CATATAN KULIAH #8 Optimasi Dengan Kendala Persamaan dan Aplikasinya
Sumber: Alpha C. Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Ch.12
6.1 Pendahuluan • Sejauh ini, proses optimasi dilakukan tanpa menggunakan kendala. • Padahal, seringkali persoalan optimasi dihadapkan pada kendalakendala tertentu • Sebagai contoh, persoalan dasar dalam teori konsumen adalah bagaimana menentukan tingkat konsumsi yang memberikan kepuasan optimal dengan tingkat pendapatan tertentu. 6.2 Metode Pengali Lagrange • Metode pengali lagrange adalah sebuah teknik dalam menyelesaikan optimasi dengan kendala persamaan. • Inti dari metode pengali-Lagrange adalah mengubah persoalan titik ekstrem terkendala menjadi persoalan ekstrem bebas kendala. Selanjutnya, fungsi yang terbentuk dari transformasi tersebut dinamakan fungsi Lagrange. • Misalkan permasalahan yang dihadapi adalah memaksimalkan F = f ( x, y ) dengan kendala g ( x, y ) = c . Maka, fungsi Lagrange-nya adalah L = f ( x, y ) + λ (c − g ( x, y )) dimana λ adalah pengali Lagrange • Kondisi optimal diperoleh melalui FONC, yaitu: L x = L y = Lλ = 0
• Untuk kasus n-variabel, Jika fungsi objektifnya mempunyai bentuk z = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) dengan kendala g ( x1 , x 2 ,..., x n ) = c , maka fungsi Lagrange ditulis dengan L = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) + λ (c − g ( x1 , x 2 ,..., x n ))
• Contoh soal: Diketahui sebuah fungsi y = f (x, y ) = x1 x 2 + 2 x1 . Berapakah nilai x1 dan x 2 yang dapat memaksimalkan y jika diketahui bahwa kendala yang dihadapi adalah c = 60 − 4 x1 − 2 x 2 = 0 ?
6.3 Intepretasi dari Pengali Lagrange ( λ ) • λ adalah ukuran sensitivitas dari L terhadap perubahan dari kendala c. • λ , x dan y bersifat endogen, dan c bersifat eksogen • Dari fungsi Lagrange yang didefinisikan sebelumnya, diperoleh bahwa dL =λ dc
• Dengan kata lain, λ dapat diintrepetasikan sebagai ukuran pengaruh suatu perubahan di dalam kendala melalui parameter c terhadap perubahan nilai optimal dari fungsi objektifnya 6.4 Uji Syarat Orde Dua (SOSC) • Seperti halnya pada optimasi tanpa kendala, optimasi berkendala persamaan membutuhkan uji syarat orde dua untuk menentukan apakah titik ekstrim yang ditemukan merupakan titik maksimum atau minimum • Uji SOSC ini menggunakan matriks Hessian terbatas (Bordered Hessian Matrix) • Jika diketahui fungsi tujuan F = f (x, y ) dengan kendala g (x, y ) = c , maka matriks Hessian terbatasnya dituliskan dengan ⎡0 H = ⎢g x ⎢ ⎢⎣ g y
dimana: g x gy
gx L xx g yx
gy ⎤ L xy ⎥ ⎥ L yy ⎥⎦
= turunan pertama kendala terhadap x = turunan pertama kendala terhadap y
L xy
= turunan L x terhadap x = turunan L x terhadap y
L yx
= turunan L y terhadap x
L yy
= turunan L y terhadap y
L xx
• Bila |H| > 0 maka fungsi tersebut mempunyai titik maksimum relatif. Sebaliknya, bila |H| < 0 maka fungsi tersebut mempunyai titik minimum relatif. • Untuk kasus n-variabel, Matriks Hessian Terbatas-nya adalah
⎡0 ⎢ g1 H = ⎢g 2 ⎢ ⎢ M ⎢⎣ g n
g1 L11 L21 M Ln1
g2 L12 L22 M Ln 2
L gn ⎤ L L1n ⎥ L L2 n ⎥ ⎥ M ⎥ L Lnn ⎥⎦
• Selanjutnya, uji Hessian Terbatasnya yakni: • z adalah maksimum relatif jika H 2 > 0; H 3 < 0;...; (− 1)n H n > 0 • z adalah minimum relatif jika H 2 , H 3 ,..., H n < 0 • Contoh soal: Dengan menggunakan contoh kasus sebelumnya, ujilah syarat SOSC-nya!
6.5 Penerapan Metode Lagrange dalam Ekonomi • Teori konsumen: memaksimalkan utilitas dengan kendala pendapatan. Contoh: Misalkan seorang konsumen dihadapkan pada fungsi himpunan yang berbentuk u: u (x1, x 2 ) = 10 x11 / 3 .x 22 / 3 . Fungsi kepuasan ini dibentuk sebagai akibat konsumen tersebut menghadapi dua barang yaitu x 1 dan x 2 yang menjadi pilihan konsumsinya. Diketahui harga barang x 1 dan x 2 masing-masing adalah 4 dan 6 sementara pendapatan yang dimiliki konsumen tersebut hanya sebesar 72. Carilah jumlah konsumsi barang x 1 dan x 2 yang harus dipilih konsumen tersebut agar kepuasanna maksimum! Perlihatkan bahwa SOSC terpenuhi.
• Teori produsen: meminimalkan biaya dengan kendala sejumlah barang yang dipenuhi. Contoh: Misalkan seorang produsen memunyai fungsi biaya total yaitu : c = f ( x, y ) = 45 x 2 + 90 xy + 90 y 2 , disamping itu produsen tersebut harus memenuhi kuota produksi barang x dan y yang setara dengan 2x+3y = 60. Tentukanlah jumlah barang x dan y yang harus diproduksi dengan tujuan meminimumkan biaya!
Contoh soal 1. Diketahui fungsi utilitas U = (x + 2)( y + 1) . Diketahui pula bahwa Px = 4, Py = 6 dan B = 130 . a. Tulislah fungsi Lagrange-nya b. Tentukan nilai optimal x dan y c. Apakah SOSC-nya terpenuhi?
