CATATAN KULIAH
Pertemuan XII: Optimasi dengan Kendala Persamaan dan Aplikasinya A. Efek dari Satu Kendala • Tujuan utama digunakannya sebuah kendala adalah memberi tanggung jawab kepada faktor-faktor pembatas (constrains) tertentu dalam masalah optimasi. • Misalkan Fungsi Utilitas sederhana : U = x1 x2 + 2x1 Jika konsumen ingin membelanjakan 60 dollar, dan harga barang P1=4 dan P2=2, maka terdapat kendala anggaran (budget constrain): 60 = 4 x1 + 2 x2 Kendala ini menyebabkan pilihan x1* dan x2* menjadi saling tergantung. Untuk melihat efek kendala ini, dapat dilakukan substitusi : x 2 = 30 − 2 x1 U = x1 (30 − 2 x1 ) + 2 x1
Ambil derivatifnya :
du = 32 − 4 x1 = 0 dx1 Hasilnya adalah :
x1 = 8, x 2 = 14,
Uji derivatif orde kedua: d2u = −4 dx 12
U = 128
(max)
B. Pencarian Nilai-nilai Stasioner • Bagaiman jika kasusnya: – Bentuk fungsional kendala kompleks – Terdapat banyak kendala • Maka dapat digunakan Metode Pengali-Lagrange – Inti dari metode pengali-Lagrange adalah mengubah persoalan titik ekstrem terkendala menjadi persoalan ekstrem bebas kendala. • Kondisi Orde Pertama: Lλ = 0 menjamin kendala akan dipenuhi • Lλ = 0 , mentransformasikan fungsi U terkendala dengan n variabel menjadi Fungs L tanpa kendala dengan n + 1 variabel
•
•
Fungsi Lagrange : L = f(x, y) + λ[c - g(x, y)]; dengan f(x,y)=fungsi objektif ; g(x,y)=fungsi kendala ; dan λ=pengali Lagrange Contoh: Fungsi Utilitas U(x1 , x 2 ) = x1x 2 + 2x1 Kendala anggaran : C = 60 – 4x1 – 2x 2 = 0 Fungsi Lagrange: L = x1x 2 + 2x1 + λ (60 – 4x1 – 2x 2 )
•
Metode pengali-Lagrange membuat pendekatan fungsi tanpa Kendala yang sudah dibahas sebelumnya dapat digunakan: Kondisi orde pertama untuk L, adalah: Lλ = Lx1= Lx2 = 0
•
Jika Kondisi Orde Pertama: Lλ = 0 dipenuhi, maka kendala akan dipenuhi: Lλ =60 – 4x1 – 2x2 = 0 dan L = U Selanjutnya didapat: L x1 = x 2 + 2 − λ4 = 0
•
L x2 = x1 − λ2 = 0
•
Atur dalam bentuk ⎡ 0 −4 ⎢− 4 0 ⎢ ⎢⎣− 2 1
matriks: − 2⎤ ⎡ λ ⎤ ⎡− 60⎤ 1 ⎥⎥ ⎢⎢ x1 ⎥⎥ = ⎢⎢ − 2 ⎥⎥ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ x 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
bentuk matriks Ax = d
Kemudian pecahkan untuk λ, x1, x2 dengan Aturan Cramer Lλλ Lλx1 Lλx 2
J = L x1λ L x2 λ
Lx1 x1 L x2 x1 0
J = −4 −2
L x1 x2 L x2 x2
Jacobian matrix
−4 −2 0 1
1 = 8 + 8 = 16 0
− 60 − 4 − 2 Jλ = − 2 0
0 1
1 = 4 + 60 = 64 0
J x1
0 − 60 − 2 = −4 −2 1 = 120 + 8 = 128 −2 0 0
J x2
0 − 4 − 60 = −4 0 − 2 = −16 + 240 = 224 −2 1 0
λ * = 64 16 = 4 x1* = 128 16 = 8 x 2* = 224 16 =14 U * = x1* x 2* + 2 x1* = (8)14 + (2 )8 = 128 • •
Nilai Stasioner U* di atas perlu diuji lagi dengan Syarat Orde Kedua sebelum diketahui maksimum atau minimum atau bukan keduanya. Pendekatan Diferensial Total Diferensial dari L=f(x,y) : dL = fxdx + fydy = 0 Diferensial dari g=g(x,y) : dg = gxdx + gydy = 0 dimana dx dan dy bergantung satu dengan yang lain Gradien dari kurva isokuan : dy/dx = -fx/ fy Gradien dari kurva kendala : dy/dx = -gx/gy Maka didapat persamaan : -gx /gy = -fx/ fy Apakah pendekatan diferensial total menghasilkan kondisi orde pertama yang sama dengan metode pengali Lagrange? Dari metode Pengali Lagrange didapat: fx/ gx = fy /gy = λ Hal ini menghasilkan informasi yang tepat sama dengan hasil pendekatan diferensial total. Selanjutnya λ dapat diintrepretasikan tersendiri.
•
•
Intrepetasi dari Pengali Lagrange λ adalah ukuran sensitivitas dari L terhadap perubahan dari kendala c λ, x dan y : bersifat endogen, dan c : bersifat eksogen F(λ, x, y; c) = 0 Diferensial total dari fungsi implisit adalah: dL/dc = λ,
sehingga λ dapat diintrepetasikan sebagai ukuran pengaruh suatu perubahan di dalam kendala melalui parameter c terhadap perubahan nilai optimal dari fungsi objektifnya C. Syarat Orde Kedua • Pengali Lagrange λ tidak mempunyai efek pada nilai stasioner Z* karena kendala sama dengan nol, tetapi mengakibatkan Syarat Orde Kedua yang baru diperlukan untuk menguji nilai stasioner Z* • Adanya kendala mengubah kondisi untuk maksimum relatif atau minimum relatif. Ilustrasi: I. Kasus tanpa kendala z = z ( x, y ) Diferensial Orde Pertama : dz = z x dx + z y dy Diferensial Orde Kedua : d 2 z = z xx dx 2 + z xy dxdy + z yx dxdy + z yy dy 2 z xy ⎤ ⎡ dx ⎤ z yy ⎥⎦ ⎢⎣dy ⎥⎦
⎡ z xx d 2 z = [dx dy ]⎢ ⎣ z yx
dalam bentuk matriks :
Maka uji Hessian untuk kasus tanpa kendala (Free Extremum Hessian tests) : 1. z adalah maksimum relatif • jika d2z adalah definit negatif, yaitu jika : |H1| < 0, |H2| > 0, |H3| < 0, … 2. z adalah minimum relatif • jika d2z adalah definit positif, yaitu jika : |H1| > 0, |H2| > 0, |H3| > 0, … II. Kasus dengan kendala z = ax 2 + 2hxy + by 2 kendala : α x + β y = 0 pecahkan kendala untuk y: y = −
α
β
x
substitusikan ke fungsi objektif:
⎛ α z = ax + 2hx⎜⎜ − ⎝ β 2
⎞ ⎛ α x ⎟⎟ + b⎜⎜ − ⎠ ⎝ β
⎞ x ⎟⎟ ⎠
⎛x ⎞ z = aβ − 2 α β h + bα ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝β⎠
(
2
2
)
2
2
z > 0 jika aβ 2 − 2 α β h + bα 2 > 0 0 α
β
Sedangkan H = α
a
h = - aβ 2 + 2 α β h - bα 2
β
h
b
Maka z definit positif Æ minimum relatif jika 0 α H=α
β
a h
β h <0 b
Maka uji Hessian Terbatas untuk kasus dengan kendala (Bordered Hessian tests) : 1. z adalah maksimum relatif • jika d2z adalah definit negatif (dg = 0), yaitu jika : |H| > 0 2. z adalah minimum relatif • jika d2z adalah definit positif (dg = 0), yaitu jika : |H| < 0 Uji Hessian Terbatas Jika z = f(x,y) dengan kendala g(x,y) = k Fungsi Langrangenya: L(x,y, λ) = f(x,y) – λ [g(x,y) – k] Untuk membuktikan apakah titik ekstrim yang ditemukan merupakan titik maksimum atau minimum, yang merupakan syarat cukup untuk titik ekstrim relatif, maka dicari MATRIKS HESSIAN TERBATAS (BORDERED HESSIAN MATRIX) sebagai berikut: ⎡ 0 gx gy ⎤ ⎥ ⎢ H = ⎢ g x L xx L xy ⎥ ⎢ g y L yx L yy ⎥ ⎦ ⎣ di mana:
•
gx = turunan pertama kendala terhadap x. gy = turunan pertama kendala terhadap y. Lxx = turunan dari Lx terhadap x. Lxy = turunan dari Lx terhadap y. Lyy = turunan dari Ly terhadap y. Lyx = turunan dari Ly terhadap x.
Bila |H| > 0 maka fungsi tersebut mempunyai titik maksimum relatif.
•
Bila |H| < 0 maka fungsi tersebut mempunyai titik minimum relatif.
Kasusn n-Variabel Jika fungsi objektifnya mempunyai bentuk : z=f(x1,x2,...,xn) dengan syarat g(x1,x2,...,xn)=c Fungsi Langrangenya: L(x1,x2,...,xn, λ) = f(x1,x2,...,xn) – λ [g(x1,x2,...,xn) – k] MATRIKS HESSIAN TERBATAS (BORDERED HESSIAN MATRIX) sebagai berikut: ⎡0 ⎢g ⎢ 1 H = ⎢g2 ⎢ ⎢# ⎢⎣ g n
g1
g2
L11
L12
L21 #
L22 #
Ln1
Ln1
gn ⎤ " L1n ⎥⎥ " L2 n ⎥ ⎥ # ⎥ " Lnn ⎥⎦ "
Maka uji Hessian Terbatas untuk kasus dengan kendala (Bordered Hessian tests) : 1. z adalah maksimum relatif • jika d2z adalah definit negatif (dg = 0), yaitu jika : minor utama |H2| > 0, |H3| < 0, |H4| > 0 … 2. z adalah minimum relatif • jika d2z adalah definit positif (dg = 0), yaitu jika : minor utama |H2| < 0, |H3| < 0, |H4| < 0 …
•
Contoh: Fungsi Utilitas U(x1 , x 2 ) = x1x 2 + 2x1 Kendala anggaran : C = 60 – 4x1 – 2x 2 = 0 Æ g(x 1 , x 2 ) = 4x 1 + 2x 2 = 60 Fungsi Lagrange: L = x1x 2 + 2x1 + λ (60 – 4x1 – 2x 2 ) Dalam bagian sebelumnya telah didapatkan nilai stasioner contoh ini sbb: λ * = 64 16 = 4 x1* = 128 16 = 8 x 2* = 224 16 =14
U * = x1* x 2* + 2 x1* = (8)14 + (2 )8 = 128 Uji Hessian Terbatas : 0
g1
g2
0 4 2
| H |= g1 L11 L12 = 4 0 1 = 16 > 0 g 2 L21 L22 2 1 0 Yang memastikan nilai U* sebagai suatu maksimum relatif.
Note: Seperti anda lihat elemen-elemen matriks Hessian hampir sama dengan matriks Jacobian, kecuali bagian g1 dan g2 berlawanan tanda antara matriks Hessian dan matriks Jacobian. Walaupun begitu perhitungan Determinannya mempunyai nilai yang sama. D. Aplikasi dari Optimasi dengan Kendala Persamaan
•
Memaksimumkan Utilitas dan Permintaan Konsumen Misalkan terdapat pilihan dua barang saja, dimana keduanya mempunyai fungsi utilitas marginal postif ( U x ,U y > 0 ) dan kontinu. Harga kedua barang ditentukan oleh pasar sehingga bersifat eksogen. Jika daya beli konsumen adalah B, maka persoalannya adalah pemaksimuman fungsi utilitas : U=U(x,y) dengan syarat: xPx + yPy = B Fungsi Lagrangenya:
Z = U ( x, y ) + λ (B − xPx − yPy )
Syarat Orde Pertama:
Z λ = B − xPx − yPy = 0 Z x = U x − λPx = 0 Z y = U y − λPy = 0
Diferensial Fungsi Implisitnya: − Px .dx − Py dy = x dPx + ydPy − dB − Px dλ + U xx dx + U xy dy = λ dPx − Py dλ + U yx dx + U yy dy =
Dalam bentuk matriks: ⎡ 0 − Px − Py ⎤ ⎡dλ ⎤ ⎡ x dPx ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎢ − Px U xx U xy ⎥ ⎢ dx ⎥ = ⎢ λ dPx ⎢− Py U yx U yy ⎥ ⎢ dy ⎥ ⎢ 0 ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣
λ dPy ydPy 0 λ dPy
− dB ⎤ ⎥ 0 ⎥ 0 ⎥⎦
Syarat Orde Pertama Syarat orde pertama ekuivalen dengan persamaan berikut: Ux Uy ∂U * Px U x = =λ = , = Px Py ∂B Py U y Kurva Utilitas indiferens U = U ( x, y ) dU = U x dx + U y dy = 0
Dengan implikasi U dy − U y = = negatif dr rasio utilitas marjinal x dx Ux Uy Untuk Garis anggaran, dapat ditulis sebagai: B = xPx + yPy
y=
B Px − x, Py Py
dy − Px − U y = = dx Py Ux
Bentuk yang baru ini dapat diinterpretasikan sbb: dalam memaksimumkan utilitas, konsumen harus mengalokasikan anggaran sehingga kemiringan/lereng garis anggaran sama dengan kemiringan kurva indiferens. Syarat Orde Kedua Jika Hessian Terbatas nya adalah positif maka: 0 − Px − Py H = − Px U xx U xy > 0 − Py U yx U yy
= − Px2U yy + 2 Px PyU xy − Py2U xx > 0 H : definit negatif
→ max
Di sini nilai stasioner U* dipastikan maksimum. I. Kemiringan kurva indiferen telah dijamin oleh U dy − U y = = negatif dr rasio utilitas marjinal x , dx Ux Uy
d2y Sedangkan kecembungan sempurna dijamin oleh >0 dx 2 d2y dy − U y , dapat didiferensiasikan , sbb: Untuk mendapatkan = 2 dx dx U x d 2 y d ⎛⎜ − U x ⎞⎟ 1 = = − 2 (U y (dU x dx ) − U x (dU y dx )) 2 dx ⎜⎝ U y ⎟⎠ Uy dx dU x = U xx dx dx + U xb dy dx = U xx + U xy dy dx dx dU y = U xy dx dx + U yy dy dx = U xy + U yy dy dx dx
Sehingga di dapat: d2y 1 = − 2 (U y (U xx + U xy dy dx ) − U x (U xy + U yy dy dx )) 2 dx Uy
1 d2y =− 2 2 dx Uy 1 d2y =− 2 2 dx Uy
⎛ ⎞⎞ Px ⎞⎟ d2y 1 ⎛⎜ ⎛⎜ ⎜U xy − U yy Px ⎟ ⎟ U U U U = − − − y xx xy x ⎜ dx 2 U y2 ⎜⎝ ⎜⎝ Py ⎟⎠ Py ⎟⎠ ⎟⎠ ⎝ ⎛ ⎞ ⎜U yU xx − U y Px U xy − U y Px U xy + U y Px Px U yy ⎟, subtitusi U x = U y Px ⎜ ⎟ Py Py Py Py Py ⎝ ⎠ 2 ⎛ ⎞ ⎜U yU xx − 2U y Px U xy + U y Px U yy ⎟, penyederhanaan 2 ⎜ ⎟ P P y y ⎝ ⎠
(
d2y 1 =− Py2U xx − 2 Py PxU xy + Px2U yy 2 dx U y Py2
)
Kurvatur dari fungsi utilitas indiferens adalah : 2 2 H d 2 y 2 Px PyU xy − Py U xx − Px U yy = = U y Py2 U y Py2 dx 2
dengan
1 >0 U y Py2
0 H = − Px − Py
− Px U xx U yx
− Py U xy = 2 Px PyU xy − Py2U xx − Px2U yy > 0 U yy
H > 0, positif (definit negatif) sehingga U maksimum, Shg di dapat : 2 2 H d 2 y 2 Px PyU xy − Py U xx − Px U yy = = >0 2 2 dx U y Py U y Py2
d2y > 0, positif, dx 2 d2y > 0 adalah : Kurva Utilitas Indiferensnya Interpretasi dari dx 2 Cembung sempurna pada titik singgungnya.
Kuantitas Q2 P0
garis anggaran kemiringan
dy − Px = dx Py
P0 B
Kurva indiferens A
kemiringan C
dy dx
=
−Uy Ux
U0
U1
P1
P1
Kuantitas Q1
Latihan 1. Diketahui fungsi kepuasan (utility) seorang konsumen yang mengkonsumsi barang X dan Y adalah U = x2y, dan fungsi anggaran dari konsumen itu adalah pxx + pyy = I, dimana: x dan y = jumlah barang X dan Y yang dikonsumsi (dalam unit). Px = harga barang x = $3. Py = harga barang y = $6. I = income konsumen = $18. Berapa unit x dan y yang harus dikonsumsi konsumen itu agar kepuasannya maksimum? Berapa kepuasan maksimumnya?
