Hubungan antara Keterobservasian dan Keterkonstruksian Sistem Linier Kontinu Bergantung Waktu

Math Educa Journal 1 (1) (2017): 86-95

Jurnal Matematika dan Pendidikan Matemati ka Email: [email protected]

Hubungan antara Keterobservasian dan Keterkonstruksian Sistem Linier Kontinu Bergantung Waktu Ezhari Asfa’ani Tadris matematika, Fakultas Tarbiyah dan Keguruan, IAIN Imam Bonjol Padang, Indonesia Email: [email protected] Received: March 2017; Accepted: May 2017; Published: June 2017

Abstrak Sistem linier kontinu bergantung waktu merupakan suatu model yang banyak dijumpai dalam aplikasi. Penelitian ini mengkaji hubungan antara keterobservasian dan keterkonstruksian sistem linier kontinu bergantung waktu. Dengan menggunakan metode aljabar, dalam tulisan ini dibuktikan beberapa teorema yang mengkaji hubungan antara keterobservasian dan keterkonstruksian sistem linier kontinu bergantung waktu. Selain itu, diberikan beberapa contoh sebagai ilustrasi untuk memperkuat keberlakuan teorema-teorema yang telah dibuktikan. Kata kunci: keterobservasian, keterkonstruksian, sistem linier kontinu bergantung waktu Abstract

Continuous time-varying linier system is a model which many peoples to find in any applications. This paper to teaching connection of observability and constructibility for continuous time-varying linear system. With algebra method we can proof any theorems to result connection of observability and constructibility for continuous time-varying linear system. Futhermore, we gave any examples for illustration to be valid this theorems and this proof. Keywords: observability, constructability, continuous time-varying linier system

vektor output.

PENDAHULUAN Diberikan suatu sistem linier kontinu

nn

A(t ) 

bergantung terhadap waktu berikut:

, B(t ) 

p m

D(t ) 

Semua nm

entri

, C (t ) 

pada p n

matriks dan

berupa fungsi-fungsi bernilai riil. No-

.

x(t )  A(t )x(t )  B(t )u(t ); t0  t  t1 ,

(1)

y (t )  C (t )x(t )  D(t )u(t )

dengan

.

x

menyatakan vektor keadaan, u(t )  p

m

n

menyatakan himpunan vektor riil ber-

menya-

menyatakan

n m

menyatakan himpunan

matriks riil berukuran n  m . Jika entri-entri dari matriks A dan B bergantung terhadap waktu, maka sistem pada persamaan (1) disebut timevarying. Sebaliknya, jika entri-entri dari matriks

______________________ Peer review under responsibility IAIN Imam Bonjol Padang. © 2017 IAIN Imam Bonjol Padang. All rights reserved.

p-ISSN: 2580-6726

n

dimensi n , dan

dx . Dalam sistem (1), x(t )  dt

takan vektor input dan y (t ) 

tasi

Ezhari Asfa’ani, Hubungan antara Keterobservasian dan Keterkonstruksian ... 87

Asumsikan B (t )  0 , maka (4) dapat di-

A dan B tidak bergantung terhadap waktu,

maka sistem (1) disebut time-invariant. Solusi per-

tulis menjadi

samaan pertama dalam (1) adalah

.

x(t )  A(t )x(t ), x(t0 )  x0 ,

t

x(t )  (t , t0 )x(t0 )   (t , ) B( )u( ) d , (2) t0

dimana  (t , t0 )

menyatakan matriks transisi

yang merupakan sistem linier homogen bergantung waktu. Misalkan  

keadaan untuk persamaan tersebut. Dengan

n n

adalah matriks dengan

n kolomnya berupa n solusi bebas linier dari (5).

demikian: t

Matriks  dikatakan sebagai matriks fundamen-

t0

tal dari (5).

y (t )  C (t )(t , t0 ) x(t0 )   C (t )(t ,  ) B( )u( ) d  D(t )u(t ).

Definisi 1. Jika  adalah matriks fundamental

(3) Hal yang menarik untuk dikaji dari sistem linier kontinu bergantung terhadap waktu adalah

(5)

masalah

keterobservasian

dan

keter-

dari (5), maka  yang didefinisikan sebagai  (t , t0 )

 (t ) 1 (t0 ), untuk t , t0  ( ,  )

dikatakan matriks transisi keadaan dari (5)

konstruksian. Secara umum, sistem (1) dikatakan

Teorema 2. Misalkan t0  ( ,  ) dan  (t , t0 ) ada-

terobservasi

lah matriks transisi keadaan dari (5) untuk

keadaan

jika

keadaan

awal

x(t0 )  x0 dapat ditentukan dengan mengetahui

t  ( ,  ) maka pernyataan berikut benar:

output dan input sekarang dan akan datang.

1.  (t , t0 ) merupakan solusi tunggal dari per-

Selain itu, sistem (1) dikatakan terkonstruksi jika

samaan diferensial matriks

keadaan awal x(t0 )  x0 dapat ditentukan dengan mengetahui output dan input sekarang dan masa lalu. Makalah ini mengkaji kembali hubungan

d (t , t0 )  A(t )(t , t0 ), dt

(6)

dengan  (t0 , t0 )  I . 2. Untuk setiap t , s,  ( ,  ) , berlaku  (t , )   (t , s) ( s, ).

antara keterobservasian dan keterkonstruksian

3. Untuk setiap t ,  ( ,  ) , berlaku  (t , ) tak

dari sistem (1).

singular dan LANDASAN TEORI

 1 (t , )   ( , t ).

Sistem Linier Kontinu Bergantung terhadap

Bukti.

Waktu

1. Misalkan  matriks fundamental dari (5). Diberikan sistem linier bergantung waktu

sebagai berikut:

 (t , t0 )   (t ) 1 (t0 ) . Oleh karena itu,

.

x(t )  A(t )x(t )  B(t )u(t ), x(t0 )  x0 ,

dimana A(t ) 

Dengan menggunakan Definisi 1 diperoleh

nn

, B(t ) 

riil bergantung waktu.

nm

(4)

adalah matriks

 (t , t0 )  A(t )(t , t0 ),

dan  (t0 , t0 )  I .

88 Math Educa Journal Volume 1 No. 1 Edisi April 2017, pp.86-95

2. Misalkan  matriks fundamental dan  matriks transisi dari (1).

dari sistem (1), serta memberikan beberapa contoh yang berkaitan dengan hubungan tersebut.

Dengan menggunakan Definisi 1 diperoleh  (t , )   (t , s ) ( s, ),

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Telah diketahui bahwa output untuk sis-

dengan t , s,  ( ,  ) . 3. Misalkan



matriks fundamental, maka

det ( (t ))  0 untuk setiap t  ( ,  ) .

tem (1) diberikan oleh t

y (t )  C (t )(t , t0 ) x(t0 )   C (t )(t ,  ) B( )u( ) d t0

Oleh karena itu

 D(t )u(t )

det ( (t , ))  0.

(7)

Dengan demikian, dapat dibuktikan bahwa

untuk t0 , t  ( ,  ) , dimana  (t , ) menyatakan

 (t , ) tak singular dan  1 (t , )  ( , t ) .

matriks transisi keadaan dari sistem (1). Selanjutnya, misalkan

Teorema 3. Jika untuk setiap t 0 dan t berlaku t t A(t )   A( )d     A( )d  A(t ),  t0   t0 

y (t )  C (t ) (t , t0 )x0

(8)

dimana t y (t )    C (t ) (t , ) B( )u( ) d  D(t )u(t )   t0  dan x 0  x(t0 ) (9)

y (t )

maka t (t , t0 )  exp   A( )d  .  t0 

Persamaan (3) disebut respon total, yang

Keterobservasian Sistem Linier Kontinu

terdiri dari penjumlahan dua komponen yaitu

Definisi 4. Suatu keadaan x dikatakan tak terob-

respon input-nol dan respon keadaan nol. Re-

servasi pada waktu t 0 jika respon input-nol dari

spon input-nol diberikan oleh

sistem adalah nol untuk setiap t  t0 , yaitu jika

 (t , t0 , x0 , 0)  C (t )(t , t0 ) x0 , sedangkan respon keadaan-nol diberikan oleh

C (t )(t , t0 ) x  0 untuk setiap t  t0 .

Misalkan

t

 (t , t0 , 0, u)   C (t )(t , ) B( )u( ) d  D(t )u(t ). t0

to0

menyatakan

(10)

himpunan

semua keadaan tak terobsercvasi pada t =t0 , atau secara simbolis dapat ditulis

METODE PENELITIAN Cara penelitian yang digunakan adalah studi literatur mengenai teori-teori tentang matriks, ruang vektor, transformasi linier, hasil kali dalam, norm, dan sistem linier kontinu bergantung terhadap waktu. Makalah ini mengkaji kembali hubungan antara keterobservasian dan keterkonstruksian

to0  {x∣ x tak terobservasi pada t  t0 } (11)

Definisi 5. Sistem (1) dikatakan terobservasi keadaan pada t 0 , jika keadaan yang tak terobservasi pada t 0 hanyalah keadaan nol, x  0 , yaitu jika to0  {0} .


Dari Teorema 6, jelas bahwa keadaan x

Teorema 6. Suatu keadaan x adalah tak terob-

terobservasi pada t 0 jika dan hanya jika terdapat

servasi pada t 0 jika dan hanya jika x  ker (Wo (t0 , t1 ))

(12)

Akibat 7. Sistem (1) adalah terobservasi keadaan

untuk setiap t1  t0 , dimana



Wo (t0 , t1 )

t1

t0

t1  t0 sedemikian sehingga Wo (t0 , t1 ) x  0 .

T ( , t0 )C T ( )C ( )( , t0 )d

(13)

pada t 0 jika dan hanya jika terdapat suatu waktu berhingga t1  t0 sedemikian sehingga rank (W0 (t0 , t1 ))  n.

adalah matriks simetris untuk setiap t1  t0 . Dari Teorema 6, jelas bahwa keadaan x terobservasi pada t 0 jika dan hanya jika terdapat

(14)

Jika sistem terobservasi, maka keadaan x 0 pada t 0 adalah t1 x0  Wo1 (t0 , t1 )   T ( , t0 )C T ( )y ( )d  . (15)  t0 

t1  t0 sedemikian sehingga Wo (t0 , t1 ) x  0 .

Bukti.

Bukti.

( )

x  ker (Wo (t0 , t1 ))

Misalkan

maka

(  ) Misalkan sistem (1) terobservasi keadaan

Wo (t0 , t1 ) x  0 untuk setiap t1  t0 . Akan di-

pada t 0 . Akan dicari suatu waktu berhingga

tunjukkan bahwa keadaan x tak terobservasi pa-

t1  t0 sedemikian sehingga

da

t0 .

Karena

Wo (t0 , t1 ) x  0

maka

x Wo (t0 , t1 )x  0 untuk setiap t1  t0 . T

Karena

rank (Wo (t0 , t1 ))  n.

Karena (1) terobservasi keadaan pada t 0 , maka keadaan yang tak terobservasi pada t 0 hanyalah



t1

t0

2

C ( )( , t0 )x d = 0

keadaan nol, yaitu x  0 . Berdasarkan Teorema 6, terdapat t1  t0 sedemikian sehingga

maka haruslah C ( )( , t0 )x  0 untuk setiap   t0 .

Jadi keadaan x tak terobservasi pada t 0 . (  )Misalkan keadaan x tak terobservasi pada t 0 , akan ditunjukkan bahwa x  ker (Wo (t0 , t1 ))

untuk setiap t1  t0 . Karena keadaan x tak terobservasi pada t 0 , maka C (t )(t , t0 ) x  0 untuk setiap t  t0 . Akibatnya Wo (t0 , t1 ) x  0

Jadi x  ker (Wo (t0 , t1 )) untuk setiap t1  t0 .

ker (Wo (t0 , t1 ))  {0}.

Telah diketahui bahwa null (Wo (t0 , t1 ))  0.

Karena Wo (t0 , t1 ) adalah matriks n  n , dan rank (Wo (t0 , t1 ))  null (Wo (t0 , t1 ))  n,

maka dapat disimpulkan bahwa rank (Wo (t0 , t1 ))  n.

(  ) Misalkan terdapat suatu waktu berhingga t1  t0 sedemikian sehingga rank (Wo (t0 , t1 ))  n.


Akan ditunjukkan bahwa sistem (1) terobservasi

Teorema 10. Suatu keadaan x adalah tak terob-

keadaan pada t 0 . Karena rank (Wo (t0 , t1 ))  n un-

servasi pada t1 jika dan hanya jika

tuk suatu waktu berhingga t1  t0 , maka

x  ker (Wcn (t0 , t1 ))

null (Wo (t0 , t1 ))  0.

untuk setiap t0  t1 , dimana

Akibatnya ker (Wo (t0 , t1 ))  {0} yang bermakna



Wcn (t0 , t1 )

t0

bahwa keadaan yang tak terobservasi pada t 0 isi 5, maka sistem (1) adalah terobservasi keadaan pada t 0 . Selanjutnya, dari persamaan (13) dan (8) diperoleh Wo (t0 , t1 )x0    ( , t0 )C ( )yd T

T

t0

T ( , t1 )C T ( )C ( )( , t1 )d

(18)

hanyalah keadaan nol, x  0 . Berdasarkan Defin-

t1

t1

(16)

adalah matriks simetris untuk setiap t 0  t1 . Bukti. (  ) Misalkan x  ker (Wcn (t0 , t1 )) maka Wcn (t0 , t1 )x  0 untuk setiap t0  t1 . Akan di-

tunjukkan bahwa keadaan x tak terkonstruksi

Dengan mengalikan kedua ruas (16) dengan

pada t 1 . Karena Wcn (t0 , t1 )x  0 maka

Wo1 (t0 , t1 ) diperoleh

xT Wcn (t0 , t1 )x  0 untuk setiap t0  t1 .

t1 x0  Wo1 (t0 , t1 )   T ( , t0 )C T ( )y( )d  .  t0 

Karena



(17) Keterkonstruksian Sistem Linier Kontinu

t0

berhingga t  t1 , respon input-nol dari sistem adalah nol untuk semua t , yaitu, C (t )(t , t0 )x  0 untuk setiap t  t1.

Misalkan 

t1 cn

menyatakan himpunan semua

keadaan tak terkonstruksi pada t  t1 , atau secara

C ( )( , t1 )x  0 untuk setiap   t1.

Jadi keadaan x tak terkonstruksi pada t1 . (  )Misalkan keadaan x tak terkonstruksi pada t1 , akan ditunjukkan bahwa x  ker (Wcn (t0 , t1 ))

untuk setiap t0  t1 . Karena keadaan x tak terkonstruksi pada t1 , maka C (t )(t , t1 ) x  0 untuk setiap t  t1 . Akibatnya

simbolis dapat ditulis   {x∣ x tak terkonstruksi pada t  t1} t1 cn

Definisi 9. Sistem (1) dikatakan terkonstruksi keadaan pada t1 , jika keadaan yang tak terkonstruksi pada t1 hanyalah keadaan nol, x  0 , yaitu jika   {0} .

2

C ( )( , t1 )x d  0

maka haruslah

Definisi 8. Suatu keadaan x dikatakan tak terkonstruksi pada waktu t1 jika untuk setiap waktu

t1

Wcn (t0 , t1 ) x  0

Jadi x  ker (Wcn (t0 , t1 )) untuk setiap t0  t1. Akibat 11. Sistem (1) adalah terkonstruksi keadaan pada t1 jika dan hanya jika terdapat suatu waktu berhingga t 0  t1 sedemikian sehingga

t1 cn

rank (Wcn (t0 , t1 ))  n.

Bukti.

(19)


(  ) Misalkan sistem (1) terkonstruksi keadaan

Teorema berikut memperlihatkan hub-

pada t1 . Akan dicari suatu waktu berhingga t0  t1

ungan

sedemikian sehingga

erkonstruksian sistem (1).

rank(Wcn (t 0 ,t1 )) = n.

Karena (1) terkonstruksi keadaan pada t1 , maka keadaan yang tak terkonstruksi pada t1 hanyalah keadaan nol, yaitu x  0. Berdasarkan Teorema 6, terdapat t0  t1 sedemikian sehingga ker (Wcn (t0 , t1 ))  {0}.

Telah diketahui bahwa null(Wcn (t 0 ,t1 ))=0.

Karena Wcn  t0 , t1  adalah matriks n  n , dan rank(Wcn  t0 , t1  )+null(Wcn  t0 , t1  )=n,

maka dapat disimpulkan bahwa rank(Wcn  t0 , t1  )=n.

(  ) Misalkan terdapat suatu waktu berhingga

antara

Akan ditunjukkan bahwa sistem (1) terkonstruksi keadaan pada t1 . Karena rank Wcn  t0 , t1    n untuk suatu waktu berhingga t0
Akibatnya ker (Wcn (t0 , t1 ))  {0} yang bermakna bahwa keadaan yang tak terkonstruksi pada t1 hanyalah keadaan nol, x  0 . Berdasarkan definisi 9, maka sistem (1) adalah terkonstruksi keadaan pada t1 .

dan

ket-

Teorema 12. Jika sistem (1) terobservasi keadaan pada t 0 , maka sistem tersebut terkonstruksi keadaan pada suatu t1  t0 . Selanjutnya, jika sistem (1) terkonstruksi keadaan pada t1 , maka sistem tersebut terobservasi keadaan pada suatu t 0  t1 .

Bukti. Misalkan sistem (1) terboservasi keadaan pada t 0 , akan dibuktikan bahwa sistem tersebut ter-

konstruksi keadaan pada t1 . Karena sistem (1) terobservasi keadaan pada t 0 , maka terdapat suatu waktu berhingga t1  t0 sedemikian sehingga rank (Wo (t0 , t1 ))  n.

t0
rank(Wcn  t0 , t1  )=n.

keterobservasian

Perhatikan matriks Wcn (t0 , t1 ) pada persamaan

(19)

.

Dengan

mengalikan

matriks

Wcn (t0 , t1 ) dari kiri dengan T (t1 , t0 ) dan dari

kanan dengan  (t1 , t0 ) , diperoleh T (t1 , t0 )Wcn (t0 , t1 )(t1 , t0 )= Wo (t0 , t1 ).

Karena  (t1 , t0 ) adalah matriks tak singular untuk setiap t 0 dan t1 , maka rank ( (t1 , t0 ))  n. Karena

rank (Wo (t0 , t1 ))  n

rank ( (t1 , t0 ))  n ,

maka

dan mestilah

rank (Wcn (t0 , t1 ))  n untuk setiap t1 yang menun-

jukkan bahwa sistem terkonstruksi keadaan. Misalkan sistem (1) terkonstruksi keadaan Hubungan Antara Keterobservasian dan Ket-

pada, akan dibuktikan bahwa sistem tersebut

erkonstruksian Sistem Linier Kontinu

terobservasi keadaan pada t 0 . Karena sistem (1)


terkonstruksi pada t1 , maka terdapat suatu wak-

Diberikan y (t0 )  y (t0 )   et0 , maka x0 dapat

tu berhingga t 0  t1 sedemikian sehingga

ditentukan menggunakan (12), yaitu  e2t0   t1 t0 t0  x0     t0 e ( e )d  ( t  t )  1 0   .

rank (Wcn (t0 , t1 ))  n.

Perhatikan matriks Wo (t0 , t1 ) pada persamaan (13). Dengan mengalikan matriks Wo (t0 , t1 ) dari kiri dengan (T (t1 , t0 )) 1 dan dari kanan

Contoh

2.

Diketahui

dengan ( (t1 , t0 )) 1 diperoleh y  C (t )x

(T (t1 , t0 )) 1Wo (t0 , t1 )((t1 , t0 )) 1 

dimana

sistem

.

x  A(t )x,

 1 e2t  A(t )     0 1

dan

t1 (T (t1 , t0 )) 1   T ( , t0 )C T ( )C ( )( , t0 ) d   t0 

C (t )  0 e t  . Akan diperlihatkan bahwa sis-

( (t1 , t0 )) 1

tem ini tak terobservasi keadaan.

Karena  (t1 , t0 ) matriks transisi keadaan, maka

Karena

(T (t1 , t0 )) 1  T (t0 , t1 )

1   t (t  t0 )  (e 2t  e 2t0 )  (t  t0 )e 2t     A(t )  A( )d  2  t0    (t  t0 )  0 

dan

( (t1 , t0 )) 1   (t0 , t1 ) . Akibatnya (T (t0 , t1 ))Wo (t0 , t1 )((t1 , t0 )) 1 = Wcn (t0 , t1 )

Karena  (t1 , t0 ) adalah matriks tak singular untuk setiap t 0 dan t1 , maka rank ( (t1 , t0 ))  n . Selanjutnya,

karena

rank (Wcn (t0 , t1 ))  n

rank ( (t1 , t0 ))  n ,

maka

t    A( )d  A(t )  t0  maka matriks transisi keadaan dapat ditentukan

dengan rumus t (t , t0 )  exp   A( )d   t0 

dan

mestilah

Selanjutnya,

rank (Wo (t0 , t1 ))  n untuk setiap t1 yang menun-

 (t  t0 )  (t , t0 )  exp    0

jukkan bahwa sistem terobservasi keadaan. Berikut disajikan beberapa contoh yang

  ( t  t0 ) e    0

memperlihatkan hasil-hasil diatas. Contoh 1. Diketahui x   x, y  et x . Akan diper-

1 t  t0  ( e  e  t  3t0 )  2  e  ( t  t0 ) 

lihatkan bahwa sistem ini terobservasi keadaan

dan

dengan menentukan keadaan x0 . Matriks transisi

  ( t  t0 ) e C ( ) ( , t0 )  0 e     0

keadaan untuk sistem ini adalah  (t , )  e  ( t  )

t

dan C ( ) ( , t0 )  e e  ( t0 )  et0 . Sehingga

 0 e 2 t0  .

t1

Wo (t0 , t1 )   et0 et0 d t0

 e 2t0 (t1  t0 ).

Sehingga

1 2 t 2 t0  (e  e )  2  (t  t0 ) 

1 t  t0  [ e  e  t  3 t 0 ] 2  e  ( t  t0 ) 

Ezhari Asfa’ani, Hubungan antara Keterobservasian dan Keterkonstruksian ... 93 t1  0  Wo (t0 , t1 )    2 t0  0 e 2 t0  d t0 e   0 0  1   e 2 t0  . 4 t0  4 t1 4 0 e  e 

x0  Wo1 (t0 , t1 )  T ( , t0 )C T ( )  t1

t0

(  t0 )  d

 0   . 0 

Karena rank (Wo (t0 , t1 ))  1  2  n , maka sistem tak terobservasi.

0 1  2. Jika A(t )    sama seperti contoh sebe0 0  lumnya, tetapi C (t )   0 1 . Akan diperlihat-

Contoh . .

1. Diketahui sistem x  A(t )x, y  C (t )x

di-

0 1  mana A(t )    dan C (t )  1 0 . Akan 0 0 

kan bahwa sistem ini tidak terobservasi keadaan. Karena A sama seperti contoh sebelumnya, maka matriks transisi keadaan

1 (t  t0 )  (t , t0 )   1  0

diperlihatkan bahwa sistem ini terobservasi keadaan dengan menentukan keadaan x 0 . Terlebih dahulu akan ditentukan matriks transisi keadaan dari sistem tersebut. Dengan menggunakan, akan ditunjukkan bahwa

dan 1 (  t0 )  C ( )( , t0 )   0 1  1  . 0   0 1

Sehingga

Karena t 0 0 A(t )   A( )d     t0   0 0  t    A( )d  A(t )  t0 

,

maka matriks transisi keadaan dapat diten-

t1  0  Wo (t0 , t1 )      0 1 d t0 1   0  0  . 0 (t1  t0 ) 

Karena rank (Wo (t0 , t1 ))  1  2  n , maka sistem tak terobservasi.

tukan dengan rumus t (t , t0 )  exp   A( )d   t0 

Selanjutnya,

1 (t  t0 )  (t , t0 )   1  0

.

Contoh 4. Diberikan sistem x  A(t )x, y  C (t )x

 1 e2t  dimana A(t )     0 1

dan C (t )  et

0  .

Sistem ini terobservasi keadaan pada t 0 . Akan diperlihatkan bahwa sistem ini terkontruksi

dan C ( )( , t0 )  1 (  t0 ) 

Diberikan y (t0 )  

(  t0 )  , maka x 0

dapat ditentukan menggunakan (12), yaitu

keadaan pada t 0 . Karena sistem terobservasi keadaan pada t 0 , maka terdapat suatu waktu berhingga t1  t0 sedemikian sehingga rank (Wo (t0 , t1 ))  2.


Telah diperoleh   ( t1 t ) e  (t , t1 )     0

Sehinga Wo (t0 , t1 )

1 t1 t  t1 3t  (e  e ) 2  e  (t1 t ) 

dan

 C ( )( , t1 )  et1 

1 t1 2 t1  (e  e )  . 2 

Sehingga

1  2t1  (1  e 2t0  2t1 )   e (t1  t0 ) 2 Wcn (t0 , t1 )   .  1 (1  e2t0 2t1 )  1 (et1  e2t0 t1 )   2 4  Karena rank (Wcn (t0 , t1 ))  n , maka sistem terkonstruksi.

C (t )  et

2 t0

SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Berdasarkan uraian di atas, dapat diberikan kesimpulan sebagai berikut:

Contoh 3.3.5. Diberikan sistem y  C (t )x

  e  (2 t0 )   e  (2 t0 ) 1 (et0  e 2 3t0 )  d  e  t0  1 (et0  e 2 3t0 )   2  2  1  (2t1  2t0 ) 4t1  4t0    (4 t1  2 t0 )  e 2t0 (e e )  e 2  . 1 t0 2 t1  3t0 2  1 (e  (2t1  2t0 )  e 4t1  4t0 ) (e  e )   2 4  Karena rank (W0 (t0 , t1 ))  2 , maka sistem terobservasi. t1

dimana 0  .

.

x  A(t )x,

 1 e2t  A(t )     0 1

Sistem

ini

dan

terkonstruksi

keadaan pada t1 . Akan diperlihatkan bahwa sistem ini terobservasi keadaan pada t 0 . Karena sistem terkonstruksi keadaan pada t1 , maka terdapat suatu waktu berhingga t 0  t1 sedemikian sehingga rank (Wcn (t0 , t1 ))  2.

Telah diperoleh   ( t  t0 ) e  (t , t0 )     0

1 t  t0  [ e  e  t  3 t0 ] 2  e  ( t  t0 ) 

1. Syarat cukup dan perlu untuk keterobservasian dari sistem (1) adalah rank (Wo (t0 , t1 ))  n,

2. Syarat

cukup

dan

perlu

untuk

ket-

erkonstruksian dari sistem (1) adalah rank (Wcn (t0 , t1 ))  n,

3. Jika sistem (1) terobservasi keadaan pada t 0 , maka sistem tersebut terkons-truksi keadaan pada suatu t1  t0 . Selain itu, jika sistem tersebut terkons-truksi keadaan pada t1 , maka sistem tersebut terobservasi keadaan pada suatu t 0  t1 . Saran Untuk penelitian selanjutnya, penulis menyarankan untuk membahas tentang hub-

dan

 C ( )( , t0 )  e (2 t0 ) 

1 t0  (e  e2 3t0 )  . 2 

ungan

antara

keterobservasian

dan

ket-

erkonstruksian sistem diskret bergantung waktu.


REFERENSI Anton, H. (1991). Aljabar Linier Elementer Edisi Lima. Jakarta: Erlangga. Antsaklis, P.J. and A.N. Michel. (2006). Linear Systems. Boston: Birkhäuser. Antsaklis, P.J. and A.N. Michel. (2007). A Linear Systems Primer. Boston: Birkhäuser.

Cullen, C.G. (1966). Matrices and Linear Transformation. Pittburg-Pennsylvania: Addison Wesley Publising. Jacob, B. (1990). Linear Algebra. New York: W.H Freeman and Company. Laub, A.J. (2005). Matrix Analysis for Scientists and Engineers. USA: SIAM.

Hubungan antara Keterobservasian dan Keterkonstruksian Sistem Linier Kontinu Bergantung Waktu

Recommend Documents