PENGENALAN KONSEP DERIVATIF, DAN PENERAPANNYA DALAM PENYELESAIAN PROBLEMATIKA FISIKA Ashari1 & Budiyono2
1)
Jurusan Pendidikan Fisika 2)Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo
Abstrak Derivatif merupakan konsep dasar turunan. Dalam makalah ini akan dibahas mengenai bagaimana konsep turunan diperoleh, selain itu akan dibahas pula penggunaan konsep derivatif dalam menentukan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi, yang mana nilai maksimum fungsi ini diterapkan dalam beberapa penyelesaian permasalahan Fisika. Kata Kunci: derivatif, fungsi
Pendahuluan Setiap makhluk hidup di alam
perubahan tempat/kedudukan, pada
ini selalu mengalami proses yang
pukul tujuan si A ada di perpus-
disebut sebagai “perubahan”, dapat
takaan, satu jam kemudian dia
berupa
sudah duduk di rumah. Secara kasar
perubahan
misalnya
yang
fisik.
Seperti
mula-mula
bayi
dari contoh-contoh yang dikemu-
menjadi dewasa, mula-mula kepom-
kakan dapat dinyatakan bahwa tak
pong menjadi kupu-kupu, pada awal
satupun di alam ini yang lepas dari
bulan
proses perubahan.
mempunyai
banyak
uang
hingga tidak mempunyai uang sama
Apabila kita cermati lebih dalam
sekali pada akhir bulan. Perubahan
setiap
yang
dikemukakan, kita akan melihat
terjadi
merupakan misalnya
dapat
perubahan perubahan
pula
hanya
sementara, pola
bahwa
peristiwa
perubahan
“perubahan”
yang selalu
pikir,
merupakan keterkaitan antara satu
perubahan model rambut, atau juga
hal terhadap hal lain yang terjadi.
Ashari & Budiyono:Pengenalan Konsep Derivatif dan Penerapannya dalam Penyelesaian Problematika Fisika
1
Peristiwa
dikatakan
mengalami
matematis dapat dinyatakan sebagai
perubahan karena ada sesuatu hal
fungsi.
yang digunakan sebagai acuan dari
misalnya jarak sebagai fungsi waktu,
peristiwa.
kita dapat menyatakan seba-gai
Sebagai
contoh,
A
berdasarkan tinjauan tempat pada waktu tertentu (pada skala jam),
Dan
dalam
penulisannya,
berikut. Jika jarak yang ditempuh s, dan
berada di lokasi berbeda-beda. Kita
waktu
katakan
menempuh jarak adalah t, maka
bahwa
A
mengalami
yang
digunakan
perubahan posisi kedudukan, bukan
untuk
perubahan fisik. Bila dilihat dari
ditempuh tempat dalam tiap satuan
wujudnya A adalah tetap A yang
waktu
berkaca mata, berkumis dan gemuk,
Perubahan yang dialami dinyatakan
dia oleh karena perubahan posisinya
dengan (delta) atau , sehingga
tidak berubah menjadi berkulit putih
untuk menyatakan perubahan jarak
berambut panjang. Secara fisik A
dituliskan sebagai ∆s atau s.
adalah
tetap,
berubahan
tetapi
karena
menyatakan dituliskan
jarak
untuk
sebagai
yang s(t).
dikatakan
kita
tinjau
Konsep Derivatif
hu-
Kembali lagi pada pengertian
bungan posisi dan waktu. Demikian
perubahan, misalnya terdapat tiga
pula yang mula-mula bayi menjadi
orang berbeda A, B, dan C yang
dewasa berdasarkan tinjauan secara
ingin pergi ke Parangtritis yang
fisik
keberadaannya
berdasarkan
dalam
kaitannya
dengan
berjarak 30 km dari Yogya. A pergi
dia
mengalami
proses
naik sepeda dan memerlukan waktu
perubahan dan kita tidak perlu
60 menit. B naik sepeda motor
meninjau
memerlukan waktu 30 menit dan C
waktu
dimana
posisi/
kedu-
naik bus memerlukan waktu 15
dukannya. Keterkaitan hubungan antara
menit saja. Di sini kita lihat bahwa
satu hal dengan hal lain secara
perubahannya terhadap waktu ti-
2
| Ashari & Budiyono:Pengenalan Konsep Derivatif dan Penerapannya dalam Penyelesaian Problematika Fisika
daklah sama meskipun jarak yang
Untuk mengetahui besarnya
ditempuh sama. Kejadian ini dise-
laju perubahan y terhadap x (men-
but sebagai perubahan jarak terhadap waktu atau yang disebut sebagai
dapatkan harga
δy ) secara real δx
kecepatan dan hasilnya belum tentu
terdapat metode pendekatan, sebagai
sama untuk peristiwa-peristiwa lain
berikut.
seperti misalnya pendapatan marji-
1. Andaikan variabel bebas beralih
nal, merupakan perubahan panda-
ke x ke x + ∆x. Perubahan yang
patan terhadap berbagai jenis produk,
berse-suaian dalam variabel tak
arus listrik merupakan laju perubahan
bebas y akan berupa
muatan
listrik
terhadap
waktu,
∆y = f (x + ∆x) – f(x).
peluruhan yang menun-jukkan laju
Perubahan y terhadap x dapat
perubahan
dinyatakan sebagai perbanding-
jumlah
zat
terhadap
waktu, pertumbuhan menunjukkan
an antara
Δy f (x) = f(x + ∆x) – Δx Δx
laju perubahan wujud zat terhadap waktu, dan sebagainya. Dengan menggunakan suatu acuan tertentu (terhadap hal yang diukur) kita dapat mengetahui
laju
perubahan
y
terhadap x (satu variabel terhadap variabel
yang
lain).
Secara
matematis ungkapan laju perubahan matematis ungkapan laju perubahan y terhadap x dituliskan
δy . Jadi δx
kecepatan sebagai laju perubahan jarak
terhadap
waktu
δs dinyatakan dengan . δt
yang
menggambarkan
kemi-
ringan tali busur melakui (x, f(x)). Seperti pada gambar berikut. Jika ∆x 0, kemiringan tali busur ini mendekati kemiringan garis singgung,
bela-
kangan ini oleh Leibniz digunakan lambang δy , sehingga: δx
δy Δy = Δxlim 0 Δx δx
dapat f (x x ) f ( x ) = Δxlim 0 x
Ashari & Budiyono:Pengenalan Konsep Derivatif dan Penerapannya dalam Penyelesaian Problematika Fisika
3
dinyatakan dengan grafik maka
Perhatikan gambar berikut.
dapat digambarkan dengan sebuah garis lurus berkemiringan m yang
Gambar 1.
mana
m
ditentukan
dengan kecuraman garis. Laju
y
kenaikan garis merupakan laju perubahan terhadap x. Jika x (x + ∆x, f(x+∆x))
berubah x0 ke ke x1 dan y akan berubah m kali sesuai dengan
f(x)
(x,f(x))
perubahan x, sehingga dapat x + ∆x
x
x
Baik Leibniz maupun Fermat menyebut
δy δx
sebagai suatu
dinyatakan y1 – y0 = m(x1 – x0). Kemiringan
dalam
gambar
diberikan sebagai perubahan y dalam tiap unit perubahan x. Dalam kasus yang lebih
hasil kali bilangan yang sangat
umum kita dapat menyatakan y
kecil yang menyebabkan persa-
sebagai fungsi x atau y = f(x) dan
maan ini menjadi benar. Dalam
kemiringan
penentuan turunan fungsi, nilai yang sangat kecil ini tidak kita
sebagai
δy δx
kurva =
dinyatakan f(x).
Laju
perhatikan, karena tidak jelas.
perubahan ini dapat bervariasi
Akan tetapi menurut Fermat jika
dari titik ke titik. Pada x = x1 laju
harga yang sangat kecil tadi
perubahan y terhadap x adalah
mendekati nol maka persamaan
f(x1), kecuraman grafik adalah
akan mempunyai nilai ekstrim.
sebuah garis dengan ke-miringan
2. Pendekatan lain, misalkan da-
f(x1). Pada x = x2 laju perubahan
lam kasus sebuah fungsi linear
y terhadap x adalah f(x2). Pada x
y = mx + b, apabila fungsi ini
= x3 laju peru-bahan y terhadap x
4
| Ashari & Budiyono:Pengenalan Konsep Derivatif dan Penerapannya dalam Penyelesaian Problematika Fisika
adalah f(x3), kecuraman grafik
tidak selalu merupakan nilai ter-
adalah
dengan
tinggi dari sebuah fungsi sehingga
kemiringan f(x3). Bila hasil ini
terdapat pengertian nilai maksimum
digambarkan
relatif
sebuah
garis dalam
bentuk
(relatif
berarti
terhadap
grafik maka diperoleh grafik
interval tertentu). Sedangkan nilai
yang indikasinya sama seperti
minimum fungsi adalah nilai terke-
garis tangan (seperti grafik pada
cil yang dapat dicapai oleh fungsi
gambar 1).
tersebut
dalam
interval
yang
diberikan. Seperti halnya nilai makNilai Maksimum dan Minimum Fungsi Dalam hidup kita sering menghadapi masalah guna mendapatkan jalan terbaik untuk melakukan sesuatu. Sebagai contoh, seo-
simum, untuk nilai minimum terdapat pula pengertian nilai minimum relatif lokal. Gambar 3. y Min local Min local
rang petani ingin memilih kombinasi hasil panen yang dapat menghasilkan keuntungan terbesar. Seorang dokter akan menentukan obat dengan dosis terkecil untuk menyembuhkan suatu penyakit. Seorang kepala pabrik akan menekan sekecil mungkin biaya pendistribusian produknya. Kadangkala salah satu dari masalah di atas dapat dirumuskan fungsi
tertentu.
Adapun
yang
dimaksud dengan nilai maksimum suatu fungsi tersebut dalam interval
Max. local Max. local
Untuk
memperoleh
nilai
maksimum atau minimum fungsi dari kurva polynomial y = f(x), dapat ditempuh dengan membandingkan dengan nilai f(x) pada suatu titik tertentu dengan nilai
f(x + E)
yang berada pada titik terdekatnya.
yang diberikan. Nilai maksimum Ashari & Budiyono:Pengenalan Konsep Derivatif dan Penerapannya dalam Penyelesaian Problematika Fisika
5
Jika
kita memasukkan
nilai
E
sembarang pada fungsi maka hasil yang akan diperoleh dari fungsi
tersebut tidak mungkin mempunyai nilai maksi-mum atau minimum.
f(x
Bagaimana menentukan apamempunyai
nilai
kah
ketika mencapai nilai pada puncak
maksimum (atau minimum) pada
atau dasar kurva perubahan nilai
daerah
f(x + E) dan nilai f(x) nyaris tidak
permasalahan ini tergantung pada
kelihatan. Sehingga untuk menya-
himpunan S tersebut. Agar menda-
takan titik maksimum atau minimum
patkan nilai ekstrim fungsi, apa-
dengan memasukkan harga real pada
kah maksimum atau minimum
persamaan
f(x)
dan
f(x
+
E)
fungsi
f
+ E) akan sangat berbeda, tetapi
asal
S?
Jawaban
maka terdapat beberapa definisi
meskipun tidak tepat sama namun
yang perlu dikemukakan.
akan
Definisi:
mendapatkan
nilai
yang
dari
mendekati sama. Untuk interval nilai
Andaikan suatu S yang merupakan
E yang lebih kecil antara dua titik
daerah asal fungsi f memuat titik c,
terdekat, setelah membagi seluruh
maka kita katakan bahwa:
persamaan dengan E akan membuat
1. f(c) adalah nilai maksimum
persamaan
berharga
perhitungan
dari
nol.
f pada S jika f(c) f(x) untuk
Hasil
persamaan
merupakan titik maksimum atau
semua x di S 2.
f(c) adalah nilai minimum f
minimum dari fungsi polinomial.
pada S jika f(c) f(x) untuk
Dalam pembahasan di atas, proses
semua x di S
ini identik dengan proses penurunan
3.
f(c) adalah nilai ekstrim fungsi f
(derivatif) dengan ide limit seperti
pada S jika ia adalah nilai
yang
maksimum atau nilai minimum
telah
dituliskan
pada
persamaan (1) yang berharga nol. Apabila tidak berharga maka fungsi
6
| Ashari & Budiyono:Pengenalan Konsep Derivatif dan Penerapannya dalam Penyelesaian Problematika Fisika
sen dollar per mil pada saat Contoh Penerapan Penentuan Nilai
dikemudikan dengan kecepatan v
Maksimum dan Minimum Fungsi
mil
per
jam.
Pengemudinya
Beberapa soal yang dapat
dibayar $12 per jam. Pada kece-
diselesai-kan dengan menggunakan
patan berapakah biaya pengi-
konsep maksimum dan minimum
riman minimum.
fungsi.
Secara umum permasalahan-
1. Sebuah peluru ditembakkan dari
permasalahan
menyangkut
nilai
permukaan bumi, jika peluru itu
maksimum dan minimum fungsi
ditembakkan dengan arah ti-
mekanika klasik yang melibatkan
dak tegak lurus dengan permu-
aplikasi hukum Newton tentang
kaan bumi dan ketinggian yang
Gerak Persamaan Lagrange tentang
dicapainya
Dinamika Gerak Partikel.
merupakan
fungsi
dari waktu yang dinyatakan oleh y(t) = – t² + 2t – 3. Hitung jarak tertinggi
yang
dicapai
oleh
Dari penjelasan yang telah dikemukakan dalam makalah ini
peluru. 2. Seorang peternak mempunyai 100 meter kawat berduri yang akan dipakai membuat dua pagar identik yang berdampingan, seperti yang diperlihatkan dalam gambar. Berapa ukuran seluruh kelilingnya agar luas maksi-
dapat disimpulkan bahwa konsep derivatif dapat diperoleh dengan menggunakan metode pendekatan gradien garis singgung yang diperoleh dari fungsi f(x). Pendekatan terhadap
gradien
garis
tersebut
dengan menggunakan konsep limit fungsi.
mum. 3. Biaya
Penutup
operasi
sebuah
truk
v diperkirakan sebesar (30 + ) 2
Dalam penerapannya, terdapat banyak teorema yang dikembangkan dari konsep dasar derivatif. Kasus sederhana yang menggu-
Ashari & Budiyono:Pengenalan Konsep Derivatif dan Penerapannya dalam Penyelesaian Problematika Fisika
7
nakan
konsep
penentuan
nilai
derivatif
adalah
ekstrim
fungsi.
Adapun permasalahan tentang persamaan gerak partikel yang dibahas dalam mata kuliah Mekanika Klasik.
Edwin J. Purcell, Dale Verberg (alih bahasa I. Nyoman Susila, dkk.), 1995, Kalkulus dan Geometri Analitis, Edisi V, Jakarta: Erlangga. Jero Wacik, Suardhana Linggih dkk., 1986, Ringkasan Matematika, Bandung: Ganeca Exact.
Daftar Pustaka Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach, 1989, A History of Mathematics, LHM University, Canada: John Wiley & Sons.
8
S.L. Salas & Haddam Conn, 1982, Calculus, One and Several Variables with Analutic Geometry, Fourth Edition, Canada: John Wiley & Sons.
| Ashari & Budiyono:Pengenalan Konsep Derivatif dan Penerapannya dalam Penyelesaian Problematika Fisika
