusikan e jωt untuk u(t), X(jω)e jωt untuk x(t), dan H(jω)e jωt untuk y (t) maka diperoleh respons frekuensi: H(jω) = C(Ijω − A)−1 B + D



(68)

57 / 58


Respons Frekuensi

Terimakasih



58 / 58

TE Sistem Linier. Sistem Waktu Kontinu

Recommend Documents