1.4 Persamaan Schrodinger Bergantung Waktu Mekanika klasik atau mekanika Newton sangat sukses dalam mendeskripsi gerak makroskopis, tetapi gagal dalam mendeskripsi gerak mikroskopis. Gerak mikroskopis membutuhkan mekanika khusus yang disebut mekanika kuantum. Gerak partikel mikroskopis adalah gerak gelombang (menurut de Broglie) maka salah satu metode membangun mekanika kuantum adalah dengan pendekatan gelombang, oleh karena itu maka mekanika kuantum juga disebut mekanika gelombang.
Perbedaan mendasar antara mekanika klasik dengan mekanika kuantum adalah bahwa dalam mekanika klasik state ( posisi, kecepatan, momentum dan gaya yang bekerja) suatu partikel pada saat tertentu dapat ditentukan secara eksak dengan menggunakan hukum Newton. Sedang pada mekanika kuantum, karena adanya prinsip ketidakpastian pada pengukuran momentum partikel, maka state suatu partikel tidak dapat ditentukan dengan pasti tetapi orang hanya
dapat
menentukan
menempati state tertentu.
kebolehjadian
suatu
partikel
Dalam mekanika kuantum state suatu sistem dapat diperoleh manakala fungsi gelombang partikel diketahui. Untuk mengetahui fungsi gelombang orang harus mempunyai persamaan gelombang partikel mikroskopis. Karena persamaan gelombang ini diperoleh oleh Schrodinger, maka persamaannya disebut persamaan Schrodinger. Persamaan Schrodinger merupakan jantungnya mekanika kuantum, karena melalui persamaan Schrodinger inilah fungsi gelombang dapat diperoleh.
Persamaan Schrodinger adalah persamaan yang menyatakan hubungan antara turunan pertama fungsi gelombang terhadap waktu dengan turunan kedua fungsi tersebut terhadap koordinat.
Disimpulkan fungsi gelombang merupakan fungsi koordinat dan waktu.
Persamaan Schrodinger gelombang sebuah partikel satu dimensi. Persamaannya Schrodinger menggunakan fungsi gelombang fisik, misal fungsi rambatan gelombang harmonik satu dimensi, yaitu: F(x , t) = A . e i ( kx t ) Dimana: k = 2 / = 2 ; = panjang gelombang; = frekuensi gelombang
(1-7)
Turunan pertama terhadap t:
F ( x, t ) = i A . e i ( kx t ) = i F(x,t) t Turunan kedua terhadap x: Ingat!
2 F ( x, t ) dx
2
2 F ( x, t ) dx
2
2 i
(1-8)
1
2
1
= i2 k2 .A . e i ( kx t ) = k2 F(x,t)
(1-9)
= k2 .A . e i ( kx t ) = k2 F(x,t)
(1-9)
Jika turunan pertama dibagi turunan kedua
F ( x, t ) i t 2 F ( x, t ) k 2 dx 2 Jadi
F ( x, t ) i 2 F ( x, t ) = 2 dx 2 t k
(1-10)
Dalam mekanika kuantum E=h =E/h jadi
E =2=2E/h=
(1-11)
Menurut dualisme de Broglie, p = h / sehingga:
p k=2/=2p/h= p k=
k = 2 /
(1-12)
=2
Subtitusi (1-11) dan (1-12) ke dalam (1-10) menghasilkan:
F ( x, t ) E 2 F ( x, t ) =i 2 x 2 p t
(1-13)
Karena sudah masuk ke daerah kuantum, maka notasi fungsi gelombangnya diganti (x,t) sehingga (1-13) ditulis:
( x, t ) E 2 ( x, t ) =i 2 p x 2 t
(1-14)
E=T+V E adalah jumlah energi kinetik T dan energi potensial V, jadi
( x, t ) T V 2 ( x, t ) =i p2 x 2 t
(1-15)
Atau jika dipisahkan
V 2 ( x, t ) ( x, t ) T 2 ( x, t ) =i 2 +i 2 (1-16) 2 2 p t p x x Jika T diganti p2/ 2m , ( p mv ;T
1 1 mv mv 2 ;T mv. ) 2 m 2
( x, t ) 1 2 ( x, t ) V 2 ( x, t ) =i +i 2 (1-17) 2 2 p x x 2m t
atau jika ruas kiri dan kanan dikalikan ( i) 2 2 ( x , t ) ( x, t ) ( x, t ) V 1 2 2 = i 2m x 2 p2 x 2 t
(1-18)
Sebenarnya (1-18) tersebut sudah merupakan persamaan Schrodinger,
2 ( x, t ) tetapi yang lebih lazim di suku kedua ruas kanan diganti 2 x dengan k2 (x,t) yaitu analog dengan (1-9) sehingga (1-18) boleh ditulis: 2 ( x, t ) ( x, t ) 1 2 V 2 2 = k (x,t) i 2 2 2m x p t
k2 = p2 /
2
(1-19)
dan karena k = p / , maka (1-19) juga boleh ditulis: 2 ( x, t ) 2 1 ( x, t ) = V (x,t) (1-20a) i 2 2m x t
Persamaan (1-20a) itu adalah persamaan gelombang Schrodinger bergantung waktu untuk sebuah partikel dalam satu dimensi . Kadang-kadang beberapa buku menulis (1-20a) dalam bentuk: 2 ( x, t ) 2 1 ( x, t ) = V (x,t) (1-20b) 2 2m x i t
Apakah makna fisik ruas kiri persamaan Schrodinger ? Kita telah tahu bahwa sesuai dengan (1-8) maka:
( x, t ) = i (x,t) t Ruas kiri dan kanan dikalikan i Jadi
( x, t ) = (x,t) i t
padahal = 2
h .2 h 2
jadi
( x, t ) = h (x,t) i t Karena h = E, maka:
( x, t ) = E (x,t) i t
(1-21)
atau
1 ( x, t ) =E i ( x, t ) t
(1-22)
Bagaimana makna fisik Ruas Kanan ? Kita telah tahu bahwa makna fisik ruas kiri persamaan adalah E (x,t). Jadi ruas kananpun = E (x,t)
1 2 ( x, t ) V (x,t) = E (x,t) 2 2m x 2
(1-23)
dengan demikian maka: 2 1 2 V =E 2 2m x
(1-24)
Dalam mekanika kuantum maka 2 1 2 V juga disebut operator energi. 2 2m x
Jadi dikenal dua macam operator energi yaitu
i t dan
1 2 V. 2 2m x 2
Pada perkembangan berikutnya nanti operator energi yang lebih populer 2 1 2 adalah V yang juga dikenal dengan nama operator 2 2m x
Hamilton atau
H.
Jadi H
2 1 2 = V 2 2m x
(1-25a)
atau: 2 1 2 = V E 2 2m x
(1-25b)
Kita tahu bahwa 2 1 2 V = operator untuk E 2 2m x
padahal kita juga tahu bahwa E = T + V maka sudah dapat dipastikan bahwa 2 1 2 = operator untuk T atau operator energi kinetik. 2 2m x
Jadi 2 1 2 = T 2m x 2
(1-26)
Tentang Fungsi Gelombang Kata state suatu sistem mengacu pada kecepatan posisi partikel pada saat tertentu serta gaya yang bekerja pada partikel tersebut. Dalam mekanika klasik, tepatnya menurut hukum Newton, massa tepat state sistem dapat diprediksi secara eksak apabila state sistem saat ini diketahui. Dalam mekanika kuantum, state sistem direpresentasikan oleh fungsi gelombang yang merupakan fungsi koordinat dan waktu. Informasi masa depan suatu sistem dalam mekanika kuantum dapat dikalkulasi dengan menggunakan persamaan Schrodinger, hanya saja karena adanya prinsip ketidakpastian pada pengukuran posisi dan
momentum, maka prediksi secara eksak seperti yang terjadi pada mekanika klasik tidak dapat diberikan oleh fungsi gelombang. Fungsi gelombang memuat semua informasi mengenai sistem yang didiskripsinya. tidak dapat memberikan informasi posisi secara tepat seperti yang dilakukan oleh mekanika klasik. Jawaban yang benar terhadap pertanyaan tersebut diberikan oleh Max Born beberapa saat setelah Schrodinger menemukan persamaan Schrodinger.
Born membuat postulat bahwa: 2
( x ,t ) dx
(1-27)
merupakan peluang pada waktu t untuk menemukan partikel sepanjang sumbu x yang terletak antara x dengan x + dx. Fungsi
2
( x ,t ) adalah fungsi kerapatan peluang (probability density)
untuk mendapatkan partikel di sembarang tempat sepanjang sumbu x.
Sebagai contoh: dianggap bahwa pada sembarang waktu tertentu t0 sebuah partikel didiskripsi oleh fungsi gelombang
a.e
bx 2
dengan a dan b adalah tetapan
real. Jika kita mengukur posisi partikel pada saat t 0 , kita dapat memperoleh sembarang harga x sebab nilai rapat peluangnya yaitu 2 2 bx 2
a e
tidak nol, berapapun harga x-nya. Nilai x = 0 adalah lebih baik
dibandingkan nilai x yang lain karena di titik asal (x = 0), harga mencapai maksimum.
2
Untuk membuat hubungan yang tepat antara
dengan hasil 2
pengukuran eksperimental, kita harus mengambil sejumlah sistem identik yang tidak saling berinteraksi, masing-masing berada dalam keadaan yang sama. Kemudian kita dapat mengukur posisi masingmasing sistem. Jika kita mempunyai n sistem dan membuat n pengukuran, dan jika dnx adalah banyaknya pengukuran yang dimana kita menjumpai partikel terletak antara x dan x + dx, maka dnx/n adalah peluang mendapatkan partikel pada posisi antara x dan x + dx. Jadi:
dn x 1 dnx 2 2 = dx = n dx n
1 dnx 2 dan grafik versus x adalah kerapatan peluang . n dx Mekanika Kuantum pada dasarnya dilandasi oleh sifat statistikal (bagian per bagian atau sampel). Konsekuensinya: memahami keadaan sistem pada saat tertentu, kita tidak dapat memprediksi hasil pengukuran posisi secara pasti. Kita hanya dapat memprediksi kemungkinan dari berbagai hasil yang mungkin. Teori Bohr yang menyatakan bahwa elektron beredar pada lintasan yang berjarak pasti dari inti, merupakan pernyataan yang tidak dapat diterima oleh mekanika kuantum.
Orbital 1s (n = 1, l = 0, m = 0)
Orbital 2p (n = 2, l = 1, m = 1)
1.5 Persamaan Schrodinger Tak Bergantung (Bebas) Waktu Persamaan Schrodinger bebas waktu untuk sebuah partikel dalam sistem satu dimensi adalah
d 2 ( x ) dx
2
+
2m (E V(x) ) ( x) 0 2
(1-28)
Persamaan (1-28) dapat diturunkan dari persamaan (1-20a) melalui langkah-langkah sebagai berikut: Perlu diketahui bahwa ( x , t ) adalah gabungan dari x dan t dan dinyatakan:
( x , t ) = x . t
(1-29)
Jika (1-29) dimasukkan ke dalam (1-20a) diperoleh:
x t 2 2 x t = + V(x, t) x t 2 i t 2m x
(1-30)
Jika kita batasi bahwa fungsi energi potensial hanya merupakan fungsi x saja dan bebas waktu, maka (1-30) ditulis:
x t 2 2 x t = + V(x)x t 2 i t 2m x atau
d t 2 d 2 x x = t + V(x) x t 2 i dt 2m dx
(1-31)
Jika (1-31) dibagi x setelah itu hasilnya dibagi t maka diperoleh:
1 1 d t 1 1 2 d 2 x x . = t + V(x) x t . 2 i dt x t 2m dx xt 1 d t 2 1 d 2 x = + V(x) 2 i t dt 2m x dx
(1-32)
Lihat kembali
1 ( x, t ) =E i ( x, t ) t
(1-22)
Jika ruas kiri (1-32) dibandingkan dengan (1-22) maka ruas kiri (1-32) itu adalah E, jadi (1-32) dapat ditulis:
2 1 d 2 x + V(x) = E 2 2m x dx atau
2 d 2 x + V(x) x = E x 2 2m dx
Disusun ulang
2 d 2 x 2m 0 = E x V(x) x . 2 2 2m dx d 2 x 2m 0 = 2 (E V(x) ) x 2 dx
Atau jika dibalik akan menjadi
d 2 ( x ) dx 2
2m + 2 (E V(x) ) ( x) 0
(1-28)
Persamaan di atas adalah persamaan (1-28) yang kita turunkan. Selanjutnya untuk mengetahui penyelesaian t kita ikuti langkah berikut: Seperti ruas kanan, ruas kiri (1-32) = E, maka:
1 d t = E atau i t dt yang jika diintegralkan:
1
iE d t = dt t
iEt ln t +c jadi
t eC .e iEt / = A. e iEt / Konstanta A pada t dapat dilimpahkan pada x pada perkalian (1-29) sehingga:
t = e iEt /
(1-33)
( x , t ) = x . t
(1-29)
Jika (1-33) dimasukkan kedalam (1-29) maka kita peroleh bentuk fungsi gelombang sebuah partikel dalam sistem satu dimensi yaitu:
( x , t ) = e
iEt /
. x
(1-34)
Tampak bahwa fungsi gelombang partikel merupakan fungsi komplek, padahal kerapatan peluang adalah
2
( x ,t ) .
Untuk fungsi komplek harga kuadrat absolutnya adalah hasil kali fungsi itu dengan fungsi konjugatnya. 2
( x ,t ) = (*x ,t ) . ( x ,t )
(1-35)
(*x ,t ) adalah fungsi konjugat dari ( x ,t ) yaitu ( x ,t ) yang i-nya diganti i.
1.6 Probabilitas kerapatan peluang =
2
( x ,t ) = (*x ,t ) . ( x ,t )
peluang mendapatkan partikel pada segmen sepanjang dx yaitu dari x sampai x + dx adalah
2
( x ,t ) dx = (*x ,t ) . ( x ,t ) dx,
Cara untuk menentukan peluang rentang tertentu misal dari a s/d b adalah dengan menjumlahkan peluang dari segmen ke segmen sepanjang antara a dan b.
Penjumlahan seperti itu pada dasarnya
adalah pengintegralan. Jadi b
P( a < x < b ) =
b
* dx = a ( x,t ) a ( x ,t ) . ( x,t ) . dx
2
(1-36)
Jika interval a s/d b adalah ~ s/d + ~ maka peluang dijumpai partikel pada interval tersebut pasti = 1, artinya pasti menjumpai partikel jika kita mencarinya mulai dari posisi ~ s/d + ~. Jadi dapat ditulis ~
~
P( ~ < x < +~ ) =
~
2 ( x ,t )
dx
=
* ( x ,t ) . ( x,t ) . dx = 1
(1-37)
~
Fungsi gelombang partikel yang memenuhi persamaan (1-37) disebut fungsi gelombang ternormalisasi.
Soal-soal Bab 1 1. Hitunglah panjang gelombang de Broglie dari sebuah elektron yang melintas dengan kecepatan 1/137 kali kecepatan cahaya. (dengan kecepatan tersebut, pendekatan relativistik boleh diabaikan). 2. Fungsi kerja Na adalah 2,28 eV. Tentukan: a) energi kinetik maksimum dari fotoelektron yang diemisi oleh Na, jika proses fotolistrik tersebut menggunakan cahaya ultra violet yang panjang gelombangnya 200 nm. b) berapa panjang gelombang cahaya maksimal yang masih dapat menghasilkan fotolistrik terhadap Na ?
3. Ketika J.J Thomson melakukan investigasi terhadap elektron melalui eksperimen tabung sinar katoda, ia melakukan pengamatan terhadap sifat-sifat elektron dengan menggunakan pendekatan mekanika klasik. a) Jika elektron diakselerasi dengan energi kinetik 1000 eV, dan melalui celah yang lebarnya 0,1 cm, berapakah besarnya sudut difraksi dalam gambar 1.1 b) Berapa lebar celah yang diperlukan agar elektron dengan energi kinetik 1000 eV menghasilkan = 1o ? 4. Diketahui sebuah partikel dalam sistem satu dimensi yang dinyatakan oleh fungsi:
= ae
-i b t
e
-b m x 2 /
a dan b adalah konstanta dan m adalah massa partikel.
Dengan
menggunakan persamaan Schrodinger bergantung waktu, tentukan fungsi energi potensial bagi sistem
tersebut.
5. Diketahui sebuah partikel dalam sistem satu dimensi yang dinyatakan oleh fungsi: x = b x e
c x 2
.
Tentukan energi partikel tersebut jika diketahui: Fungsi energi potensial = V = 2c x / m 2
2
2
b = konstanta ; c = 2 nm2 ; m = 1,00 . 1030 kg
6. Pada saat tertentu, sebuah partikel dalam sistem satu dimensi, dideskripsi oleh = (2 / b3 )1/2x.ex/ b dengan b = 3 nm. Jika pada saat itu diadakan pengukuran terhadap x, maka: (a) Tentukan probabilitasnya agar hasil pengukurannya antara 0,9 dan 0,9001 nm (anggaplah bahwa dx amat kecil dibandingkan dengan 0,9 nm) (b) Tentukan probabilitasnya agar hasil pengukurannya antara 0 dan 2 nm. (c) Untuk x bernilai berapakah, probabilitas akan minimum? (tidak perlu dijawab secara kalkulus) (d) Buktikan bahwa ternormalisasi.
Jawaban: 1. Gelombang de Broglie : p = h p=m.v Dengan memasukkan harga m dan v elektron, p dapat dihitung. Jika p sudah diketahui, dapat dihitung.
1 1 Jika diketahui = .2,99792 108.m / s c= 137 137
h 6,62608 1034 J .s mv 9,10938 1031.kg 1 .2,99792 108.m / s 137
6,62608 1034 J .s 9,10938 1031.kg 2188262.7737.m / s
6,62608 1034 J .s 1.9933 10-24.kg.m / s
3,32411010 m Pengingat satuan: W = F.S J = N.m F = m.a N = kg.m/s2 Jadi J = kg.m2/s2 P = F/A Pa = N/ m2 = 9.86923266716 x 10-6 atm 1 atm = 101325.0 Pa atm =
Hitung
Pa =
Bar =
mmHg
2. Dalam fotolistrik berlaku a) E foton = h . = h . c = + Ekinetik dengan memasukkan harga dan dan fungsi kerja maka enegi kinetik dapat dihitung Diketahui: Fungsi kerja Na = 2,28 eV = 2,28 x 1.60217733 x 10-19 J 200 nm = 200 x 10-9 m = 2 x 10-7 m h . c = + Ekinetik
Ekinetik
h.c
6,62608 10 34 J .s 2,99792 108.m / s 2,28.eV 200.nm
6,62608 1034 J .s 2,99792 108.m / s -19 2 , 28 1.6022.10 .J 7 2 10 .m 1.9864 10-25.J .m -19 2 , 28 1.6022 10 .J 7 2 10 .m
0,9932 1018.J 2,28 1.6022 10-19.J 9,932 1019.J 2,28 1.6022 10-19.J b) Untuk menghirung ambang gunakan: h . c >
3. a) Untuk menghitung sudut difraksi kita gunakan relasi: p = p sin p dihitung dari relasi : p . x = h dengan x = lebar celah p dihitung dari energi kinetik elektron, ingat : Ek = p2 / 2m Diketahui:
b) solusinya merupakan kebalikan dari a. Kita telah tahu harga p, selanjutnya kita cari harga p melalui p = p sin Selanjutnya x dapat dihitung.
4. Persamaan Schrodinger bergantung waktu adalah: 2 ( x ,t ) 2 ( x ,t ) = + V(x, t) ( x ,t ) 2 i t 2m x
Kita selesaikan dulu ruas kiri:
( x ,t ) -i b t - b m x2 / = ae e i t i t
ae
- b m x2 /
ae
- b m x2 /
d -i b t e i dt -i b t .i.b e i
(4-6)
b a e
- b m x2 /
. e-i b t
b
Dengan demikian persamaan (4-6) menjadi: 2 2 ( x ,t ) + V(x,t) ( x ,t ) b ( x, t) = 2 2m x
Selanjutnya kita selesaikan suku pertama ruas kanan: 2 2 ( x ,t ) 2 2 -i b t - b m x2 / ae e 2 2 2m x 2m x
2 2 d -i b t bmx 2 / .a e e 2 2m dx
2 d bmx2 / -i b t d .a e . e 2m dx dx 2 2bmx bmx2 / -i b t d .a e .e 2m dx 2 2bm - i b t d bmx 2 / . ae x .e 2m dx 2 2bm - i b t bmx2 / 2b m 2 bmx2 / . ae e x e 2m
2 2bm - i b t bmx2 / 2b m 2 . ae e x 1 2m 2 2bm 2b m 2 . x 1 2m
2b m 2 b. 1 x Sekarang persamaan Schrodinger menjadi:
2b m 2 x ( x, t) + V(x, t) ( x ,t ) b ( x, t) b . 1
atau
2b m 2 b ( x, t) b . 1 x ( x, t) + V(x, t) ( x ,t ) atau
2b m 2 b b. 1 x + V(x, t) Jadi fungsi energi potensialnya adalah:
2b m 2 V(x, t) = b b . 1 x = b b + 2b m x = 2b m x 2
2
2
2
5. Berbeda dengan soal no. 4 yang fungsi gelombangnya merupakan fungsi x dan t, maka pada soal no. 5 ini fungsi gelombangnya hanya merupakan fungsi x, sehingga untuk menyelesaikannnya kita gunakan persamaan Schrodinger tak bergantung waktu (Persamaan 5-1)
d 2 ( x ) dx
2
2m + 2 (E V(x) ) ( x) 0
Jika V kita masukkan akan kita peroleh:
d 2 ( x ) dx 2
2m + 2 (E 2c 22 x 2 / m ) ( x ) = 0
Kita selesaikan suku pertama ruas kiri:
(5-1)
d 2 ( x ) dx 2
d d c x 2 . e dx dx
d d c x 2 . e dx dx 2 d c x 2 c x e e dx
2 e c x
e
e
e
c x 2
e
d dx
c x 2
c x 2
c x 2
e
c x 2
Dengan demikian persamaan Schrodinger menjadi:
2m 2 2 2 ( 2 2c x / m
atau:
2m 2 2 2 2 2c x / m
2m 2 2 2 2 c x / m 2 2 2 2 2 2c x / m 2m
Jadi: 2 2 m m 2 2 2 m m m
2 m
