PERTEMUAN 02 PERBEDAAN ANTARA SISTEM DISKRIT DAN SISTEM KONTINU

1

PERTEMUAN 02 PERBEDAAN ANTARA SISTEM DISKRIT DAN SISTEM KONTINU 2.1 SISTEM WAKTU DISKRET Sebuah sistem waktu-diskret, secara abstrak, adalah suatu hubungan antara barisan masukan dan barisan keluaran. Sebuah sistem waktu-diskret mencirikan bagaimana suatu barisan masukan {u(k)} ditransformasikan ke dalam suatu barisan keluaran {y(k)}. Jenis sistem ini menjadi semakin penting dikarenakan kemajuan-kemajuan dalam teknologi untuk memproduksikan rangkaian-rangkaian mikro digital (digital microcircuits). Kecepatan pengolahannya yang semakin tinggi dan harganya yang cukup rendah telah membuat jenis sistem ini bersaing dengan rangkaian-rangkaian op-amp dan RLC yang lebih tradisional. Desain dan analisis dari sistem-sistem diskret akan terus bertumbuh dan melengkapi rangkaian-rangkaian (analog) waktu-kontinu. Pada umumnya, sistemsistem waktu-diskret digunakan untuk memroses sinyal-sinyal yang muncul sebagai sinyal-sinyal waktu-kontinu. Jadi, ada suatu proses pencuplikan (sampling) yang mentransformasikan suatu sinyal waktu:kontinu u(t) ke dalam suatu himpunan cuplikancuplikan berspasi (jarak antara) sama {u(kT)} yang kemudian diproses oleh sistem waktu-diskret. Salah satu contoh dari penerapan sistem-sistem diskret adalah dalam bidang sistem audio digital piringan kompak (compact-disk audio digital). Dengan sistem ini, bahan audio bukannya direkam sebagai suatu sinyal analog melainkan dicuplik dengan suatu pengubah analog-ke-digital (analog-to-digital converter = ADC) dan direkam dalam bentuk digital, sama halnya dengan data-data digital lainnya. Selama pemutaran kembali, informasi ini diubah kembali ke bentuk analog dengan sebuah pengubah digital-keanalog yang menghasilkan kembali suatu bentuk-gelombang (waveform) yang melewati cuplikan-cuplikan dari bentuk-gelombang semula. Bentuk-gelombang analog yang dihasilkan ini kemudian dilewatkan melalui sebuah sistem penguat/pengeras suara konvensional. Keuntungan dari pendekatan baru ini terhadap perekaman dan pemutaran kembali musik cukup banyak. Jangkauan dinamiknya (dynamic range) dinaikkan dari kurang daripada 70 db ke lebih daripada 90 db. Dengan menggunakan sebuah sandi pembetulan-kesalahan (error-correction code), informasi digital dapat diproduksi kembali tanpa kesalahan mendasar yang disebabkan oleh hal-hal seperti berbagai goresan dan sidik-jari pada piringan kompak. Karena informasi digital, pada hakekatnya, bebas dari kata-ke-kata, maka pemisahan stereo antara saluran-saluran (channels) menjadi lebih

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB

Dr. Ir. Hamzah Hillal M.Sc Sistem Linier

2 daripada 90 db dibandingkan dengan pemisahan stereo analog yang hanya 25 hingga 30 db. Dengan majunya teknologi pembuatan rangkaian-mikro digital, maka jenis-jenis sistem audio ini pasti akan menggantikan sistem analog yang lebih tradisional. Dan contoh penggantian sistem-sistem analog atau kontinu dengan digital ini akan terus berlangsung

dalam

penerapan

begitu

teknologi

mempermurah

harganya

dan

memperbesar kerapatan berbagai rangkaian-mikro pada sebuah chip (serpihan). Disini akan digunakan notasi {u(kT)} atau u untuk menunjukkan keseluruhan barisan. Sebagairnana dibahas di depan, nilai-nilai barisan ditunjukkan oleh notasi-notasi u(k), uk dan u(kT) di mana k adalah sebarang bilangan bulat. Barisan dapat didefinisikan dalam dua cara: a. Merincikan suatu aturan untuk menghitung nilai ke-k dari barisan. Sebagai contoh: f = {1,1/2, ¼, …. (1/2)k, …) adalah setara dengan perincian:

( )

 1 k , k ≥ 0 fk =  2  0 k <0 b. Mendartarkan nilai-nilai barisan secara ekplisit. Sebagai contoh: F = {…, 0, 0, 1, 5, -3, 2.5, 0, 0, ...) ↑ Tanda-panah digunakan untuk menunjukkan suku k = 0. Disini akan digunakan perjanjian bahwa jika tanda-panahnya diabaikan, maka suku pertama adalah suku k = 0 dan semua nilai barisan adalah nol untuk k < 0. Sekarang dapat didefinisikan jumlah dari dua barisan {ak} + {bk} sebagai barisan {ck}, di mana ck = ak + bk. Hasilkali dari dua barisan {ak}{bk} adalah barisan {ck} dengan nilai-nilai = akbk. Hasilkali dari sebuah tetapan α dan sebuah barisan {ak} adalah barisan {ck} dengan nilai-nilai ck = αak. Sebuah sistem waktu-diskret dapat dilukiskan dalam berbagai cara. Elemenelemen pokok dalam suatu sistem waktu-diskret adalah penjumlah (adders) (yang menjumlah dua bilangan bersama), pengali (multipliers) (yang mengalikan dua bilangan bersama), dan elemen-elemen unit-tunda (unit-delay) (yang menyimpan bilanganbilangan). Meskipun tidaklah perlu untuk memahami implementasi (implementation) atau pelaksanaan fisis dari sistem-sistem waktu-diskret, namun kadang-kadang pemahaman sifat-sifat matematisnya juga diperlukan.



3

Cara lain untuk mengimplementasikan suatu sistem waktu-diskret adalah dengan menuliskan perangkat lunak. (software), yakni, sebuah program, bagi sebuah komputer serba guna. Dalam kasus ini, untuk barisan masukan u dan nilai-nilai yang disimpan dalam unit-unit tunda yang diketahui seseorang dapat menghitung tiap-tiap keluaran bagi tiap-tiap masukan baru, dalam barisan, seperti diperlihatkan pada gambar 2.1b. Metode ketiga untuk melukiskan sebuah rangkaian waktu-diskret adalah dengan menggunakan suatu deskripsi matematis. Dalam kasus ini, deskripsi yang tepat adalah suatu persamaan beda linear atau pengulangan (difference or recursion equation) dengan koefisien-koefisien tetap. Karena keluaran dari sistem adalah pada keluaran dari penjumlah atau akumulator (accumulator), maka penulisan persamaan ini mudah dilakukan. Hasilnya adalah suatu persamaan beda yang mengaitkan keluaran kini y(k) dengan masukan u(k)dan nilai-nilai keluaran yang lalu y(k-1) dan y(k-2) sebagai berikut:

yk = uk −

y ( k − 1) y ( k − 2 ) + 4 8

Memori atau ingatan (memory) dari sebuah sistem waktu-diskret terkandung dalam elemen-elemen unit-tunda. Dalam contoh ini, memori-memori menyimpan kedua nilai yang lalu dari barisan keluaran y(k-1) dan y(k-2). Memori dari sistem kadang-kadang disebut keadaan sistem (state of the system) karena ia berguna untuk meringkaskan semua pengalaman (history) sistem yang lalu. Perlu dicatat bahwa pengulangan dari suatu persamaan beda sebenarnya adalah suatu jumlah tak berhingga persamaanpersamaan, satu untuk tiap-tiap nilai k. Bila diberikan suatu syarat awal dalam mana y(ko-1) dan y(ko-2) merupakan nilai-nilai yang diketahui, maka seseorang dapat menggunakan persamaan pengulangan ini untuk mencari barisan keluaran dengan "simulasi" (simulation) untuk k

ko dan u(k), k

ko yang diketahui. Bentuk perhitungan ini

pada dasarnya sama seperti perwujudan perangkat-lunak dari sistem yang diberikan pada gambar 2.1b. Dan seringkali disebut suatu simulasi dari sistem waktu-diskret. Beberapa contoh lain dari sistem waktu diskret diberikan sebagai berikut.

Contoh 2.2: Tentukan model persamaan beda bagi rangkaian waktu-diskret yang diperlihatkan pada gambar 2.2. Elemen unit tunda merupakan elemen ingatan yang menahan masukan yang lalu selama satu siklus pewaktu. Jadi keluaran unit tunda yang pertama adalah yk-1. Dengan cara yang sama, keluaran unit tunda kedua adalah yk-2. Dengan menyamakan keluaran penjumlah yk dengan panah yang masuk, diperoleh:



4 yk = uk −

1 1 y k −1 + y k − 2 4 8

sebagai model persamaan beda bagi rangkaian tersebut. Perhatikan bagaimana cepatnya seseorang dapat menuliskan persamaan untuk sistem semacani ini.

Gambar 2.2 Diagram blok untuk sistem waktu diskret dari contoh 2.2.

Contoh 2.3: Setiap satu siklus pada suatu proses kimia, uk liter bahan kimia A dan 100 uk liter bahan kimia B ditambahkan pada 900 liter campuran dalam suatu bejana besar di mana 0

uk

100, k = 1, 2, 3, . . Isi bejana tersebut diaduk dengan sempurna dan 100

liter campuran dikeluarkan. Ambil yk sebagai konsentrasi fraksional bahan kimia A dalam campuran yang dikeluarkan, yakni 1000yk merupakan jumlah bahan kimia A dalam bejana. Untuk memperoleh hubungan pengulangan atau rekursi (recursion) bagi yk, jumlah total bahan kimia A pada siklus k disamakan dengan jumlah bahan kimia A pada siklus k-1 ditambah dengan sebarang masukan. Jadi:

atau (2.1) Persamaan (2.1) menyatakan bahwa jumlah bahan kimia A pada siklus k adalah jumlah pada siklus k - 1 ditambah jumlah yang ditambahkan pada siklus k.

Contoh 2.4: Pertumbuhan geometris merupakan suatu model yang digunakan pada banyak bidang. Andaikan suatu populasi tertentu mempunyai Nt individu pada akhir tahun t dengan t = 0, 1, 2,…... Populasi diketahui meningkat dengan laju relatif 2% per tahun. Yaitu, kenaikan populasi setiap tahun sebanding dengan populasi pada awal tahun. Tetapan perbandingan di sini adalah 0,02. Jadi, karena kenaikan populasi adalah Nt+1-Nt, maka akan dipunyai persamaan beda: (2.2)



5 atau dengan No merupakan populasi awal. Perhatikan bahwa dalam contoh ini masukan adalah nol. Keluaran bertambah karena syarat awal (populasi) N0 tidak nol.

Contoh 2.5: Teori informasi adalah bidang yang berkaitan dengan bagaimana mengirimkan sinyal (informasi) secara efisien. Medium lewat mana sinyal dikirim disebut kanal (channel). Setiap kanal fisis memiliki batasan teoritis (karena bising dan lebar pita) dalam jumlah informasi persatuan waktu yang dapat dikirim lewat kanal tanpa kesalahan. Ini disebut kapasitas kanal C. Satuannya adalah bit per detik dan secara formal didefinisikan sebagai:

C=

lim  log 2 N t  bit/detik t → ∞  t 

(2.3)

Pada (2.3), Nt adalah jumlah pesan yang dapat dikirimkan selama selang t. Jadi, untuk kanal tertentu, jika jumlah "pesan" per satuan waktu yang dapat dikirimkan meningkat maka kapasitasnya meningkat. Andaikan dipunyai sistem komunikasi yang hanya menggunakan dua simbol. Katakanlah S1 dan S2, misalnya titik dan garis. Pesan dibuat dari kombinasi simbol Si dan S2. Andaikan bahwa S1 berakhir ti detik dan untuk S2 adalah t2 detik. Ambil Nt sebagai jumlah pesan dengan selang t. Berapakah kapasitas kanal ini? Dalam rangka menghitung kapasitas, Nt harus dihitung. Nt dapat dihitung dengan mengembangkan suatu pengulangan bagi Nt. Berapa banyakkah pesan yang ada dalam selang t detik? Jumlah total dapat dibagi dalam dua kelompok, yakni yang berakhir pada simbol S1 dan yang berakhir pada simbol S2. Berapa banyakkah yang berakhir pada S1? S2 berakhir t1 detik. Jadi ada (t-t1) detik sebelum S1 mulai. Berdasarkan pada definisi, ada Nt-t1 pesan dalam selang ini. Begitu pula, jumlah total pesan selama selang t yang berakhir pada S2 harus berjumlah Nt-t2. Karena jumlah total pesan Nt berakhir pada masing-masing S1 atau S2, maka didapatkan: (2.4) Untuk menghitung kapasitas kanal, persamaan (2.4) harus dipecahkan untuk Nt dan kemudian memakai persamaan (2.3) untuk memperoleh C. Jika misalnya t1 = 1 dan t2 = 2, maka berdasarkan pada persamaan (2.4) disusutkan menjadi

N t − N t −1 − N t −2 = 0

t = 1,2,3,......

(2.5)

Syarat-syarat awal adalah N1 dan N2, yang berturut-turut merupakan jumlah pesan



6 selama selang 1 dan 2 unit waktu. Dalam hal ini N1 = 1, N2 = 2. Jika t1 = t2 = 1, apakah anda mengharap kapasitas kanal menjadi meningkat atau menurun dibandingkan dengan kasus t1 = 1 dan t2 = 2?

2.2 SISTEM WAKTU KONTINU Sistem-sistem waktu-kontinu barangkali lebih dikenal oleh para mahasiswa teknik tahap sarjana karena telah banyak ditinjau dalam kuliah-kuliah sebelumnya mengenai rangkaian listrik dan mekanika. Deskripsi matematik dasar dari sistem-sistem adalah persamaan diferensial linear dengan koefisien tetap (dengan mengandaikan sistem-sistemnya berparameter tetap) berbentuk:

d n y( t ) d n−1 y ( t ) d mu( t ) d m−1u ( t ) ( ) + b + ...... + b y t = a + a u ( t ) + .......a m u ( t ) 1 n 0 1 dt n dt n−1 dt m dt m−1

(2.6)

Dalam model ini, masukan u(t) dan fungsi keluaran y(t) merupakan fungsi kontinu dari variabel riil t yang biasanya adalah variabel waktu.

Contoh 2.6: Jaringan listrik merupakan contoh klasik sistem yang dapat dimodelkan oleh persamaan diferensial. Persamaan yang melukiskan rangkaian diperoleh dengan menggunakan kedua hukum Kirchoff. Tinjaulah jaringan yang terlihat pada gambar 2.3. Hukum Kirchoff tegangan yang diterapkan sekeliling untaian (loop) tunggal menghasilkan persamaan: (2.7) Persamaan (2.7) dapat dirubah menjadi persamaan yang hanya mengandung turunan dengan mendeferensiasikan kedua belah ruas terhadap t, diperoleh: (2.8) Dalam rangka memecahkan (2.8) harus ditentukan syarat-syarat awal bagi jaringan ini. Jika diandaikan bahwa sakelar tertutup pada saat t = 0, maka arus pada untaian sesaat setelah sakelar ditutup, i(0+), adalah nol karena arus tidak dapat berubah secara sesaat, melalui induktor. Jadi tidak ada arus yang mengalir pada t = 04- dan tegangan total yang muncul sepanjang induktor, adalah

atau


(2.9)


7

( )

( )

di 0 + e 0+ = = 2 A/det dt L

Gambar 2.3 Rangkaian elektris untuk contoh 2.6 Persamaan (2.9) dan i(0+) adalah syarat-syarat awal dari rangkaian. Jadi persoalannya adalah memecahkan: =0 dengan

( )

i 0 + = 0 dan

di ( t ) dt

=2 t =0+

Contoh 2.7: Persamaan diferensial linear digunakan sebagai model bagi kebanyakan persoalan fisika. Tinjaulah suatu contoh ideal dari pembuatan saluran limbah (got = sewage). Sebuah kolam penampungan berisi cemaran (pollutant) tertentu dengan konsentrasi C. Limbah yang belum diolah yang ditambahkan ke kolam, berisi cemaran dengan konsentrasi lebih tinggi daripada konsentrasi cemaran pada kolam. Setelah beberapa lama dalam kolam, bakteri mempengaruhi cemaran dan campuran dibiarkan mengalir ke sungai. Gambar 2.4 menunjukkan situasi tersebut. Andaikan bahwa laju masukan adalah mantap yaitu i1 gal/ min dengan konsentrasi cemaran masukan adalah C1 lb/gal. Aliran keluaran adalah mantap yaitu i2 gal/min. Kolam mula-mula berisi Go gallon dengan cemaran Po pon. Persoalannya adalah menentukan berapa lama campuran dapat dikosongkan ke sungai sebelum konsentrasi melebihi standar pemerintah 0,1C1. Dengan laju aliran limbah yang masuk dan yang keluar kolam tetap, maka isi air total dalam kolam adalah: Isi total pada saat t = Go + (i1-i2)t gallon Ambil P(t) sebagai berat cemaran dalam pon pada saat t. Laju perubahan jumlah cemaran adalah dP(t)/dt. Laju perubahan ini sama dengan jumlah yang memasuki



8 kolam,C1i1, dikurangi jumlah yang meninggalkan kolam, i2P(t)/(isi total). Jadi:

dP ( t ) P( t ) = C1i1 − i2 dt G0 + ( i1 − i2 ) t i2 dP( t ) + P( t ) = C1i1 dt G0 + ( i1 − i2 ) t

atau:

(2.10)

Gambar 2.4 Model perawatan saluran gedung untuk contoh 2.7 Persamaan (2.10) adalah persamaan diferensial linear orde satu dengan koefisien-koefisien yang bergantung pada waktu. Persamaan tersebut dapat dipecahkan dengan mudah dengan menggunakan teknik standar. Disini akan diutamakan sistem berparameter tetap yang memiliki koefisien tetap, misalnya, keadaan yang diperoleh dengan i1=i2. Pada

bagian-bagian

berikutnya

akan

disajikan

beberapa

metode

untuk

menganalisis sistem yang dinyatakan oleh persamaan beda dan persamaan diferensial. Pertama akan disajikan untuk sistem waktu-diskret dan kemudian untuk sistem waktukontinu. Untuk kedua kelompok sistem ini, terdapat persamaan matematik yang sangat mirip. Jadi, sangatlah membantu untuk mengingat proses pemecahan sistem waktudiskret, pada saat mempelajari sistem waktu-kontinu, dan sebaliknya. Pertama-tama akan dibahas sistem waktu-diskret karena matematiknya cenderung lebih mudah. Salah satu tujuan bahan ini adalah untuk menyajikan beberapa deskripsi alternatif dari suatu sistem linear. Masing-masing deskripsi akan dibahas secara terinci dan beberapa metode untuk menyatakan suatu deskripsi dalam deskripsi yang lainnya. Sementara membaca bahan ini dan menghadapi deskripsi baru dari sistem yang sama, cobalah nyatakan tiap-tiap model dalam paramater-parameter dari deskripsi yang lainnya. Jenis transformasi ini bermanfaat dan akan membantu dalam memahami sifatsifat berbagai deskripsi.



PERTEMUAN 02 PERBEDAAN ANTARA SISTEM DISKRIT DAN SISTEM KONTINU

Recommend Documents