CATATAN KULIAH
Pertemuan XI: Optimasi Tanpa Kendala dan Aplikasinya (Fungsi dengan Variabel 2 atau Lebih) II
A. Fungsi Tujuan dengan Lebih dari Dua Variabel • Bentuk Umum Fungsi 3 Variabel : z=f(x1, x2, x3) Diferensial Total Orde Satu:
dz = f x1 dx1 + f x2 dx2 + f x3 dx3 Diferensial Total Orde Dua:
d 2 z = [dx1
•
dx2
⎡ f x1x1 ⎢ dx1 ]⎢ f x2 x1 ⎢ fx x ⎣ 31
f x1x2 f x2 x2 f x3 x2
f x1x3 ⎤ ⎡ dx1 ⎤ ⎥ f x2 x3 ⎥ ⎢⎢dx2 ⎥⎥ f x3 x3 ⎥⎦ ⎢⎣ dx3 ⎥⎦
Diferensial Total Orde Dua menghasilkan determinan Hessian yang simetris:
f x1x1
f x1x2
f x1x3
| H |= f x2 x1
f x2 x2
f x2 x3
f x3 x1
f x3 x2
f x3 x3
Yang minor utamanya adalah:
| H 1 | = f x1 x1
| H 2 |=
f x1x1
f x1x2
f x2 x1
f x2 x2
| H 3 |= H
Sehingga syarat cukup orde kedua untuk titik ekstrem dari z adalah: o d2z definit negatif (maksimum) bila : | H 1 |< 0 | H 2 |> 0 | H 3 |< 0 o d2z definit positif (minimum) bila : | H 1 |> 0 | H 2 |> 0 | H 3 |> 0 o semua minor utama diuji pada titik stasioner dimana:
f x1 = 0
f x2 = 0
f x3 = 0
B. Penerapan Ekonomi •
Permasalahan Perusahaan Multiproduk
•
Contoh 1: Asumsikan suatu perusahaan dengan dua produk berada pada keadaan Persaingan sempurna. Karena berada dalam persaingan sempurna, harga-harga kedua komoditi dianggap eksogen. Misalkan harga tersebut dinotasikan dengan P10 dan P20
Jika P10 = 12 dan P20 = 18, Berapa kuantitas Q1*, Q 2 * yang memaksimalkan Laba, dan jumlah Laba π *nya. Fungsi pendapatan perusahaan:
R = P10 Q1 + P20 Q2 ,
Dimana Q1 dan Q2 , adalah tingkat output produk 1 dan produk 2 Fungsi biaya perusahaan:
C = 2Q12 + Q1Q2 + 2Q22
(
π = R - C = P10Q1 + P20Q2 − 2Q12 + Q1Q2 + 2Q22
Maka fungsi Labanya:
Derivatif orde pertamanya: ∂π ∂π = P10 − 4Q1 − Q2 = 0, = P20 − Q1 − 4Q2 = 0 ∂Q1 ∂Q1 Dalam bentuk matriks didapat: ⎡− 4 − 1 ⎤ ⎡ Q1 ⎤ ⎡ − P10 ⎤ ⎢ − 1 − 4⎥ ⎢Q ⎥ = ⎢− P ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 20 ⎦ 1 ⎡− 4 1 ⎤ ⎡ − P10 ⎤ ⎡ Q1 ⎤ ⎢ ⎥= 15 ⎢⎣ 1 − 4⎥⎦ ⎣− P20 ⎦ ⎢⎣Q2 ⎥⎦
Didapat:
Q1* =
4 P10 − P20 , 15
Q2* =
4 P20 − P10 15
Sehingga: 4(12) − 18 4(18) − 12 Q1* = = 2, Q2* = =4 15 15 π = R - C = P10Q1 + P20Q2 − 2Q12 + Q1Q2 + 2Q22
(
)
π* = 12(2) + 18(4) − 2(2) − (2)4 − 2(4) = 24 + 72 − 8 − 8 − 32 = 48 ⎡− 4 − 1 ⎤ Pengujian titik ekstrem: Matriks Hessian H = ⎢ ⎥ ⎣ − 1 − 4⎦ 2
2
)
H = •
− 4 −1 = 15 −1 − 4
H 1 = −4
negative definite, → max.
Contoh 2: Asumsikan suatu perusahaan dengan dua produk berada pada keadaan Persaingan sempurna. Karena berada dalam persaingan sempurna, harga-harga kedua komoditi dianggap eksogen. Misalkan harga tersebut dinotasikan dengan P10 dan P20 . Dengan : R = P10Q1 + P20Q2 ,
C = 2Q12 + 2Q22
(
π = R - C = P10Q1 + P20Q2 − 2Q12 + 2Q22 Derivatif orde pertamanya: ∂π ∂π = P20 − 4Q2 = 0 = P10 − 4Q1 = 0, ∂Q1 ∂Q1
Q1* =
P10 , 4
Q2* =
)
P20 4
2 2 P10 P20 ⎛⎜ ⎛ P10 ⎞ ⎛ P20 ⎞ ⎞⎟ π = P10 + P20 − 2⎜ ⎟ + 2⎜ ⎟ 4 4 ⎜⎝ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎟⎠ *
(P ) (P ) 1 2(P10 ) 2(P20 ) + − 10 − 20 = (P102 + P202 ) 8 8 8 8 8 2
π* =
2
Pengujian titik ekstrem: ∂2π ∂2π = − 4 , = −4 ∂Q12 ∂Q22
H =
•
−4 0 = 16 0 −4
H 1 = −4
2
2
∂2π =0 ∂Q1∂Q2 negative definite, → maximum
Diskriminasi Harga Jika perusahaan monopolistic menjual satu jenis produknya ke dalam dua atau lebih pasar yang terpisah, maka harus ditentukan jumlah output Q yang ditawarkan ke masing-masing pasar agar Laba menjadi maksimum. Pada umumnya, setiap pasar mempunyai kondisi permintaan yang berbeda, dan bila elastisitas permintaan berbeda dalam berbagai pasar, maksimasi Laba memerlukan praktik Diskriminasi Harga.
Contoh 1: Suatu perusahaan monopoli yang memproduksi 2 macam produk mempunyai fungsi permintaan untuk masingmasing produk sebagai berikut: D1 : p1 = 36 − 3q1
p 2 = 40 − 5q 2
D2 : Fungsi biaya totalnya:
2
C = q1 + 2q1q2 + 3q2
2
Tentukan kuantitas dan harga dari masing-masing produk yang memaksimumkan laba untuk monopolis tersebut dan hitung berapa laba maksimumnya? Jawab: * π = TR – TC = (p1q1+p2q2) – C = 36q1 – 4q12 + 40q2 – 8q22 – 2q1q2 Turunan pertama: πq1 = 18 - 4q1 – q2 = 0 πq2 = 20 - 8q2 – q1 = 0 Diperoleh q1 = 4 dan q2 = 2 Untuk menentukan maksimum atau minimum, gunakan turunan kedua. πq1q1 = -8, πq1q2 = -2, π q2q2 = -16 ; πq1q1 . πq1q2 - π2 q1q2 = 124 Karena πq1q1 < 0, π q2q2 < 0, dan πq1q1 . πq1q2 - π2 q1q2 > 0, maka terbukti bahwa produksi q1 = 4 unit dan q2 = 2 unit menghasilkan keuntungan maksimum bagi perusahaan. * p1 = 24 dan p2 = 30 Harga produk 1 = 24 dan Harga produk 2 = 30. * π maksimum = 112. Contoh 2: Misalkan perusahaan monopolistik mempunyai fungsi pendapatan rata-rata pada 3 pasar yang berbeda sbb: Harga (P) sebagai fungsi dari kuantitas (Q)
P1 = 63 - 4Q1
P2 = 105 - 5Q 2
P3 = 75 - 6Q3
Fungsi pendapatan sebagai perkalian Harga (P) dengan Kuantitas (Q), didapat : R 1 = P1 Q1 = 63Q1 - 4Q12 ,
R 2 = P2 Q 2 = 105Q 2 - 5Q 22 , R 3 = P3 Q 3 = 75Q 3 - 6Q 32
Dan Fungsi biaya totalnya : C = 20 + 15Q,
Q = Q1 + Q2 + Q3 ,
Fungsi profit : π = R 1 (Q1 ) + R 2 (Q2 ) + R 3 (Q3 ) − C (Q)
π 1 = ∂π / ∂Q1 = 63 − 8Q1 − 15 = 48 − 8Q1 = 0
Q1* = 6, P1* = 39
π 2 = ∂π / ∂Q2 = 105 − 10Q2 − 15 = 90 − 10Q2 = 0 π 3 = ∂π / ∂Q3 = 75 − 12Q3 − 15 = 60 − 12Q3 = 0
Q2* = 9, P2* = 60 Q3* = 5, P3* = 45
Jadi didapat Q* = 20 dan Laba maksimum adalah:
R1* = 234
R2* = 540
R3* = 245
R * = 1019
C * = 340
π * = 679
Untuk melihat implikasi dari kondisi ini berkaitan dengan diskriminasi harga, dihitung pendapatan marjinal sbb : Ri = Pi Qi MRi =
⎛ ⎛ dQi dPi dP Q ⎞ dRi 1 Qi = Pi ⎜⎜1 + i i ⎟⎟ = Pi ⎜⎜1 + = Pi + dQi dQi dQi ⎝ ε di ⎝ dQi Pi ⎠
⎞ ⎟⎟ ⎠
Di mana ε di : nilai elastisitas permintaan dalam pasar ke-I (biasanya negatif). Untuk kasus di atas : dP1 dP1 dP1 = −4 = −5 = −6 dQ1 dQ1 dQ1
ε d1 =
39 ⎛ 1 ⎞ 60 ⎛ 1 ⎞ 45 ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ = 1.33, ε d 1 = ⎜ ⎟ = 1.5 ⎜ ⎟ = 1.625, ε d 1 = 6 ⎝4⎠ 9 ⎝5⎠ 5 ⎝6⎠
Syarat Orde pertama π 1 = π 2 = π 3 = 0 Æ MC = MR1 = MR2 = MR3 Karena :
⎛ ⎛ 1 ⎞ 1 ⎞⎟ ⎟⎟ = Pi ⎜1 − MRi = Pi ⎜⎜1 + ⎜ ε di ⎟⎠ ⎝ ε di ⎠ ⎝ Maka syarat orde pertama menjadi : ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ 1 ⎞⎟ ⎜1 − 1 ⎟ = P3 ⎜1 − 1 ⎟ P1 ⎜⎜1 − P = 2 ⎜ ε ⎟ ⎜ ε ⎟ ⎟ d2 ⎠ d3 ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ε d1 ⎠ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ 1 ⎞⎟ ⎜1 − 1 ⎟ = 45⎜1 − 1 ⎟ = 15 39⎜⎜1 − 60 = ⎜ 1.5 ⎟ ⎜ 1.33 ⎟ ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ 1.625 ⎠
Pengujian titik ekstrem
π 1 = 48 − 8Q1 = 0 π 2 = 90 − 10Q2 = 0 π 3 = 60 − 12Q3 = 0 π 11 = −8 π 22 = −10 π 33 = −12 π 12 = π 21 = π 13 = π 31 = π 23 = π 32 = 0 −8 0 0 H = 0 − 10 0 < 0, 0 0 − 12 H 2 > 0, H 1 < 0, negative definite, → max.
•
Keputusan Input dalam Perusahaan Variabel pilihan dari perusahaan juga bisa timbul dalam bentuk tingkat input, selain tingkat output Qi Asumsikan 1. Dua input a dan b digunakan dalam produksi produk Q 2. Harga dari output P dan harga-harga input Pa dan Pb 3. Proses produksi membutuhkan t tahun untuk selesai , sehingga pendapatan (future) harus didiskontokan sebelum dapat dibandingkan dengan biaya sekarang (present) 4. Tingkat diskonto adalah i0 Fungsi Biaya C dan fungsi pendapatan R: C = aPa 0 + bPb 0 R = P0Q(a, b )e − rt Jadi Fungsi Labanya: π = R − C = P0Q(a, b )e − rt − aPa 0 − bPb 0 Ambil derivatif parsialnya : π a = P0 Qa e − rt − Pa 0 = 0 P0 Qa e − rt = Pa 0 π b = P0 Qb e − rt − Pb 0 = 0
P0 Qb e − rt = Pb 0
dengan
Qa > 0
dengan
Qb > 0
Fungsi Produksi : Q = Q(a, b ) Ambil derivatif totalnya, maka isokuannya adalah:
dQ = Qa da + Qb db = 0 db − Qa − MPPa = = da Qb MPPb Note: MPP = Marginal Physical Product / Produk Fisik Marjinal Untuk mendapatkan Qa & Qb > 0 , maka membatasi input pilihan hanya pada bagian dengan kemiringan negatif pada isokuan tersebut sehingga tiap isokuan dapat dianggap sebagai fungsi b = φ (a) Syarat Orde Kedua untuk Laba maksimum: P Q e − rt P0Qab e − rt H = 0 aa − rt > 0 dan P0Qab e P0Qbb e − rt H 1 = P0 Qaa e −rt < 0
Maka syarat tersebut terpenuhi jika: Q aa < 0 dan Qaa Qbb > Qab Qab Note: Qaa adalah laju perubahan dari Qa dimana Qb konstan C. Aspek Statis Komparatif dari Optimasi
•
Ide utama: untuk mengetahui ‘bagaimana perubahan pada sembarang parameter akan mempengaruhi posisi ekuilibrium pada model, yang berkaitan dengan nilai optimal dari variabel pilihan’
•
Pemecahan Bentuk Ringkas (reduced-form) Pada Permasalahan Perusahaan Multiproduk Contoh 1, P10 dan P20 : harga-harga kedua komoditi bersifat eksogen. Tingkat output optimal dinyatakan dalam parameter eksogen tersebut: 4P − P 4P − P Q1* = 10 20 , Q2* = 20 10 15 15 Diferensiasi parsial dari solusi optimal tersebut akan memberikan sifat-sifat statis komparatif dari model tersebut: ∂Q1* ∂Q1* ∂Q2* ∂Q2* 4 1 1 4 = , =− , =− , = ∂P10 15 ∂P20 ∂P20 15 15 ∂P10 15
JADI dapat disimpulkan: untuk memaksimalkan laba, setiap produk sebaiknya diproduksi dalam jumlah besar jika harga naik atau bila harga pasar produk lain turun.
•
Model Fungsi Umum (general-function models) Pada Keputusan Input dalam Perusahaan , asumsikan Qab>0. Berapa banyak parameter pada model tersebut? Fungsi Labanya: π = R − C = P0Q(a, b )e − rt − aPa 0 − bPb 0 Derivatif parsialnya : π a = P0 Qa e − rt − Pa 0 = 0
P0 Qa e − rt = Pa 0
− rt
− rt
π b = P0 Qb e
− Pb 0 = 0
P0 Qb e
= Pb 0
dengan
Qa > 0
dengan
Qb > 0
Dalam model diskrit: e-rt=(1 + i0)-1 Sehingga: F1(a, b; P0, Pa0, Pb0, i0) = P0Qa(a, b)(1 + i0)-1 – Pa0 = 0 F2(a, b; P0, Pa0, Pb0, i0) = P0Qb(a, b)(1 + i0)-1 – Pb0 = 0 Jadi terdapat empat parameter (P0, Pa0, Pb0, i0) Selanjutnya cari (∂a*/∂i0) and (∂b*/∂i0), dan apa interpretasi ekonominya?
a * = a * ( P 0 , P a 0 , Pb 0 , i ) b * = b * ( P 0 , P a 0 , Pb 0 , i ) P0 Q a ( a * , b * )( 1 + i ) − 1 − Pa 0 ≡ 0 P0 Q b ( a * , b * )( 1 + i ) − 1 − Pb 0 ≡ 0 Derivatif orde keduanya: P0 Qaa (1 + i ) −1 da * + P0 Qab (1 + i ) −1 db * = −Qa (1 + i ) −1 dP0 + dPa 0 + P0 Qa (1 + i ) −2 di P0 Qab (1 + i ) −1 da * + P0 Qbb (1 + i ) −1 db * = −Qb (1 + i ) −1 dP0 + dPb 0 + P0 Qb (1 + i ) − 2 di
Dalam bentuk matriks: ⎡ P0 Qaa (1 + i ) −1 ⎢ −1 ⎣ P0 Qab (1 + i )
P0 Qab (1 + i ) −1 ⎤ ⎡da * ⎤ ⎡− Qa (1 + i ) −1 dP0 + dPa 0 + P0 Qa (1 + i ) −2 di ⎤ ⎥ ⎥⎢ ⎥=⎢ P0 Qbb (1 + i ) −1 ⎦ ⎣ db * ⎦ ⎣ − Qb (1 + i ) −1 dP0 + dPb 0 + P0 Qb (1 + i ) − 2 di ⎦
Misalkan hanya variabel eksogen I saja yang bervariasi maka: ⎡ P0 Qaa (1 + i ) −1 ⎢ −1 ⎣ P0 Qab (1 + i )
P0 Qab (1 + i ) −1 ⎤ ⎡∂a * ⎤ ⎡ P0 Qa (1 + i ) −2 ∂i0 ⎤ ⎥ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ P0 Qbb (1 + i ) −1 ⎦ ⎣∂b * ⎦ ⎣ P0 Qb (1 + i ) − 2 ∂i0 ⎦
Jika ∂i0 ≠ 0 ⎡ P0 Qaa (1 + i ) −1 ⎢ −1 ⎣ P0 Qab (1 + i )
P0 Qab (1 + i ) −1 ⎤ ⎡∂a * ∂i0 ⎤ ⎡ P0 Qa (1 + i ) −2 ⎤ ⎥ ⎥=⎢ ⎥⎢ P0 Qbb (1 + i ) −1 ⎦ ⎣∂b * ∂i0 ⎦ ⎣ P0 Qb (1 + i ) − 2 ⎦
Dengan aturan Cramer: P Q (1 + i ) −2 Aa = 0 a P0 Qb (1 + i ) − 2
P0 Qab (1 + i ) −1 P0 Qbb (1 + i ) −1
P0 Qaa (1 + i ) −1 P0 Qab (1 + i ) −1
P0 Qab (1 + i ) −1 P0 Qbb (1 + i ) −1
J =
2 −3 ⎛ ∂a * ⎞ (Qa Qbb − Qb Qab )P0 (1 + i ) ⎜⎜ ⎟⎟ = <0 J ⎝ ∂i0 ⎠
∂a * <0 ∂i0 Interpretasi: kuantitas dari input akan menurun ketika tingkat diskonto (i0) meningkat. Selanjutnya ketika tingkat diskonto (i0) meningkat, nilai uang sekarang (present) dari output P0 menurun, yang mengurangi permintaan implisit (MVP) untuk input a dan b. Jika Q ab > 0, maka
Latihan: 1. Suatu peusahaan dengan dua produk menghadapi fungsi permintaan dan biaya sbb: Q1 = 40 – 2 P1– P2 Q2 = 35 – P1 – P2 C = Q12 + 2 Q22 + 10 A. Carilah tingkat output yang memenuhi syarat cukup orde pertama untuk laba maksimum ? B. Periksa syarat cukup orde kedua. Dapatkah anda memutuskan bahwa persoalan ini memiliki maksimum mutlak yang unik? C. Berapakah Laba maksimumnya?
