CATATAN KULIAH
Pertemuan V: Analisis Komparatif Statik dan Konsep Derivatif
A. Pengertian Komparatif Statik dan Konsep Derivatif • Analisis Statis (ekuilibrium)yang dipelajari dalam bab yang lalu, mempunyai dua keterbatasan dalam: • Kasus pergeseran keadaan ekuilibrium • Kasus ekuilibrium tidak stabil (unstable equilibrium) • Kasus pergeseran keadaan ekuilibrium sebagai tanggapan terhadap perubahan variabel eksogen berkaitan dengan Analisis Komparatif Statik. • Dan pembahasan mengenai pencapaian dan kestabilan ekuilibrium terdapat dalam Analisis Dinamik. •
• •
Di bab ini akan dibahas Komparatif Statik: studi dari keadaan ekuilibrium yang berbeda-beda dengan himpunan nilai parameter dan variabel eksogen yang berbeda-beda. Dimulai dengan mengasumsikan keadaan ekuilibrium awal Contoh: – Model Pasar Tertutup (P0,Q0) (terguncang)→ (P1,Q1) – Model Pendapatan Nasional (Y0, C0) (terguncang)→(Y1, C1)
Contoh Diagram: Pergeseran pada Permintaan (demand)
P
Qs P1 P0 Qd1 Qd0 Q0 Q1
Q
Perbedaan antara Analisis Ekuilibrium Statik dan Analisis Ekuilibrium Komparatif Statik: 1. Analisis Ekuilibrium Statik: y* = f(x) 2. Analisis Ekuilibrium Komparatif Statik: y1* - y0* = f(x1) - f(x0) Di mana subskrip 0 menyatakan keadaan awal dan 1 menyatakan keadaan selanjutnya. •
•
Misal ∆y = y1-y0 dan ∆x = x1-x0 atau x1 = x0 + ∆x Selanjutnya diketahui y=f(x) maka: ∆y = f(x1) - f(x0) dan subtitusikan persaman x1 didapat: ∆y =f(x0 + ∆x) - f(x0) Bagi persamaan terakhir, kedua sisinya dengan ∆x, maka akan didapat Hasil-Bagi Beda (difference quotient) ∆y f ( xo + ∆x ) − f ( x0 ) = ∆x ∆x
Dan ambil limit ∆x -> 0, maka akan didapat derivatif (derivative) dari fungsi y=f(x):
f ( x 0 − ∆x ) − f ( x 0 ) ∆y = lim ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x lim
•
Contoh: Jika fungsi y=3x2-4, maka cari Hasil-bagi Beda dan Derivatifnya: a. ∆Y = f ( X o + ∆X ) − f ( X 0 ) ∆X ∆X
f ( x0 ) = 3x02 − 4 f ( x0 + ∆x ) = 3( x0 + ∆x ) − 4 2
(
∆y 3(x 0 + ∆x ) − 4 − 3 x02 − 4 = ∆x ∆x 2
=
)
3x 02 + 6 x0 ∆x + 3∆x 2 − 4 − 3x 02 + 4 ∆x
= 6 x0 + 3∆x b. f ′( X ) = dy = lim ∆Y = lim f ( X + ∆X ) − f ( X ) dx ∆x →0 ∆X ∆x →0 ∆X
∆y = 6 x0 + 3∆x ∆x
maka
∆y = 6 x0 ∆x → 0 ∆x lim
B. Derivatif dan Kemiringan (Slope) Kurva
•
Intrepetasi geometric dari Hasil Bagi Beda (Difference Quotient)
y=f(x)
f(x)
Kemiringan = f(x0+∆x)-f(x0) (x1-x0)
f(x0+∆x)
f(x0) x1
x0 •
•
x
Apa yang terjadi bila kita mengubah besarnya ∆x = x1-x0? Bila diberikan kenaikan x yang kecil, maka y rata-rata akan diukur oleh kemiringan garis=Hasil Bagi Beda. Selanjutnya bila kenaikan x dikurangi terus-menerus akan diperoleh garis yang mendatar, sampai akhirnya dalam limit ∆xÆ0 akan diperoleh garis singgung fungsi y di x0 (garis warna merah)
C. Konsep Limit dalam Kaitannya dengan Derivatif
•
•
Konsep Limit fungsi (f(x), x→a) function menggambarkan batas nilai dari f(x) jika x mendekati a dari sebelah kanan dan sebelah kiri. Nilai limit tersebut dapat berhingga (N), tak berhingga (infinite), tidak dapat didefinisikan (undefined) Notasi limit : Lim f ( x) = L x→a
•
Persamaan diatas dibaca : limit dari fungsi f(x) untuk x mendekati a (dari arah kanan dan arah kiri) adalah L Intrepetasi geometrik dari Konsep Limit: f(x)
L
a
x
•
Horizontal Asymptote: Garis y = a disebut asimptot horisontal dari grafik f jika dan hanya jika :
Lim f ( x) = a
x → −∞
•
Lim f ( x) = a x →∞
Di sini nilai x menuju Ketakhinggaan positif atau negative Vertical Asymptote: Garis x = a disebut asimptot vertikal dari grafik f jika dan hanya jika :
Lim− f (x) = ∞ x→a
•
atau
Lim− f (x) = −∞ x→a
Lim+ f (x) = ∞
Lim+ f (x) = −∞
x→a
x→a
Interpretasi geometrik dari asimptot horisontal dan vertikal: f(x)
a
x → -∞
• •
x → +∞
Untuk menentukan limit dari suatu fungsi, kita dapat mensubstitusikan nilai x = a ke dalam fungsi f. Namun cara ini tidak berlaku untuk semua jenis fungsi. Cara lain yang digunakan untuk menentukan limit dari fungsi adalah dengan mengobservasi nilai dari a yang didekati dari 2 arah yaitu :
Lim− f ( x) = L x →a
Menunjukkan bahwa limit f(x) ketika x mendekati a dari kiri
Lim+ f ( x) = L
Menunjukkan bahwa limit f(x) ketika x mendekati a dari kanan
x →a
Sehingga untuk menguji eksistensi dari limit ada, jika :
Lim+ f ( x) = Lim− f ( x) = L x→a
x→a
maka
Lim f ( x) = L x→a
• Contoh-contoh: 1. Lim x 3 x→ 2
dan
Lim− x 3 = 8 x→2
Lim+ x 3 = 8 x→2
Maka: Lim x = 8 3
x→2
2.
;x ≤ 4 ⎧ 2x f ( x) = ⎨ ⎩2 x + 3 ; x > 4 dan
Lim− f ( x) = 8 x→4
Lim+ f ( x) = 11 x→4
karena Lim+ f ( x) ≠ Lim− f ( x) maka x→4
x→4
q(v) = lim 3. vlim → +∞ v → +∞
Lim f ( x) tidak ada x→4
3 2v + 5 = lim 2 + v → +∞ v +1 v +1
lim q(v) = 2
v → +∞
x2 – 9 (x-3) (x+3) 4. lim ––––– = ––––––––– = x+3 = 3+3 = 6 x→3 x –3 (x-3)
5.
⎧2 x + 2 f ( x) = ⎨ ⎩6 x − 4
;x ≥ 2 ;x < 2
Tentukan nilai lim f(x) =…….? x→2 lim f(x)
= 6(2) – 4
lim f(x)
= 3(2) +2
x → 2-
x → 2+
Jadi Lim f(x) = 8, karena limit kiri = limit kanan x→2
SIFAT-SIFAT LIMIT 1. Jika f(x) = c maka Lim (c ) = c x→a
2. Jika f(x) = xn maka Lim x n = a n x→a
c. f ( x ) = c. Lim f ( x ) 3. Lim x→a x→a
[ f ( x ) ± g ( x)] = Lim [ f ( x )] + Lim [g ( x)] 4. Lim x→a x→a x→a [ f ( x). g ( x)] = Lim [ f ( x )]. Lim [g ( x )] 5. Lim x→a x→a x→a 6. Lim x→a
f ( x) f ( x ) Lim = x→a g ( x) Lim g ( x )
dimana
Lim g ( x ) ≠ 0 x→a
x→a
D. Fungsi kontinu dan Diferensiabel
•
KONTINUITAS PADA SUATU TITIK Suatu fungsi f disebut kontinu pada x = a jika : 1. Fungsi tersebut terdefinisi pada x = a 2. Limit f(x) untuk x menuju a adalah f(a) Maka fungsi kontinu di titik x = a, jika:
lim f ( x) = f (a) x→a
•
KONTINUITAS SEPANJANG INTERVAL Fungsi f kontinu sepanjang interval [a,b] jika kontinu pada setiap titik dalam interval [a,b].
• Contoh-contoh: 1. Periksalah Apakah f(x) = x3 kontinu di x = 2 ? Jawab : 1. f (2) = 8 2. lim x3 = 8 x → 2-
lim x3 = 8 x → 2+
3. lim f(x) = f(2)=8 x→2
Jadi f(x) kontinu di x=2
2. Periksa apakah fungsi q(v) di bawah ini kontinu di v=2 dan v=-2?
q (v ) =
v 3 + v 2 − 4v − 4 v2 − 4
Fungsi rasional ini tidak dapat didefinisikan di v = 2 dan -2, meskipun terdapat limit ketika v → 2 atau -2. maka fungsi ini diskontinu di v = 2 dan -2.
•
Diferensiabel pada suatu titik Suatu fungsi f disebut diferensiabel pada x = a jika : 1. Hasil-Bagi Beda dari Fungsi f’(x)tersebut terdefinisi pada x = a 2. Limit Hasil-Bagi Beda untuk x menuju a adalah f’(a) Maka fungsi diferensiabel di titik x = a, jika:
f ' ( x0 ) = lim x →0
• •
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ∆y = lim ∆x x→0 ∆x
Jika suatu fungsi diskontinu, maka fungsi tersebut tidak diferensiabel. Tetapi Jika suatu fungsi tidak diferensiabel, maka fungsi tersebut belum pasti diskontinu. Contoh: Periksa apakah fungsi y=f(x)=|x-2|+1 kontinu dan diferensiabel di x=2? a. Karena
lim f ( x) = lim− f ( x) = 1 = f (1)
x →2 +
x →2
maka y=f(x) kontinu
b. Diferensiasi dari fungsi f(x)
lim x →2
x − 2 +1−1 x−2 f ( x) − f (2) = lim = lim x →2 x →2 x − 2 x−2 x−2
Uji keberadaan limit:
lim+
x →2
lim−
x →2
x−2 x−2 x−2 x−2
= lim+
x−2 = lim 1 = 1 x − 2 x →2+
= lim+
− ( x − 2) = lim+ (−1) = −1 x →2 x−2
x→2
x→2
Karena
lim−
x →2
x−2 x−2
≠ lim+ x →2
x−2 x−2
maka fungsi f(x) tidak
diferensiabel di x=2 Latihan:
x2 - 9 1. f(x) = –––––– , periksalah apakah f(x) kontinu di x = 3? x–3
⎧2 x + 2 2. f ( x) = ⎨ ⎩6 x − 4
;x ≥ 2 ;x < 2
,periksalah apa f(x) diferensiabel di x = 2?
