Catatan Kuliah 7 Memahami dan Menganalisa Optimisasi Sederhana Tanpa Kendala dengan Satu Variabel Keputusan
Optimisasi Ilmu ekonomi adalah ilmu yang mempelajari bagaimana melakukan penelitian yang terbaik di antara pilihan yang ada dalam konteks keseimbangan.
Ilustrasi : Bagaimana kita menentukan besarnya produksi agar profit yang kita raih dapat optimal (maksimal) dengan tetap memperhatikan keseimbangan antara sumber daya yang ada. Untuk melakukan pilihan-pilihan yang tepat di antara pilihan yang ada tersebut, ada teori yang dapat membantu kita dalam hal menentukan pilihan yang terbaik ini. Konsep ini disebut optimisasi yang oleh Chiang (2005) didefinisikan sebagai : “The Guest for the Best”.
1. Nilai Optimum dan Nilai Ekstrim Perhatikan ilustrasi berikut : a) y = f ( x ) = k ; k ∈ ℜ ; k > 0 y
k
A
0
x1
B
x2
C
x3
y = f ( x) = k
x
Berdasarkan grafik di atas, titik A, B, dan C dapat dipandang sebagai relatif maksimum atau relatif minimum atau bukan keduanya.
b)
y y = f ( x)
y1 y2 D 0
x1
x
x2
Berdasarkan grafik di atas, dapat dinyatakan bahwa : ∀a > b maka f ( a ) > f ( b ) dan D adalah global minimum, serta fungsi ini tidak
mempunyai relatif maksimum.
c)
Y
E
C
A
B D 0 a
b
x
Berdasarkan grafik di atas dan pada interval ( a, b ) dapat dinyatakan bahwa : Relatif maksimum : A dan C Global maksimum : E Relatif minimum : B Global minimum : D
2. Tes Derivatif Pertama (FOC) Diberikan suatu fungsi y = f ( x ) . Salah satu metode yang digunakan untuk menentukan titik ekstrim dari suatu fungsi adalah uji derivatif pertama. Langkah-langkah yang perlu diperhatikan pada penggunaan uji ini adalah : ¾ Mencari nilai ekstrim x = x0 dengan cara derivatif pertama dari fungsi tersebut sama dengan nol atau f ' ( x ) = 0 ¾ Menyelidiki perubahan tanda yang mungkin terjadi di sekitar nilai ekstrim x = x0 a) x = x0 merupakan titik relatif maksimum jika f ' ( x ) tandanya berubah dari
(+)
ke ( − ) di sekitar x0
b) x = x0 merupakan titik relatif minimum jika f ' ( x ) tandanya berubah dari
( −)
ke ( + ) di sekitar x0
c) x = x0
bukan merupakan titik relatif minimum ataupun maksimum
(kemungkinan adalah titik belok) jika f ' ( x ) tandanya sama di sekitar x0 Contoh : 1) AC = f ( Q ) = Q 2 − 5Q + 18 Tentukan titik ekstrimnya. Jawab : f ' ( Q ) = 2Q − 5 = 0
Q=
5 → titik stasioner 2
Misal ambil Q1 = 2 → f ' ( 2 ) = 2 ( 2 ) − 5 = −1 < 0 Q2 = 3 → f ' ( 3) = 2 ( 3) − 5 = 1 > 0
Berarti Q =
5 adalah titik relatif minimum 2
2) Tentukan nilai stasioner dari fungsi berikut dan periksa apakah relatif maksimum atau minimum atau titik belok : a) y = x3 − 3 x + 5 1 b) y = x3 − x 2 + x + 10 3
3. Derivatif Kedua dan Lebih
Karena derivatif pertama f ' ( x ) adalah suatu fungsi dari x , maka f ' ( x ) dapat didifferensialkan lagi terhadap x menjadi derivatif kedua dari fungsi f ( x ) , yang d2y dinotasikan dengan : f " ( x ) atau dx 2 Jika derivatif kedua f " ( x ) didifferensialkan lagi terhadap x menjadi derivatif ketiga f '" ( x ) atau
d3y , dst. dx3
Interpretasi Derivatif Kedua
Fungsi derivatif pertama f ' ( x ) mengukur tingkat perubahan dari fungsi f ( x ) . Maka fungsi derivatif kedua f " ( x ) mengukur tingkat perubahan dari fungsi derivatif pertama f ' ( x ) . Dengan kata lain, derivatif kedua mengukur tingkat perubahan dari tingkat perubahan dari fungsi asli f ( x ) . Misal akan dianalisis fungsi f ( x ) di titik x = x0 Berdasarkan derivatif pertama : f ' ( x0 ) > 0 ⎫⎪ ⎧meningkat ⎬ artinya nilai fungsi ⎨ f ' ( x0 ) < 0 ⎭⎪ ⎩ menurun Berdasarkan derivatif kedua : f " ( x0 ) > 0 ⎪⎫ ⎧meningkat ⎬ artinya slope kurva ⎨ f " ( x0 ) < 0 ⎭⎪ ⎩ menurun
4. Tes Derivatif Kedua (SOC)
•
Metode lain yang digunakan untuk menentukan titik ekstrim dari suatu fungsi adalah uji derivatif kedua. Langkah-langkah yang perlu diperhatikan pada penggunaan uji ini adalah : ¾ Mencari nilai ekstrim x = x0 dengan cara derivatif pertama dari fungsi
tersebut sama dengan nol atau f ' ( x ) = 0 ¾ Tentukan derivatif kedua atau f " ( x ) dari fungsi tersebut ¾ Substitusikan nilai ekstrim x = x0 ke dalam derivatif kedua.
a) x = x0 merupakan titik relatif maksimum jika f " ( x ) < 0 b) x = x0 merupakan titik relatif minimum jika f " ( x ) > 0 c) x = x0 tidak dapat disimpulkan secara pasti atau uji derivatif kedua gagal jika f " ( x ) = 0 •
Uji derivatif kedua berhubungan dengan kecekungan grafik atau kurva dari suatu fungsi. Cara menguji kecekungan adalah sbb : a) Jika f " ( x ) < 0 maka fungsi cekung ke bawah (concave) b) Jika f " ( x ) > 0 maka fungsi cekung ke atas (convex)
•
Titik belok (inflection point) adalah suatu titik dimana kecekungan berubah. Cara mencari titik belok adalah mencari solusi dari f " ( x ) = 0
•
Tabel kondisi relative ekstremum : y = f ( x ) Kondisi
Maksimum
Minimum
FONC
f '( x) = 0
f '( x) = 0
SONC
f "( x ) ≤ 0
f "( x ) ≥ 0
SOSC
f "( x ) < 0
f "( x ) > 0
•
Contoh :
Diket : R ( Q ) = 1200Q − 2Q 2 C ( Q ) = Q 3 − 61, 25Q 2 + 1528,5Q + 2000
Tentukan berapa nilai Q yang membuat profit maksimum dan perlihatkan bahwa turunan keduanya terpenuhi. Jawab : Profit : π ( Q ) = R ( Q ) − C ( Q )
= (1200Q − 2Q 2 ) − ( Q 3 − 61, 25Q 2 + 1528,5Q + 2000 ) = −Q 3 + 59, 25Q 2 − 328,5Q − 2000 FOC : π ' ( Q ) = 0 → π ' ( Q ) = −3Q 2 + 118,5Q − 328,5 = 0 Kedua ruas dikalikan dengan −
1 : 3
Q 2 − 39,5Q + 109,5 = 0
( Q − 3)( Q − 36,5) = 0 Q = 3 ; Q = 36,5 SOC : π " ( Q ) = −6Q + 118,5 Q = 3 → π " ( 3) = −6 ( 3) + 118,5 = 100,5 > 0 Q = 36,5 → π " ( 36,5 ) = −6 ( 36,5 ) + 118,5 = −100,5 < 0
Berdasarkan SOC, π " ( 36,5 ) < 0 maka profit maksimum saat Q = 36,5
