SISTEM KONTROL LINIER

SISTEM KONTROL LINIER Silabus : 1.

SISTEM KONTROL

2.

TRANSFORMASI LAPLACE

3.

PEMODELAN MATEMATIKA DARI SISTEM DINAMIK

4.

ANALISIS SISTEM KONTROL DALAM RUANG KEADAAN

5.

DESAIN SISTEM KONTROL DALAM RUANG KEADAAN

Referensi : Katsuhiko Ogata, 2002, Modern Control Engineering, Edisi Keempat Penilaian : • UTS • UAS • Tugas • Absen

: 30 : 30 : 40 : 10

Representasi Ruang Keadaan dari Sistem Fungsi Transfer

Bentuk Kanonik Terkontrol

Bentuk Kanonik Terobservasi

Bentuk Kanonik Diagonal

Bentuk Kanonik Jordan

Diagonalisasi Matriks Berukuran nxn

SKL Arrival Rince Putri Keterkontrolan Keterobservasian Desain Sistem Kontrol

SISTEM KONTROL LINIER

Arrival Rince Putri - FMIPA - UNAND

December 4, 2012 Arrival Rince Putri

SKL

Silabus SKL Arrival Rince Putri Keterkontrolan Keterobservasian

1

Keterkontrolan

2

Keterobservasian

3

Desain Sistem Kontrol


Arrival Rince Putri

SKL

Referensi SKL Arrival Rince Putri Keterkontrolan Keterobservasian Desain Sistem Kontrol

Katsuhiko Ogata, Modern Control Engineering, Fourth Edition, 2002.

Arrival Rince Putri

SKL

Penilaian SKL Arrival Rince Putri Keterkontrolan Keterobservasian Desain Sistem Kontrol

1

Tugas : 30

2

Ujian Akhir Semester (UAS) : 50

3

Absensi : 20

Arrival Rince Putri

SKL

Definisi SKL Arrival Rince Putri Keterkontrolan Keterobservasian Desain Sistem Kontrol

Definisi Suatu sistem dikatakan terkontrol pada saat t = t0 apabila terdapat suatu kontrol tanpa konstrain yang mentransfer sistem tersebut dari state awal x(t0 ) ke suatu state yang diinginkan.

Arrival Rince Putri

SKL

State Terkontrol Lengkap SKL Arrival Rince Putri Keterkontrolan Keterobservasian Desain Sistem Kontrol

Misalkan diberikan sistem kontinu berikut: x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t), dimana: x ∈ Rn , u ∈ R, A ∈ Rnxn , dan B ∈ Rnx1 .

Arrival Rince Putri

SKL

(1)

State Terkontrol Lengkap SKL Arrival Rince Putri Keterkontrolan Keterobservasian Desain Sistem Kontrol

Sistem (1) dikatakan state terkontrol pada t = t0 jika terdapat suatu kontrol tanpa konstrain u yang akan mentransfer state awal ke sebarang state akhir dalam interval waktu hingga t0 ≤ t ≤ t1 . Jika setiap state terkontrol, maka sistem (1) dikatakan state terkontrol lengkap.

Arrival Rince Putri

SKL

Syarat untuk state terkontrol lengkap SKL Arrival Rince Putri Keterkontrolan Keterobservasian Desain Sistem Kontrol

Tanpa mengurangi keumuman, asumsikan bahwa state akhir adalah 0 dan waktu awal t0 = 0. Solusi persamaan (1) adalah Z t At e A(t−τ ) Bu(τ )dτ. x(t) = e x(0) + 0

Dengan menggunakan definisi state terkontrol lengkap, maka Z t1 At1 x(t1 ) = 0 = e x(0) + e A(t1 −τ ) Bu(τ )dτ, 0

atau Z

t

x(0) = − 0

Arrival Rince Putri

SKL

e −Aτ Bu(τ )dτ.

(2)

Syarat untuk state terkontrol lengkap SKL Arrival Rince Putri

Tulis

Keterkontrolan Keterobservasian

e

−Aτ


=

n−1 X

αk (τ )Ak .

(3)

k=0

Dengan mensubstitusi persamaan (3) ke persamaan (2), diperoleh x(0) = −

n−1 X

Ak B

SKL

t1

αk (τ )u(τ )dτ. 0

k=0

Arrival Rince Putri

Z

(4)

Syarat untuk state terkontrol lengkap SKL Arrival Rince Putri

Misalkan Z

t1

αk (τ )u(τ )dτ = βk ,

Keterkontrolan Keterobservasian Desain Sistem Kontrol

0

maka persamaan (4) dapat ditulis menjadi x(0) = −

n−1 X

Ak Bβk

k=0

 = −

B AB · · ·

An−1 B

   

β0 β1 .. . βn−1

Arrival Rince Putri

SKL

    (5) 

Syarat untuk state terkontrol lengkap SKL Arrival Rince Putri Keterkontrolan Keterobservasian Desain Sistem Kontrol

Jika sistem state terkontrol lengkap, maka persamaan (5) terpenuhi untuk sebarang state awal x0 , dimana rank dari matriks Rank B AB · · · An−1 B = n. Sistem pada persamaan (1) adalah state terkontrol lengkap jika dan hanya jika vektor-vektor B, AB, ..., An−1 B adalah bebas linier atau Rank B AB · · · An−1 B = n. Matriks B AB · · · An−1 B disebut matriks keterkontrolan. Arrival Rince Putri

SKL

Contoh SKL Arrival Rince Putri Keterkontrolan Keterobservasian Desain Sistem Kontrol

Diberikan sistem sebagai berikut: x˙1 1 1 x1 1. = + x˙ 0 −1 x 2 2 x˙1 1 1 x1 2. = + x˙2 x2 2 −1

1 u 0 0 u 1

Selidiki apakah sistem tersebut state terkontrol lengkap atau tidak.

Arrival Rince Putri

SKL

Bentuk Lain Keterkontrolan State SKL Arrival Rince Putri Keterkontrolan Keterobservasian Desain Sistem Kontrol

Diberikan sistem MIMO berikut: x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t), x(0) = x0 dimana: x ∈ Rn , u ∈ Rl , A ∈ Rnxn , dan B ∈ Rnxl .

Arrival Rince Putri

SKL

(6)


1. Semua nilai eigen A berbeda Misalkan x(t) = Pz(t) x(t) ˙ = P z(t) ˙

(7)

Substitusi persamaan (7) ke persamaan (6), diperoleh P z(t) ˙ = APz(t) + Bu(t) z(t) ˙ = P −1 APz(t) + P −1 Bu(t)

Arrival Rince Putri

SKL

(8)

Bentuk Lain Keterkontrolan State SKL Arrival Rince Putri

 Keterkontrolan Keterobservasian Desain Sistem Kontrol

λ1

0 λ2

  P −1 AP = D =  

..

   

.

0

λn 

f11 · · ·  .. . . −1 Misalkan P B = (fij ) =  . . fn1 · · ·

Arrival Rince Putri



SKL

 fil ..  .  fnl


maka persamaan (8) dapat ditulis menjadi     

z˙ 1 (t) z˙ 2 (t) .. . z˙ n (t)





    =  

λ1 z1 (t) + f11 u1 + f12 u2 + ... + f1l ul λ2 z2 (t) + f21 u1 + f22 u2 + ... + f2l ul .. .

    

λn zn (t) + fn1 u1 + fn2 u2 + ... + fnl ul

Sistem dapat dikontrol jika tidak ada baris P −1 B yang semua unsurnya nol.

Arrival Rince Putri

SKL


2. Tidak semua nilai eigen A berbeda Transformasi A ke dalam bentuk kanonik Jordan. Misal |λI − A| = (λ − λ1 )3 + (λ − λ2 )2 , λ3 , ..., λn . A mempunyai n − 3 vektor eigen yang berbeda, maka bentuk kanonik Jordan dari A adalah

Arrival Rince Putri

SKL


J = S −1 AS  λ1 1 0 0  0 λ1 1   0 0 λ1   λ2 1   0 λ2 =   λ3   .   .   . 0 λn

Arrival Rince Putri

SKL

               

Bentuk Lain Keterkontrolan State SKL Arrival Rince Putri

Definisikan state baru Keterkontrolan Keterobservasian Desain Sistem Kontrol

x(t) = Sz(t) x(t) ˙ = S z(t) ˙

(9)

Substitusi persamaan (9) ke dalam persamaan (6), diperoleh: z(t) ˙ = S −1 ASz(t) + S −1 Bu(t) = Jz(t) + S −1 Bu(t)

Arrival Rince Putri

SKL

(10)


Syarat keterkontrolan untuk sistem pada persamaan (6): Baris matriks S −1 B yang berkaitan dengan nilai eigen yang berbeda tidak semua unsurnya nol. Hanya ada satu block Jordan untuk suatu nilai eigen yag berulang. Baris matriks S −1 B yang berkaitan dengan baris terakhir dari block Jordan tidak semua unsurnya nol.

Arrival Rince Putri

SKL

Keterkontrolan State dalam Bidang SKL Arrival Rince Putri 1

Dinyatakan dalam bentuk fungsi transfer atau matriks transfer.

2

Syarat perlu dan syarat cukup adalah tidak ada ”cancellation” yang terjadi dalam fungsi transfer atau matriks transfer.


Contoh: (s) s+2.5 1. Diberikan fungsi transfer X U(s) = (s+2.5)(s−1) Karena ”cancellation” terjadi pada fungsi transfer (satu derajat bebas hilang), maka sistem tidak terkontrol.

Arrival Rince Putri

SKL

Keterkontrolan State dalam Bidang SKL Arrival Rince Putri Keterkontrolan Keterobservasian Desain Sistem Kontrol

2. Diberikan persamaan state dari fungsi transfer sebelumnya, x˙ 1 0 1 x1 1 = + u x˙ 2 2.5 −1.5 x2 1 Karena

rank dari matriks terkontrol.

1 1 1 1

B AB

=

B AB

adalah 1, jadi sistem tidak

Arrival Rince Putri

SKL

Keterkontrolan Output SKL Arrival Rince Putri Keterkontrolan Keterobservasian Desain Sistem Kontrol

1

Dapat mengontrol output dari state sistem.

2

Keterkontrolan state bukan merupakan syarat perlu dan syarat cukup untuk mengontrol output sistem.

Diberikan sistem x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t),

(11)

y (t) = Cx(t) + Du(t)

(12)

dimana x(0) = x0 , x ∈ Rm , y ∈ Rm . Sistem dikatakan output terkontrol jika terdapat suatu vektor kontrol tanpa konstrain u(t) yang akan mentransfer output awal ke sebarang output akhir dalam interval waktu hingga t0 ≤ t ≤ t1 . Arrival Rince Putri

SKL


Sistem dikatakan output terkontrol jika rank dari matriks Rank CB CAB · · · CAn−1 B = m.

Arrival Rince Putri

SKL

Definisi SKL Arrival Rince Putri Keterkontrolan

Misalkan diberikan sistem berikut:

Keterobservasian Desain Sistem Kontrol

x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t) y

= Cx(t) + Du(t), x(0) = x0

(13) (14)

Sistem dikatakan terobservasi (teramati) jika setiap state x(t0 ) dapat ditentukan dari observasi y (t) dalam interval waktu hingga t0 ≤ t ≤ t1 .

Arrival Rince Putri

SKL

SKL Arrival Rince Putri Keterkontrolan

Pandang sistem berikut: x(t) ˙ = Ax(t) y

Keterobservasian Desain Sistem Kontrol

= Cx(t)

dimana: x ∈ Rn , y ∈ Rm , A ∈ Rnxn , dan C ∈ Rmxn . x(t) = e At x0 y (t) = Ce At x0 n−1 X = C αk (t)Ak x0 k=0

Arrival Rince Putri

SKL

(15) (16)

SKL Arrival Rince Putri Keterkontrolan Keterobservasian Desain Sistem Kontrol

= [α0 (t)C + α1 (t)CA + ... + αn−1 (t)CAn−1 ]x0   C    CA  α0 (t) α1 (t) · · · αn−1 (t)  =  x0 ..   . CAn−1

Sistem terobservasi jika rank dari matriks   C  CA     =n ..   . CAn−1

Arrival Rince Putri

SKL

Pole Placement (Penempatan Pole) SKL Arrival Rince Putri Keterkontrolan Keterobservasian Desain Sistem Kontrol

Metode untuk merancang state space (ruang keadaan) berdasarkan metode pole placement. Tujuan : mengubah karakteristik close-loop system (sistem loop-tertutup) agar sesuai dengan yang diinginkan. Asumsikan semua variable state (variabel keadaan) terukur dan ada untuk feedback (umpan balik).

Arrival Rince Putri

SKL

Pole Placement (Penempatan Pole) SKL Arrival Rince Putri

Pole adalah akar persamaan karakteristik/persamaan yang menjadi penyebut dari suatu fungsi transfer.


Pole menentukan karakteristik suatu sistem, persamaan yang dibentuknya disebut persamaan karakteristik. Dalam bidang s (untuk kontrol kontinu), letak pole yang disebelah kiri sumbu imajiner menunjukkan sistem stabil, sebaliknya letak disebelah kanan menunjukkan sistem tidak stabil. Dalam bidang z (pengaturan diskrit), letak pole dalam lingkaran satuan menunjukkan sistem stabil, sebaliknya letak di luar lingkaran satuan menunjukkan sistem tidak stabil. Arrival Rince Putri

SKL


Arrival Rince Putri

SKL


Diberikan persamaan state space untuk waktu kontinu berbentuk: x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t),

(17)

Bila dipilih suatu kontrol u = −Kx(t), dimana K adalah state feedback gain matrix (matriks umpan balik), dan di substitusi ke persamaan (17) menghasilkan persamaan x(t) ˙ = (A − BK )x(t),

(18)

Solusi dari (18) adalah x(t) ˙ = e (A−BK )t x(0).

Arrival Rince Putri

SKL

(19)


Nilai eigen dari (A − BK ) adalah pole-pole yang diinginkan. Masalah penempatan pole adalah memilih matriks umpan balik K sedemikian sehingga bagian real dari nilai eigen matriks (A − BK ) berada di sebelah kiri sumbu imajiner bidang s.

Arrival Rince Putri

SKL

Syarat Perlu dan Cukup SKL Arrival Rince Putri Keterkontrolan Keterobservasian Desain Sistem Kontrol

Jika setiap state terkontrol, maka sistem dikatakan terkontrol secara lengkap. Syarat suatu sistem terkontrol secara lengkap adalah rank B AB · · · An−1 B = n Syarat perlu dan cukup untuk penempatan pole dinyatakan dalam teorema berikut.

Arrival Rince Putri

SKL


Teorema Jika diberikan suatu sistem, maka syarat perlu dan syarat cukup untuk penempatan sebarang pole yang diinginkan adalah bahwa sistem tersebut terkontrol secara lengkap. Bukti Akan dibuktikan syarat perlu dengan kontraposisi, yaitu jika sistem tidak terkontrol lengkap, maka ada nilai eigen dari (A − BK ) yang tidak dapat dikontrol oleh state feedback (keadaan umpan balik).

Arrival Rince Putri

SKL


Arrival Rince Putri

SKL


Arrival Rince Putri

SKL


Arrival Rince Putri

SKL


Arrival Rince Putri

SKL


Arrival Rince Putri

SKL


Arrival Rince Putri

SKL


Arrival Rince Putri

SKL


Arrival Rince Putri

SKL

Keterkontrolan Output SKL Arrival Rince Putri

Matriks umpan balik K dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:


Arrival Rince Putri

SKL


Arrival Rince Putri

SKL

SISTEM KONTROL LINIER

Recommend Documents