CATATAN KULIAH #1 Analisis Komparatif Statik dan Konsep Derivatif (1)
Sumber: Baca Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Ch.7
1. Sifat dari Statik Komparatif •
Perbandingan dua kondisi keseimbangan yang behubungan dengan perbedaan nilai parameter dan atau variabel eksogen.
•
Bila pada kondisi awal model pasar satu komoditi, keseimbangan harga dan kuantitas terjadi pada ( P0 , Q0 ) maka bila ada perubahan nilai parameter dan atau variabel eksogen, keseimbangan baru juga akan berubah ke ( P1 , Q1 ) . Bagaimana hubungan antara keseimbangan awal dengan keseimbangan baru ?
•
Dalam analisis komparatif statik, harga akan dibahas pada kondisi sebelum dan sesudah adanya perubahan sedangkan proses terjadinya perubahan diabaikan.
•
•
Analisis komparatif statik dapat berupa : i.
Kuantitatif : besar perubahan
ii.
Kualitatif : arah perubahan
Untuk mempelajari hal tersebut, perlu dipahami konsep “tingkat perubahan” (apa yang berubah dan apa yang terjadi setelah perubahan tersebut ?)
2. Tingkat Perubahan dan Derivatif Misalkan terdapat 2 variabel yang saling berhubungan dan hubungan tersebut dapat dinyatakan sbb : y = f ( x ) Selanjutnya dapat dianalisis bagaimana tingkat perubahan variabel y sebagai akibat perubahan variabel x . Dalam kondisi komparatif statik, y menyatakan nilai keseimbangan dari suatu variabel endogen sedangkan x menyatakan variabel eksogen dan atau parameter.
Hasil Bagi Perbedaan (Difference Quotient) •
Bila x berubah dari x0 ke x1 , nilai perubahannya dinyatakan sebagai Δx = x1 − x0
•
Dengan cara yang sama, bila x0 berubah ke ( x0 + Δx ) maka nilai fungsi f ( x0 ) juga berubah menjadi f ( x0 + Δx )
•
Perubahan dalam y per 1 unit perubahan x dapat dinyatakan sebagai hasil bagi perbedaan (difference quotient) :
•
Δy f ( x0 + Δx ) − f ( x0 ) = Δx Δx
Hasil bagi perbedaan ini dapat dihitung bila diketahui nilai awal dari x yaitu x0 dan besar perubahan x yaitu Δx sedangkan
Δy mengukur rata-rata tingkat Δx
perubahan y .
•
Contoh : y = f ( x ) = 3x2 − 4
f ( x0 ) = 3 ( x0 ) − 4 2
f ( x0 + Δx ) = 3 ( x0 + Δx ) − 4 2
= 3( x02 + 2 x0 Δx + Δx 2 ) − 4
= 3x02 + 6 x0 Δx + 3Δx 2 − 4 2 2 2 Δy ( 3x0 + 6 x0 Δx + 3Δx − 4 ) − ( 3x0 − 4 ) = Δx Δx
=
6 x0 Δx + 3Δx 2 Δx
= 6 x0 + 3Δx Jika x0 = 3 dan Δx = 4 maka rata-rata tingkat perubahan y adalah : Δy = 6 ( 3) + 3 ( 4 ) = 30 , artinya jika x berubah 1 satuan maka y berubah sebesar Δx 30 satuan.
Derivatif
Jika nilai Δx sangat kecil (mendekati nol) maka derivatif dari fungsi
y = f ( x)
f ( x0 + Δx ) − f ( x0 ) dy Δy = f ' ( x ) = lim = lim Δx →0 Δx Δx → 0 dx Δx
adalah : Contoh :
y = f ( x ) = 3x2 − 4
Maka derivatifnya adalah
dy Δy = f ' ( x ) = lim Δx → 0 Δx dx = lim 6 x0 + 3Δx Δx → 0
= 6 x0 = 6x
Jika x = 3 maka f ' ( x ) = 6(3) = 18
3. Derivatif dan Slope Kurva
Misal diberikan suatu fungsi total cost : C = f ( Q ) dimana C : total cost Q : output
Marginal cost (MC) didefinisikan sebagai perubahan dalam total cost akibat kenaikan 1 unit output. Secara matematis, MC =
ΔC ΔQ
Pada kasus barang dalam jumlah yang nilainya diskrit (integer), perubahan 1 unit adalah jumlah perubahan yang paling kecil yang mungkin terjadi. Tetapi untuk kasus barang dalam jumlah yang nilainya kontinu, ΔQ dapat berubah dalam jumlah desimal yang tidak terbatas. Karenanya marginal cost dapat dihitung dengan slope dari kurva total cost. Slope dari kurva total cost adalah limit dari ratio
ΔC , saat ΔQ mendekati nol. ΔQ
Perhatikan gambar kurva total cost C = f ( Q ) di bawah ini : C = f (Q )
C
C2 C1
B ΔC
D
G
A C0
F
R K
0
E
H
ΔQ Q0
Q1 Q2
Q
Misalkan A adalah titik awal dengan output Q0 dan cost C0 . Jika output meningkat sebesar ΔQ , maka output menjadi Q0 + ΔQ = Q2 dan total cost akan meningkat dari C0 menjadi C0 + ΔC = C2 , karenanya
ΔC C2 − C0 = . ΔQ Q2 − Q0
Secara geometri, ini adalah rasio dari 2 garis hubung,
EB , atau slope dari garis AB. AE
Secara khusus, rasio ini adalah rasio dari rata-rata tingkat perubahan yaitu rata-rata marginal cost. Apa yang terjadi jika nilai ΔQ berubah-ubah? Jika kenaikan output semakin kecil (misal dari Q0 ke Q1 ), maka rata-rata marginal cost dapat dihitung dengan slope garis AD. Lebih jauh lagi, jika kenaikan output semakin jauh lebih kecil ( ΔQ → 0 ) maka yang dihitung adalah slope garis KG, dimana KG adalah garis tangent kurva total cost pada titik A. ⎛ HG ⎞ Slope dari KG ⎜ = ⎟ mengukur slope kurva total cost pada titik A dan ⎝ KH ⎠
menunjukkan limit dari
ΔC saat ΔQ → 0 dimana output awalnya adalah Q = Q0 . ΔQ
Karenanya, dalam hal derivatif, slope dari kurva C = f ( Q ) pada titik A berhubungan khusus dengan nilai derivatif f ' ( Q0 ) . Bagaimana jika tingkat output awal berubah dari Q0 menjadi Q2 ? Dalam kasus ini, titik A akan diganti dengan titik B pada kurva sebagai titik awal, dan slope dari kurva pada titik B akan memberikan nilai derivatif f ' ( Q2 ) . Jadi secara umum, derivatif f ' ( Q ) yang merupakan suatu fungsi dari Q , akan berubah-ubah selama Q berubah.
4. Konsep Limit
Derivatif
dy didefinisikan sebagai limit dari hasil bagi perbedaan (difference dx
quotient)
Δy saat Δx → 0 . Δx
Jika dinotasikan q ≡
Δy dan v ≡ Δx , dimana q adalah quotient dan v adalah variasi Δx
dari nilai x , maka : dy Δy = lim = lim q dx Δx →0 Δx v →0
Limit Sisi Kiri dan Limit Sisi Kanan
Misal diberikan suatu fungsi lim q , dimana N adalah bilangan real yang terbatas. v→ N
Maka fungsi q mempunyai nilai limit jika nilai limit sisi kiri sama dengan nilai limit sisi kanan. Jika lim− q = L , maka L merupakan limit sisi kiri, dimana nilai L diperoleh saat v→ N
v → N dari sisi kiri atau dari nilai yang lebih kecil dari N . Sedangkan jika
lim q = L , maka L merupakan limit sisi kanan, dimana nilai L diperoleh saat
v→ N +
v → N dari sisi kanan atau dari nilai yang lebih besar dari N .
Jadi, secara matematis dapat ditulis : lim q = lim− q = lim+ q = L
v→ N
v→ N
v→ N
Contoh :
1) Diketahui fungsi q =
v 2 + v − 56 dimana v ≠ 7 . v−7
Tentukan nilai lim q v →7
2) Diketahui fungsi q = 5 −
1 dimana v ≠ 0 . v
Tentukan nilai lim q v →7
Fungsi Kontinu
Suatu fungsi f ( x ) dikatakan kontinu di titik x = a , dimana a ∈ D f , jika : (i)
Fungsi f ( x ) terdefinisi di x = a atau f ( a ) ada.
(ii)
Fungsi f ( x ) mempunyai limit saat x → a atau lim f ( x ) ada. x→a
lim f ( x ) ada jika lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) x→a
(iii)
x →a
x→a
lim f ( x ) = f ( a ) x→a
Contoh :
1) Apakah f ( x ) = 2 kontinu di x = 2 ⎧3 x − 2; x > 1 ⎪ 2) Diketahui fungsi f ( x ) = ⎨ 2 ; x = 1 ⎪ ⎩ 2 x − 1; x < 1
Apakah f ( x ) kontinu di x = 1
