CATATAN KULIAH
Pertemuan VIII: Optimasi Tanpa Kendala dan Aplikasinya (Fungsi dengan Satu Variabel)
A. Nilai Optimum dan Nilai Ekstrem Ekuilibrium Tujuan vs. Ekuilibrium Non-Tujuan: 1. Ekuilibrium Non-Tujuan: Terjadi akibat keseimbangan impersonal antara kekuatan yang berlawanan dan tidak membutuhkan usaha siapun untuk mencapai keadaan ini. 2. Ekuilibrium Tujuan: Posisi optimum bagi unit ekonomi tertentu (contohnya pegawai atau perusahaan), di mana unit ekonomi tersebut akan berusaha keras mencapai keadaan ini Æ Optimasi • • •
Selanjutnya dalam proses Optimasi, perlu diidentifikasikan Fungsi Objektif yang akan dioptimumkan. Dalam fungsi objektif tersebut, variabel tak-bebas nya akan menjadi sasaran proses maksimasi atau minimasi Contoh: memaksimumkan Laba π = R(Q) - C(Q), di sini kuantitas Q menjadi satu-satunya variabel bebas. Sehingga persoalan optimasinya adalah pemilihan tingkat Q yang akan memaksimumkan π
B. Maksimum dan Minimum Relatif : Uji Derivatif Pertama • Misal Fungsi Tujuan dalam bentuk umum: y=f(x) • Nilai kritis dari x di x0 adalah jika f’(x0) = 0 • Dan nilai stasioner dari y adalah f(x0) • Titik stasioner adalah titik dengan koordinat x0 dan f(x0) • Titik stasioner ini sebagai calon untuk titik ekstrem. • Uji derivatif pertama untuk ekstrem relatif adalah f '(x*) = 0 dan nilai dari f(x*) adalah: 1. Maksimum relatif jika derivatif f '(x) berubah tanda dari positif menjadi negatif dari sebelah kiri x* ke sebelah kanannya.
y A
f '(x*) = 0
x* 2. Minimum relatif jika f '(x) berubah tanda dari negatif menjadi positif dari sebelah kiri x* ke sebelah kanannya y
B
f '(x*)=0 x
x* 3. Bukan maksimum relatif atau minimum relatif jika f '(x) mempunyai tanda yang sama baik di sebelah kiri maupun di sebelah kanan titik x*. (titik ini dikenal sebagai titik belok (inflection point)
y D •
x*
f '(x*) = 0
x
•
Contoh: Carilah titik ekstrem dari: y = f ( x) = x 3 − 12 x 2 + 36 x + 8 f ' ( x) = 3 x 2 − 24 x + 36 = 0
(
derivatif ke − 1
)
f ' ( x) = 3 x 2 − 8 x + 12 = 0
(x − 2)(x − 6) = 0
x1* = 2;
x 2* = 6
titik − titik ekstrem
kiri
y * = f xi*
( )
kanan
f (1.5) = 38.375 f ' (1.5) = 6.75
f (2) = 40 f ' ( 2) = 0
f (2.5) = 38.625 f ' (2.5) = −5.25
max (+,− )
f (5.5) = 9.375
f ( 6) = 8
f (6.5) = 9.625
min
f ' (5.5) = −5.25
f ' ( 6) = 0
f ' (6.5) = 6.75
Grafik y = x3 - 12x2 + 36x + 8
Grafik Derivatif ke-1 nya: f ' ( x ) = 3 x − 24 x + 36 2
(−,+ )
C. Derivatif Kedua dan Derivatif yang lebih tinggi • Misal Fungsi Tujuan dalam bentuk umum: y=f(x) • Derivatif ke-1 f '(x) atau dy/dx merupakan fungsi x. Selanjutnya jika fungsi ini kontinu dan mulus (smooth ) maka ia akan dapat didiferensiasi lebih lanjut. • Hasil dari diferensiasi ini disebut sebagai derivatif ke-2 dari ungsi f dan dinotasikan sebagai f ''(x) atau d2y/dx2. • Derivatif ke-2 ini dapat didiferensiasi lebih lanjut terhadap x untuk menghasilkan derivatif ke-3, yaitu f '''(x) dan seterusnya dengan proses ini didapat derivatif ke-n: f(n)(x) atau dny/dxn •
Contoh : Carilah Derivatif ke-3 dari fungsi R = 1200 − 2Q 2 R = 1200 − 2Q 2 dR = 1200 − 4Q dQ
•
•
•
fungsi asal derivatif ke - 1
d dR d 2 R = = −4 dQ dQ dQ 2
derivatif ke - 2
d d 2R d 3R = =0 dQ dQ 2 dQ 3
derivatif ke - 3
Contoh : Carilah Derivatif ke-5 dari fungsi f ( x) = 4 x 4 − x 3 + 17 x 2 + 3 x − 1 f ( x) = 4 x 4 − x 3 + 17 x 2 + 3 x − 1
fungsi fawal
f ' ( x ) = 16 x 3 − 3 x 2 + 34 x + 3
derivatif ke − 1
f " ( x) = 48 x 2 − 6 x + 34
derivatif ke − 2
f ( 3) ( x ) = 96 x − 6
derivatif ke − 3
(x ) = 96 (x ) ≡ 0
derivatif ke − 4
f
( 4)
f
( 5)
derivatif ke − 5
f '(x) mengukur kecepatan perubahan dari fungsi f(x) – yang berarti kemiringan garis singgung (slope) baik meningkat (increasing) atau menurun (decreasing). f ''(x) mengukur kecepatan perubahan dari fungsi f '(x) – yang berarti kecekungan dari kurvanya.
( )
Jika f ′′ x * < 0, maka x* adalah maksimum relatif
( )
Jika f ′′ x * > 0, maka x* adalah minimum relatif •
Berdasar criteria di atas maka dalam contoh R = 1200 − 2Q 2 , titik ekstremnya dapat dicari sbb:
fungsi asal R = 1200 − 2Q 2 dR = 1200 − 4Q = 0 derivatif ke − 1 dQ Q * = 300 d dR d 2 R = = −4 dQ dQ dQ 2 → f"(Q) < 0
titik ekstrem derivatif ke − 2 maximum
D. Uji Derivatif Kedua •
Uji derivatif kedua untuk ekstrem relatif adalah f '(x*) = 0 dan nilai dari f(x*) adalah: 1. Maksimum relatif jika nilai f ''(x*)<0 2. Minimum relatif jika nilai f ''(x*)>0 3. Tidak dapat disimpulkan jika nilai f ''(x*)=0
•
Cembung Murni: jika diambil sembarang sepasang titik M dan N pada kurvanya dan hubungkan keduanya dengan garis lurus, maka segmen garis MN harus terletak dibawah kurva kecuali pada titik MN. Uji: jika f "(x) bernilai negatif untuk semua x, maka f(x) cembung murni.
•
•
Contoh: Fungsi Laba π = R(Q) - C(Q),
R = 1200Q − 2Q 2
fungsi pendapatan
C = Q 3 − 61.25Q 2 + 1528.5Q + 2000
fungsi biaya
(
)
π = R-C = 1200Q − 2Q 2 − Q 3 − 61.25Q 2 + 1528.5Q + 2000 fungsi laba maka π = −Q 3 + 59.25Q 2 − 328.5Q − 2000 dπ = −3Q 2 + 118.5Q − 328.5 = 0 dQ Q1* = 3
Q2* = 36.5
titik ekstrem
d 2π = −6Q + 118.5 dQ 2
π // (3) = 100.5
π // (Q1* ) > 0 → min
derivatif ke - 1
derivatif ke - 2
π // (36.5) = −100.5
π // (Q2* ) < 0 → max
uji derivatif ke - 2
Grafik fungsi laba π = −Q 3 + 59.25Q 2 − 328.5Q − 200
Grafik derivatif ke-1 dari fungsi laba :
dπ = −3Q 2 + 118.5Q − 328.5 dQ
•
Contoh: Kompetisi Tidak Sempurna
AR = 8000 − 23Q + 1.1Q 2 − 0.018Q 3
(
average rev. function
)
R ≡ AR * Q = 8000 − 23Q + 1.1Q − 0.018Q Q
total revenue function
MR = Qf / (Q) + f (Q)
m arg inal rev function
2
(
3
) (
)
MR = Q − 23 + 2.2Q − .054Q 2 + 8000 − 23Q + 1.1Q 2 − 0.018Q 3 (1) = 8000 − 46Q + 3.3Q − 0.0.72Q 2
MR = f (Q ) + Qf /
/
//
(Q ) +
3
f (Q ) = 0 /
derivatif ke − 1 product rule
MR / = −46 + 6.6Q − 0.216Q 2 = 0
derivatif ke − 2
Q1* = 10.76
titik ekstrem
Q2* = 19.79
MR // (Q) = 6.6 − 0.432Q MR // (10.76) = 1.95
MR" (19.79) = −1.94
MR // (Q1* ) > 0 → min. MR" (Q2* ) < 0 → max.
total revenue function
derivatif ke − 2
derivatif ke − 3 uji kecembungan
derivatif ke − 1
derivatif ke − 3
Latihan : 1. Carilah maksimum dan minimum relatif dengan uji derivatif kedua : 2x f ( x) = x ≠ 1/ 2 1 − 2x
