PERSAMAAN SCHRÖDINGER TAK BERGANTUNG WAKTU DAN APLIKASINYA PADA SISTEM POTENSIAL 1 D Keadaan Stasioner Pada pembahasan sebelumnya mengenai fungsi gelombang, telah dijelaskan bahwa potensial
dalam persamaan Schrödinger dapat berupa fungsi dalam
. Pada pembahasan ini kita asumsikan bahwa potensial
dan
tidak bergantung
waktu. Dengan begitu, persamaan Schrödinger dapat dipecahkan dengan menggunakan metode separasi variabel. Fungsi gelombang Ψ( , ) dapat disusun dari fungsi yang hanya bergantung
dan fungsi yang hanya bergantung .
Ψ( , ) = ( ) ( )
(1)
Persamaan Schrödinger untuk satu dimensi adalah ℏ
Ψ(x, t)
=−
ℏ 2
Ψ(x, t)
+ ( )Ψ(x, t)
Dengan mensubstitusikan persamaan (1) ke persamaan Schrödinger maka didapatkan ℏ
( ) ( )
ℏ ( )
( )
=− =−
( ) ( )
ℏ 2
ℏ 2
( )
( )
+ ( ) ( ) ( )
+ ( ) ( ) ( )
(2)
Selanjutnya persamaan (2) dibagi dengan ( ) ( ) diperoleh ℏ
1 ( )
( )
=−
ℏ 2
1 ( )
( )
+ ( )
(3)
Persamaan (3) merupakan persamaan dalam dua variabel yang terpisah, variabel untuk ruas kiri dan variabel
untuk ruas kanan. Oleh karena kedua ruas berbeda
variabel maka persamaan (3) dapat dipenuhi, jika dan hanya jika sama dengan suatu konstanta. Kita misalkan konstanta tersebut adalah E. Alasan pemilihan konstanta E akan menjadi jelas pada pembahasan berikutnya.
Ruas kiri dari persamaan (3) menjadi 1 ( )
ℏ
( )
=
( ) =− ( ) ℏ ( ) =− ( ) ln ( ) = − ( )=
ℏ
ℏ (4)
!"#$/ℏ
Oleh karena fungsi gelombang Ψ( , ) yang kita cari merupakan hasil kali dari solusi bergantung x, yaitu
( ) dan solusi bergantung t, yaitu
( ) maka
konstanta C kita biarkan diserap oleh ( ) sehingga persamaan (4) menjadi ( )=
(5)
!"#$/ℏ
Ruas kanan dari persamaan (3) menjadi −
ℏ 2
−
ℏ 2
( )
1 ( ) ( )
+ ( )=
+ ( ) ( )=
( )
(6)
Persamaan (6) adalah bentuk persamaan Schrödinger tak bergantung waktu. Sebelum bentuk potensial
( ) diketahui, kita tidak dapat memecahkan
persamaan ini untuk memperoleh solusi ( )!
Dengan demikian, fungsi gelombang yang kita cari dapat dituliskan menjadi Ψ( , ) = ( )
!"#$/ℏ
(7)
Paling tidak, ada tiga hal yang diperoleh dari metode separasi variabel dalam menyelesaikan persamaan Schrodinger, yaitu 1.
Solusinya, yaitu Ψ( , ) merupakan keadaan stasioner. Hal ini karena rapat probabilitas dan nilai ekspetasi dari variabel dinamisnya tidak bergantung waktu. Rapat probabilitasnya adalah |Ψ( , )| = Ψ∗ ( , ) Ψ( , ) |Ψ( , )| =
∗(
)
,"#$/ℏ
|Ψ( , )| = | ( )|
( )
!"#$/ℏ
(8)
Nilai ekspektasi dari suatu variabel dinamis dengan operator .( , /) adalah 〈.( , /)〉 = 〈.( , /)〉 = 〈.( , /)〉 =
2
Ψ ∗ ( , ).( , /) Ψ( , )
!2 2
!2 2
!2
.( , /) ( )
∗(
)
∗(
) .( , /) ( )
,"#$/ℏ
!"#$/ℏ
(9)
Tampak bahwa rapat probabilitas pada persamaan (8) tidak bergantung waktu. Persamaan (9) juga menunjukkan bahwa setiap nilai ekspektasi konstan terhadap waktu, dengan kata lain tidak ada sesuatu yang terjadi pada keadaan stasioner. 2.
Hasil pengukuran energi total setiap saat adalah sama. Dalam mekanika klasik, energi total yang dimiliki partikel disebut dengan Hamiltonian, yaitu jumlah dari energi kinetik dan energi potensial. 4( , /) =
/ + ( ) 2
(10)
Operator Hamiltonian adalah operator untuk energi total yang diperoleh 8
dengan mensubstitusikan operator momentum, /67 = − ℏ 89 ke persamaan (10) sehingga didapatkan
467 = −
ℏ 2
+ ( )
(11)
Dengan menggunakan operator Hamiltonian, persamaan (6) menjadi 467 ( ) =
( )
(12)
Persamaan (12) ini disebut sebagai persamaan karakteristik atau persamaan nilai eigen, dengan 467 adalah operator,
( ) adalah fungsi eigen, dan
adalah nilai eigennya. Oleh karena 467 adalah operator Hamiltonian maka nilai eigennya adalah energi total sehingga pemilihan konstanta separasi variabel sebelumnya menjadi jelas di sini. Sekarang kita hitung nilai ekspektasi energi total, 〈4〉 yaitu 〈4〉 =
) 467 ( )
∗(
dengan mensubstitusikan persamaan (12) maka diperoleh 〈4〉 = 〈4〉 =
∗(
)
( )
∗(
) ( )
untuk ( ) ternormalisasi maka 〈4〉 = Selanjutnya kita hitung nilai ekspektasi dari 4 , yaitu 〈4 〉 =
∗(
) 467
〈4 〉 =
∗(
) 467 :467 ( );
〈4 〉 =
∗(
) 467
〈4 〉 =
∗(
) 467
( )
( ) ( )
dalam
〈4 〉 =
∗(
〈4 〉 =
)
∗(
( ) )
( )
〈4 〉 = Dengan demikian, deviasi standar Δ4 adalah Δ4 = (〈4 〉 − 〈4〉 )=/ Δ4 = (
)=/
−
Δ4 = 0
Artinya adalah distribusi energi total pada berbagai keadaan memiliki sebaran nol. Dengan demikian, pengukuran energi total setiap saat adalah sama, yaitu E. 3.
Solusi umumnya adalah kombinasi linear dari solusi separasinya. Pada bagian berikutnya akan kita lihat bahwa persamaan Schrödinger tak bergantung waktu memiliki banyak solusi ( tersebut (
=,
,
bersesuaian > , … ).
=(
dengan
),
( ),
konstanta
>(
), … ) dan tiap-tiap solusi separasi
masing-masing
Dengan demikian, terdapat perbedaan fungsi gelombang
untuk tiap-tiap level energi yang diijinkan (Ψ= ( , ), Ψ ( , ), Ψ> ( , ) … ).
Ψ= ( , ) =
=(
)
!"#@ $/ℏ
Ψ> ( , ) =
>(
)
!"#B $/ℏ
Ψ( , )=
( )
!"#A $/ℏ
Adapun solusi umumnya adalah kombinasi linear dari semua ΨC ( , ), yaitu 2
Ψ( , ) = D EF FH=
F(
)
!"#G $/ℏ
dengan EF adalah koefisien ekspansi.
(13)
